MPSIA Equations de droites et de plans´ lyc´ee Chaptal
I. En g´ eom´ etrie plane
Rappelons que D(A,−→u) d´esigne la droite passant par le pointA et dirig´ee par le vecteur −→u, alors que (AB) d´esigne celle passant par les pointsAetB.
I.1 Equation param´´ etrique
Une ´equation param´etrique de la droiteD(A,−→u) s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y)∈ D(A,−→u) si et seulement si ∃t∈Rtel que−−→
AM =t.−→u
Exemple : une ´equation param´etrique de la droiteD
passant par A(−3,4) et dirig´ee par−→u = (2,3) est D |M(t)
x(t) =−3 + 2t y(t) = 4 + 3t .
I.2 Equation cart´´ esienne
1. Une ´equation cart´esienne de la droiteD(A,−→u) s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y)∈ D(A,−→u) si et seulement si Det−−→
AM ,−→u
= 0
Exemple : une ´equation cart´esienne de la droiteD passant parA(−3,4) et dirig´ee par−→u = (2,3) est
D | 3x−2y+ 17 = 0.
2. L’´equation cart´esienne de la droiteDpassant parAet orthogonale `a −→v) s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y)∈ D si et seulement si −−→
AM | −→v
= 0
Exemple : une ´equation cart´esienne de la droite D passant parA(−3,4) et orthogonale `a −→v = (3,−2)
est
D | 3x−2y+ 17 = 0.
I.3 Distance point-droite
La distance du pointM0(x0, y0) `a la droiteDd’´equationax+by+c= 0 est donn´ee par : d(M0,D) = | ax0+by0+c |
√a2+b2 .
II. En g´ eom´ etrie dans l’espace
II.1 Equation de plans ´
Rappelons queP(A,−→u ,−→v) d´esigne, dans le cas o`u−→u et−→v ne sont pas colin´eraires, le plan passant par le point A et dirig´e par les vecteurs−→u et−→v.
II.1.1 Equation param´´ etrique
Une ´equation param´etrique du planP(A,−→u ,−→v) s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y, z)∈ P(A,−→u ,−→v) si et seulement si ∃(t, s)∈Rtel que −−→
AM=t.−→u +s.−→v
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MPSIA Equations de droites et de plans´ lyc´ee Chaptal
Exemple : une ´equation param´etrique du planP pas- sant par A(−3,4,1) et dirig´e par −→u = (2,3,0) et
−
→v = (1,1,−1) est P |M(t, s)
x(t, s) =−3 + 2t+s y(t, s) = 4 + 3t+s z(t, s) = 1−s
II.1.2 Equation cart´´ esienne
1. Une ´equation cart´esienne du planP(A,−→u ,−→v) s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y, z)∈ P(A,−→u ,−→v) si et seulement si Det−→u ,−→v ,−−→
AM
= 0
=−−→
AM | −→u ∧ −→v
Exemple : une ´equation cart´esienne du plan P pas- sant par A(−3,4,1) et dirig´e par −→u = (2,3,0) et
−
→v = (1,1,−1) est P | −3x+ 2y−z−16 = 0.
2. Une ´equation cart´esienne du planP passant par Aet de vecteur normal−→w s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y, z)∈ P si et seulement si −−→
AM | −→w
= 0
Exemple : une ´equation cart´esienne du plan P pas- sant par A(−3,4,1) et de vecteur normal −→w =
(−3,2,−1) est P | −3x+ 2y−z−16 = 0.
II.1.3 Distance point-plan
La distance du pointM0(x0, y0, z0) au planP | ax+by+cz+d= 0 est donn´ee par : d(M0,P) = |ax0+by0+cz0+d|
√a2+b2+c2 .
II.2 Equations de droites ´
II.2.1 Equation param´´ etrique
Une ´equation param´etrique de la droiteD(A,−→u) s’obtient en ´ecrivant :
M(x, y)∈ D(A,−→u) si et seulement si ∃t∈Rtel que −−→
AM=t.−→u
Exemple : une ´equation param´etrique de la droite D passant par A(−3,4,−1) et dirig´ee par −→u = (2,0,1) est
D |M(t)
x(t) =−3 + 2t y(t) = 4 z(t) =−1 +t
II.2.2 Syst`eme d’´equations cart´esiennes
Cela consiste `a dire qu’une droite est l’intersection de deux plans non parall`eles, soit un syst`eme d’´equations cart´esiennes du type
D |
ax+by+cz+d= 0 a0x+b0y+c0z+d0= 0 avec les vecteurs normaux −→n = (a, b, c) et −→
n0 = (a0, b0, c0) non colin´eaires, soit−→n ∧−→ n0 6=−→
0 .−→n ∧−→
n0 dirigeD.
II.2.3 Distance point-droite
La distance du pointM0 `a la droiteD(A,−→u) est donn´ee par : d(M0,D) = k−−→
AM∧ −→u k k −→u k .
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