Logique et raisonnement cours

www.etude-generale.com BAC+1 Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Logique et Raisonnement

Logique

Assertions (Propositions)

Dé…nition 1 En logique, une assertion (ou proposition) est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité (vrai ou faux).

Une assertion peut s’exprimer en langage courrant ou en symboles mathématiques (on introduira les plus fréquents dans ce chapitre, d’autres viendront au fur et à mesure des besoins).

Exemple 2 .

“2 + 2 = 4” est une assertion vraie.

“2 3 = 6” est une assertion vraie.

“2 3 = 7” est une assertion fausse.

“Pour tout x2R, on a : x² 0” est une assertion vraie.

À partir d’une ou plusieurs assertions, on peut en construire d’autres. C’est l’objet des paragraphes suivants.

Connecteurs logiques

Soient P etQ deux assertions. Les connecteurs logiques sont : Opérateur " et " .

L’assertion « P etQ » (que l’on peut noterP _Q) est l’assertion qui est vraie si P et Q sont vraies, et fausse si au moins l’une des deux assertionsP ouQ est fausse.

On résume ceci en une table de vérité :

P Q P et Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Opérateur " ou " .

L’assertion « P ouQ » (que l’on peut noter P ^Q) est l’assertion qui est vraie si au moins l’une des deux assertions P ou Q est vraie, et fausse si P et Q sont fausses.

On résume ceci en une table de vérité :

P Q P ou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

La négation " non " .

Soit P une assertion. On dé…nit sa négation, notéeP (ou aussinonP ou eP ou P), à partir de sa table de vérité.

P V F

non P F V

Exemple 3 Donner la négation des assertions suivantes :

P : “f est la fonction nulle ” et pour la négation

P : “f n’est pas le fonction nulle ”

Q: “x 0 ” et pour la négation

Q: “x <0 ”

R: “n 2Z ” et pour la négation

R : “n =2Z ” L’implication =) .

Dé…nition 4 Étant données deux assertions P et Q; l’assertion “ Si P alors Q ”, ou

“P implique Q ” a même valeur logique que (non P) ou Q est notée P =) Q

Sa table de vérité est donc la suivante :

P Q P P =) Q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Exemple 5 .

“ 1 = 1 =) ( 1)² = 1 ” L’assertion est vraie.

“( 2)² = 2² =) 2 = 2 ” L’assertion est fausse.

Remarque 6 La négation de P =) Q est : P ouQ:

Exemple 7 Soit n dans N: On considère les deux assertions suivantes : P :“ n <2 ” et Q:“n² =n ”

Montrer que : P =) Q:

On suppose que l’assertionP est vraie. C’est-à-dire:n <2tel que n 2N: Ceci signi…e que : n2 f0;1g:

Si n= 0; alors : n² = 0 =n:

Si n= 1; alors : n² = 1 =n:

Donc

P =) Q:

Exemple 8 Soit xetydeux réels non nuls:On considère les deux assertions suivantes :

P :“2x+y= 1 ” et Q:“ 1

x²+y² 20 ” Montrer que : P =) Q:

On suppose que l’assertion P est vraie. C’est-à-dire : 2x+ 4y= 1 tel que (x; y)2R²: Montrons que l’assertion Q est vraie.

On a : 2x+ 4y= 1 d’où x= ¹₂ 2y:

On a

1

x²+y² 20 = 1 20 (x²+y²) x²+y²

=

1 20 ¹₂ 2y ²+y² x²+y²

= 1 20 ¹₄ 2y+ 5y² x²+y²

= 1 5 + 40y 100y² x² +y²

= 4 + 40y 100y² x²+y²

= (10y 2)² x²+y² 0 Donc : _x2+y^{1 2} 20; ceci signi…e que :

P =) Q L’équivalence () .

L’équivalence est dé…nie par :

"P () Q" est l’assertion"P =) Q et Q =) P "

On dira"P est équivalent à Q " ou "P équivaut à Q " ou"P si et seulement siQ ".

