Influence des gains de réglage d'une commande par Backstepping sur les performances d'un système électropneumatique

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Influence des gains de réglage d’une commande par Backstepping sur les performances d’un système

électropneumatique

Frédéric Abry, Xavier Brun, Sylvie Sesmat, Eric Bideaux

To cite this version:

Frédéric Abry, Xavier Brun, Sylvie Sesmat, Eric Bideaux. Influence des gains de réglage d’une com-

mande par Backstepping sur les performances d’un système électropneumatique. JDMACS-JNMACS,

Jul 2013, Strasbourg, France. �hal-01153977�

Influence des gains de r´eglage d’une commande par Backstepping sur les performances d’un syst`eme

´electropneumatique

Fr´ ed´ eric Abry ¹ , Xavier Brun ¹ , Sylvie Sesmat ¹ , Eric Bideaux ¹

1 Laboratoire Amp` ere, UMR 5005 – Universit´ e de Lyon 25 avenue Jean Capelle, 69100 Villeurbanne, France.

frederic.abry@insa-lyon.fr

R´ esum´ e— Dans cet article, une strat´ egie de commande in- novante d’un v´ erin pneumatique est propos´ ee. Une trans- formation du mod` ele de synth` ese est introduite et un al- gorithme de commande est synth´ etis´ e ` a partir de la tech- nique du backstepping. Ainsi, une m´ ethode de r´ eglage des gains de commande bas´ ee sur des consid´ erations physiques est pr´ esent´ ee.

Mots-cl´ es— Backstepping, r´ eglage des gains, performances, pneumatique, non-lin´ eaire.

I. Introduction

Les derni` eres d´ ecennies ont connu d’importantes avanc´ ees dans le domaine de l’automatique non-lin´ eaire avec de nombreux transferts des r´ esultats th´ eoriques aux applications technologiques. En particulier, la technique du backstepping est une m´ ethode aujourd’hui reconnue comme fiable et pratique, permettant de synth´ etiser de fa¸ con syst´ ematique des lois de commande efficaces et adapt´ ees aux syst` emes non-lin´ eaires. Pourtant l’une de ses difficult´ es de mise en œuvre souvent ´ evoqu´ ee concerne le choix des gains de r´ eglage de l’algorithme. En effet, ceux-ci sont g´ en´ eralement born´ es pour satisfaire ` a la condition de stabilit´ e au sens de Lyapunov mais n’ont bien souvent pas de signification physique. Par cons´ equent, les gains sont la plupart du temps choisis de fa¸ con arbitraire par essais successifs jusqu’` a atteindre un r´ esultat satisfaisant. Cette d´ emarche r´ eserve la tˆ ache de r´ eglage ` a des intervenants sp´ ecialistes, bien souvent les concepteurs mˆ emes de la loi de commande. C’est l’une des principales raisons qui limitent l’application de ces strat´ egies dans un contexte industriel, o` u des solutions lin´ eaires simples leur sont souvent pr´ ef´ er´ ees pour leur simplicit´ e de mise en œuvre et de r´ eglage. Dans ce papier, une loi de commande est d´ evelopp´ ee selon la tech- nique bien connue du backstepping en tentant d’interpr´ eter physiquement les gains de r´ eglage afin de rendre l’algo- rithme r´ eglable ` a partir de concepts m´ ecaniques simples.

Le syst` eme consid´ er´ e dans cette ´ etude est un v´ erin pneu- matique. Ces actionneurs sont reconnus comme ´ etant bon march´ e, propres et sˆ urs, tout en pr´ esentant en outre une puissance massique et une dynamique de mise en effort im- portantes comparativement ` a leur ´ equivalent ´ electrique di- rect (typiquement, un moteur synchrone munis d’une vis).

