Les Graphes

Les Graphes

Olivier Togni

IEM/Le2I

Université de Bourgogne

www.u-bourgogne.fr/o.togni

modifié le 02/04/2010

Ressources

bibliographiques

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Mathématiques pour l'informatique, A. Arnold  et I. Guessarian, Masson

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Graphes & Hypergraphes, C. Berge, Dunod

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http://www.cbel.com/combinatorics

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http://mathworld.wolfram.com/

Plan

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Historique

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Définitions

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Chemins, cycles

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Colorations

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Représentations

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Graphes « petits mondes »

Champs d'application

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Structure la plus utilisée en informatique: 

Systèmes, Réseaux, BD, Image, ...

●

Problèmes d'ordonnancement, logistique

●

Chimie, Psycho/Socio, ...

Historique

En 1734, problème des ponts de Königsberg 

résolu par L. Euler

Rappels sur les relations

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Une  relation  sur un ensemble E est la  donnée d'un sous­ensemble R de E x E

●

Pour indiquer qu'une paire (x,y) est dans R,  on notera xRy

●

Relation = ensemble => opérations 

ensemblistes: complémentaire, union, 

intersection

Rappels sur les relations

Opérations non ensemblistes: 

– Relation inverse R^­1: xR^­1y ssi yRx

– Produit de 2 relations: xR.R'y ssi ∃ z∈E, xRz et   zRy

– Etoile: R* =Id∪R∪R.R∪R.R.R∪...

Propriétés des relations

Une relation R sur un ensemble E est:

­ Symétrique si xRy <=> yRx

­ Antisymétrique si ∀ x,y∈E, xRy => non yRx

­ Réflexive si ∀ x∈E, xRx 

­ Irréflexive si ∀ x∈E, non xRx 

­ Transitive si ∀ x,y,z∈E, xRy et yRz => xRz

Définitions

Graphe (orienté) G=(V,A) est la donnée d'un ensemble fini V  et d'un sous­ensemble A de V x V (une relation sur V).

V=ensemble des sommets de G A= ensemble des arcs de G

Dessin: on dessine les sommets par des points et les arcs par des  flèches reliant ces points.

Si A est symétrique, on représente deux arcs en sens inverse par un  trait sans flèche (une arête). On parle alors de graphe non orienté.

Définitions suite

Ordre de G = nombre de sommets

Boucle = arc ou arête reliant un sommet à lui même

Degré sortant  d'un sommet x= nombre d'arcs issus de x Degré entrant = nombre d'arcs arrivant en x

Chemin de longueur p = suite de p+1 sommets, 2 sommets  consécutifs étant joints par un arc

Circuit = chemin revenant au point de départ

Définitions suite

G est fortement connexe ssi pour toute paire de sommets  (x,y), il existe un chemin allant de x à y

Distance d(x,y) entre deux sommets x et y = longueur  d'un plus court chemin entre x et y

Diamètre D(G) du graphe G = distance séparant les deux sommets les plus éloignés

Graphe non orienté

Degré d'un sommet x= nombre d'arêtes issues de x Deux sommets x et y reliés par une arêtes sont dits  adjacents ou voisins

Chemin ­> chaîne Circuit ­> cycle

Fortement connexe ­> connexe

Extensions

Multigraphe: on autorise plusieurs arêtes  ou arcs parallèles entre deux sommets (ce  n'est plus directement associé à une 

relation)

Hypergraphe: correspond à une relation  (non forcement binaire) => les hyperarêtes  peuvent regrouper plus de deux sommets

Génération, dénombrement

Questions: Pour une certaine classe de graphes donnée,

­ combien y a t'il de graphes à n sommets dans cette classe?

­ comment générer efficacement les graphes de la classe?

=> Problème de l'isomorphisme de graphes:

Deux graphes G=(V,A) et G'=(V',A') sont isomorphes s'il existe une bijection h: V→V' telle que si (x,y)∈A alors (h(x),h(y))∈A'

Isomorphisme

Ces trois graphes sont­ils deux­à­deux isomorphes? 

Chaînes, cycles

Une chaîne Eulérienne est une chaîne qui passe une fois et une seule par chaque arête du graphe.

Un cycle Eulérien est une chaîne Eulérienne qui boucle sur elle même

Théorème (Euler, 1766) Un graphe G possède une chaîne  Eulérienne ssi il est connexe et il a 0 ou 2 sommets

de degré impair (si 0 sommets de degré impair, alors cycle Eulérien)

Les ponts

Le (multi)graphe de droite est­il Eulérien?

Chaînes, cycles

Une chaîne Hamiltonienne est une chaîne qui passe  une fois et une seule par chaque sommet du graphe.

Un cycle Hamiltonien est une chaîne Hamiltonienne  qui boucle sur elle même

Un graphe est Hamiltonien s'il possède un cycle Hamiltonien Le problème de l'Hamiltonisme d'un graphe est plus difficile (NP­complet)

Nombre de graphes Hamiltoniens à n sommets: 

1, 0, 1, 3, 8, 48, 383, 6196, 177083, ...

Le Dodécahèdre est-il

Hamiltonien?

