ÉTUDE DES MÉCANISMES
7.1. Mécanismes
Un mécanisme est un ensemble de solides reliés entre eux dans le but d’obtenir une loi de mouvement particulière.
7.1.1. Mécanisme en chaîne ouverte
L’éolienne de la figure 7.1 est un mécanisme en chaîne ouverte, il peut être représenté par un graphe qui a l’allure suivante :
mat
nacelle hélice
Mouvement de rotation d’axe(O,z#»0)
Mouvement de rotation d’axe(A,x#»1)
O
x#»0 y#»0
z#»0
x#»1
A z#»2
B
Nacelle 1
Mas 0
Hélice 2
Figure 7.1. – Mécanisme en chaîne ouverte
Le graphe de structure du mécanisme est constitué de solides liés en série. Le mouvement du dernier solide par rapport au premier solide est une combinaison des mouvements entre chaque solide.
Les robots, les manipulateurs, les grues,…, ont souvent une structure en chaîne ouverte.
7.1.2. Mécanisme en chaîne fermée
Le moteur 2 temps de la figure 7.2 est un mécanisme en chaîne fermée, il peut être représenté par un graphe bouclé. Le graphe de structure du mécanisme est un graphe bouclé, dans lequel la dernière pièce du mécanisme est relié à la première.
O0
A B
y#»0
x#»0
x#»1
y#»2
S3
S2
S1
S0
carter
manivelle + hélice piston
bielle
Mouvement de rotation d’axe (O,z#»0)
Mouvement de rotation d’axe (A,z#»0)
Mouvement de rotation d’axe (B,z#»0)
Mouvement de translation de directiony#»0
Figure 7.2. – Mécanisme en chaîne fermée 7.1.3. Mécanisme en chaîne complexe
Les mécanismes ont souvent une structure plus complexe, avec plusieurs chaînes fermées.
(a) robot delta 2D
S0
S1 S2 S7
S6
S4 S8
S5
S3
L02 L07
L26 L76
L68
L46
L45 L85
L01
L13
L15
(b) graphe de structure du robot Delta 2D
Figure 7.3. – Chaîne complexe :Robot delta 2D
7.2. Liaison élémentaire
7.2.1. Mouvements élémentaires
Entre deux solides, même s’il est théoriquement possible de réaliser tout mouvement du plus simple au plus complexe, on se limite en général à des mouvements simples réalisables entre des éléments géométriques simples (plan, cylindre, sphère, ligne). À ces surfaces élémentaires on ajoute l’hélice. Le tableau 7.1 précise les différents mouvements.
plan cylindre sphère
Sphère
contact ponctuel contact linéique (ligne cir- culaire)
contact surfacique (sphère) cylindre
contact linéique (ligne de contact)
contact surfacique (cy- lindre)
plan
contact surfacique (plan)
Table 7.1. – Surfaces élémentaires en contact
plan cylindre sphère
Sphère contact ponctuel
2 translations dans le plan 3 rotations autour du point de contact
contact linéique (ligne cir- culaire)
1 translation (suivant l’axe du cylindre)
3 rotations autour du centre de la sphère
contact surfacique (sphère) 0 translation
3 rotations autour du centre de la sphère
cylindre
2 translations (dans le plan) 2 rotations autour de la nor- male et autour de la ligne de contact
contact surfacique (cy- lindre)
1 translation (suivant l’axe) 1 rotation autour de l’axe plan
contact surfacique (plan) 2 translations (dans le plan) 1 rotation⊥au plan
Table 7.2. – Surfaces élémentaires en contact
7.3. Liaisons normalisées
À partir des ces différentes associations de surfaces élémentaires, on construit les différentes liaisons normalisées que l’on retrouve dans « tous » les mécanismes.
Ces liaisons sont décrites dans la norme française NF E 04-015 et la norme européenne NF EN ISO 3952-1.
Ces liaisons normalisées permettent de construire un modèle schématique du mécanisme permettant l’analyse à la fois des mouvements (étude cinématique et géométrique) que l’étude du comportement sous les efforts appliqués (étude statique ou dynamique).
Le schéma est l’outil de communication technique par excellence. Afin qu’il soit compris par grand nombre, les symboles utilisés dans les schémas sont le plus souvent normalisés, ou font l’objet de conven- tions. Ces liaisons normalisées sont décrites dans les tableaux qui suivent.
On retrouve pour chaque tableau :
— le nom et la désignation normalisée de la liaison ;
— une représentation graphique 3D de la liaison ;
— les caractéristiques cinématiques de la liaison ;
— le torseur cinématique écrit au point et dans la base dans lesquels il est minimal ;
— les symboles plan et en perspective.
Remarque 1 : (#»x,#»
? ,#»
? )
se comprend comme, « Toute base comportant le vecteur #»x ».
Remarque 2 : Ces liaisons et symboles doivent être parfaitement sus.
Liaison Pivot Liaison Pivot d’axe(O,#»x)
#»x
#»y
O
#»z
{V1/0}=
ωx 0
0 0 0 0
∀P∈(O,#»x)
(#»x,#»
? ,#»
?)
— nc = 1: une seule liberté, la rotation au- tour de l’axe de rotation.
— La forme canonique du torseur est la même en tout point de l’axe de rotation.
— Le torseur cinématique est un torseur glisseur.