Le plus souvent utilis´ es comme des actionneurs ”tout ou rien”, leur utilisation ne n´ ecessite le plus souvent rien de

Ce papier a ´ et´ e r´ edig´ e grˆ ace au support du CNRS (Centre Na- tional de la Recherche Scientifique) et du CNES (Centre National d’ ´ Etudes Spatiales)

plus qu’une rustique strat´ egie de commande en boucle ou- verte. Leur comportement non-lin´ eaire complexe et la dif- ficult´ e d’obtenir un mod` ele pr´ ecis ont pendant longtemps empˆ ech´ e leur utilisation dans des applications plus sophis- tiqu´ ees. Pourtant, lors des derni` eres d´ ecennies, les progr` es de la th´ eorie de la commande non-lin´ eaire, l’explosion des performances des microprocesseurs et l’utilisation de servo- distributeurs tr` es efficaces ont fait des v´ erins pneumatiques des actionneurs adapt´ es ` a la plupart des op´ erations de posi- tionnement, y compris lorsqu’une pr´ ecision importante est n´ ecessaire. Les premi` eres strat´ egies propos´ ees [1] ´ etaient principalement bas´ ees sur la lin´ earisation du mod` ele au- tour d’un ´ etat d’´ equilibre donn´ e. L’introduction de la com- mande ` a gains variables [2] a permis d’am´ eliorer les per- formances, notamment lorsque le piston op` ere loin de la position centrale. Enfin, de nombreuses strat´ egies de com- mande non-lin´ eaires ont ´ et´ e propos´ ees, on peut citer par exemple : le retour lin´ eairisant [3], le mode glissant [4] et le backstepping [5] parmi les applications les plus efficaces propos´ ees jusqu’ici.

L’une des caract´ eristiques principales du v´ erin pneuma- tique est sa faible raideur en boucle ouverte. Selon l’appli- cation, ceci peut ˆ etre vu comme un d´ efaut ou un avantage : une faible raideur signifie une compliance importante ce qui peut ˆ etre une caract´ eristique essentielle dans le cadre d’ap- plications m´ edicales par exemple [6], o` u elle est indispen- sable pour la s´ ecurit´ e et le confort du patient. A l’inverse, quand une haute pr´ ecision et un rejet rapide des pertur- bations est n´ ecessaire, par exemple dans une application a´ eronautique, la faible raideur diminue les performances de l’actionneur et, de fait, le rend moins attractif qu’un syst` eme ´ electrom´ ecanique, naturellement tr` es raide.

Au cours des derni` eres d´ ecennies, des strat´ egies ont ´ et´ e propos´ ees pour contrˆ oler la raideur pneumatique du v´ erin [7] mais des ´ etudes concernant la raideur en boucle ferm´ ee n’ont ´ et´ e men´ ees que dans le cas de la commande lin´ eaire [6]. Les solutions de commande non-lin´ eaire propos´ ees jus- qu’ici n’offrent pas de strat´ egie de r´ eglage interpr´ etable physiquement et la distinction entre raideur pneumatique et raideur en boucle ferm´ ee n’est en g´ en´ eral pas clairement

´ etablie.

Dans ce papier, un algorithme de contrˆ ole est synth´ etis´ e

en utilisant un mod` ele d’´ etat alternatif du v´ erin et la tech-

nique du backstepping afin de contrˆ oler simultan´ ement la

position et la raideur pneumatique. Une strat´ egie inno-

vante de r´ eglage de l’amortissement et de la raideur en

boucle ferm´ ee est propos´ ee rendant cette strat´ egie parti- culi` erement facile ` a mettre en œuvre. Des r´ esultats en si- mulation utilisant un mod` ele plus complexe sont propos´ es afin de valider la d´ emarche.

II. Description du syst` eme physique

Le syst` eme ´ etudi´ e consiste en un v´ erin pneuma- tique sym´ etrique aliment´ e par deux servodistributeurs ind´ ependants. La tige entraine une charge inertielle sou- mise ` a des efforts perturbateurs.

Fig. 1. Le syst` eme consid´ er´ e.

Afin de synth´ etiser une loi de commande en suivi de trajectoire de position, un mod` ele de commande doit ˆ etre

´

etabli. Le comportement m´ ecanique de la charge est d´ ecrit par :

M. dv

dt = F _pneu − b.v (1) o` u v repr´ esente la vitesse de la masse en mouvement, b le coefficient de frottement visqueux du piston et de la partie mobile et F pneu l’effort pneumatique g´ en´ er´ e par le v´ erin.

Ce dernier peut ˆ etre calcul´ e comme suit : F _pneu = S.(p _P − p _N ) o` u p <sub>P</sub> et p <sub>N</sub> repr´ esentent respectivement la pression dans les chambres P et N (cf. fig. 1) et S la surface du piston. Il est ` a noter que les efforts ext´ erieurs ne sont pas consid´ er´ es dans cette expression du mod` ele m´ ecanique, ils seront trait´ es comme une perturbation lors de la synth` ese de la commande et leur influence sera ´ etudi´ ee ` a part.