Parcours du cavalier

Un cavalier peut­il parcourir les 64 cases de l'échiquier  une fois et une seule, en partant de n'importe laquelle et peut­il revenir au point de départ?

Théorème (B. McKay, 1997) Il existe 13267364410532 parcours différents

Graphes Planaires

Une graphe est Planaire s'il est possible de le dessiner sur un plan de façon que deux arêtes ne se coupent pas Nombre de graphes planaires connexes à n sommets:

1, 1, 1, 2, 6, 20, 99, 646, 5974, 71885, ...

Théorème (Kuratowski, 1930) Un graphe G est planaire s'il ne contient pas de subdivision de K₅ ou K_3,3

Problème des 4 couleurs

Problème ancien(~1850): Peut­on colorier toute carte  géographique de sorte que deux régions voisines 

soient de couleurs différentes?

Coloration de graphe

Une coloration propre des sommets d'un graphe G=(V,A) est une application f:V→C, 

où C est un ensemble de « couleurs » telle que f(x)≠f(y) ∀(x,y)∈A

Le nombre chromatique  d'un graphe est le nombre 

minimal de couleurs qui permettent de le colorier proprement

Coloration de graphe

Graphe de nombre chromatique 4

Problème des 4 couleurs

En terme de graphes: est­ce que tout graphe planaire  a un nombre chromatique au plus 4?

Preuve par Appel et Haken en 1976 (~200 pages, 

utilise l'ordinateur pour tester des milliers de configurations) Théorème (Robertson, Sanders, Seymour et Thomas, 1996) Il existe un algorithme quadratique pour colorier tout graphe planaire en au plus 4 couleurs

Applications

Allocation de fréquences dans les réseaux cellulaires

Réseaux cellulaires

Contraintes: ­ fréquences à distance 2 sur cellules voisines

­ fréquences différentes sur cel. presque voisines Solution utilisant 10 fréquences

6 2

5 1

4

2 7

9 3 10

3

Coloration de graphe

Théorème (Brooks, 1941)

Le nombre chromatique  d'un graphe de degré maximum

∆ est inférieur à ∆ + 1

Si G possède un sous­graphe complet de taille k, alors

(G) ≥ k

Algorithme de Coloration

Algorithme «glouton» de Welsh et Powel:

Ranger les sommets par ordre décroissant des degrés Pour chaque sommet x faire

c = 1

         Tant qu'il existe un voisin y de x de couleur c faire c=c+1

Fin Tantque

Associer la couleur c au sommet x Fin Pour

Coloration d'arêtes

L'indice chromatique ' d'un graphe est le nombre 

minimal de couleurs qui permettent de colorier les arêtes (de sorte que 2 arêtes incidentes au même sommet aient des couleurs différentes)

Théorème (Vizing, 1964)

∆ '(G)  ∆ + 1

Représentation des graphes

Soit G=(V,A) un graphe d'ordre n

●

matrice d'adjacence (matrice de booléens n*n)

M[i][j] = 1 si (i,j) est un arc ou une arête du graphe M[i][j] = 0 sinon

●

liste d'incidence: tableau de listes de voisins

T[i] = liste chaînée des voisins du sommet i

Matrice d'adjacence

Si n sommets:

●

Espace mémoire O(n

)

●

Temps: 

– test de présence d'un arc: O(1)

– parcours de l'ensemble des voisins: O(n)

– traitement de tous les arcs: O(n²)

Liste d'incidence

Si n sommets, m arcs:

●

Espace mémoire O(n+m)

●

Temps: 

– test de présence d'un arc: O(degré max)

– parcours de l'ensemble des voisins: O(degré max)

– traitement de tous les arcs: O(m)

Graphe aléatoire

Graphe G(n,p), avec p entre 0 et 1

– n sommets

– la probabilité d'un arc (ou arête) entre i et j est p

Pb: ce modèle ne correspond pas à la plupart 

des grands réseaux actuels

Graphe des connaissances

Sommets = personnes Arêtes = connaissances

La distance moyenne dans ce graphe est de 6 

(expérience de Milgram en 67)

Graphe des collaborations scientifiques

Sommets = chercheurs

Arêtes = publications communes

Exemple: le nombre de Erdös des mathématiciens voir http://www.ams.org/msnmain/cgd/index.html le nombre de Erdös moyen est de 5

Paul Erdös

Graphe du web

Sommets = pages web Arcs = hyperliens

Distance moyenne = 19 clics

Graphe de l'internet

Sommets = routeurs Arêtes = liaisons

Distance moyenne = 13

(voir commandes tracert sous dos et traceroute 

sous Linux)

Réseau petit monde (small world network)

Caractéristiques:

●

distance moyenne faible

●

coefficient de clustering élevé (probabilité que  deux voisins d'un sommet soient reliés)

●

on peut trouver un chemin court de tout sommet à  tout autre (routage) avec seulement des 

informations locales

Réseau petit monde

  Distance Clustering

Aléatoire faible faible

Petit monde faible élevé

Régulier (grille) élevée élevé

Challenges

●

Bien caractériser les réseaux petit monde

●

Générer des graphes qui soient le plus proche  possible de la réalité

●

Trouver des algorithmes efficaces spécifiques  pour ces types de graphes

●

Chercher à isoler des communautés (sous 

structures)