Symbole 2D
#»y
O
#»z
#»x
O
#»z
Symbole 3D
#»x #»y
O
#»z
Liaison Glissière
Liaison Glissière de direction #»x
#»x
#»y
O
#»z
{V1/0}=
0 Vx 0 0 0 0
∀P
(#»x,#»
? ,#»
?)
— nc = 1, une seule liberté, la translation suivant #»x.
— La forme canonique est valable en tout point de l’espace.
— Le torseur cinématique est un torseur couple.
#»y
O
#»z
#»x
O
#»z
#»x
#»y
O
#»z
Liaison Hélicoïdale Liaison Hélicoïdale d’axe(O,#»x)
#»x
#»y
O
#»z
{V1/0}=
ωx Vx
0 0
0 0
∀P∈(O,#»x)
(#»x,#»
? ,#»
?) avecVx =ϵ p
2·πωx
— nc = 1 : la rotation et le translation sui- vant l’axe(O,#»x)sont dépendantes.
Vx =ϵ p
2·πωxavec
ple pas de la liaison hélicoïdale
ϵ= ±1en fonction du sens du pas de la vis.
— pas à droite :Vx = + p 2·πωx
— pas à gauche :Vx =− p 2·πωx
— la forme canonique est vraie en tout point de l’axe(O,#»x).
#»y
O
#»z
#»x
O
#»z
#»x
#»y
O
#»z
Liaison Pivot Glissant Liaison Pivot Glissant d’axe(O,#»x)
#»x
#»y
O
#»z
{V1/0}=
ωx Vx
0 0
0 0
∀P∈(O,#»x)
(#»x,#»? ,#»?)
— nc=2: deux degrés de liberté :
— une translation suivant la direction
#»x,
— une rotation autour de l’axe(O,#»x)
— la forme canonique est vraie pour tout point de l’axe de rotation
#»y
O
#»z
#»x
O
#»z
#»x
#»y
O
#»z
Liaison Sphérique
Liaison Sphérique de centreCou liaison rotule de centreC
#»x
#»y
C
#»z
{V1/0}=
ωx 0 ωy 0 ωy 0
C∀B
— nc = 3: trois degrés de liberté : les trois rotations perpendiculaires passant par le centre de la sphère.
— la forme canonique n’est valable que enC mais dans toute base.
#»x
C
#»z
#»x
#»y
C
#»z
Liaison Sphérique à doigt
Liaison Sphérique à doigt de centreC, de doigt d’axe(O,#»x)et de normale #»y
#»z #»x
C
#»y
{V1/0}=
ωx 0 ωy 0 0 0
(#»x,#»y,C#»z)
— nc =2: deux degrés de liberté :
— la rotation autour de l’axe du doigt,
— la rotation autour de l’axe normal à la rainure
— la forme canonique n’est valable que au centreCde la sphère et dans une base qui contient l’axe du doigt et la normale à la rainure.
#»x C
#»z
#»x
#»y
C
#»z
Liaison Appui Plan Liaison Appui Plan de normale #»z
#»x #»y
O
#»z
{V1/0} =
0 Vx 0 Vz ωz 0
∀P
(#»? ,#»
? ,#»z)
— nc =3: 3 degrés de liberté :
— la rotation autour de la normale au plan,
— les deux translations dans le plan.
— La forme canonique est vrai en tout point de l’espace dans une base qui contient la normale au plan.
#»x
O
#»z
#»y
#»z
O
#»x
Liaison Sphère Cylindre- Linéaire Annulaire Liaison Sphère Cylindre de centreCet d’axe(C,#»x)
#»x #»y
C
#»z
{V1/0}=
ωx Vx ωy 0 ωz 0
(#»x,#»C
? ,#»
?)
— nc=4: 4 degrés de liberté :
— les trois rotations de centreC
— la translation le long de l’axe du cy- lindre
— La forme canonique n’est valable que en Cet dans une base contenant l’axe du cy- lindre.
#»y
O
#»z
#»x
C
#»z
#»x
#»y
C
#»z
Liaison Cylindre Plan- Linéaire Rectiligne
Liaison Cylindre Plan de normale #»z et de droite (I,#»x), I un point de la droite de contact
#»x
#»y
I
#»z
{V1/0}=
ωx Vx 0 Vy ωz 0
∀P∈(I,#»x) (#»x,#»y,#»z)
— nc=4: 4 degrés de liberté :
— deux rotations : une autour de la droite de contact (roulement) et une autour de la normale au plan (pivo- tement).
— deux translations dans le plan
— La forme canonique est valable en tout point P de la droite de contact (I,#»x) et dans la base comportant la droite de contact et la normale au plan.
#»y
I
#»z
#»x
I
#»z
#»x
#»y
I
#»z
Liaison Sphère Plan- ponctuelle
liaison Sphère Plan de normale(I,#»z),I point de contact
#»x #»y
I
#»z {
V1/0} =
ωx Vx ωy Vy ωz 0
∀P∈(I,#»z)
(#»? ,#»
? ,#»z)
— nc =5:
— 3 rotations
— 2 translations
— la forme canonique est vraie en tout point de l’axe(I,#»z).
#»x
I
#»z
#»x
#»y
I
#»z
7.4. Schéma cinématique
Le schéma cinématique d’un mécanisme est un modèle filaire du mécanisme utilisant les symboles normalisés des liaisons. Ce modèle est utile tant au niveau de la conception que de l’analyse a posteriori pour réaliser l’étude cinématique (trajectoire, vitesse,..).
