Colle PC Semaine 8 2011-2012
Espaces vectoriels normés
EXERCICE 1 :
Soita∈R. On pose pourP ∈R[X] :Na(P) =|P(a)|+ Z 1
0
|P′(t)|dt. Montrer que. . . 1. Na est une norme.
2. Sia, b∈[0,1], alorsNa etNb sont équivalentes.
3. SoitPn = (X/2)n. Déterminer pour quelles normesNa la suite (Pn) est convergente et quelle est sa limite.
EXERCICE 2 :
Soit E=C2([0,1],R). Pour toutf élément deE, on poseN(f) = Z 1
0
|f(t)|dt, N′(f) =|f(0)|+ Z 1
0
|f′(t)|dt et N′′(f) =|f(0)|+|f′(0)|+
Z 1
0
|f′′(t)|dt.
Montrer queN, N′ et N′′ sont des normes et les comparer.
EXERCICE 3 :
SoitE=R[X]. PourP =
n
X
k=0
akXk, on pose :
kPk1=
n
X
k=0
|ak|, kPk∞= max{|a0|, . . . ,|an|}, kPk∗= max{|P(t)|tq 0≤t≤1}.
Montrer que ce sont des normes, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes. (On considèreraPn(t) = (t−1)n etQn(t) = 1 +t+t2+· · ·+tn)
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Corrections
EXERCICE 1 :
1. (a) ∀P ∈R[X],Na(P)>0.
(b) ∀P, P2, P1∈R[X] et λ∈R, Na(λP) =|λ|Na(P) et Na(P1+P2)6Na(P1) +Na(P2).
(c) Na(P) = 0⇔ |P(a)|+ Z 1
0
|P′(t)|dt= 0⇔ |P(a) = 0|et Z 1
0
|P′(t)|dt= 0⇔P(a) = 0 etP′(t) = 0
(en effet, si l’intégrale d’une fonction continue positive sur [a ;b] est nulle, alors la fonciton est nulle sur [a ;b].)
P est donc constante sur [0; 1], ce qui implique queP possède une infinité de racines doncP = 0.
2. aetb sont deux réels de [0; 1] tels quea > b.
Na(P) Nb(P) =
|P(a)|+ Z 1
0
|P′(t)|dt
|P(b)|+ Z 1
0
|P′(t)|dt
= |P(a)|
|P(b)|+ Z 1
0
|P′(t)|dt +
Z 1
0
|P′(t)|dt
|P(b)|+ Z 1
0
|P′(t)|dt (∗)
Or comme P′ est continue sur R,P(a) = P(b) + Z a
b
P′(t)dt ⇔ |P(a)|=
P(b) + Z a
b
P′(t)dt
ce qui implique que :
|P(a)|6|P(b)|+
Z a
b
P′(t)dt
⇒ |P(a)|6Nb(P) (en effet
Z a
b
P′(t)dt
6 Z a
b
|P′(t)|dt6 Z 1
0
|P′(t)|dt) Compte-tenu de la relation (∗) et de ce qui précède, on a : Na(P)
Nb(P) 62.
On démontre de même que Nb(P)
Na(P) 62 d’où 1
2Na(P)6Nb(P)62Na(P) et les normesNa et Nb sont équiva- lentes.
3. (Pn) converge vers 0 poura∈]−2,2[ et vers 1 pour a= 2. La suite est non bornée si|a|>2 ; elle est bornée divergente poura=−2.
EXERCICE 2 :
Correction :http://www.maths-france.fr/MathSpe/Exercices/18_Topologie_Corrige.pdf
• On montre que∀f ∈E, N(f)6N′(f)6N′′(f).
• Avecfn(t) =tn, on montre queN etN′ ne sont pas équivalentes.
• Avecfn(t) = tn
n, on montre queN′ etN′′ne sont pas équivalentes.
EXERCICE 3 :
Pour démontrer que ce sont des normes, cela ne pose pas de problème particulier.
Par contre :
• kQnk1=
n
X
k=0
|ak|=
n
X
k=0
1 =n+ 1 etkQnk∞= max{|a0|, . . . ,|an|}= 1 donc le rapport kQnk1
kQnk∞ =n+ 1 et donc n’est pas borné : les normesk.k1 etk.k∞ ne sont pas équivalentes.
• kQnk∗ = max{|Qn(t)|tq 0 ≤t ≤1} =Qn(1) = n+ 1 donc le rapport kQnk∗
kQnk∞
=n+ 1 et les normes k.k∗ et k.k∞ ne sont pas équivalentes.
• Pn(t) = (t−1)n =
n
X
k=0
(nk)tk(−1)n−k donc kPnk1 =
n
X
k=0
|ak| =
n
X
k=0
(nk) = (1 + 1)n = 2n d’après la formule du binôme de Newton.
On montre facilement quekPnk∗= 1 donc le rapport kPnk1 kPnk∗
= 2n et n’est pas borné.
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