STATISTIQUES
définition, RG, classes, histogrammes, Moyenne
Introduction
Un tableau permet d’organiser et de regrouper des informations afin de les lire plus facilement.
Exo : couleurs de cheveux
Couleurs Nombre
Roux Blonds Châtains Bruns
Le tableau ci-dessus est une étude statistique
➔ identifie les couleurs, chaque couleur est une DONNEE, l’ensemble des données est une SERIE STATISTIQUE, le nombre par couleur est l’EFFECTIF, la somme des effectifs est l’EFFECTIF TOTAL.
➔
Toute statistique s’appuie sur un ensemble de sujets appelé POPULATION, chaque élément constituant cette population est appelé INDIVIDU. Les individus sont étudiés en fonction d’un caractère.
1 – La liste des nombres est la série Statistique 2 – chacun de ces nombres est une donnée
3 – Combien de cette série contient elle de données ? => ce nombre est l’EFFECTIF TOTAL
4 – Combien y a-t-il de nombres différents ? => chacun de ces nombres est appelé VALEUR
5 – Combien d’élèves ont un seul frère ou sœur ? Ce nombre est appelé effectif 6 – Calculer la somme de tous les effectifs
7 – La FREQUENCE D’une valeur est le quotient de l’Effectif de la valeur par l’EFFECTIF TOTAL.
I - DEFINITION
Définitions :
Les valeurs qui sont étudiées sont appelées DONNEES. La liste des valeurs est appelée SERIE STATISTIQUE. La population est l’ensemble des personnes ou objets étudiés.
Dans cet exemple, c’est l’ensemble des élèves de la classe de 5me…...
Une population se compose d’individus (dans cet exemple, chaque élève de la classe est un individu).
Le caractère est ce qui permet de différencier les individus. Dans cet exemple, le caractère est la couleur de cheveux. Les différentes valeurs de ce caractère sont « Brun », « blond », « Châtain », et « Roux», ce sont les données.
L’effectif d’une valeur est le nombre de données égales à cette valeur dans la série statistique.
Dans cet exemple, l’effectif de la valeur « Blond » est ….., l’effectif de la valeur « Brun » est
….., etc.
L’effectif total est la somme des effectifs de toutes les valeurs.
La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total.
=> Chaque valeur est représentée par un bâton. La hauteur d’un bâton est proportionnelle à l’effectif de la valeur qu’il représente.
N.B. :
La fréquence se calcule généralement en pourcentage, mais on peut la présenter sous forme de fraction ou d’écriture décimale. La somme de toutes les fréquences est égale à 100%.
=> On peut regrouper les données de la série statistique dans un tableau d’effectifs.
II – Avec ou sans écarts
Afin de construire le tableau qui va nous aider à lire facilement la série statistique, on va regrouper les données en classe.
* Valeurs avec écarts
Méthode :
Chaque valeur du caractère est représentée par un bâton. La hauteur du bâton est proportionnelle à l’effectif de la valeur qu’il représente.
Il s’agit ici de statistiques quantitatives discrètes.
Taille de pointure Nombre 36,5
37 37,5 38 38,5 39 39,5 40 40,5 41 41,5 42
* Valeurs sans écarts
Les valeurs du caractère sont trop nombreuses : on les regroupe en classes pour simplifier la représentation et l’étude de la série statistique.
Méthode :
Chaque classe est représentée par un rectangle. Lorsque les classes sont d’égales amplitude, la hauteur du rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe qu’il représente.
Il s’agit ici de statistiques quantitatives continues.
Age Nombre
[10,5; 11[
[11,5; 12[
[12 ; 12,5[
[12,5 ; 13[
[13,5 ; 14[
III - Représentation statistiques :
La nature des statistiques dépend de la structure des données. Si les données sont numériques, alors les statistiques sont dites « QUANTITATIVES ».
Si les données sont tout sauf numériques (exe : chats ; blond ; roman ; Histoire ;…) les données sont dites « QUALITATIVES ».
Pour représenter ces statistiques , on peut trouver 3 types de graphiques :
• Le diagramme en bâtons :
Il se construit comme un repère orthogonal, sur l’axe des abscisses on retrouvera les différentes valeurs des données et sur l’axe des ordonnées, on retrouvera l’effectif.
Dans un diagramme en bâtons, la hauteur de chaque bâton est proportionnelle au nombre qu’il représente. Un diagramme en bâtons permet de comparer visuellement des données.
• Le diagramme circulaire :
On construit un cercle (360°) et on trace un rayon (ce sera le premier côté d’un angle à calculer). Puis on trace l’angle correspondant d’une valeur statistique après avoir calculé la mesure de cet angle. Le calcul est le suivant : 360 x fréquence de la valeur. Le premier côté de l’angle est en place, il suffit de tracer le second côté.
Ce second côté devient le premier côté de l’angle suivant.
On utilise souvent cette représentation dans le cas de statistiques qualitatives.
• L’histogramme :
Il se construit sur la même base que le diagramme en bâtons, à ceci près que les données que l’on va gérer, seront toutes avec faible effectif. Donc on va les regrouper par paquets.
Ce regroupement s’appelle une classe. Et chaque classe sera sous la forme d’une fourchette de valeurs (ex : [1,50 ; 1,55 [ ; [1,55 ; 1,60[ …)
Les « immeubles » se touchent !!!