Le schéma peut être réalisé en une vue en perspective ou en plusieurs vues en projection.
— La position relative des liaisons doit être respectée (perpendicularité, parallélisme, alignement, orientation précise, ?).
— Les pièces dessinées très succinctement (un simple trait en général) relient les différentes liaisons.
— On ne doit pas privilégier une position particulière dans la représentation.
Le schéma doit être clair et permettre la compréhension du mécanisme.
Le schéma cinématique ne doit comporter que des pièces indéformables (pas de ressort).
Dans certain cas, une représentation plane peut suffire pour décrire le mécanisme.
a ). Principe de réalisation d’un schéma cinématique
— On commence par déterminer les groupes cinématiques, c’est à dire l’ensemble des solides qui n’ont pas de mouvement relatif entre eux.
— On identifie ensuite les surfaces en relation entre chaque groupe cinématique et les mouvements relatifs.
— À chacune de ces relations on associe une liaison cinématique normalisée.
— On construit finalement le schéma pour une position quelconque du mécanisme Nous allons nous appuyer sur plusieurs mécanismes pour préciser ces règles.
Exemple : Exemple guide : pompe oscillante
Figure 7.4. – Pompe oscillante
— # »
OA=e·x#»4(excentratione=5 mm),
— # »
OB =ℓ·x#»1(ℓ=50 mm),
— # »
AB=µ·x#»3,
— le diamètre du piston estd=10 mm,
— α= (x#»1,x#»4),
— β= (x#»1,x#»3),
— ω= dα dt ,
en régime permanent,ω =1 000 tour/min.
Groupes cinématiques : La pompe de la figure 7.4 est constitué de 4 groupes cinématiques indé- pendants : le corps (1), le barillet (2), le piston (3)et la manivelle (4).
Surfaces et mouvements relatifs :
— Le contact entre le corps et le barillet est réalisé par un cylindre et deux plans. le seul mouvement possible est la rotation autour de l’axe du cylindre (B,z#»1), les deux plans empêchent la translation.
— la liaison entre le piston et le cylindre est réalisée grâce à une surface cylindrique, le piston peut coulisser et tourner autour de son axe(A,x#»3).
— La liaison entre le piston et la manivelle est aussi réalisée par un cylindre(A,z#»1). il semble que le piston peut aussi coulisser le long de cet axe par rapport à la manivelle.
— La manivelle pivote autour de l’axe(O,z#»1)par rapport au bâti.
Liaisons : On peut donc associer les liaisons suivantes
— Entre (2) et (1) : liaison Pivot d’axe(B,z#»1), le paramètre du mouvement est .
β=ω21.
— Entre (3) et (2) : liaison Pivot Glissant d’axe(A,x#»3), le paramètre du mouvement de trans- lation estµ.
=v32, celui du mouvement de rotation n’est pas précisé, on le noteω32.
— Entre (4) et (3) : liaison Pivot Glissant d’axe(A,z#»1), le paramètre de rotation n’est pas précisé, on le noteω43.
— Entre (4) et (1) : liaison Pivot d’axe(O,z#»1), le paramètre de rotationα. = ω.
7.5. Graphe de structure
Le graphe de structure, ou graphe des liaisons, est un graphe qui précise les différents classes cinéma- tiques équivalentes et les différentes liaisons entre ces groupes cinématiques.
Sur le graphe de structure du mécanisme, on précise, pour chaque liaison, sa désignation et le torseur cinématique. Ce graphe permet de synthétiser la description du mécanisme.
Un groupe de solide forme une classe d’équivalence cinématique lorsque les solides du groupe n’ont aucun mouvement entre eux.
Exemple : Exemple guide : pompe oscillante -2
Pour la pompe oscillante, le graphe de structure est le suivant : Bâti (1)
Barillet (2)
Piston (3) Manivelle (4)
Pivot d’axe (B,z#»1): {V2/1}=
0 0
0 0
ω21 0
∀P∈(B,z#»1)
(#»? ,#»? ,z#»1)
Pivot Glissant d’axe(A,x#»3): {V3/2}=
ω32 v32
0 0
0 0
∀P∈(A,x#»3)
(x#»3,#»? ,#»?) Pivot d’axe(A,x#»1):
{V43} =
0 0
0 0
ω43 v43
∀P∈(A,z#»1)
(#»? ,#»? ,z#»1) Pivot d’axe(O,z#»1): {V41}=
0 0
0 0
ω41 0
∀P∈(O,z#»1)
(#»? ,#»? ,z#»1)
Figure 7.5. – Graphe de structure de la pompe oscillante
7.6. Schéma cinématique
À partir de cette analyse des différentes classe cinématique et des liaisons, il est possible de tracer le schéma cinématique.
Le schéma cinématique doit être tracé dans une position quelconque représentative du fonctionne- ment. Cette position doit permettre de réaliser le paramétrage du mécanisme.
On peut en général tracer l’ébauche du schéma en « s’appuyant » sur le dessin.