Cette assertion est vraie lorsqueP etQ sont vraies ou lorsqueP etQsont fausses. La table de vérité est :

P Q P =) Q Q =) P P () Q

F F V V V

F V V F F

V F F V F

V V V V V

Remarque 9 .

L’équivalence logique joue pour les assertions, le rôle que joue l’égalité pour les nombres.

Une équivalence signi…e DEUX implications, l’une de « gauche à droite » et l’autre de « droite à gauche » .

Quand vous écrivezP () Q, vous devez être convaincu que l’assertion de gauche P entraînel’assertion de droite Qet aussi que l’assertion de droite Q entraîne l’assertion de gauche P.

Propriété 10 (Lois de MORGAN) Soient P et Q deux assertions.

P ouQ=P et Q:

P et Q=P ou Q:

Démonstration 11 On démontre ces équivalences à l’aide de tables de vérité.

P Q P ou Q P ouQ P Q P et Q

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

et

P Q P et Q P et Q P Q P ou Q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

Dans chaque table, on lit e¤ectivement les mêmes valeurs de vérité dans les quatrième et septième colonnes:

Remarque 12 Soit P une proposition. P et P () P et P ou P () P:

Théorème 13 Soient P; Q et R trois assertions.

1. P ouQ () Q ouP et P et Q () Q et P .

2. (P ou Q) ou R () P ou (Q ou R) et (P et Q) et R () P et(Q et R): 3. (P ou Q) et R () (P et R) ou (Q et R)

4. (P et Q) ou R () (P ou R) et (Q ou R)

Démonstration 14 Démontrons par exemple la troisième et la quatrième équivalence à l’aide d’une table de vérité.

3)

P Q R P ou Q (P ou Q) et R P et R Q et R (P et R) ou (Q et R)

V V V V V V V V

V V F V F F F F

V F V V V V F V

V F F V F F F F

F V V V V F V V

F V F V F F F F

F F V F F F F F

F F F F F F F F

4)

P Q R P et Q (P et Q) ou R P ou R Q ou R (P ou R) et (Q ou R)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V F V V V V

V F F F F V F F

F V V F V V V V

F V F F F F V F

F F V F V V V V

F F F F F F F F

On lit e¤ectivement les mêmes valeurs de vérité dans les cinquième et huitième colonnes.

Exemple 15 Soient P et Q deux assertions.

Montrer que : (P () Q) () ((P =) Q) ou (Q =) P)):

Il s’agit de véri…er que les deux assertions P () Q et (P =) Q) ou (Q =) P) ont les mêmes valeurs de vérité.

P Q P () Q P =) Q Q =) P ((P =) Q) ou (Q =) P))

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

On lit bien les mêmes valeurs de vérité dans les troisième et sixième colonnes.

Exemple 16 Soit P une assertion. Montrer que : P () P:

Remarque 17 Les expressions" Condition nécessaire et su¢ sante (CN S) ", " si et seule- ment si (ssi) ", " il faut et il su¢ t " signi…ent toutes « logiquement équivalent » ou encore

" () "

Les quanti…cateurs

Le quanti…cateur 8: " pour tout "

Une assertionP peut dépendre d’un réelx;par exemple “x² 1”, l’assertionP(x)est vraie ou fausse selon la valeur de x: Une telle assertion, dont les valeurs de vérité sont fonction d’une (ou plusieurs) variable(s) s’appelle un prédicat.

L’assertion

“8x2E; P(x)”

est une assertion vraie lorsque les assertionsP(x)sont vraies pour tous les élémentsxde l’ensembleE:

On lit “ Pour tout x appartenant à E; P(x) est vraie ”.

Dé…nition 18 8 s’appelle le quanti…cateur universel.

Remarque 19 Après 8, la virgule se lit “ on a ” ou ne se lit pas.

Exemple 20 .

“8x2R; x² 0 ” est une assertion vraie.

“8x2R; x| = 1 (){z x² = 1}

P(x)

”est une assertion fausse car 12RetP ( 1)est fausse.

