N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
H ERMITE
Sur une identité trigonométrique
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 4 (1885), p. 57-59
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SUR UNE IDENTITÉ TRIGONOMÉTRIQUE;
P\R M. HERMITE.
M. J . - W . - L . Glaisher, professeur à Cambridge, a donné sans démonstration la relation suivante, où a, &, c, ƒ, g", h sont des quantités quelconques, a savoir (i) '.
sin(a —ƒ ) sin(a — g) sin(a — h)
s i n ( « — b) sin ( « — c)
sin(6 — ƒ ) sin(6 — g) sin(b — h)
*in(b — a) sin(6 — c) sin(c — f ) sin(c — g ) sin(c — h )
sin(c — a) sin(c — b) sin( ƒ — a) sin( ƒ — b) s i n ( / — c)
>\n(f— g)*\x\(f— h) sin(^-— a) sin^— b) sin(^r — c \
sin(£• — / ) <^in(^ — A;
sin( A — a) sin(/? —Z>) sin(/? — c )
L'éminent géomètre a de plus remarqué que la somme des. trois premiers termes est égale à
sin (a -\- b -J- C —ƒ — ç — h) ;
or, on voit qu'en changeant a,b,c en ƒ , g\ A, et récipro- quement, le sinus se reproduit sauf le signe} il suffit donc d'ajouter les deux expressions pour obtenir immé- diatement la relation annoncée. Ce résultat intéressant peut se généraliser et se démontrer comme il suit.
Considérons la fonction
^ '~~ çin(.r — a) sin(œ — 6 ) . . . sin (a" — / ) '
(f) Association française pour l'avancement des Sciences, Congrès de Reims, séance du 17 août 1880.
Ann. de Mathèmat., 3e série, t. IV. (Février 1 885.) 5
( 58 )
où je suppose que les facteurs soient en même nombre au numérateur et au dénominateur. Désignons par A, B, . . ., L les résidus correspondant aux pôles x = /?, />, . . . , / , de sorte qu'on ait
s i n ( « — / ) s i n ( « — #•)... s i n ( a — s )
__
s i n ( a — 6 ) s i n ( « — c),..sin(a—l) sin(b — f) s\n(b — g). . . sin(b — s)
6 — a) sin{b —
J'emploierai la relation
où G et 11 désignent les valeurs de ƒ (x), lorsque, ayant fait z = cix, on suppose z nul et infini ( Cours d'Analyse de VEcole Polytechnique, p. 328).
Ces valeurs s'obtiennent facilement*, on a, en eiïet,
sin(.r—ƒ) _ z*e-''f— eJf\
^.r — a) z'Àe-iu—eia'
d'où, pour z = o et 3 infini, les quantités
PiKf-a) et e-^f-a).
Soit donc, pour un moment,
u; -=n a •+- b -f- . . . -+- /, r = ƒ + ^ - h . . . + 5;
nous aurons sur-le-champ et par suite
A + B + . . . + L=: sin(w — ç).
Maintenant il suffit de permuter a et ƒ, & et j , . . ., / et $ pour obtenir l'équation de M. Glaisher. Qu'on désigne en eiîet par F, G, . . ., S ce que deviennent alors les quantités A, B, . . ., L: la relation précédente
( 5.9 ) d o n n e
F -*- G -+ . . .— S = — sin(?/ — r ) ,
et l'on en conclut l'identité
