Facteur de réflexion de couches minces multiples comportant une couche diélectrique d'épaisseur variable

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Submitted on 1 Jan 1964

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Facteur de réflexion de couches minces multiples comportant une couche diélectrique d’épaisseur variable

P. Giacomo

To cite this version:

P. Giacomo. Facteur de réflexion de couches minces multiples comportant une couche diélectrique d’épaisseur variable. Journal de Physique, 1964, 25 (10), pp.855-858.

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FACTEUR DE RÉFLEXION DE COUCHES MINCES MULTIPLES COMPORTANT UNE COUCHE DIÉLECTRIQUE D’ÉPAISSEUR VARIABLE

Par P. GIACOMO,

Faculté des Sciences de Caen.

Résumé.

Pour une fréquence donnée, ^le coefficient de Fresnel ^r décrit un cercle dans le plan complexe. La détermination de ce cercle et du point courant, ^{en fonction de} l’épaisseur, ^{se déduit,}

sur un diagramme simple, du seul calcul de trois, ^{ou même} deux, points particuliers.

Abstract.

^At a fixed frequency, ^the Fresnel coefficient r deseribes a circle in the complex plane.

The determination of the circle and location of the moving point, ^{as a} function of the thickness, ^is deduced, ^{on a} simple diagram, from three or even two calculated points only.

PHYSIQUE 25, 1964,

Le probl6me abord6 ici a ete soulev6, ^{dans un}

cas particulier, ^a l’occasion d’un travail recent [1] :

pour ^un miroir a couches multiples diélectriques,

normalement constitue de couches altern6es, ^haut indice/bas ^indice, d’epaisseurs optiques XO/4, ^si

l’on fait varier 1’epaisseur ^{e d’une de ces} couches,

le d6phasage ^{a la} r6flexion, pour la longueur ^d’onde

fixe xo, ^{varie de} façon remarquable. ^{On a} repro- duit (fig. 1) les variations du déphasage ^{avance A la} reflexion ^{cote air, en} fonction de l’ épaisseur

FIG. 1. - Variation du d6phasage ^{avance a} la reflexion

sur un miroir 7 couches ZnS jcryolithe, lorsqu’on ^fait

varier 1’6paisseur de la couche de rang p (p indique

pour chaque courbe) ; les autres couches ont une 6pais-

seur optique Âo 14.

optique ^ne (ou ^{de cp}

⁴ⁿ ne/Xo) de la couche

variable, ^{dans le cas d’un} empilement ^de sept couches, sulfure de zinc/cryolithe, depose ^{sur verre ;}

la courbe obtenue depend essentiellement _{du rang} de la couche variable, rang repere ^{ici a} partir ^du

verre et indique ^{sur la} figure.

Nous verrons que la resolution g6om6trique ^du probl6me plus general propose permet ^{une inter-} pr6tation quantitative ^{des résultats} precedents.

Elle donne le coefficient de reflexion pour 1’ampli- tude r, ^en argument ^{et en} module, ^{dans le} plan complexe, ^en fonction de _e, a partir ^{de trois ou}

meme deux points particuliers ; ^elle permet ^ainsi d’obtenir, a peu de frais, ^{une vue} d’ensemble des variations de r que le calcul point par point ^four-

nirait laborieusement.

Position du probl6me.

^Un empilement de q

couches minces quelconques, absorbantes ou non,

comprend ^une couche de rang p, ^non absorbante ;

cette couche, d’indice n reel, ^{a une} 6paisseur ^e

variable reperee par cp

4n ne/Ào. L’ensemble est limit6 d’un cote par ^un milieu infini V (verre par

exemple), ^{absorbant ou} non, de 1’autre _par un

milieu infini A (air par exemple) ^{non absorbant.}

On observe la reflexion dans A. Le coefficient de reflexion _r, complexe, pour ^une radiation de

longueur d’onde dans le vide donn6e Xo, ^{est mesu-}

r6 a la surface de separation ^{avec A. On cherche}

a 6tudier les variations de r en fonction de e (ou cp).

Cette 6tude se ram6ne a un probl6me classique d’électrotechnique ^{dont la} resolution graphique ^est

connue sous le nom de « diagramme du cerele)).

Quadrip6le equivalent.