0

@P( 1) : 1 = 1

| {z }

F

() ( 1)² = 1

| {z }

V

1 A:

“8x2R; x|² 1 ={z) x 1}

P(x)

”est une assertion fausse car 22RetP ( 2) est fausse.

0

@P( 2) : ( 2)² 1

| {z }

V

=) | {z }2 1

F

1 A:

Le quanti…cateur 9: " il existe "

L’assertion

"9x2E; P(x) "

est une assertion vraie lorsque l’on peut trouver au moins un x de E pour lequel P(x) est vraie. On lit ‚“ il existe xappartenant à E tel que P(x)(soit vraie) ”.

Dé…nition 21 9 s’appelle le quanti…cateur existentiel.

Remarque 22 Après 9, la virgule se lit “ tel que ”.

Exemple 23 .

“9n2N; n² n= 0 ” est une assertion vraie car : 02N et 0² 0 = 0:

“ 9x 2 R; x² = 1 ” est une assertion fausse car (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif ).

“9x2R; x(x 1)<0”est une assertion vraie(par exemple ¹₂ 2Rvéri…e ¹₂ ¹₂ 1 <0).

Montrer une assertion universelle

Pour démontrer une assertion de type “ 8x 2 E; P(x) ” on commence par l’introduction d’une variable x par " soit " est un acte de naissance pour x: Une fois qu’une preuve est terminée, les variables qui y …guraient ne désignent plus rien.

Exemple 24 On veut montrer que :

8x2R; x x²+ 1

1 2: Soit x2R:

x x²+ 1

1

2 = 2x x² 1 2 (x² + 1)

= (x² 2x+ 1) 2 (x²+ 1)

= (x 1)² 2 (x²+ 1): Comme : _2(x^(x+1)2+1)² 0 pour tout x2R: Donc

8x2R; x x²+ 1

1 2: Montrer l’existence d’un objet

Quand on veut montrer que : " 9x 2 E; P(x) " et qu’on déjà en tête un exemple d’objet x2E, on écrit : " Posons x=::: " puis on véri…e quex satisfait la propriété P:

Exemple 25 Montrer que :

9x2R; sinx=x:

Posons x= 0: Alors : sin 0 = 0: Donc

9x2R; sinx=x:

Remarque 26 .

L’assertion : " il existe un et un seul élément x de E tel que P(x) est vraie" s’écrit en abrégé :

" 9!x2E; P(x) "

Les quanti…cateurs ne sont pas des abréviations.

La négation des quanti…cateurs

La negation de “8x2E; P(x) ”est “9x2E; non P (x) ” La negation de “9x2E; P(x) ”est “8x2E; non P (x) ”

" Le contraire de 8est 9 et le contraire de 9 est8 "

Exemple 27 .

La négation de “8x2[1;+1[; x+ 1 2Z ” est “9x2[1;+1[; x+ 1 2=Z ”:

La négation de “9x2R; x²+ 1 = 0 ” est “8x2R; x²+ 16= 0 ”: La négation de “9n2N; n² =n ” est “8n2N; n² 6=n ”:

La négation de “8x2R; x <0 ” est “9x2R; x 0 ”:

Remarque 28 Pour la négation d’une phrase logique, il n’est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie. Le procédé est algorithmique : on change le "pour tout " en " il existe " et inversement, puis on prend la négation de l’assertion P:

Avec une succession de quanti…cateures.

Exemple 29 .

La négation de “(8x2R); (9y <0); x+y 0 ” est “(9x2R); (8y <0); x+y <0

”:

La négation de “(9x2R);(8y2R); x²+y² = 0”est “(8x2R);(9y2R); x²+y² 6= 0

”:

La négation de “(9x2R);(9y2R); x+y 10”est “(8x2R);(8y2R); x+y <10

”:

Remarque 30 .

