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4 Bonne fondation

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Academic year: 2022

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4.1 Relations d’ordre

Définition 4.1 (Relation) Étant donné un ensemble E, on appelle relation R sur E toute partie de E2, c’est-à-dire tout ensemble de couples (x, y)∈E.

Étant donné une relation R sur un ensemble E et x et y deux éléments de E, on dit que x est en relation avec y par R et on note xRy pour exprimer (x, y) ∈R et x �Ry pour exprimer (x, y)∈/ R.

Exemple : la relation≤surNest l’ensemble{(0,0),(0,1), . . . ,(1,1),(1,2), . . . ,(2,2),(2,3), . . . , . . .}.

Définition 4.2 On dit qu’une relationR sur un ensembleE est Réflexive si∀x∈E xRx

Irréflexive si∀x∈E x�Rx

Antisymétrique si∀(x, y)∈E2 (xRy et yRx)⇒x=y Transitive si∀(x, y, z)∈E3 (x,Ry et yRz)⇒xRz

Un ordre (ou une relation d’ordre) si elle est à la fois réflexive, antisymétrique et tran- sitive.

Un ordre strict si elle est transitive et irréflexive.

Exemple :

1. La relationRsur Zdéfinie parxRy si et seulement six+y >0n’est ni réflexive (−1 n’est pas en relation avec lui-même), ni irréflexive (1 est en relation avec lui- même).

2. La relation de congruence modulo 17 sur Z est réflexive et transitive mais non antisymétrique. Ce n’est donc pas une relation d’ordre ni une relation d’ordre strict.

3. La relation ≤ sur R est une relation d’ordre (de même pour ≤ restreinte à toute partie de R).

4. La relation < sur R est une relation d’ordre strict (de même pour < restreinte à toute partie deR).

4.1.1 Quelques remarques très élémentaires

On présente ici quelques résultats quasiment évidents sur les ordres.

Remarque 4.3 Soit (E,≤) un ensemble ordonné. Alors pour tout (x, y, z) ∈ E3, si x≤y ≤z, on a x=y=z ou x�=z.

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Définition 4.4 (Ordre strict associé à un ordre) Soit E un ensemble muni d’un ordre≤. Alors la relation notée <et définie par

∀(x, y)∈E2 x < y ⇐⇒ (x≤y etx�=y) (4.1) est appelée ordre strict associé à l’ordre ≤.

Proposition 4.5 Il s’agit d’un ordre strict.

Définition 4.6 (Ordre associé à un ordre strict) Soit E un ensemble muni d’un ordre strict<. Alors la relation notée≤ et définie par

∀(x, y)∈E2 x≤y ⇐⇒ (x < y ou x=y) (4.2) est appelée ordre associé à l’ordre strict ≤.

Proposition 4.7 Il s’agit d’un ordre.

Proposition 4.8 SoitE un ensemble. Alors pour toute relation d’ordre≤ et toute rela- tion d’ordre strict <,≤ est associée à <si et seulement si < est associée à≤.

4.1.2 L’ordre lexicographique

Définition 4.9 (Ordre lexicographique) Soit(E1,≤1)et(E2,≤2)deux ordres. Alors on définit l’ordre lexicographique ≤lex sur E1×E2 par

∀(x1, y1)∈E12∀(x2, y2)∈E22 (x1, x2)≤lex (y1, y2) ⇐⇒

� x1 =y1 et x22 y2 ou x1<1 y1

(4.7) où<1 est l’ordre strict associé à ≤1.

Remarque 4.10 Pour tout (x1, y1) ∈ E12 et tout (x2, y2) ∈ E22 vérifiant (x1, x2) ≤lex

(y1, y2), on a x11x2.

Proposition 4.11 La relation ainsi construite est bien un ordre.

4.1.3 Suites décroissantes

Définition 4.12 (Suites décroissantes) Étant donné un ensemble ordonné(E,≤), on dit qu’une suite u à valeurs dans E est décroissante pour cet ordre si pour tout n∈ N, on a

∀n∈N un+1 ≤un (4.8)

On dit qu’elle est strictement décroissante si cette inégalité est stricte.

Définition 4.13 (Suites stationnaires) On rappelle qu’on dit qu’une suite u est sta- tionnairesi et seulement si elle est constante à partir d’un certain rang, c’est-à-dire si et seulement si

∃N ∈N∀n≥N un=uN (4.9)

Remarque 4.14 Soituet vdeux suites stationnaires respectivement à valeurs dans des ensemblesE1 et E2. Alors la suite((un, vn))n∈N est stationnaire.

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4.2 Ordres bien fondés

4.2.1 Définition

Définition 4.15 (Ordre bien fondé) On dit qu’un ordre ≤ sur un ensemble E est bien fondé si toute suite u décroissante pour cet ordre est stationnaire. De manière équi- valente, on dira que (E,≤) est un ensemble bien fondé.

Exercice 4.16 Les ensembles N, Z, Z, Q+, Q, Q, R, C munis de l’ordre usuel ≤ sont-ils bien fondés ?

Remarque 4.17 Soit(E,≤) un ensemble bien fondé etuune suite décroissante à partir d’un certain rang. Alors u est stationnaire.

4.2.2 Propriétés

Proposition 4.18 Un ordre est bien fondé si et seulement s’il n’existe pas de suite stric- tement décroissante à valeurs dans E.

Proposition 4.19 Soit(E1,≤1)et(E2,≤2)deux ensembles bien fondés. Alors le produit lexicographique de ≤1 et ≤2 est un ordre bien fondé surE1×E2.

Exercice 4.20 SoitE1 etE2 deux ensembles munis respectivement des relations d’ordre

1 et≤2. On note≤prod la relation d’ordre produit définie surE1×E2 par(x1, x2)≤prod

(y1, y2) si et seulement si x11 y1 etx22 y2.