On sait qu’un empi-

lement de couches minces quelconques ^est 6qui-

valent a un quadripole. ^Le quadripole .(Q) 6qui-

valent aux q couches ^se decompose ^{en ,}

a) ^un quadripole (P -1), comportant les p -1 premi6res couches, ^{fermé . sur} V ; l’imp6dance

d’entr6e Z,-i ^de (P - ^{1) est} invariable ;

b) ^un quadripole .(P), equivalent à la couche _p,

d’épaisseur variable ; ^on sait que l’impédance

d’entr6e Zp ^de (P), ^{f erme sur} Zp-1, ^{est de la forme}

où Zest l’imp6dance caractéristique ^dans (P) ;

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025010085500

856

FIG. 2.

Seule la couche _p, d’épaisseur variable, ^{doit etre} exempte d’absorption.

c) ^un quadripole (Q - P) invariable, ^constitue

par les q -p couches restantes.

L’impédance ^{d’entrée Zq de} (Q

P) charge par

Zp ^{est fonction} homographique ^de Zp.

Le facteur de reflexion r sur (Q) ^{est fonction} homographique ^{de Zp} (r

(ZQ -ZA)/(ZQ ⁺ ZA)

pour le champ electrique).

r est donc fonction homographique du para- m6tre m

tg cp /2, ^{reel :}

of a, b, c, d ^{sont des} constantes complexes.

Diagramme ^{du cerele.}

^Le point R(m) ^d’affixe r(m) ^{dans le} plan complexe, ^{decrit un cercle.}

Cette propriete classique ^{se retrouve facilement}

en 6crivant

et en introduisant les points P(m) , ^d’affixe

R(m) ^et P(m) ^se correspondent ^{dans une inver-}

sion g6om6trique ^de pole R(oo) (affixe alc). ^Le point P(m) ^{decrit une} droite, ^sur laquelle ^son

abscisse est fonction liIiéaire de m ( échelle ^{des m »).}

R(m) decrit donc un cercle, ^{dont la} tangente ^en R( Oè) ^est parall6le ^{a 1’cc} échelle des m ». Le point

courant R(m) ^{sur ce cercle est.} aligne ^avec P(m)

et A(oo). ^Notons qu’une parall6le quelconque ^à

1’echelle d6finie ci-dessus peut ^{aussi bien servir} d’6chelle des m.

L’étude des variations de r(m) ^se d6duit donc

simplement de la connaissance de trois valeurs :

r(0), r( 00), r(mo) qui suffisent pour determiner le

cercle, ^{une 6chelle et sa} graduation (fig. 3).

FIG. 3.

Determination graphique ^de cp.

On vient de voir que I’abscisse de P(m) ^{sur 1’echelle est fonction}

lin6aire de m

tg 9 /2. II existe donc un point Q,

sur la perpendiculaire ^en P(O) ^a 1’6chelle, tel que

Si l’on a construit les deux points P(O) ^et P(mo),

on sait determiner le point ^{Q. On} peut ^{donc cons-}

truire le point ^{courant sur} le cercle R(m) ^directe-

ment a partir des valeurs de _cp

4n ne /Ào (fig. 3).

Cette construction devient peu precise lorsque cp/2 ^tend vers £ 7r/2. ^On peut alors lui substituer

une construction complémentaire : ^{en 6crivant}

on voit qu’on peut ^{utiliser une autre échelle}

lin6aire en m’

cotg y/2, parallele ^{a la} tangente

au cercle en R(m

0) ^{et un} point ^Q’ tel que

(voir figure 5, par exemple).

Simplification.

L’établissement de ce dia- gramme ^se simplifie, si l’on introduit le facteur de reflexion _ra-p des q - p derni6res couches, sup-

pos6es d6pos6es ^{sur un milieu} infini d’indice n

(indice ^{de la couche} d’épaisseur variable). ^{La d6-}

monstration des propri6t6s suivantes, qui ^alour-

dirait inutilement le texte, ^{a ete} reportee ^{en annexe.}

Le point ^{Rq-p d’affixe ra-p est l’inverse de 12 dans}

l’inversion de pole ^R(-oo) qui échange ^{le cercle et}

857 l’echelle des m ; ^{il est} egalement l’inverse de Q’

dans l’inversion de pole R(O) qui 6change ^{le cercle}

et 1’6chelle des m’. En outre, ^{le cercle} passant par les trois points R(0), R(oo), ^Rq-p poss6de des pro-

pri6t6s simples : ^d’une part, ^{dans tous les} cas, il est orthogonal ^{au cercle lieu de} R(m), ^d’autre part,

mais seulement dans le cas ou les q - p derni6res couches ne sont pas absorbantes, ^{il est} orthogonal

au cercle [irl

1]. ^{Dans ce dernier} cas, les seuls calculs pr6alables n6cessaires a la construction se

r6duisent a deux facteurs de reflexion : _rq-p et soit

r(O) ^soit rCoo) ; ^{dans le cas} general la construction

sera plus ^{commode et} les discussions seront plus

fructueuses a partir des valeurs de _rq-p, r( ao) ^et r(o).