Le mod` ele thermodynamique des chambres du v´ erin est d´ eriv´ e d’une loi polytropique sous l’hypoth` ese de faibles variations de la temp´ erature dans les deux chambres [8] :



 

 

 

  dp P

dt = k.r.T s

V _P .(q _mP − S r.T _s .p P .v) dp N

dt = k.r.T s

V N

.(q _mN + S r.T s

.p N .v)

(2)

avec k la constante polytropique, T s la temp´ erature ambiante et q _mP et q _mN les d´ ebits massiques d´ efinis comme positifs lorsqu’ils rentrent respectivement dans les chambres P et N, r la constante des gaz parfaits. Enfin V _P et V _N repr´ esentent les volumes respectifs des chambres P et N et peuvent ˆ etre calcul´ es comme suit : V P = V 0 + S.y et V N = V 0 − S.y avec V 0 le demi volume du v´ erin et y la position du piston.

A. Expression alternative du mod` ele d’´ etat

Le mod` ele d´ ecrit pr´ ec´ edemment conduit au choix de vec- teur d’´ etat suivant : x = [y v p P p N ] ⁰ .

Le syst` eme disposant de deux entr´ ees ind´ ependantes q <sub>mP</sub> et q <sub>mN</sub> , il offre naturellement deux degr´ es de libert´ e. Par cons´ equent, en plus de la position, les strat´ egies de com- mande multivariables proposent g´ en´ eralement [4] de choisir l’une des pressions comme seconde sortie. Une trajectoire de pression peut ainsi ˆ etre impos´ ee au syst` eme, ce qui peut permettre de r´ eduire la consommation ´ energ´ etique. Cette d´ emarche demeure indirecte et son efficacit´ e est limit´ ee.

Dans ce papier, un vecteur d’´ etat alternatif, qui exploite effectivement le second degr´ e de libert´ e et justifie l’utilisa- tion de deux servodistributeurs ind´ ependants est choisi. Ce sont donc l’effort pneumatique (F pneu ) et la raideur pneu- matique (K pneu ) [7] qui sont choisis ` a la place des pressions des chambres.

La premi` ere ´ etape est donc de choisir le vecteur d’´ etat suivant : X = φ(x) o` u :

φ(x) =







 y v F pneu

K pneu









=









 y v

S.(p _P − p _N ) S ² .k.( p P

V _P + p N

V _N )









 (3)

Il est ` a noter que le changement de coordonn´ ees X = φ(x) constitue bien un diff´ eomorphisme car on peut montrer que det ∂φ

∂x

= k.S ³ .( 1 V P

+ 1 V N

) 6= 0 en tout point du domaine physique (les volumes des chambres n’´ etant jamais nuls).

Le mod` ele devient alors :



 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 dy dt = v dv

dt = −b.v + F pneu

M dF _pneu

dt = −K pneu .v + B 1 .q _mA dK pneu

dt = A 1 .K pneu .y.v − A 2 .F pneu .v − B 2 .q _mH V _N .V _P

(4) o` u :

A 1 = 2.S ² .(k + 1) A 2 = S ² .k.(k + 1) B 1 = S. T _s .k.r

V 0

B 2 = S ² .k ² .T s .r



 

 

q _mH = q _mT − S.y V 0

.q _mA q _mA

q _mT

= Λ(y).

q _mP q _mN

(5)

avec la matrice de passage suivante :

Λ(y) = V 0 .





 1 V P

− 1 V N

1 V _P

1 V _N





 (6)

Mis sous cette forme, le syst` eme pr´ esente bien deux

entr´ ees virtuelles ind´ ependantes q _mA et q _mT qui contrˆ olent

deux comportements du v´ erin. q _mA est le d´ ebit massique

actif qui conduit ` a la g´ en´ eration d’une diff´ erence de pression

entre les deux chambres et donc ` a un effort pneumatique

qui pourra provoquer le d´ eplacement du piston. A l’inverse,

q _mT , le d´ ebit massique de pressurisation, n’induit pas d’ef- fort pneumatique et ne peut que conduire ` a une pressuri- sation sym´ etrique des chambres du v´ erin. Il faut toutefois noter que la dynamique de la raideur pneumatique K pneu

d´ epend ` a la fois de q _mA et q _mT .