1. On commence par positionner les points particuliers et les axes ,
2. On place ensuite les liaisons sur les axes, on choisit une couleur par solide , 3. On relie ensuite les liaisons en utilisant la couleur correspondant au solide, 4. On arrange le schéma pour avoir une représentation compréhensible ,
5. Il est tout à fait possible pour ce mécanisme de réaliser uniquement un schéma plan
Exemple : Exemple guide : pompe oscillante -3 z#»1
x#»1
y#»1
O
B
A z#»1
z#»1
x#»3
x#»4
Etape 1 : mise en place des axes
z#»1
x#»1
y#»1
O
B A
z#»1
z#»1
x#»3
x#»4
Etape 2 : mise en place des liaisons z#»1
x#»1
y#»1
O
B A
z#»1
z#»1
x#»3
x#»4
Etape 3 : Relier les liaisons, les solides
#»z1
#»x1
#»y1
O
B A
z#»1
z#»1
x#»3
x#»4
x#»1
y#»1
O
B A
x#»3
x#»4
1 4
3 α 2
β µ
7.7. Schéma cinématique minimal
Le schéma cinématique minimal est obtenu en remplaçant si possible, les liaisons en série et ou en parallèle par les liaisons équivalentes.
Nous verrons un peu plus loin la notion de liaison équivalente (7.10).
Le schéma cinématique minimal fait « disparaître » des solides et des liaisons, il est à utiliser avec précaution et uniquement pour l’étude cinématique et la compréhension cinématique du mécanisme. Il ne doit pas être utilisé pour réaliser des calculs d’hyperstatisme (deuxième année) ou des calculs d’effort dans les liaisons.
7.8. Schéma technologique
Il est parfois nécessaire afin de mieux comprendre le fonctionnement d’un mécanisme de compléter le schéma cinématique en ajoutant des constituants technologiques tels les ressorts, les clapets d’un circuit hydraulique, …
On peut aussi préciser la forme de certaines pièces.
Ce schéma devient alors un schéma technologique.
7.9. Étude cinématique des chaînes de solides
Un mécanisme est constitué de solides reliés par des liaisons cinématiques. L’ensemble de ces liaisons et des solides forment une chaîne de solides.
Cette chaîne peut-être représentée par un graphe dit graphe de structure (ou graphe des liaisons). Sur ce graphe, les solides sont les nœuds et les liaisons les arcs.
S1
S2
Si
Si+1
Sn
L1
L2
Li
Ln−1
(a) Chaîne ouverte
S1
S2
Si
Si+1
Sn
L1
L2
Li
Ln−1
Ln
(b) Chaîne fermée
S1
S2
Si
Si+1
Sn
Sk
Sl
L1
L2
Li
Ln−1
Ln
Lk
Ll Lm
Lp
(c) Chaîne complexe
Figure 7.6. – Chaînes de solides
a ). Chaîne ouverte
Soit un mécanisme représenté par le graphe de structure en chaine ouverte de la figure 7.6a. Nous avons déjà vu cette forme pour l’éolienne, on retrouve cette structure dans les mécanismes de type robot, grue, …
On dit aussi que les liaisons en chaine ouverte sont des liaisons en série.
Réaliser l’étude cinématique d’un mécanisme en chaîne ouverte revient à déterminer le torseur ciné- matique du dernier solide de la chaîne par rapport au solide de référence. Il suffit pour cela de décom- poser le torseur cinématique en une somme de torseur cinématique passant par chacune des liaisons constituants le mécanisme.
{Vn/1}=
{# »Ω# »n/1
VPn∈n/1
}
Pn
avecPn, un point deSn
{Vn/1}=
{# »Ω# »n/n−1
VPn∈n/n−1 }
Pn
+
{# »Ω# »n−1/n−2
VPn∈n−1/n−2 }
Pn
++˙
{# »Ω# »n/1
VPn∈2/1 }
Pn
Remarque importante : Pour que cette égalité ait un sens, il est est obligatoire que tous les torseurs soient écrits au même point. On choisira le point le plus judicieux pour faire les calculs (maximiser les zéros).
Exercice 1- Étude cinématique de l’éolienne
Corrigé page ??
Reprendre l’exercice sur l’éolienne de la page??
Q1.Tracer le schéma cinématique
Q2.Écrire le torseur cinématique de la pale de l’hélice (2) par rapport au mas (0) en A puis en B.
Q3.Écrire ce torseur cinématique en O, justifier que ce point est le plus judicieux pour décrire le mou- vement de l’hélice.
Q4.Existe-t-il une liaison cinématique normalisée équivalente à ces deux liaisons en série ?
b ). Chaîne fermée
Un mécanisme en chaîne fermée est décrit par le graphe de structure de la figure 7.6b.
Nous avons déjà vus que le comportement géométrique de ces mécanismes est obtenu en écrivant la fermeture géométrique, c’est à dire la relation vectorielle reliant les points caractéristiques de chaque solide.
SoitOi, le point caractéristique du solideSi, la relation de fermeture de la chaîne géométrique s’écrit :
# »
O1O2+ # »
O2O3+· · ·+# »
Oi−1Oi+· · ·+ # »
On−1On+ # » OnO1= #»0 .
En projetant cette équation vectorielle dans une base orthonormée, on obtient 3 équations scalaires reliant les différents paramètres géométriques. Dans le cas d’un mécanisme plan, on obtient 2 équations scalaires, déduites de la projection de cette relation sur les axes du plan.
De la même manière pour réaliser l’étude cinématique, nous allons écrire lafermeture cinématique.
Soit, un mécanisme en chaîne fermée composé de n solides et n liaisons (fig 7.6b).