Construction du diagramme.

Il suffit done ^de calculer les facteurs de reflexion complexes rq-p,

r(o) ^et T’(oo) d6jA definis, ^{ou seulement rq-p et l’un}

des deux autres si les q

p derni6res couches ^sont

d6pourvues d’absorption, pour 6tablir comme suit le diagramme.

10 Placer, ^{dans le} plan complexe, ^les points R(O), R( ao), RQ-p, ^d’affixes respectives r(O), ^{r( 00), rq-p.}

20 Construire le cercle Co passant par R(O), R( 00), ^Rq-p.

3° , Construire le cercle orthogonal ^a Co ^en R(O)

et R((oo) ; c’est le lieu cherche [Rlm)] ^de R(m).

40 Construire la tangente ^en R(oo) ^{a ce cercle}

et choisir une parall6le quelconque ^a cette tan-

gente : ^{ce sera} « l’ échelle » des m

tg cp/2.

50 Prendre l’inverse Q de Rq-p dans l’inversion

g6om6trique ^de pole R( oo) qui 6change ^{le cercle} [R(m)] ^{et l’échelIe.}

60 Abaisser la perpendiculaire QP(O) a 1’echelle.

7° Prendre sur l’échelle le point P(m) tel que

r

80 La droite R( oo) P(m) coupe le cercle [R(m)]

en R(m) ^d’affixe r(m).

On peut reprendre ^{40 a 80 en} 6changeant ^les

roles de R( 00) et R(O), m == tg cp /2 et m’ == cotg cp /2

done T et ] _{2 2} ^f2 ₂ ^{et Q’, P(O) et P’(0), P(m)}

P’(m’).

Dans le cas ou les q

^p derni6res couches sont

d6pourvues d’absorption, il suffit de calculer rq-p et l’un des deux facteurs de reflexion r(O) ^ou r(oo) :

le cerle [/r/

^{1] et le cercle} point ^.Rq-p d6finissent

un faisceau de cercles : le cercle [R(m)] ^{cherche est}

le cercle de ce faisceau qui ^{passe par R(O) et} R( 00) ;

l’un de ces deux points ^se d6duit d’ailleurs ais6ment de l’autre, puisqu’ils ^{sont tous deux sur le cercle} Co, orthogonal ^a [R(m)] ^{et a} [r

^{1], cercle passant}

par Rq-p. ^{Le reste de la} construction est inchangé.

Dans le cas ou la couche p ^serait absorbante, ^on trouverait, comme lieu de R(m), ^non plus ^{un cercle}

mais l’inverse d’une spirale logarithmique, ^de point ^{limite R,!-p. La} construction serait ^sensi-

blement plus compliquoe ^et perd ^{ainsi au moins} une partie ^{de son intérêt.}

Exemples d’applieation.

^{On a trace} (fig..4), les

diff6rents cercles correspondant ^{au cas} particulier 6voqu6 ^{tout au d6but. Dans ce cas,} r(O), r(oo) ^et

rp_q sont d’un calcul particulièrement simple [1],

FIG. 4.

Diagramme circulaire donnant ^r complexe

pour le meme exemple ^que figure ^1.

[2]. ^La figure ^{5 illustre} la construction n6cessaire

pour graduer le ^cercle (p

4) en’fonction de _cp. On voit qu’on retrouve tres rapidement ^les principaux

FIG. 5.

Construction du cercle (p

4) ^et determination

du point courant ; ^meme exemple que figures ^{1 et 4}

(les points ^{calcul6s sont} reperes par la valeur de cp ^en

degr6s),

858

r6sultats de la figure 1 : suivant que le cercle entoure ou non l’origine, ^le d6phasage ^{avance à}

la reflexion diminue ^{ou non} de 27t lorsque ^cp aug- mente de 27r. On a en outre, simultanément, ^des renseignements ^{sur les} variations de r en module.