Cette r´ e´ ecriture du mod` ele peut dans une certaine me- sure ˆ etre compar´ ee ` a la Transform´ ee de Park [9], uti- lis´ ee notamment en commande des moteurs ´ electriques, qui conduit ` a la s´ eparation de deux composantes ind´ ependantes du courant influant respectivement sur le couple et le flux magn´ etique.

Enfin, les ´ equations d’´ etat propos´ ees montrent une

”strict feedback form” particuli` erement adapt´ ee pour la synth` ese de lois de commande, en particulier dans le cadre du backstepping.

III. Synth` ese de la loi de commande A. Calcul des tensions de commande des servodistributeurs

Dans le mod` ele pr´ ec´ edent, les d´ ebits massiques q _mP et q _mN ont ´ et´ e consid´ er´ es comme le vecteur d’entr´ ee. Pour- tant, ces deux grandeurs ne sont ´ evidemment pas direc- tement contrˆ olables : l’algorithme doit avoir pour sorties r´ eelles les tensions de commande des servodistributeurs U P

et U _N . Deux strat´ egies sont g´ en´ eralement propos´ ees dans la litt´ erature, la premi` ere consiste ` a utiliser un mod` ele th´ eorique du d´ ebit massique ` a travers un orifice dont la surface est proportionnelle ` a la tension de commande [10].

Les param` etres sont alors estim´ es ` a partir des donn´ ees du constructeur ou, dans le meilleur des cas, par des es- sais exp´ erimentaux. La seconde technique consiste en une

´

evaluation exp´ erimentale compl` ete du d´ ebit massique du servodistributeur en faisant varier la tension de commande et la pression de la chambre [11]. Un tableau en trois dimen- sion donnant le d´ ebit massique pour tout couple pression - tension de commande est obtenu ` a partir des r´ esultats.

Dans ce papier une table exp´ erimentale est utilis´ ee direc- tement pour d´ eterminer la tension de commande ` a partir d’une simple moyenne pond´ er´ ee des valeurs voisines. La dy- namique des servodistributeurs est n´ eglig´ ee car consid´ er´ ee comme ´ etant tr` es faible face ` a la dynamique de mise en pression.

B. Suivi de trajectoire de position

La premi` ere partie de la synth` ese de la loi de commande est effectu´ ee pour suivre une trajectoire de position d´ efinie par j _d le jerk (d´ eriv´ ee de l’acc´ el´ eration) et ses int´ egrales successives a _d , v _d et y _d .

On d´ efinit z ₁ = y −y d l’erreur de positon, sa d´ eriv´ ee peut ˆ

etre exprim´ ee : ˙ z ₁ = v − v _d . On consid` ere alors v comme une commande virtuelle qui doit ˆ etre choisie pour annuler et stabiliser l’erreur z 1 .

v = v _d − C ₁ .z ₁ (7) avec C 1 une constante strictement positive. Pour v´ erifier la stabilit´ e globale de ce sous-syst` eme, on d´ efinit la fonction de Lyapunov suivante : V 1 = z ₁ ²

2 ≥ 0. Sa d´ eriv´ ee peut ˆ etre exprim´ ee comme suit :

V ˙ 1 = −C 1 .z ² ₁ ≤ 0 (8)

Sa n´ egativit´ e assure la stabilit´ e du syst` eme, on d´ efinit alors la variable d’erreur suivante : z 2 = v − v d + C 1 .z 1 . On a alors :

˙

z ₁ = z ₂ − C ₁ .z ₁ (9)

˙

z 2 = F pneu − b.v

M − a d + C 1 .z 2 − C ₁ ² .z 1 (10) Une nouvelle fonction de Lyapunov est d´ efinie : V 2 = V 1 +

z ² ₂

2 ≥ 0 et la commande d’effort est alors choisie :

F _pneud = M.(a d − z 2 .(C 1 + C 2 ) + z 1 .(C ₁ ² − 1)) + b.v (11) avec C 2 une constante strictement positive. Si F pneu = F _pneud est assur´ e alors la d´ eriv´ ee de l’erreur peut ˆ etre ex- prim´ ee ainsi ˙ z ₂ = −z ₁ − C ₂ .z ₂ ce qui m` ene finalement ` a : V ˙ 2 = −C 1 .z ₁ ² − C 2 .z ² ₂ .