L’ordre des quanti…cateurs est très important. On considère les deux assertions :

“ (8x2R) (9y2R); x+y 0 ” et

“ (9y2R) (8x2R); x+y 0 ”

La première assertion est vraie. " Pour tout réel x, il existe un réel y (qui peut donc dépendre de x) tel que x+y 0 " (par exemple on peut prendre y= x+ 1). C’est donc une assertion vraie.

On conclut que :

Quand on ecrit 8y ;9x l⁰element x est f ourni apres chaque y : Il depend de y et peut donc varier quand y varie

La deuxième se lit " Il existe un réel y tel que pour tout réel x; x+y 0. " Cette assertion est fausse. Cela ne peut pas être le même y qui convient pour tous les x.

Exemple 31 .

On considère l’assertion P telle que :

P : “ (8x2Z); (9y2Z); x y= 3 ”

L’assertionP est vraie. En e¤et pour toutx2Z;il existey2Z(on peut prendre y =x 3) tel que : x y = 3:

On considère l’assertion Q telle que :

Q: “ (9x2N); (8y2N); x y ” L’assertion Q est vraie. Car02N et pour tout y2N: 0 y:

Modes de raisonnement

Raisonnement direct

Pour montrer l’implication P =) Q, on suppose que P est vraie et on montre que Q est vraie.

Exemple 32 Montrer que :

8n 2N; n est pair =) n² est pair Soit n2N:

On suppose que n est pair. Donc

9k2N; n= 2k:

Alors :

n² = (2k)²

= 2 2k² comme 2k² 2N: On déduit que n² est pair.

Raisonnement par implication successives

Ce raisonnement est basé sur la loi logique suivante :

P =) P₁ et P₁ =) P₂ et:::et P_n =) Q conclusion on a bien montré P =) Q:

Exemple 33 Montrer que

8x2R⁺; 1 1 +p

x = 1 p

x =) x= 0 Soit x2R⁺:

1 1 +p

x = 1 p

x

=) 1 = 1 p

x 1 +p x

=) 1 = 1 x

=) x= 0 Donc

8x2R⁺; 1 1 +p

x = 1 p

x =) x= 0

Raisonnement par contraposée

Le raisonnement par contraposition est basé sur l’équivalence suivante : P =) Q () Q =) P

Donc si l’on souhaite montrer l’assertion P =) Q, il su¢ t de montrer queQ =) P : Exemple 34 Montrer que :

8n2N; n² est pair =) n est pair

Soit n2N:

L’assertion : n² est pair=) n est pair, est équivalente à : n est impair =) n² est impair On suppose que n est impair. Donc

9k2N; n= 2k+ 1:

Alors :

n² = (2k+ 1)²

= 4k²+ 4k+ 1

= 2 2k²+ 2k + 1 on pose p= 2k²+ 2k 2N; on obtient

n² = 2p+ 1:

Donc n² est impair.

Conclusion : par contraposition ceci est équivalent à :

8n2N; n² est pair =) n est pair

Raisonnement par équivalences

Pour montrer l’équivalence P () Q, on peut :

ou bien raisonner par double implication, c’est-à-dire montrer successivement les deux implicationsP =) Q etQ =) P;

ou bien raisonner par équivalences, c’est-à-dire modi…er P de proche en proche jusqu’à obtenir Q en préservant les équivalences à chaque étape. On rédige alors de la manière suivante :

P () ::: () ::: () Q conclusion on a bien montré l’équivalenceP () Q:

Exemple 35 Montrer que :

8(x; y)2R² ; x

x²+x+ 1 = y

y²+y+ 1 () xy= 1 ou x=y Soit (x; y)2R²:

x

x²+x+ 1 = y y²+y+ 1

() x y²+y+ 1 = y x²+x+ 1 () xy²+xy+x yx² yx y= 0 () xy(y x) (y x) = 0

() (y x) (xy 1) = 0 () x=y ou xy= 1 Donc

8(x; y)2R² ; x

x²+x+ 1 = y

y²+y+ 1 () xy= 1 ou x=y Exemple 36 Montrer que :