Inversement, si l’on cherche a obtenir une pro-

priete particulière (variation ^tres rapide ^de lrl ^par exemple) ^{on aura} avantage a discuter directement sur ^le diagramme les conditions a imposer ^a r(o), y(oo), Ta-r>. On verrait ainsi rapidement qu’on ^ne peut en aucun cas obtenir avec les q - p derni6res couches non absorbantes, ^en reflexion, ^des franges d’6gale 6paisseur analogues ^aux franges ^{de trans-}

mission a ondes multiples (maximums ^de jrj ^tr6s aigus, entour6s de larges regions ^ou Irl ^{~ 0) : si} r

est voisin de 1 pour certaines valeurs de l’épaisseur

de la p ieme couche, ^et voisin de zero pour d’autres

valeurs, la variation de irl ^en fonction de l’épais-

seur de cette couche ^est obligatoirement complé-

mentaire d’une fonction d’Airy : minimums étroits

de irl s6par6s par des maximums larges. ^On peut,

par contre, ^{obtenir ce} type classique ^de franges

avec une variation tres rapide ^de phase ^{de + 7t ou}

-

7T dans la region Irl ^{~ 0, arg (r) augmentant}

sensiblement de ± 7r ^au passage ^au voisinage ^de l’origine, ^{avec le} signe ^{+ ou}

suivant que le cercle entoure ou non l’origine.

Annexe. -Les propri6t6s ^du point ^{ra-p resultent}

de trois remarques :

10 Si l’on introduit le facteur de reflexion _rp, dans la couche p, ^au voisinage de l’interface

(p, p + 1), on a

r pour 1’ensemble ^est encore une fonction homo-

graphique ^de rp, a coefficients independants de p

(par l’interm6diaire de Zp

Z + r, _{- r,} ^{Les points p}

R(m) ^{se d6duisent donc des} points ^{Rp(cp), d’affixes} rp(cp), par ^une transformation g6om6trique ^G (simi-

litude X inversion X sym6trie) qu’il ^{est inutile de} pr6ciser davantage. ^{Le lieu de} Rp(cp) ^{est un cercle}

centre sur l’origine, orthogonal ^{au faisceau} (D) ^des

droites passant par l’origine ^et par Rp(cp), d’angles polaires po - cp. La transformation G transforme le cercle [Rp(cp)] ^en le cercle [R(m)], ^et le faisceau de droites (D) ^{en un} faisceau de cercles (C) ^ortho- , gonal ^a [R(m)] ; ^{l’un des} points de base de ce

faisceau de cercles correspond ^{a rp}

0, ^done

a Zp ^{= Z’ : c’est} Rp-a ; ^{les cercles du faisceau} (C) coupent le cercle particulier Co correspondant ^à

cp

0 sous I’angle - cp ; les points R(o) ^et R(oo), correspondant à cp ^{= 2k1t} et cp

(2k + 1)n, ^sont

sur ce meme cercle Co du faisceau (C).

20 L’inversion g6om6trique ^de pole R(oo) qui 6change ^{le cercle} [R(m)] ^{et 1’echelle des m trans-}

forme le faisceau (C), ^de point ^{de base} Rq-p, ^ortho- gonal ^a [R(m)], ^{en un faisceau} (r), orthogonal ^à 1’echelle, ^de point ^{de base Q} (inverse ^de Rq-p) ; ^le

cercle ro inverse de Co ^{n’est autre que la perpen-}

diculaire abalss6e de Q sur 1’6chelle ; les cercles du faisceau (r) ^{font avec} ro 1’angle ^{p et} coupent

1’echelle en P(m). P(O) P(m) ^{est done vu de Q sous} I’angle cp /2.

30 Si les derni6res couches sont d6pourvues d’absorption, ^a Jrp)

^{1 doit} correspondre irl

^{1 ;}

le cercle [Irpl

1] étant orthogonal ^{au faisceau (D),}

le cercle [Irl

1] ^{doit etre} orthogonal ^{au faisceau} (C), ^{et en} particulier ^a Co.

Manuscrit reCu le 26 avril 1964.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^CHABBAL (R.), ^GIACOMO (P.) et PELLETIER (E.), Colloque

sur l’Optique des couches minces solides, Marseille,

1963. J. Physique, 1964, ^{25, 275.}

[2] ^GIACOMO (P.), ^Rev. Opt., 1956, 35, ^317.