1. ≤prod est-elle alors nécessairement une relation d’ordre ?

2. Si on suppose que ≤1 et ≤2 sont bien fondées, peut-on affirmer que ≤prod est une relation d’ordre bien fondée ?

4.2.3 Induction bien fondée

On rappelle le principe de récurrence (faible) et celui de récurrence (forte) :

Proposition 4.21 (Principe de récurrence) SoitP un prédicat sur les entiers natu- rels. On dit que P est héréditaire s’il vérifie la propriété

∀n∈N (P(n)⇒P(n+ 1))

Si la propriétéP(0)est vraie et que le prédicat est héréditaire, alors le prédicat P est vrai pour tous les entiers naturels.

Proposition 4.22 (Principe de récurrence forte) SoitP un prédicat sur les entiers naturels. On dit que P est fortement héréditaire s’il vérifie la propriété :

∀n∈N �

∀k∈N k < n⇒P(k)�

⇒P(n) (4.11)

ou de façon équivalente :

∀n∈N �

∀k∈[[0, n[[ P(k)�

⇒P(n) (4.12)

Si le prédicat P est héréditaire alors le prédicat P est vrai pour tous les entiers naturels.

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Remarque 4.23 Il n’est pas nécessaire de supposer en outre P(0) car tout prédicat P fortement héréditaire vérifie P(0). En effet, d’après (4.12), tout prédicat P fortement héréditaire vérifie en particulier

�∀k∈[[0,0[[ P(k)�

⇒P(0)

Or la quantification∀k∈[[0,0[[ est une quantification sur l’ensemble vide. Elle est donc vraie. On a doncP(0).

Remarque 4.24 On peut montrer le principe de récurrence forte à partir de celui de récurrence faible. Pour cela, il suffit d’introduire un nouveau prédicat, Q, où Q(n) est défini comme étant ∀k < n P(k). On a Q(0) (quantification vide) et on peut montrer que Q est héréditaire (au sens faible). D’où, d’après le principe de récurrence faible, Q est vrai pour tous les entiers. Soit alorsn∈N. DeQ(n+ 1), on déduit P(n). Le prédicat P est donc vrai sur tous les entiers.

De façon très similaire au principe de récurrence forte, on peut introduire le principe de récurrence bien fondée :

Proposition 4.25 (Principe de récurrence bien fondée) Soit (E,≤) un ensemble bien fondé et P un prédicat sur E. On dit que P est héréditaire s’il vérifie la propriété suivante :

∀n∈E �

∀k∈E k < n⇒P(k)�

⇒P(n) (4.13)

Dans ce cas, le prédicat P est vrai sur tous les éléments de E. Une autre formulation de ce principe est le suivant :

Proposition 4.26 (Méthode de la descente infinie) Soit (E,≤) un ensemble bien fondé etP un prédicat sur E. On suppose queP vérifie la propriété suivante : pour tout n∈E tel que P(n) est faux, il existek < n tel que P(k) soit faux également.

AlorsP est vraie sur tous les éléments deE.

Remarque 4.27 (Justification) Ce principe est sans doute plus évident que le principe de récurrence bien fondé. En effet, siP vérifie la propriété et que P n’est pas vraie sur tous les éléments de E, on peut trouver x0 ∈E tel que P(x0) soit faux. Alors, d’après l’hypothèse, on peut trouver x1 < x0 tel que P(x1) soit faux également, puis x2 < x0 tel queP(x2) soit faux, etc. On construit ainsi une suite infinie décroissante dans E (d’où le nom du principe), ce qui est absurde, ≤étant bien fondé. Donc si le prédicatP vérifie la propriété donnée, il est vrai sur tous les éléments deE.

Remarque 4.28 (Équivalence des deux principes) La propriété demandée sur P pour la méthode de la descente infinie peut s’écrire :

∀n∈E (¬P(n))⇒ ∃k∈E (k < n et¬P(k))

Or (¬P(n)) ⇒ ∃k ∈ E (k < n et¬P(k)) est simplement la contraposée de �

∀k ∈ E k < n⇒P(k)�

⇒P(n). Les propriétés 4.28 et (4.13) sont donc équivalentes !

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Exemple 4.29 Soit k∈ N tel que √

k /∈ N. Montrons alors √

k /∈ Q, c’est-à-dire que pour tout couple d’entiers (m, n)∈N×N, on a√

k�=m/n. L’ordre produit sur N×N étant bien fondé, on peut procéder par méthode de descente infinie : étant donné(m, n)∈ N×N tel que √

k =m/n, il suffit de montrer montrons qu’il existe (m, n) ∈ N×N vérifiant (m, n)<(m, n) et √

k=m/n pour montrer le résultat.

√k n’étant pas un entier, il s’écrit q+x où q =�√ k�

et x∈]0,1[. Posons m =mx et n =nx. On a évidemment √

k =m/n. Et de plus, m < m et n < n. Il suffit de montrer que m et n sont entiers pour conclure. Or

n =n�√ k−q�

=n�m n −q�

=m−nq et m =m�√

k−q�

=m

� k

√k−q

=m� kn

m −q�

=kn−mq

Donc (m, n)∈N×N et (m, n)<(m, n) pour l’ordre produit sur N, d’où le résultat.

Exercice 4.30 On admet qu’il existe une fonctionf :N×N→Nvérifiant les propriétés suivantes :

f(0,0) = 0

∀n∈N ∀k∈N0 f(n, k) = 2(f(n, k−1))5+ 3

∀n∈N f(n,0) =

3n21 k=0

(f(n−1, k)−1)2 Montrer que pour tout (n, k)∈N2, f(n, k) est divisible par 3.

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