Pour chaque liaison Li, on peut écrire le torseur cinématique entre les deux solidesSi et Si+1 de la liaison au pointOicaractéristique de la liaison.
{V(i+1)/i}=
{# »Ω# »(i+1)/i
VOi∈(i+1)/i }
Oi
La fermeture cinématique s’obtient en écrivant la somme des torseurs en un même point : {V1/2}+{V2/3}+· · ·+
{V(i−1)/i}+
{Vi/(i+1)}+· · ·+{Vn/1}= {
0}
Cette relation permet d’obtenir 2 équations vectorielles, et après projection 6 équations scalaires.
{# »Ω# »1/2
VOi∈(1/2
}
Oi
+
{# »Ω# »2/3
VOi∈(2/3
}
Oi
+· · ·+
{# »Ω# »(n−1)/n
VOi∈(n−1)/n
}
Oi
+
{# »Ω# »n/1
VOi∈(n/1
}
Oi
= {#»
#»0 0
}
Oi
Remarque :cette somme de torseur ne peut se calculer que si les torseurs sont écrits en un même point et en projection dans une même base.
Exercice 2- Pompe oscillante -2
Corrigé page ??
On reprend l’exemple de la pompe oscillante de la page 10 et le schéma cinématique.
Q1.Écrire la fermeture cinématique, en déduire la relation entreµ. et .
θ.
c ). Chaîne complexe
On appelle mécanisme en chaîne complexe, un mécanisme constitué de plusieurs boucles entrelacées comme sur la figure 7.6c.
Pour réaliser l’étude d’une chaîne complexe, il suffit d’étudier chaque boucle fermée indépendante.
Nombre cyclomatique Le nombre cyclomatique µcaractérise le nombre de cycle indépendant d’un mécanisme complexe.
µ= L−N+1 avecL, le nombre de liaisons etN, le nombre de solides.
Remarque :le nombre cyclomatique est souvent notéµouγ.
Exercice 3- Robot Delta 2D
Corrigé page ??
À partir du graphe de structure du robot Delta 2D de la page 2.
Q1.Déterminer le nombre cyclomatiqueµ.
7.10. Liaisons cinématiquement équivalentes
On appelle liaison cinématiquement équivalente entre deux pièces, la liaison qui se substituerait à l’ensemble des liaisons réalisées entre ces pièces avec ou sans pièce intermédiaire.
La liaison équivalente doit avoir le même comportement que l’ensemble des liaisons auquel elle se substitue. On considère deux types de liaisons équivalentes : les liaisons en série et les liaisons en paral- lèles.
S1 S2
Si
Sj
L1
Li
Lj
S1 S2
Leq
(a) Liaisons en série
S1 S2
L1
L2
Li
Ln
S1 S2
Leq
(b) Liaisons en parallèle
Figure 7.7. – Liaisons équivalentes
a ). Liaisons en série
Des liaisons sont dites en série lorsque le graphe a la structure 7.7a. On retrouve en fait la structure d’une chaîne ouverte.
Étude cinématique On recherche le torseur cinématique du mouvement du solide 2par rapport au solide1:{
V2/1}. En décomposant sur les solides intermédiaires, on obtient : {V2/1eq }=
{V2/j}+
{Vj/i}+· · ·+{Vi/1}
On constate que, le torseur cinématique de la liaison équivalente à plusieurs liaisons en série est égal à la somme des torseurs cinématiques des liaisons de la chaîne.
Remarque :chaque torseur doit être écrit au même point avant de calculer la somme.
b ). Liaisons en parallèle
Lorsque plusieurs liaisons relient directement deux solides, les liaisons sont dites en parallèle (fig 7.7b).
L’ensemble des liaisons Li en parallèle impose le mouvement du solide2par rapport au solide1, le torseur cinématique{
V2/1}représente ce mouvement.
On note :{
V2/1i }, le torseur cinématique de la liaisonLientre les deux solidesS1etS2.
Chaque liaison élémentaireLine peut que respecter le mouvement global du solide2par rapport au solide1, on peut donc écrire : {
V2/1i }= {V2/1}
Le comportement cinématique de la liaison équivalenteLeqdoit aussi respecter le mouvement global du solide2par rapport au solide1: {
V2/1eq }= {V2/1}
d’où la condition que doit respecter le torseur de la liaison équivalente : {V2/1eq }=
{V2/11 }={V2/12 }=· · ·=
{V2/1i }=· · ·= {V2/1n }
Pour déterminer, à partir de l’étude cinématique, la liaison équivalente ànliaisons en parallèle, il suffit de résoudre le système de6·néquations déduit des égalités de torseurs ci-dessus.
7.11. Mécanisme plan
On considère que le mouvement d’un solide par rapport à un autre peut être assimilé à un mouvement plan sur plan, lorsqu’il existe un plan invariant dans le mouvement relatif de ces deux solides.
Corollaire :
Si un plan invariant existe, alors tous les plans parallèles à ce plan sont des plans invariants. Le vecteur rotation du solide S2 par rapport au solide S1 est porté par la normale au plan invariant. Pour tout point M du solide S2, est toujours parallèle au plan invariant ainsi que sa trajectoire dans S1.