La n´ egativit´ e de cette d´ eriv´ ee assure la stabilit´ e du sous- syst` eme. La variable d’erreur suivante est alors introduite : z 3 = F pneu − F <sub>pneud</sub> (12) Ce qui m` ene ` a :

˙ z 2 = z ₃

M − z 1 − C 2 .z 2 (13)

˙

z ₃ = B ₁ .q _mA − K _pneu .v − M.j _d − b.(F _pneu − b.v) M +M.(C ₁ ³ − 2.C 1 − C 2 ).z 1 + (C 1 + C 2 ).z 3

+M.(1 − C ₁ ² − C ₂ ² − C ₁ .C ₂ ).z ₂

(14)

Une troisi` eme fonction de Lyapunov peut alors ˆ etre d´ efinie : V 3 = V 2 + z ² ₃

2 (15)

Si on choisit la commande de d´ ebit massique actif suivante : q _mA = f ₀ + f ₁ .z ₁ + f ₂ .z ₂ + f ₃ .z ₃ (16) avec :

f 0 = M ² .j d + M.K pneu .v − v.b ² + F pneu .b M.B 1

f ₁ = − M.(C ₁ ³ − 2.C ₁ − C ₂ ) B 1

f 2 = M ² .(C ₁ ² + C 1 .C 2 + C ₂ ² − 1) − 1 M.B 1

f ₃ = − C ₁ + C ₂ + C ₃ B 1

(17)

avec C 3 une constante strictement positive, alors V ˙ 3 =

−C 1 .z ₁ ² − C 2 .z ₂ ² − C 3 .z ² ₃ ≤ 0 et l’erreur convergera asymp- totiquement vers 0.

Dans cette premi` ere partie, une consigne de d´ ebit mas-

sique actif q _mA qui assure que le piston suivra la trajectoire

d´ esir´ ee a ´ et´ e d´ etermin´ ee. Aucun choix n’a encore ´ et´ e fait

concernant la consigne de d´ ebit de pressurisation q _mT .

C. Suivi de trajectoire de raideur pneumatique

Comme nous l’avons vu pr´ ec´ edemment le suivi de la tra- jectoire de position n’utilise que l’un des deux degr´ es de libert´ e. Par cons´ equent, une loi de commande peut ˆ etre (et, doit ˆ etre, si l’on s’int´ eresse ` a la stabilit´ e globale du syst` eme dans son ensemble) synth´ etis´ ee pour assurer le suivi d’une trajectoire d´ esir´ ee de raideur pneumatique.

Une nouvelle variable d’erreur peut donc ˆ etre d´ efinie : z 4 = K pneu −K _pneud . Sa d´ eriv´ ee peut ˆ etre exprim´ ee comme suit :

˙

z 4 = A 4 .K pneu .v.y − A 5 .F pneu .v + B 3 .q _mH V N .V P

− K ˙ pneu

_d

(18) Une derni` ere fonction de Lyapunov est alors d´ efinie : V 4 = V 3 + z ₄ ²

2 ≥ 0 et la consigne de d´ ebit massique de pressurisation est choisie :

q _mH = 1 B 3

. h

A 5 .F pneu .v + V N .V P .( ˙ K pneu

_d

− C 4 .z 4 )

−A ₄ .K _pneu .v.y i (19) avec C 4 une constante strictement positive. Cela m` ene ` a : V ˙ 4 = −C 1 .z ₁ ² − C 2 .z ² ₂ − C 3 .z ₃ ² − C 4 .z ² ₄ ≤ 0 ce qui signifie que la raideur pneumatique du v´ erin suivra la trajectoire d´ efinie par ˙ K _pneu

_d

et son int´ egrale K _pneud .