8x2[ 2;2]; p

4 x² x 2p 2 Soit x2[ 2;2]:

p4 x² x 2p 2 () p

4 x² x+ 2p 2 () 4 x² x²+ 4xp

2 + 8 () 2x² 4xp

2 4 0

() x²+ 2xp

2 + 2 0 () x+p

2 ² 0 Comme : x+p

2 ² 0 pour tout x2[ 2;2]: Alors : 8x2[ 2;2]; p

4 x² x 2p 2

Raisonnement par disjonction de cas

Ce raisonnement est utilisé pour montrer une assertion de type " 8x 2 E; P (x) " avec E =E₁ [E₂[:::[E_n; alors pour ce faire on sépare les raisonnements suivant que x 2E₁; x2E₂;...,x2E_n:

Exemple 37 Résoudre dans R l’équation :

(E) : x² 2 (1 +m)x+ 4 = 0 tel que m est un paramètre.

Calculons le discriminant de l’équation (E); on a

= 4 (1 +m)² 16

= 4 (m 1) (m+ 3)

1ère cas : Si <0 c’est-à-dire : m2] 3;1[: Alors l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S =?

2ème cas : Si = 0 c’est-à-dire : m = 1 ou m = 3: Alors l’équation admet une unique solution 1 +m: D’où :

S =f1 +mg

3ème cas : Si 0 c’est-à-dire : m 2 ] 1; 3[[]1;+1[: Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

x₁ =m+ 1 p

(m 1) (m+ 3) et x₂ =m+ 1 +p

(m 1) (m+ 3) D’où

S =n

m+ 1 p

(m 1) (m+ 3); m+ 1 +p

(m 1) (m+ 3)o Exemple 38 Résoudre dans R l’équation :

(E) : 3 2jx 4j= 2x+ 5 Soit x2R:

Si x 4 0, c’est-à-dire x 4: L’équation (E) devient : 3 + 2 (x 4) = 2x+ 5

() 2x 2x= 5 + 8 3

() 0 = 10 (Ce qui est impossible) Si x 4 0, c’est-à-dire x 4: L’équation (E) devient :

3 2 (x 4) = 2x+ 5 () x= 3 2 On a : ³₂ 2= [4;+1[:

Par suite l’ensemble des solutions de l’équation (E) est : S =?

Raisonnement par l’absurde

Le raisonnement par l’absurde pour montrer "P =) Q " repose sur le principe suivant : on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction.

Ainsi si P est vraie alors Qdoit être vraie et donc "P =) Q " est vraie.

Exemple 39 Soit x2R: Montrer que :

x =2Q =) 1 +x =2Q

Nous raisonnons par l’absurde en supposant que x =2Q et 1 +x2Q: Comme 1 +x2Q; il existe (p; q)2Z N tel que : 1 +x= ^p_q: Donc :

x = (1 +x) 1

= p

q 1

= p q

q 2Q contradiction avec l’hypothèse x2Q! Conclusion :

x =2Q =) 1 +x =2Q

Exemple 40 Soient a; b 0: Montrer que si _1+b^a = _1+a^b alors a =b:

Nous raisonnons par l’absurde en supposant que _1+b^a = _1+a^b et a6=b:

a

1 +b = b

1 +a

=) a(1 +a) = b(1 +b)

=) a+a² =b+b²

=) a² b²+a b = 0

=) (a b) (a+b) + (a b) = 0

=) (a b) (a+b+ 1) = 0

=) a+b+ 1 = 0 , (a b6= 0)

=) a+b= 1

La somme de deux nombres positifs ne peut être négative. Nous obtenons une contradic- tion.

Conclusion : si _1+b^a = _1+a^b alors a=b:

Remarque 41 Pour montrer que l’assertion P est vraie, le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que P est fausse et puis à aboutir à une contradiction.