Remarque :pour une étude cinématique, on ne s’intéresse qu’au mouvement sans prendre en compte ni les causes ni la masse des solides, on peut donc choisir comme plan d’étude du mouvement n’importe quel plan parallèle au plan invariant. Par contre il sera nécessaire lors d’une étude des efforts (étude statique ou dynamique) , de choisir un plan d’étude qui respecte aussi la symétrie de répartition des efforts et des masses.
Seules trois liaisons sont utilisables dans le cas d’un mécanisme plan, le tableau 7.3 précise la modéli- sation cinématique plan pour chacune de ces liaisons (la notation[0]précise que la valeur 0 est imposée par le modèle plan).
On considère, dans le tableau, un mécanisme plan de normale #»z.
Remarque importante :dire qu’un mécanisme est plan, c’est déjà faire des hypothèses sur l’orientation des liaisons (toutes les rotations sont perpendiculaires au plan d’étude donc parallèles) cela revient à simplifier le modèle d’étude. Cette hypothèse risque de faire disparaître des contraintes de montage (L’hyperstaticité sera étudiée en deuxième année).
Liaison torseur cinématique Articulation
d’axe normal au plan d’étude
[0] 0 [0] 0 ωz [0]
(#»x,#»y,O#»z)
,nci =1
Glissière la direc- tion #»u est dans le plan
[0] Vu [0] 0
0 [0]
(#»u,#»v,O#»z)
,nci =1
Ponctuelle la nor- male au contact#»n est dans le plan.
[0] Vu ωz 0 [0] [0]
(#»n,#»t,O#»z)
,nci =2
Table 7.3. – Liaisons dans le plan
7.12. Exercices
Exercice 4- Table à colonnes
Corrigé page ??
table
colonnes
vis bâti
Figure 7.8. – Table à colonnes La table coulissante est constituée d’une table
mobile qui coulisse sur deux colonnes parallèles fixées sur le bâti, elle est entraînée par un méca- nisme vis-écrou.
Q1. Identifier les liaisons du mécanisme (fi- gure 7.8) puis tracer le graphe des liaisons.
Q2.Tracer le schéma cinématique 3D.
Q3.Déterminer la liaison équivalente réalisée par les deux colonnes de guidage entre la table et les deux supports.
Q4.Tracer le schéma cinématique minimal.
Exercice 5- Patin à rotule
Corrigé page ??
20
pied
patin table Un pied est en liaison avec une table par l’inter-
médiaire d’un patin à rotule.
Q1.Identifier les liaisons entre le pied et la table, donner le symbole, le torseur cinématique de cha- cune des liaisons
Q2.Tracer le graphe des liaisons.
Q3.Tracer le schéma cinématique.
Q4.Déterminer la liaison équivalente entre le pied et la table.
Q5.Quel est l’intérêt de cette réalisation ?
Exercice 6- Tête de boucheuse
Corrigé page ??
Fonctionnement
La tête de boucheuse est installée sur une chaîne d’embouteillage, elle permet d’enfoncer un bouchon en liège dans le col de la bouteille. Son fonctionnement est synchronisé avec l’avancement des bouteilles.
La mise en plan et l’écorché ne présente que le mécanisme de transformation de mouvement.
L’arbre moteur n’est entraîné en rotation, que lorsque une bouteille et un bouchon se présentent sous la boucheuse.
— Le repère(O,x# »x0,y# »x0,z# »x0)est associé au carter (0).
— L’arbre (1) est en rotation par rapport au carter (0), on note (O,x#»1)(avec x#»1 = x#»0 et (y#»0,y#»1) = (z#»0,z#»1) =θl’axe de rotation.
— Un second repère(O,x# »12,y# »12,z# »12)est aussi associé à l’arbre (1). Ce second repère permet de posi- tionner l’axe incliné de l’arbre (1). L’axe(O,x# »12)est incliné par rapport à l’axe (O,x#»1)d’un angle constantα= (x#»1,x# »12) = (y#»1,y# »12) =15° etz#»1 =z# »12.
— Le repère(O,x#»2,y#»2,z#»2)est associé à l’ensemble { boitier oscillant, doigt }, avec(y# »12,y#»2) = (z# »12,z#»2) = ϕetx# »12= x#»2. L’axe(O,y#»2)est l’axe du doigt.
On pose # »
OA=λ·y#»2avec # »
OA·y#»0 =d=100 mmet # »
OA·x#»0=µavecµla course du piston.
L’arbre moteur entraîne dans son mouvement le bloc oscillant (2) autour de l’axe, le doigt solidaire du bloc oscillant déplace grâce à la rotule le piston (4) suivantx#»4= x#»0.
L’animation du fonctionnement est disponible sur http ://sciences-indus-cpge.papanicola.info/Tete- de-Boucheuse.
G
Į
2
$
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$UEUH PRWHXU
%RLWLHU RVFLOODQW 5RWXOH
3LVWRQ
Figure 7.9. – Tête de boucheuse Q1.Identifier les différentes liaisons, tracer le graphe de structure Q2.Tracer le schéma cinématique sur l’épure
Q3.Écrire la fermeture géométrique, montrez que :µ=−d·cosθ·tanα Q4.Écrire la fermeture cinématique. Déterminer la relation entre .
θ et . λ.
TRANSMISSION DE PUISSANCE
Cette partie ce veut une simple approche de quelques solutions technologiques intervenant dans la réalisation d’un mécanisme
Nous allons étudier dans un premier temps les solutions technologiques permettant de transmettre de la puissance, puis les quelques solutions permettant de réaliser les principales liaisons cinématiques.