Le suivi de trajectoire de raideur pneumatique m` ene au choix d’une consigne de d´ ebit massique virtuel q <sub>mH</sub> qui d´ epend ` a la fois de q _mA et q _mT , le premier ´ etant fix´ e afin de suivre la trajectoire de position. Les d´ ebit massiques r´ eels peuvent donc ˆ etre calcul´ es comme suit :

q _mT = q _mH + S.y

V ₀ .q _mA (20) q _mP

q _mN

= Λ ⁻¹ (y).

q _mA q _mT

(21) La loi de commande n´ ecessite donc la mesure des deux pressions p _P et p _N ainsi que la position du piston y et sa vitesse v .

IV. R´ eglage des param` etres

Dans cette section, nous proposons une d´ emarche per- mettant de r´ egler les gains de la commande pr´ esent´ ee pr´ ec´ edemment ` a partir de consid´ erations lin´ eaires. Il est im- portant de noter que dans cette section, il est fait r´ ef´ erence

`

a la raideur en boucle ferm´ ee K _cl et ` a l’amortissement en boucle ferm´ ee B cl . Ces grandeurs ne doivent en aucun cas ˆ

etre confondues avec la raideur pneumatique K pneu ou le coefficient de frottement visqueux b.

A. D´ efinition de la raideur en boucle ferm´ ee

La raideur en boucle ferm´ ee est d´ efinie par K _cl =

− d P F

dz ₁ , o` u P F repr´ esente la somme des forces appliqu´ ees sur le piston selon le mod` ele de commande et z 1 l’erreur de position d´ efinie pr´ ec´ edemment.

K cl = − dF pneu

dz ₁ − d(−b.v) dz ₁

= −M. d −z 2 .(C 1 + C 2 ) + z 1 .(C ₁ ² − 1) dz ₁

(22)

et, ´ etant donn´ e que z ₂ = v − v _d + C ₁ .z ₁ :

K _cl = −M. d −C 1 .z 1 .(C 1 + C 2 ) + z 1 .(C ₁ ² − 1)

dz ₁ (23)

Finalement :

K cl = M.(C 1 .C 2 + 1) (24) B. D´ efinition de l’amortissement en boucle ferm´ ee

De la mˆ eme fa¸ con, l’amortissement en boucle ferm´ ee peut ˆ

etre d´ efini tel que : B _cl = − d P F

d¯ v avec ¯ v = v − v _d . B _cl = −

dF _pneu d¯ v − b.v

d¯ v

(25)

Comme v = ¯ v + v _d , dv d¯ v = d¯ v

d¯ v + d(v d ) d¯ v = 1 B cl = − d M.(a d + z 1 .(C ₁ ² − 1) − z 2 .(C 1 + C 2 )

d¯ v

= − d(−M.z ₂ .(C ₁ + C ₂ )) d¯ v

(26)

Et, finalement :

B cl = M.(C 1 + C 2 ) (27) C. Calcul des param` etres de la loi de commande

Pour une raideur et un amortissement en boucle ferm´ ee K _cl et B _cl donn´ es, les param` etres C ₁ et C ₂ correspondants doivent ˆ etre calcul´ es. A partir de (24), on peut calculer :

C ₂ = K _cl − M

C 1 .M (28)

La stabilit´ e globale du syst` eme impose C 1 > 0 et C 2 > 0 ce qui m` ene ` a K _cl > M . A partir de (27) et (28) on trouve : M.C ₁ ² − B cl .C 1 + K cl − M = 0 (29) Les solutions de cette ´ equation du second degr´ e doivent ˆ etre r´ eelles et positives, par cons´ equent :

B cl ≥ 2 p

M.(K cl − M ) Il n’y a en pratique qu’une seule solution car les valeurs de C 1 et C 2 sont interchangeables :



 

 

 

 

C 1 = B cl + p

B ² _cl − 4.M.(K cl − M ) 2.M

C 2 = B cl − p

B ² _cl − 4.M.(K cl − M ) 2.M

(30)

D. Comportement en boucle ferm´ ee

Selon (11), (24) et (27), la commande d’effort pneuma- tique fournie par l’algorithme de commande est :

F _pneud = −K cl .z 1 − B cl .¯ v + M.a d + b.v (31) Le comportement du syst` eme en boucle ferm´ ee asservi en une position donn´ ee lorsqu’il est soumis ` a une force ext´ erieure inconnue F ext peut ˆ etre d´ ecrit ainsi :

M. dv

dt = P F = F _pneu − b.v − F _ext (32)

Fig. 2. Strat´ egie de contrˆ ole dans son ensemble

Pour une consigne de position constante, c’est-` a-dire pour v d = a d = j d = 0, l’approximation F pneu = F _pneud est effectu´ ee :

M. dv

dt = −K cl .z ₁ − B _cl .¯ v − F _ext (33) Comme v _d = 0, ¯ v = v, v = ˙ z ₁ .

