PROGRAMMATION DYNAMIQUE

(1)

INTRODUCTION À L’ALGORITHMIQUE

-

PROGRAMMATION DYNAMIQUE

Lélia Blin Université d’Evry

Chargée de cours: Lélia Blin

Transparents:http://www-npa.lip6.fr/~blin/Enseignements.html Email: [email protected]

1

(2)

PROGRAMMATION DYNAMIQUE

La programmation dynamique:

comme la méthode diviser-pour-régner, Résout des problèmes

En combinant des solutions de sous-problèmes.

Lélia Blin Université d’Evry 2

(3)

PROGRAMMATION DYNAMIQUE

Les algorithmes diviser-pour-régner

partitionnent le problème en sous-problèmes indépendants

qu’ils résolvent récursivement, puis combinent leurs solutions pour résoudre le problème initial.

(4)

PROGRAMMATION DYNAMIQUE

La programmation dynamique s’appliquer même lorsque:

Les sous-problèmes ne sont pas indépendants, Autrement dit:

Des sous-problèmes ont des sous-sous-problèmes communs.

(5)

PROGRAMMATION DYNAMIQUE

Un algorithme diviser-pour-régner fait plus de travail que nécessaire,

en résolvant plusieurs fois le sous-sous-problème commun.

Un algorithme de programmation dynamique résout chaque sous-sous-problème une seule fois

et mémorise sa réponse dans un tableau,

évitant ainsi le recalcul de la solution chaque fois que le sous- sous-problème est rencontré.

(6)

PROBLÈME D’OPTIMISATION

La programmation dynamique est:

en général, appliquée aux problèmes d’optimisation.

Dans ce type de problèmes:

il peut y avoir de nombreuses solutions possibles.

Chaque solution a une valeur, et on souhaite trouver une solution ayant la valeur optimale

Autrement dit: minimale ou maximale.

(7)

PROBLÈME D’OPTIMISATION

Chaque solution a une valeur, et on souhaite trouver une solution ayant la valeur optimale

Une telle solution est une solution optimale au problème,

et non pas la solution optimale,

puisqu’il peut y avoir plusieurs solutions qui donnent la valeur optimale.

(8)

ETAPES DE CONSTRUCTION

Le développement d’un algorithme de programmation dynamique peut être découpé en quatre étapes.

Caractériser la structure d’une solution optimale.

Définir récursivement la valeur d’une solution optimale.

Calculer la valeur d’une solution optimale de manière ascendante (bottom-up).

Construire une solution optimale à partir des informations calculées.

8

(9)

PLAN DU COURS

Ordonnancement de chaînes de montage Multiplication de matrices

Plus longue sous-séquence commune

9

(10)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

(11)

PROBLÈME DE FABRICATION

Une firme produit des automobiles dans un atelier qui a deux chaînes de montage

^15.1 Ordonnancement de chaînes de montage 317

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

Figure 15.1 Problème de fabrication pour déterminer le chemin optimal dans une usine. Il y a deux chaînes de montage, ayant chacune n postes ; le jème poste de la chaîne i est notéS_i,j et le temps de montage à ce poste est a_i,j. Un châssis entre dans l’atelier, puis va sur la chaîne i (avec i = 1 ou 2) en mettant un tempse_i. Après être passé par le jème poste d’une chaîne, le châssis va sur le(j+1)ème poste de l’une ou l’autre chaîne. Il n’y a pas de coût de transfert si l’auto reste sur la même chaîne, mais il faut un temps t_i,j pour passer sur l’autre chaîne après le poste S_i,j. Après avoir quitté le nème poste d’une chaîne, l’auto achevée met un temps x_i pour sortir de l’atelier.