Transmettre l’énergie Énergie
mécanique ωe,Ce
Énergie mécanique ωs, Cs
Il souvent nécessaire de modifier les caractéristiques de l’énergie fournie par un actionneur (moteur/- vérin) pour l’adapter aux besoins du mécanisme. Les problématiques principales sont :
— Réduire / augmenter la vitesse de rotation
— Transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation
— Moduler la vitesse de sortie pour une vitesse d’entrée constante
8.1. Réduire / augmenter la vitesse de rotation
Les réducteurs à anegrenages, les mécanismes de transmission par chaîne ou couroies, sont parmi les principales technologies utilisées.
réducteurs à engrenages réducteurs poulie courroie réducteurs pignon- chaine
Table 8.1. – Réduire ou augmenter la vitesse
Les actionneurs principaux que nous utilisons sont les moteurs, qu’ils soient électriques, ou thermique, ils développent une énergie mécanique transmise par un mouvement de rotation (par abus de langage on nomme souvent cette énergie : énergie mécanique de rotation). La puissance fournie (motrice) est alors de la forme :
Pm =Cm·ωm
avec :ωm la vitesse de rotation de l’arbre de sortie du moteur etCmle couple moteur.
Figure 8.1. – Caractéristiques d’un moteur Jonhson HC971-2-LG-101 (moteur type moteur de tondeuse) Le fonctionnement optimal du moteur n’est en général obtenu que pour un couple de valeur(ωm,Cm). ainsi on voit sur la courbe des caractéristiques du moteur CC (figure 8.1) que le rendement du système est maximal (η ≈ 0,7) pour un couple moteur (Torque en anglais) deCm = 100 mN met une vitesse de rotation de4 800 tr/min. On comprends bien en voyant cette courbe que même si la vitesse de rotation de ce moteur peut varier de0à≈6 200 trminqu’il serait ridicule de l’utiliser sur toute cette gamme, le rendement serait alors médiocre.
Adapter la vitesse avec un réducteur montre ici tout son intérêt, on fait fonctionner le moteur le plus proche possible de son rendement optimal, et on réduit la vitesse mécaniquement pour obtenir la vitesse désirée au niveau de l’effecteur.
Plusieurs solutions sont envisageables pour modifier la vitesse de rotation.
a ). Réducteurs à engrenages
On appelle engrenage un ensemble de deux solides (S1) et (S2) en mouvement par rapport à un réfé- rentiel (0), tel que la rotation de l’un, autour d’un axe fixe ou mobile, entraîne la rotation de l’autre avec un rapport des fréquences angulaires constant (homocinétique) :
r = ω2/0 ω1/0
Les engrenages sont une transmission de mouvement par obstacle (dents).
On trouve des engrenages parallèles, concourants (ou coniques) et quelconques. Les dents peuvent être droites, hélicoïdales ou spiroïdale (figure 8.2).
(a) Engrenages parallèles à den- ture droite
(b) Engrenages parallèles à den- ture hélicoïdale
(c) Engrenages coniques à den- ture droite
(d) Engrenages coniques à den- ture spirale
(e) Engrenages parallèles (pignon et couronne)
(f) Engrenages à roue et vis sans fin
Figure 8.2. – Engrenages
Caractéristiques des roues dentées L’engrènement entre les deux roues dentées nécessite que les pro- fils des dents soient conjugués, c’est à dire des profils capable de rouler l’un sur l’autre, dans le mouve- ment de (S2) par rapport à (S1) (figure 8.3). Les profils conjugués les plus utilisés en mécaniques, sont des développantes de cercle.
O1 I O2
α
Figure 8.3. – Engrenage à denture droite
La terminologie et les définitions sont définies à partir des engrenages à denture droite en dévelop- pante de cercle (les dents sont parallèles à l’axe de rotation). Dans le cadre de ce cours, nous ne dévelop- perons pas les spécificités des autres formes de dents
Profil de la denture Le profil d’une dent est une développante de cercle. Ce type de profil est le plus utilisé, il permet d’avoir un angle de pression constant pendant tout l’engrènement (valeur usuelle α=20°). Les profils en développante de cercle sont des profils conjugués.
Le roulement des deux développantes l’une sur l’autre est homocinétique, c’est à dire que ω2/0
ω2/0 =
O M0
P Rb
Rb·θ
M(θ)
θ
Le point M(θ) de la dévelop- pante de cercle est défini par :
# »
OP·# » PM(θ) =0
∥# »
PM(θ)∥= Rb·θ
# » OM(θ) =
(xM =Rb(cosθ+θ·sinθ) yM =Rb(sinθ−θ·cosθ)
)
avec Rb le rayon du cercle de base.
Figure 8.4. – Développante de cercle cteest constant pendant tout le mouvement.
La développante est construite en faisant rouler une droite sur le cercle de base (figure 8.4).
O1 I O2
α=20°
Ligne de pression
cercle de base
cercle primitif
cercle de tête
Figure 8.5. – Terminologie des roues dentées
Cercle de base : Le rayon du cercle de baseRb(Dble diamètre) permettant de tracer la développante de cercle (figure 8.4).
Diamètre primitif – Cercle primitif : Le diamètre primitif est défini à partir du diamètre de base et l’angle de pression désiré. Le diamètre du cercle primitif est notéDp.