M. z ¨ 1 = −K cl .z 1 − B cl . z ˙ 1 − F ext (34) Cette ´ etude n´ eglige l’erreur z 3 d´ efinie par (12) et n’a, par cons´ equent, aucune valeur comme preuve de stabilit´ e, elle fournit simplement des informations au sujet du r´ eglage de l’algorithme. La r´ eponse du piston ` a une perturbation ext´ erieure peut ˆ etre exprim´ ee comme suit dans le domaine de Laplace :

H reg = z ₁ F ext

= − 1

M.s ² + B cl .s + K cl

(35) Cette fonction de transfert correspond ` a un syst` eme masse- ressort avec frottements visqueux et est valable pour toute position du piston. Le gain statique G, la fr´ equence natu- relle ω n et le coefficient d’amortissement ξ du syst` eme du second ordre peuvent ˆ etre exprim´ es :

G = − 1 K cl

; ω _n = r K _cl

M ; ξ = B _cl 2. √

K cl .M (36) Ce qui m` ene aux r` egles suivantes :

– la condition pour une r´ eponse non-oscillante du piston

`

a une force ext´ erieure est : B cl ≥ 2. √ K cl .M ;

– l’erreur statique peut ˆ etre calcul´ ee telle que ∆ _y =

− F _ext K cl

, donc augmenter la raideur en boucle ferm´ ee r´ eduit l’erreur statique ;

– le coefficient d’amortissement est proportionnel ` a B cl . Ceci implique que, dans le cas d’une r´ eponse non- oscillatoire, le temps de convergence sera augment´ e par une valeur importante de l’amortissement en boucle ferm´ ee, ce qui traduit la capacit´ e de la loi de com- mande de freiner le piston sans pour autant changer sa position d’´ equilibre.

E. Les param` etres restants

Jusqu’ici, les param` etres C 3 et C 4 n’ont pas fait l’objet d’une ´ etude pouss´ ee. Pour autant, une rapide observation

de (16) et (19) montre qu’ils influent respectivement sur les d´ eriv´ ees dq _mA

dz ₃ et dq _mH

dz ₄ . En d’autre termes, les r´ eglages de C ₃ et C ₄ vont respectivement d´ efinir le niveau de re- tour des erreurs d’effort pneumatique et de raideur pneu- matique. Plus pr´ ecis´ ement, le gain C 3 est critique pour va- lider la d´ emarche pr´ esent´ ee pr´ ec´ edemment. S’il est faible, le suivi de trajectoire d’effort pneumatique sera lent, s’il est important au contraire, le suivi sera plus rapide, rendant l’approximation z 3 = 0 (utilis´ ee pour d´ efinir la m´ ethode de r´ eglage) d’autant moins fausse et par cons´ equent le r´ eglage d’autant plus pr´ ecis. Ce choix aura pour cons´ equence de solliciter davantage les servodistributeurs.

V. Essais en simulation

Afin d’illustrer les r´ esultats pr´ ec´ edents, des essais en si- mulation sont effectu´ es en utilisant un mod` ele plus com- plexe que le mod` ele de commande d´ ecrit par (4). Pour une question de bri` evet´ e, son expression compl` ete ne peut ˆ etre retranscrite ici. Il d´ ecoule des lois de conservation de masse et d’´ energie et prend en compte les ´ echanges de chaleur ` a travers les surfaces variables des deux chambres [1].

Au cours de ces essais, le v´ erin est astreint ` a rejoindre rapidement une position non centrale (phase d’asservisse- ment) puis ` a y demeurer (phase de r´ egulation). Une trajec- toire constante de raideur pneumatique est choisie et des

´

echelons d’effort perturbateur (non repr´ esent´ es) de 25% de l’effort pneumatique maximal du v´ erin sont alors appliqu´ es sur le piston de t = 2.5 s ` a t = 5.5 s et de t = 12.5 s ` a t = 15.5 s.