Le problème consiste à déterminer quels sont les postes à sélectionner sur la chaîne 1 et sur la chaîne 2 pour minimiser le délai de transit d’une auto à travers l’atelier.

par les n postes dans l’ordre, mais le chef d’atelier peut faire passer une auto partiellement construite d’une chaîne à l’autre, et ce après chaque poste. Le temps de transfert d’un châssis depuis la chaîne i et après le poste S_i,j est t_i,j, avec i = 1,2 et j = 1,2, . . . ,n − 1 (car, après le nème poste, c’est fini). Le problème consiste à déterminer quels sont les postes à sélectionner sur la chaîne 1 et sur la chaîne 2 pour minimiser le délai de transit d’une auto à travers l’atelier. Sur l’exemple de la figure 15.2(a), le délai optimal est obtenu via sélection des postes 1, 3 et 6 de la chaîne 1 et des postes 2, 4 et 5 de la chaîne 2.

La solution évidente et « primaire », pour minimiser le délai de circulation à travers l’atelier, est irréaliste quand il y beaucoup de postes. Connaissant la liste des postes à utiliser sur la chaîne 1 et des postes à utiliser sur la chaîne 2, il est facile de calculer en temps Q(n) le délai de transit d’un châssis à travers l’atelier. Malheureusement, il y a 2ⁿ façons possibles de choisir les postes ; on peut le voir en considérant l’ensemble des postes utilisés sur la chaîne 1 comme un sous-ensemble de {1,2, . . . ,n} et en remarquant qu’il y a 2ⁿ tels sous-ensembles. Par conséquent, déterminer le chemin le plus rapide en énumérant tous les chemins possibles puis en calculant la durée de chacun, c’est une solution qui prend un temps V(2ⁿ), ce qui est irréaliste quand n est grand.

a) Étape 1 : structure du chemin optimal à travers l’atelier

La première étape du paradigne de la programmation dynamique est de caractériser la structure d’une solution optimale. Pour le problème de l’ordonnancement de chaîne de montage, voici comment on peut procéder à cette étape. Considérons le chemin

c⃝Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

11

(12)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

Un châssis arrive sur chaque chaîne,

puis passe par un certain nombre de postes où on lui ajoute des pièces ;

une fois terminée,

l’auto sort par l’autre extrémité de la chaîne.

12

(13)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

Chaque chaîne de montage a n stations, numérotées j = 1,2,...,n.

On représente le jème poste de la chaîne i par S i,j . Avec i égale 1 ou 2

Le jème poste de la chaîne 1 (S 1,j ) fait le même travail que

le jème poste de la chaîne 2 (S 2,j ).

13

(14)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

Les postes ont été installés à des époques différentes et avec des technologies différentes ;

Ainsi, le temps de montage varie d’un poste à l’autre,

Même quand il s’agit de postes fonctionnement identiques Mais situés sur des chaînes différentes.

14

(15)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

Le temps de montage au poste S i,j est a i,j .

15.1 Ordonnancement de chaînes de montage 317

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

Figure 15.1 Problème de fabrication pour déterminer le chemin optimal dans une usine. Il y a deux chaînes de montage, ayant chacune n postes ; le jème poste de la chaîne i est noté S_i,j et le temps de montage à ce poste est a_i,j. Un châssis entre dans l’atelier, puis va sur la chaîne i (avec i = 1 ou 2) en mettant un temps e_i. Après être passé par le jème poste d’une chaîne, le châssis va sur le (j+1)ème poste de l’une ou l’autre chaîne. Il n’y a pas de coût de transfert si l’auto reste sur la même chaîne, mais il faut un temps t_i,j pour passer sur l’autre chaîne après le poste S_i,j. Après avoir quitté le nème poste d’une chaîne, l’auto achevée met un temps x_i pour sortir de l’atelier.

cDunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

15

(16)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

Un châssis arrive au poste 1 de l’une des chaînes, puis passe de poste en poste.

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

16

(17)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

On a un temps d’arrivée e i

pour le châssis qui entre sur la chaîne i,

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

17

(18)

ORDONNANCEMENT DE CHAÎNES DE MONTAGE

Un temps de sortie x i

pour l’auto achevée qui sort de la chaîne i.

