Electronique : cable coaxial (PC*)
Cable coax
Loi des maillesu(x, t) =u(x+dx, t) +ubobine(x, t) =u(x+dx, t) + Λdx∂i∂t(x, t)doncΛ∂i∂t(x, t) =−∂u∂x Loi des noeuds i(x, t) = i(x+dx) +icondensateur = i(x+dx) + Γdx∂u∂t donc Γ∂u∂t = −∂x∂i et on en déduit
∂x2−ΓΛ1 ∂t2 u= 0
Impédance : considérons une solution onde place u = u0ejωt−kx, i = i0ejωt−kx. La relation de dispersion donneω=kc. Les relations couplées donnentΛjωi0=jku0 donc ui00 = ωΛk =q
Λ Γ.
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Question de cours :
On considère un cable coaxial de capacité linéiqueΓet d'inductance linéiqueΛ.
1. Déterminez l'équation vériée par le champ de tension u(x, t) et le champ d'intensité i(x, t) en détaillant chaque étape de votre calcul.
2. Rappelez la forme la plus générale de solution de cette équation. On s'intéressera dans la suite de l'énoncé à des solutions de type onde plane harmonique. Rappelez en la dénition.
3. Dénissez la notion d'impédance et déterminez l'impédance caractéristiqueZC de la ligne.
Exercice :
On ferme le cable coaxial décrit précédement sur une impédanceZ en x= 0 et on envoie depuis−∞
une onde plane progressive monochromatique. Les conditions aux limites donnent alors naissance à une onde contrapropageante.
1. Exprimez la forme générale de l'onde incidente et de l'onde rééchie, ainsi que des conditions aux limites.
2. Déterminez les coecients de réexions en courant et en intensité. Commenter.
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Question de cours :
On considère un cable coaxial de capacité linéiqueΓet d'inductance linéiqueΛ.
Déterminez l'équation vériée par le champ de tensionu(x, t)et le champ d'intensitéi(x, t)en détaillant chaque étape de votre calcul. Rappelez la forme générale des solutions de cette équation.
Exercice Equation des télégraphistes
Pour rendre plus réaliste la description du cable, on ajoute en résistance linéiqueren série avec l'induc- tance et une conductance linéiquegen série avec la capacité.
1. Dessiner la ligne ainsi décrite et déterminez l'équation diérentielle vériée par le courant et l'in- tensité (équation des télégraphistes). Pouvez vous prévoir l'eet de la modication ? Jusiez alors qualitativement le fait de chercher des solutions sous la forme i(x, t) =f t−xc
e−xδ.
2. Déterminez l'expression de c et de δ en fonction de r, g, Γ et Λ et en déduire une condition sur r, g, ΓetΛ pour qu'une telle solution soit envisageable (condition de Heaviside).
3. Dans l'hypothèse où les conditions de Heaviside sont vériées, par analogie avec les deux solutions générales de l'équation de d'Alembert, proposez une autre forme de solution.
Solution
1. u(x, t) =u(x+dx, t) +rdxi(x, t) + Λdx∂i(x,t)∂t ⇒ −∂u∂x =ri(x, t) + Λ∂i(x,t)∂t
1
i(x, t) =i(x+dx, t) +gdxu(x, t) + Γdx∂u(x,t)∂t ⇒ −∂x∂i =gu(x, t) + Γ∂u(x,t)∂t
∂2i
∂x2 −ΛΓ∂2i
∂t2 = rgi+ (rΓ +gΛ)∂i
∂t
∂2u
∂x2 −ΛΓ∂2u
∂t2 = rgi+ (rΓ +gΛ)∂u
∂t
Termes de perte => solutions atténuées.
2. En injectant i=f t−xc
e−xδ, on trouve
1 c2 −ΓΛ
f00e−xδ + cδ2 −(rΓ +gΛ)
f0e−xδ + δ12−rg f e−xδ On doit donc avoir chacun des termes nul car égalité∀x, t:
δ= √1rg, c= √1
ΛΓ et (rΓ+gΛ)4ΛΓ 2 = rg1 ⇔rΛ =gΓ 3. Solution contre propagativeg t+xc
exδ.
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2 Daniel Suchet - 2012