Dd =cosα·Dp
On appelle circonférence primitive la circonférence du cercle théorique de contact.
Pour un engrenage (à angle de pression donné) , les cercles de base et primitifs sont uniques, ils définissent le rapport de la transmission :
r =ω20 ω10
= Rp1 Rp2
= Rb1·cosα Rb2·cosα = Rb1
Rb2
Les deux cercles primitifs sont tangents, on noteIle point de tangence, en ce point, on peut écrire que la roue dentée (S2) roule sans glisser sur la roue dentée (S1). On a alors :
# » VI∈2/1 = #»0
pas primitif Le nombre de dentsZsur la circonférence primitive est obligatoirement entier. On appelle pas primitif la quantité :
pp = π·Dp
Z
Module Le module est une grandeur caractéristique de l’épaisseur de la dent : m= Dp
Z
Cette grandeur, comme le pas primitif caractérise l’épaisseur de la denture. Deux roues dentées ne peuvent engrener que si elles ont le même module.
Les modules sont normalisés. Le choix d’un module pour un engrenage dépend principalement de l’effort sur les dentures.
Ligne de pression, angle de pression C’est la ligne tangente aux deux cercles de base, elle porte en per- manence l’effort de contact s’exerçant sur les roues.
Le point M de contact est toujours sur la ligne de pression. La tangente en M aux deux profils est toujours perpendiculaire à la ligne de pression. L’angle de pression est constant pendant tout l’engrènement.
Symbolisation
Pignon Couronne Pignon conique Roue et vis sans fin
×
Étude cinématique
Train simple à axes parallèles : Un train simple, est un train d’engrenage dans lequel tous les roues dentées sont en pivot par rapport à un même référentiel et parallèles.
Soit le train simple représenté sur la figure 8.6
— Le pignon (1) de rayon primitifR1comporteZ1.
— Le pignon (2) de rayon primitifR2comporteZ2dents.
On pose aussi :
(x#»0,x#»1) = (y#»0,y#»1) =α ⇒Ω# »1/0 =α.
·z#»0 =ω10·z#»0
(x#»0,x#»2) = (y#»0,y#»2) =β ⇒Ω# »2/0 = .
β·z#»0 =ω20·z#»0
soit les torseurs cinématiques :{
V1/0}=
{Ω# »# »1/0 =ω10·z#»0
VO1∈1/0 = #»0 }
O1
et{
V2/0}=
{Ω# »# »2/0 =ω20·z#»0
VO2∈2/0 = #»0 }
O2
0 y#»0
z#»0 I
O1 O2
x#»1 x#»2
x#»0 y#»0
I O1 O2
(a) contact extérieur
0 y#»0
z#»0 I
O1 O2 x#»1
x#»2
x#»0 y#»0
I O1 O2
(b) contact intérieur
Figure 8.6. – Train simple Les deux pignons roulent l’un sur l’autre sans glisser enI
# »
VI∈2/1 = #»0 = # »
VI∈2/0− # » VI∈1/0
#»0 = # »
VI∈2/0− # » VI∈1/0
#»0 = # »
VO2∈2/0+Ω# »2/0∧O# »2I−# »
VO1∈1/0−Ω# »1/0∧O# »1I
#»0 = #»0 +ω20·z#»0∧(−R2·y#»0)− #»0 −ω10·z#»0∧(R1·y#»0)
#»0 = +R2·ω20·x#»0+R1·ω10·x#»0
ce qui nous donne le rapport de transmission d’un train d’engrenage simple à contact extérieur à axes parallèles :
r = ω20 ω10
= −R1 R2
qui devient, en fonction du nombre de dents de chaque pignon : r= ω20
ω10
=−Z1 Z2
Dans le cas d’un engrenage à contact intérieur (figure 8.6b) la relation devient : r= ω20
ω10
= R1 R2
qui devient, en fonction du nombre de dents de chaque pignon : r= ω20
ω10
= Z1 Z2
Si le contact est extérieur, les deux arbres tournent en sens opposés, et dans le même sens si le contact est intérieur. Le rapport de transmission est le rapport inverse du nombre de dents.
Cette relation entre deux arbres est généralisable pour les engrenages coniques, par contre le sens de rotation ne peut pas être facilement précisé (à étudier au cas par cas). Dans le cas des engrenages à roues et vis sans fin, pour la vis on prendra le nombre de filets.
Généralisation train simple : Soit le train d’engrenages de la figure 8.7
y#»0
z#»0
1 2
0
Z1 Z2a
Z2b
7 6
4 3
5
0
O56 Z3 J
Z4a
Z4b Z5a
Z5b
Z6
Figure 8.7. – Généralisation train simple
L’arbre (1) est l’arbre d’entrée, l’arbre (6) et l’arbre (7) sont deux arbres de sortie.
Ce train d’engrenage est un train simple, toutes les roues dentées sont en liaison pivot par rapport au solide (0).
Déterminons dans un premier tempsr51= ω50 ω10
.
r51= ω50 ω10
r51= ω50 ω40· ωω40
30 ·ωω30
20 ·ωω20
10
avec
— ω20
ω10
=− Z1 Z2a
(engrenage simple parallèle à contact extérieur, inversion du sens de rotation)
— ω30
ω20
=−Z2b Z3
(idem)
— ω40
ω30
=− Z3 Z4a
(idem)