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

18

(19)

PASSAGE D’UNE CHAÎNE À L’AUTRE

Normalement, une fois qu’un châssis arrive sur une chaîne de montage,

il ne circule que sur cette chaîne.

En cas d’urgence, toutefois, il se peut que l’on veuille accélérer le délai de fabrication d’une automobile

en changeant de chaîne.

Le temps de passage d’un poste à l’autre sur une même chaîne est négligeable.

19

(20)

PASSAGE D’UNE CHAÎNE À L’AUTRE

Pour changer le châssis de chaîne:

Le châssis transite toujours par les n postes dans l’ordre,

Le chef d’atelier peut faire passer une auto

partiellement construite d’une chaîne à l’autre et ce après chaque poste.

20

(21)

PASSAGE D’UNE CHAÎNE À L’AUTRE

Le temps de transfert

d’un châssis depuis la chaîne i et après le poste S i,j Est t i,j , avec i = 1,2 et j = 1, 2, . . . , n − 1 (car, après le nème poste, c’est fini).

21

(22)

PASSAGE D’UNE CHAÎNE À L’AUTRE

Le problème consiste à déterminer quels sont les postes à sélectionner

sur la chaîne 1 et sur la chaîne 2 pour minimiser le délai de transit

d’une auto à travers l’atelier.

22

(23)

MINIMISER LE DÉLAIS DE TRANSIT

Sur l’exemple de la figure , le délai optimal est obtenu via sélection des postes 1, 3 et 6 de la chaîne 1

et des postes 2, 4 et 5 de la chaîne 2.

318 15 ^• Programmation dynamique

chaîne 2 entrée

des

chassis

sortie des autos chaîne 1 1

posteS_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,5

poste S_2,5

poste S_1,6

poste S_2,6 2

4

7

8 2 2

9

5 1 3

3

6 2 1

4

4 2 3

8

5 1 4

4

7

2 3

(a)

9 12

18 16

20 22

24 25

32 30

35 37

1 2 3 4 5 6

f₁[j]

f₂[j]

j

f ^* = 38 1

1 2 2

1 1

1 2

2 2

2 3 4 5 6

l₁[j]

l₂[j]

j

l^* = 1

(b)

Figure 15.2 (a) Une instance du problème de la chaîne de montage, avec les coûts e_i, a_i,j, t_i,j et x_i affichés. Le chemin sur fond gris foncé indique le chemin le plus rapide à travers l’atelier.

(b) Les valeurs def_i[j],f^∗,l_i[j] et l^∗ pour l’instance de la partie (a).

optimal pour aller du point de départ au poste S_1,j. Sij = 1, il n’y a qu’un seul chemin possible et il est donc facile de déterminer le temps qu’il faut pour arriver au posteS_1,j. Pour j = 2,3, . . . ,n, en revanche, il y a deux possibilités : le châssis peut aller du poste S_1,j₋₁ au poste S_1,j directement, le délai de passage du poste j−1 au poste j de la même chaîne étant négligeable. Mais le châssis peut aussi aller du poste S_2,j₋₁ au poste S_1,j, le délai de transfert étant alors t_2,j₋₁. Nous traiterons séparément ces deux cas de figure, bien qu’ils aient beaucoup de points communs comme nous le verrons.

Primo, supposons que le chemin optimal vers le posteS_1,j passe par le posteS_1,j₋₁. La remarque fondamentale est que le châssis a forcément pris un chemin optimal pour aller du point de départ au poste S_1,j₋₁. Pourquoi ? S’il existait un chemin plus rapide pour aller au poste S_1,j₋₁, on pourrait utiliser ce chemin plus rapide pour obtenir un chemin plus rapide vers le poste S_1,j ; d’où une contradiction.