IV – CALCULS 1 - Moyenne
A-Moyenne (dite’classique’)
Définition La moyenne d'une série de données est égale au quotient de la somme de ces données par le nombre de données.
C’est le principe du calcul de la moyenne générale au collège.
Exemple :
On cherche à calculer la moyenne des notes (sur 20) de la série suivante.
12 ; 7 ; 15 ; 12 ; 15 ; 12 et 18 Le nombre de données est : 7 notes
La somme des données est : 12 + 7 + 15 + 12 + 15 + 12 + 18 = 91 La moyenne des notes est donc
7 91= 13
Remarque :
• On constate que la moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande des notes. Ici 13 est comprise entre 7 et 18. 7 < 13 < 18
• La moyenne n'est pas égale à la moyenne des notes extrêmes. 7+18 2 =12,5
• La moyenne n'est pas forcement égale à une des valeurs de la série de données. 13 n'apparaît pas dans les notes de la série.
0 2 4 6 8 10 12
V i nneuf V LGSai nt A gnanChampi gny Sér i e1
B – Moyenne pondérée.
Le principe de la moyenne pondérée et de donner du poids à une valeur par rapport à une ou plusieurs autres, c’est ce que l’on utilise dans les bulletins trimestriels des études supérieures (voir 1ere et Terminale : exemple mathématiques en fonction de la filière peut avoir un coéfficient 3 ou 5 ou 8 alors que l’anglais peut avoir 5 ou 4 ou 2).
Propriété
La moyenne pondérée par les effectifs d'une série de données est obtenue en effectuant la somme des produits de chaque valeur par son effectif, puis en divisant par le nombre total de données
Exemple :
Application Dans l'exemple précédent, il y a plusieurs notes de la même valeur.
L'effectif de 12 est 3 et l'effectif de 15 est 2. Quant aux effectifs de 7 et 18 ils sont de 1. On procède donc ainsi : 7×1+12×3+15×2+18×1 = 91 puis on divise par la somme des effectifs : 1 + 3 + 2 + 1 = 7 On retrouve
7 91 = 13
* statistique
Tableau sur la moyenne des enfants par famille dans une classe :
Effectif Fréquence effec×valeur
1 5 19% 5
2 9 35% 18
3 7 27% 21
4 3 12% 12
5 1 4% 5
6 1 4% 6
26 100% 67
Ici, la moyenne des valeurs x que l’on va appeler x est égale au quotient de la somme des produits de la valeur × effectifs par l’effectif total.
Donc ici : x = 26
67≈ 2.58
* Avec des regroupements :
On procédera au même calcul sauf que pour la valeur, on prendra la moyenne des deux bornes de la classe.
2 – L’ETENDUE D’UNE SERIE STATISTIQUE : Définition :
L’étendue, notée E, d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série.
Remarques :
L’étendue est une caractéristique de dispersion. Elle peut servir pour comparer la dispersion de deux séries ayant par exemple la même moyenne. On est parfois amené à ne pas tenir compte des valeurs extrêmes lorsqu’elles sont trop isolées pour évaluer la dispersion d’une série. On dit alors que l’on élague la série.
Exemple :
Une classe de 3ème se compose de onze filles.
Voici leurs notes (sur 20) obtenues lors du dernier contrôle de mathématiques :
Filles 7 7 10 13 11 7 6 11 13 14 11 - - - - - L’étendue est 14-7 = 7
3 – LA MEDIANE : Définition :
La médiane, notée Me, d’une série statistique ordonnée est le nombre tel que : - au moins la moitié des données de cette série sont inférieures ou égales à Me ; - au moins la moitié des données de cette série sont supérieures ou égales à Me.
Dans le cas d’un effectif impair, la médiane est la donnée de la série située au « milieu ».
Dans le cas d’un effectif pair, la médiane n’est pas forcément une valeur de la série : c’est la moyenne des deux données situées au « milieu ».
Remarques :
La médiane est, comme la moyenne, une caractéristique de position. Elle permet de préciser la position des autres données de la série. Elle ne dépend pas des valeurs extrêmes de la série.
De plus, elle n’est pas forcément une valeur de la série.
Méthodes :
1 – On range la série statistique par ordre croissant.
2 – si l’effectif total est impair, alors on prend la donnée en plein milieu.
- si l’effectif total est pair, on calcule la moyenne des deux données du milieu.
Exemple :
Une classe de 3ème se compose de onze filles.
Voici leurs notes (sur 20) obtenues lors du dernier contrôle de mathématiques :
Filles 7 7 10 13 11 7 6 11 13 14 11 - - - - - On a donc : 6 7 7 7 10 11 11 11 13 13 14
Me = 11 (correspond au 1er 11 de la série rangée) Une classe de 3ème se compose de seize garçons
Voici leurs notes (sur 20) obtenues lors du dernier contrôle de mathématiques :
Garçons 19 9 4 15 4 11 15 9 11 7 7 9 18 10 9 7 On a donc : 4 4 7 7 7 9 9 9 9 10 11 11 15 15 18 19
Me : 2
9 9+
= 9
On peut aussi la trouver en prenant les valeurs de la courbe cumulée croissante (des effectifs ou des fréquences) :
On va chercher ici pour quelle valeur on a 50 % => pour la longueur 17.