Exemple 42 Montrer que :

(8x2R); 4 cosx6=x² 4x+ 12 Nous raisonnons par l’absurde en supposant que :

(9x2R); 4 cosx=x² 4x+ 12

4 cosx = x² 4x+ 12 () 4 cosx= 4 1

4x² x+ 3 () cosx= 1

4x² 2 1

2x+ 1 1 + 3 () cosx= 1

4x² 2 1

2x+ 1 + 2 () cosx= 1

2x 1

2

+ 2

comme : ¹₂x 1 ² + 2 2, d’où cosx 2. Nous obtenons une contradiction car 1 cosx 1:

Conclusion :

(8x2R); 4 cosx6=x² 4x+ 12 Exemple 43 Montrer que : p

22= Q: Supposons par l’absurde que p

22Q. Donc 9(p; q)2Z N ; p

2 = p

q et p^q= 1:

Alors 2 = ^p_q²2; donc 2q² =p²: Ceci signi…e que p² est pair donc p est pair. Donc 9k2N; p= 2k:

D’où 2q² = 4k²; c’est-à-dire q² = 2k²:Ceci signi…e que q² est pair donc q est pair. Par suite 2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec l’hypothèse p^q = 1:

Conclusion : p

22= Q

Raisonnement par contre-exemple

Si l’on veut montrer qu’une assertion du type "8x 2E; P(x)" est vraie alors pour chaque x de E il faut montrer que P(x) est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il su¢ t de trouver x2E tel que P(x) soit fausse.

Exemple 44 Montrer que l’assertion suivante est fausse :

"8x2R ; x <0 "

On a 0 2 R et P (0) est fausse (P (0) : 0<0). Donc l’assertion "8x 2 R ; x < 0 "

est fausse.

Raisonnement par récurrence

Soit n₀ 2N, on considère l’ensembleI =fn2N = n n₀g:

Pour montrer une assertion de type “8n 2I; P(n)”il su¢ t de montrer “P (n₀) ”et “ 8n2I; P (n) =) P(n+ 1) ” ,donc ce raisonnement se procède en trois étapes :

On véri…e queP (n0) est varie.

On se donne un n 2 I quelconque : on suppose P (n) est vraie et on montre avec cette hypothèse que P (n+ 1) est ausse vraie.

on rappelle que par le principe de récurrence P(n) est vraie pour tout n2I:

Exemple 45 Montrer que :

8n2N ; 1 + 2 +:::+n= n(n+ 1)

| {z 2 }

P(n)

Pour n= 1 on a : 1 = ¹⁽¹⁺¹⁾₂ , c’est-à-dire P (1) est vraie.

Soit n2N :

On suppose que: 1 + 2 +:::+n= n(n+ 1)

| {z 2 }

P(n)

;et on montre que: 1 + 2 +:::+ (n+ 1) = (n+ 1) (n+ 2)

| {z 2 }

P(n+1)

:

1 + 2 +:::+ (n+ 1) = 1 + 2 +:::+n+ (n+ 1)

= n(n+ 1)

2 + (n+ 1)

= (n+ 1) (n+ 2) 2

D’après le principe de récurrenceP (n) est vraie pour tout n2N ; c’est-à-dire 8n 2N ; 1 + 2 +:::+n= n(n+ 1)

2 :

Exemple 46 Montrer que

8n2N; 3ⁿ 1 + 2n

| {z }

P(n)

Pour n= 0 on a : 3⁰ 1 + 2 0 , c’est-à-dire P (0) est vraie.

Soit n2N: On suppose que : 3ⁿ 1 + 2n

| {z }

P(n)

; et on montre que : 3ⁿ⁺¹ 1 + 2 (n+ 1)

| {z }

P(n+1)

:

On a : 3ⁿ 1 + 2n, donc 3ⁿ⁺¹ 3 (1 + 2n): C’est-à-dire: 3ⁿ⁺¹ 3 + 6n; et comme 3 + 6n 1 + 2 (n+ 1) alors :

3ⁿ⁺¹ 1 + 2 (n+ 1):

D’après le principe de récurrenceP (n) est vraie pour tout n2N; c’est-à-dire 8n2N; 3ⁿ⁺¹ 1 + 2 (n+ 1) :

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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