De même, supposons maintenant que le chemin optimal vers le poste S_1,j passe par le poste S_2,j₋₁. Le châssis a forcément pris un chemin optimal du point de départ au poste S_2,j₋₁. Le raisonnement est le même : s’il existait un chemin plus rapide menant au poste S_2,j₋₁, on utiliserait ce chemin plus rapide pour obtenir un chemin plus rapide vers le poste S_1,j ; d’où une contradiction.

Plus généralement, on peut dire que, pour l’ordonnancement de chaîne de montage, une solution optimale à un problème (trouver le chemin optimal menant au

23

(24)

SOLUTION NAÏVE

Connaissant la liste des postes à utiliser

sur la chaîne 1 et des postes à utiliser sur la chaîne 2, il est facile de calculer en temps Θ(n)

le délai de transit d’un châssis à travers l’atelier.

Malheureusement:

il y a 2 ⁿ façons possibles de choisir les postes ;

24

(25)

SOLUTION NAÏVE

On peut le voir en considérant

l’ensemble des postes utilisés sur la chaîne 1!

Representer par le sous-ensemble de {1, 2, . . . , n}

Combien il y a t-il de sous-ensemble de ce type:

2 ⁿ .

25

(26)

SOLUTION NAÏVE

Par conséquent,

déterminer le chemin le plus rapide

en énumérant tous les chemins possibles puis en calculant la durée de chacun,

c’est une solution qui prend un temps Ω(2 ⁿ ), solution irréaliste quand n est grand.

26

(27)

STRUCTURE DU CHEMIN

OPTIMAL À TRAVERS L’ATELIER

La première étape du paradigne de la programmation dynamique est de

caractériser la structure d’une solution optimale.

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

Figure 15.1 Problème de fabrication pour déterminer le chemin optimal dans une usine. Il y a deux chaînes de montage, ayant chacune n postes ; le jème poste de la chaîne i est noté S_i,j et le temps de montage à ce poste est a_i,j. Un châssis entre dans l’atelier, puis va sur la chaîne i (avec i = 1 ou 2) en mettant un temps e_i. Après être passé par lejème poste d’une chaîne, le châssis va sur le (j+1)ème poste de l’une ou l’autre chaîne. Il n’y a pas de coût de transfert si l’auto reste sur la même chaîne, mais il faut un temps t_i,j pour passer sur l’autre chaîne après le poste S_i,j. Après avoir quitté le nème poste d’une chaîne, l’auto achevée met un temps x_i pour sortir de l’atelier.

27

(28)

STRUCTURE DU CHEMIN

OPTIMAL À TRAVERS L’ATELIER

Problème de l’ordonnancement de chaîne de montage:

Considérons le chemin optimal pour aller du point de départ au poste S

_1,j

. Si j = 1, il n’y a qu’un seul chemin possible

il est donc facile de déterminer le temps qu’il faut pour arriver au poste

S

1,j

.

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

28

(29)

STRUCTURE DU CHEMIN

OPTIMAL À TRAVERS L’ATELIER

Pour j = 2, 3, . . . , n, en revanche, il y a deux possibilités : Cas 1: Le châssis peut aller du poste S

1,j−1

au poste S

1,j

directement,

le délai de passage du poste j − 1 au poste j de la même chaîne étant négligeable.

chaîne 2 a_1,1

e₁ entrée

des chassis

e₂

a_2,1

a_1,2

a_2,2 t_1,1

t_2,1

t_1,2 t_2,2

a_1,3

a_2,3 t_1,3 t_2,3

a_1,4

a_2,4

t_1,n–1 t_2,n–1

a_1,n

a_2,n a_1,n–1

a_2,n–1

x₁

x₂

sortie des

autos

…

chaîne 1

poste S_1,1

poste S_2,1

poste S_1,2

poste S_2,2

poste S_1,3

poste S_2,3

poste S_1,4

poste S_2,4

poste S_1,n–1

poste S_2,n–1

poste S_1,n

poste S_2,n

29