Lors du premier essai, l’amortissement en boucle ferm´ ee demeure constant et la raideur en boucle ferm´ ee change de valeur ` a t = 10 s. Dans le second essai c’est l’inverse. Les r´ eglages sont r´ esum´ es dans le tableau I.

Essai #1 #2

t 0 ` a 10 s 10 ` a 20 s 0 ` a 10 s 10 ` a 20 s K _cl [N.m ⁻¹ ] 5.10 ⁴ 1.10 ⁵ 2.10 ⁵ 2.10 ⁵ B _cl [N.s.m ⁻¹ ] 25.10 ³ 25.10 ³ 35.10 ³ 100.10 ³

ξ 1.44 1.02 1.01 2.89

ω n [rad.s ⁻¹ ] 5.77 8.17 11.54 11.54

TABLE I

Fig. 3. Suivi de la trajectoire de position (essai 1)

Lors du premier essai, l’augmentation de la raideur d’as-

servissement entraine une r´ eduction de l’erreur statique et

du temps de stabilisation. Lors du second essai, la rai- deur demeurant constante, on observe que seul le temps de r´ eponse est affect´ e. Dans les deux cas, le respect de la condition ξ ≥ 1 se traduit bien par une r´ eponse sans oscillation. Les r´ esultats sont r´ esum´ es dans le tableau II.

L’erreur statique attendue est calcul´ ee par ∆ _y = − F ext

K _cl et T _5% , le temps de convergence ` a 5% (c’est-` a-dire le temps n´ ecessaire au piston pour atteindre sa position d’´ equilibre ` a 5% pr` es), ` a partir de l’approximation alg´ ebrique classique des syst` emes lin´ eaires du second ordre : T _5% = 6.6.ξ − 1.6

ω n

valable pour ξ ≥

√ 2

2 . Par souci de concision, la r´ eponse du suivi de raideur pneumatique n’est fourni que pour l’essai 1 (cf. fig. 5). Celle-ci ne varie que faiblement autour de la consigne lors des phases transitoires.

Fig. 4. Suivi de la trajectoire de position (essai 2)

Fig. 5. Suivi de la trajectoire de raideur pneumatique (essai 1)

Essai #1 #2

∆ y attendue [mm] −20 −10 −5 −5

∆ _y [mm] −20.15 −10.09 −5.07 −5.2 T _5% attendu [s] 1.37 0.63 0.44 1.51

T 5% [s] 1.38 0.63 0.45 1.48

TABLE II

Ces simulations montrent l’efficacit´ e de la strat´ egie de contrˆ ole et la validit´ e de la m´ ethode de r´ eglage. Le com- portement non-lin´ eaire du v´ erin s’est av´ er´ e ˆ etre tr` es proche de l’approximation lin´ eaire et les param` etres de raideur et amortissement en boucle ferm´ ee sont pr´ ecis´ ement res- pect´ es.

VI. Conclusion

Dans ce papier, une transformation du mod` ele de com- mande classique du v´ erin pneumatique a ´ et´ e introduite. Il rend plus ais´ ee et plus intuitive la synth` ese de la loi de commande non-lin´ eaire tirant partie des deux degr´ es de li- bert´ e.

Une ´ etude de l’algorithme de commande bas´ e sur la technique du backstepping a permis de d´ evelopper une strat´ egie de r´ eglage innovante permettant de calculer les gains de commande ` a partir des concepts physiques de rai- deur et d’amortissement. Cette d´ emarche simplifie la mise en œuvre de la loi de commande, la rendant davantage ex- ploitable dans un contexte d’ing´ enierie.

L’´ etape suivante de cette ´ etude passe par l’obtention de r´ esultats exp´ erimentaux : un banc d’essais utilisant un mo- teur ´ electrique lin´ eaire comme actionneur de charge (` a ce jour en phase finale d’assemblage) permettra notamment de tester la r´ eponse du v´ erin pneumatique ` a de brusques variations d’effort.

Enfin, une strat´ egie doit ˆ etre ´ elabor´ ee pour d´ eterminer la trajectoire de raideur pneumatique en accord avec les param` etres en boucle ferm´ ee dans le but de solliciter le moins possible les servodistributeurs en tirant partie de la r´ eponse naturelle du syst` eme.

R´ ef´ erences

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