IFT2010
Structures de données
TP2
Nicola Grenon GREN3077303
mardi le quatorze mars deux mille six
1. c) Parce que 912 provient du sous arbre gauche de 911, ce qui n'est pas possible. (Devrait être plus petit) e) Parce que 299 provient du sous arbre droit de 347, ce qui n'est pas possible. (Devrait être plus grand)
2.
3. Preuve par contradiction:
Supposons que construire un arbre binaire de recherche à partir d'une liste de n éléments prenne (g(n)), tel que
(nlogn) (g(n)). (Plus rapide que nlogn)
On aurait alors une façon de trier plus rapide que (nlogn) dans le pire des cas puisqu'il suffirait de lire en infixe l'arbre obtenu pour avoir notre résultat, à savoir la liste triée.
Ce qui est contredit par la borne inférieure (nlogn) sur le tri (dans le pire des cas).
On ne peut donc créer l'arbre en moins de (nlogn) dans le pire des cas. CQFD.
2 2 5 2
3 9 8 3 3 0
3 6 3 4 0 1
3 4 4 3 9 7
9 2 4 2 2 0
2 4 4 8 9 8
3 6 3 9 1 1
2 5 8 3 6 2
9 2 5 2 0 2
2 4 0 9 1 2 9 1 1
2 4 5 3 6 3
a ) b ) c )
B U G !
2 3 9 9
2 1 9 2 6 6 3 8 7
3 8 2 3 8 1 d )
2 7 8 3 6 3
9 3 5 2 7 8
3 4 7 e )
B U G ! 6 2 1 2 9 9
3 9 2 3 5 8
3 6 3
1 2
3 4
5 6
7 1 :+ 4
2 :+ 3 4
3 3 :+ 2 4
2 4 H G ( 4 ) = H D ( 4 ) + 2 3 B u g !
4 :+ 1
2 4 3
1 5 : + 7
2 4 3
1 7 6 : + 6
2 4 3
H D ( 4 ) = H G ( 4 ) + 2 B u g !
4 7
1 2 6
3
4 7
1 2 6 7 : + 5 3
4. a = 2.
Par définition des arbres Rouge-Noir, on sait que chaque chemin de la racine à une feuille contiendra le même nombre de noeuds noirs.
La hauteur d'une branche (gauche ou droite) est elle définie par le nombre total de noeuds (-1) sur le chemin entre le noeud parent de la branche et la plus profonde de ses feuilles.
Or, le plus long chemin que l'on puisse imaginer entre un noeud et la feuille sa plus profonde, c'est lorsque un noeud sur deux est rouge. (On ne peut en avoir plus puisque chaque noeud rouge a obligatoirement un parent noir, par définition.)
Donc, dans un arbre Rouge-Noir, le plus fort ratio entre la hauteur d'une branche gauche et droite sera obtenu lorsque d'un côté il n'y aura que des noeuds noirs sur le chemin vers la plus profonde des feuilles et de l'autre, il y aura exactement un noeud sur deux de rouge, entraînant une hauteur exactement deux fois plus élevée.
Conséquemment, le ratio hauteur peut aller de ½ à 2. D'où a = 2.
Note: On remarquera que si l'on évalue le ratio à partir d'un noeud noir, l'inégalité sera stricte. (On ne pourra pas avoir exactement le double de la hauteur d'un côté à l'autre (2h-1), mais on y tendra plus l'arbre sera grand/haut.
R
N
N N N
N R
N N N N
N R R
N E x e m p le :
