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Geometry of rationally connected varieties
Wenhao Ou
To cite this version:
Wenhao Ou. Geometry of rationally connected varieties. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Grenoble Alpes, 2015. English. �NNT : 2015GREAM060�. �tel-01680344v2�
THÈSE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR
DE
LA COMMUNAUTÉ UNIVERSITÉ
GRENOBLE
ALPES
Spécialité : Mathématiques Arrêté ministériel : 7 août 2006
Présentée par
Wenhao
OU
Thèse dirigée par Stéphane Druel
préparée au sein de l’Institut Fourier et de l’école doctorale MSTII
Géométrie
des variétés rationnellement
connexes
Thèse soutenue publiquement le 7 décembre 2015, devant le jury composé de :
M. Baohua Fu
Chinese Academy of Sciences, Rapporteur
M. Andreas Höring
Université de Nice Sophia Antipolis, Rapporteur
M. Michel Brion
Institut Fourier, Examinateur
M. Olivier Debarre
École Normale Supérieure, Examinateur
M. Jean-Pierre Demailly
Institut Fourier, Examinateur, Président
Mme Claire Voisin
Institut de Mathématiques de Jussieu, Examinatrice
M. Stéphane Druel
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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
❯♥ ❞❡s ♦❜❥❡❝t✐❢s ✉❧t✐♠❡s ❞❡ ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❡st ❧❛ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡s ✈❛r✐étés ❛❧❣é❜r✐q✉❡s✳ P❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡s rés♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ s✐♥❣✉❧❛r✐tés ❞❡ ❍✐r♦♥❛❦❛✱ t♦✉t❡ ✈❛r✐été ❝♦♠♣❧❡①❡ ❡st ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t❡ à ✉♥❡ ✈❛r✐été ❧✐ss❡✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉❡ ❞❡✉① ✈❛r✐étés ❛❧❣é❜r✐q✉❡s X ❡t X′ s♦♥t ❞✐t❡s ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t❡s s✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞✬✉♥ ♦✉✈❡rt ❞❡ X ❞❛♥s ✉♥ ♦✉✈❡rt ❞❡ X′✳ ▲❡ ❜✉t ❞❡ ❧❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡st ❞♦♥❝ ❞❡ ❝❧❛ss✐✜❡r ❧❡s ✈❛r✐étés ❛❧❣é❜r✐q✉❡s à éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡ ♣rès✳ ❘❡❣❛r❞♦♥s ❞✬❛❜♦r❞ ❧❡ ❝❛s ❞❡s ❝♦✉r❜❡s✳ ❚♦✉t❡ ❝♦✉r❜❡ ❡st ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡✲ ♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t❡ à ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ ❝♦✉r❜❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡✳ ❙♦✐t C ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡✳ ▲❡ ❣❡♥r❡ ❞❡ C ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r g(C) = h0(C, ω C)✱ ♦ù ωC ❡st ❧❡ ✜❜ré ❝♦t❛♥❣❡♥t ❞❡ C✳ ❙✐ ♦♥ ✜①❡ ❧❡ ❣❡♥r❡ g✱ ❛❧♦rs ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❧✐ss❡s ❞❡ ❣❡♥r❡ g✳ ▲❛ ❢❛♠✐❧❧❡ ❡st ♣❛r❛♠étré❡ ♣❛r ✉♥❡ ✈❛✲ r✐été ❛❧❣é❜r✐q✉❡ Mg✱ q✉✐ s✬❛♣♣❡❧❧❡ ❧❛ ✈❛r✐été ❞❡s ♠♦❞✉❧❡s ❞❡s ❝♦✉r❜❡s ❧✐ss❡s ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❞❡ ❣❡♥r❡ g ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬❍▼✾✽✱ ➓✷❪✮✳ ❊♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ s✉♣ér✐❡✉r❡✱ ♦♥ ✐♥tr♦❞✉✐t ❧❡s ♣❧✉r✐❣❡♥r❡s ❡t ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ ❑♦❞❛✐r❛ q✉✐ ❣é♥ér❛❧✐s❡♥t ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ❣❡♥r❡ ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡✳ ❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❧✐ss❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n✳ ◆♦t♦♥s ωX ❧❡ ✜❜ré ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ X✱ q✉✐ ❡st ❧❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❞✉ ✜❜ré ❝♦t❛♥❣❡♥t ❞❡ X✳ ❙♦✐t KX ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❝❛♥♦♥✐q✉❡✱ ✐✳❡✳ ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r t❡❧ q✉❡ ωX ∼= OX(KX)✳ ❆❧♦rs✱ ♣♦✉r ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ♥❛t✉r❡❧ m✱ ♦♥ ❞é✜♥✐t ❧❡ m✲♣❧✉r✐❣❡♥r❡ ❞❡ X ♣❛r Pm(X) = h0(X, ωX⊗m). ▲❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ ❑♦❞❛✐r❛ ❞❡ X ❡st ❞é✜♥✐❡ ♣❛r κ(X) = lim sup m→∞ log Pm(X) log m . ▲❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ ❑♦❞❛✐r❛ ♣r❡♥❞ s❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s {−∞, 0, 1, ..., n}✳ ▲❛ ✈❛r✐été X ❡st ❞✐t❡ ❞❡ t②♣❡ ❣é♥ér❛❧ s✐ κ(X) = n✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✵✳✵✳✶✳ ❙♦✐t C ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡✱ ❛❧♦rs s✐ g(C) = 0, alors κ(C) = −∞, C ∼= P1 ❡t − KC ❡st ❛♠♣❧❡, s✐ g(C) = 1, alors κ(C) = 0, C ❡st ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❡t KC = 0, s✐ g(C) > 2, alors κ(C) = 1 ❡t KC ❡st ❛♠♣❧❡ ✻❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✼ ❉❛♥s ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡✱ ✐❧ ② ❛ ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ ✈❛r✐étés ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❧✐ss❡s✳ ■❧ ❡st ♥❛t✉r❡❧ ❞❡ s❡ ❞❡♠❛♥❞❡r s✐ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❝❤♦✐s✐r ✉♥ ❜♦♥ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❞❛♥s ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡✳ ▲❡ ❝❛s ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s ❡st ❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t tr❛✐té ❞❛♥s ❧❡s ❛♥♥é❡s ✶✾✸✵ ♣❛r ❧❡s ❣é♦♠ètr❡s ✐t❛❧✐❡♥s✳ ❙♦✐t X ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡✳ ❙✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ (−1)✲ ❝♦✉r❜❡ C ❞❛♥s X ✭✐✳❡✳ C ∼= P1 ❡t ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ C2 = −1✮✱ ❛❧♦rs ♣❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❈❛st❡❧♥✉♦✈♦ ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬❍❛r✼✼✱ ❚❤♠✳ ❱✳✺✳✼❪✮✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ✜❜r❛t✐♦♥ ✭✐✳❡✳ ✉♥ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ♣r♦♣r❡ s✉r❥❡❝t✐✈❡ à ✜❜r❡s ❝♦♥♥❡①❡s✮ X → X1 ❝♦♥tr❛❝t❛♥t ❡①❛❝t❡♠❡♥t C ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ X1 ❡st ❡♥❝♦r❡ ❧✐ss❡✳ ❊♥ ré♣ét❛♥t ❝❡tt❡ ♦♣ér❛t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ♠♦r♣❤✐s♠❡s ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧s X = X0→ X1→ · · · → Xk= X∗ t❡❧❧❡ q✉❡ X∗ ♥❡ ❝♦♥t✐❡♥♥❡ ❛✉❝✉♥❡ (−1)✲❝♦✉r❜❡✳ ❈❡ ♣r♦❝❡ss✉s s✬❛♣♣❡❧❧❡ ✉♥ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ♠✐♥✐♠❛✉① ✭▼▼P ❡♥ ❛❜ré❣é✮ ♣♦✉r ❧❛ s✉r❢❛❝❡ X✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✲ ♦✉ ❜✐❡♥ X∗ ❡st ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ré❣❧é❡✱ ✲ ♦✉ ❜✐❡♥ X∗ ∼= P2✱ ✲ ♦✉ ❜✐❡♥ KX∗ ❡st ♥❡❢✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉✬✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❈❛rt✐❡r D ❞❛♥s ✉♥❡ ✈❛r✐été ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♥♦r✲ ♠❛❧❡ X ❡st ❞✐t ♥❡❢ s✐ ♣♦✉r t♦✉t ♠♦r♣❤✐s♠❡ g ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ C ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡ ❞❛♥s X✱ ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r g∗D❡st ❞❡ ❞❡❣ré ♣♦s✐t✐❢ ♦✉ ♥✉❧ s✉r C✳ P♦✉r ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❞♦♥t ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❡st ♥❡❢✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬▼❛t✵✷✱ ❚❤♠✳ ✶✲✺✲✻❪✮✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✵✳✵✳✷ ✭❚❤é♦rè♠❡ ❞✬❆❜♦♥❞❛♥❝❡ ♣♦✉r ❧❡s s✉r❢❛❝❡s✮✳ ❙♦✐t Y ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡ t❡❧❧❡ q✉❡ KY s♦✐t ♥❡❢✳ ❆❧♦rs ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❡♥t✐❡r m > 0 t❡❧ q✉❡ ❧❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ OY(mKY) s♦✐t ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r s❡s s❡❝t✐♦♥s ❣❧♦❜❛❧❡s✳ ▲❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ OY(mKY) ✐♥❞✉✐t ✉♥❡ ✜❜r❛t✐♦♥ f : Y → Z✱ ❛♣♣❧é❡ ❧❛ ✜❜r❛t✐♦♥ ❞✬■✐t❛❦❛ ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬■✐t✽✷✱ ➓✷✳✾❪✮✱ t❡❧❧❡ q✉❡ dim Z = κ(Y )✳ ❙♦✐t Y ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❛✈❡❝ KY ♥❡❢✳ ❙❡❧♦♥ s❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ ❑♦❞❛✐r❛✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s tr♦✐s ♣♦ss✐❜✐❧✐tés ✿ ✶✳ ❙✐ κ(Y ) = 0✱ ❛❧♦rs Y ❡st ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ K3✱ ✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❞✬❊♥r✐q✉❡s ♦✉ ✉♥ q✉♦t✐❡♥t ét❛❧❡ ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❛❜é❧✐❡♥♥❡✳ ✷✳ ❙✐ κ(Y ) = 1✱ ❛❧♦rs ❧❛ ✜❜r❛t✐♦♥ ❞✬■✐t❛❦❛ f : Y → Z ❞é✜♥✐❡ ❞❛♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ♣ré❝é❞❡♥t ✐♥❞✉✐t ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ s✉r❢❛❝❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ♠✐♥✐♠❛❧❡ s✉r Y ✳ ✸✳ ▲❛ s✉r❢❛❝❡ Y ❡st ❞❡ t②♣❡ ❣é♥ér❛❧✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ s❛✉❢ ❞❛♥s ❧❡ ❞❡r♥✐❡r ❝❛s✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞ét❛✐❧❧é❡ ❞❡ Y ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬❇❍P❱✵✹✱ ➓❱■❪✮✳
❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✽ ❉✬❛♣rès ❧❡s tr❛✈❛✉① ❞❡ ❋❛♥♦✱ ■s❦♦✈s❦✐❦❤✱ ■✐t❛❦❛✱ ❯❡♥♦✱ ❙❤♦❦✉r♦✈✱ ❘❡✐❞✱ ❡t❝✱ ♦♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ q✉✬♦♥ ♣✉✐ss❡ ❛✉ss✐ ét❛❜❧✐r ❞❡s ▼▼P ♣♦✉r ❧❡s ✈❛r✐étés ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s s✉♣ér✐❡✉r❡s✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ♣❧✉s✐❡rs ♦❜st❛❝❧❡s ❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t✳ ❯♥❡ ❞❡s ❞✐✣❝✉❧tés ❡st ❞❡ ❣é♥ér❛❧✐s❡r ❧❡s ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥s ❞❡ (−1)✲❝♦✉r❜❡s ❞❛♥s ✉♥❡ s✉r✲ ❢❛❝❡✳ ▲✬✐❞é❡ ❞❡ ▼♦r✐ ❡st ❞❡ r❡♠♣❧❛❝❡r ❧❡s (−1)✲❝♦✉r❜❡s ♣❛r ❧❡s r❛②♦♥s ❡①trê✲ ♠❛✉① ❞❡ ◆❊(X) q✉✐ ♦♥t ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ str✐❝t❡♠❡♥t ♥é❣❛t✐✈❡ ❛✈❡❝ KX ✭❬▼♦r✽✷❪✮✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉❡ ◆❊(X) ❡st ❧❡ ❝ô♥❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❢❡r♠é ❞❛♥s N1(X)❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s 1✲❝②❝❧❡s ❡✛❡❝t✐❢s ❞❛♥s X✱ ♦ù ◆1(X)❡st ❧✬❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ré❡❧ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s ❝❧❛ss❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❞❛♥s X✳ ■❧ ✐♥tr♦❞✉✐t ❛✉ss✐ ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞✬❡s♣❛❝❡ ✜❜ré ❞❡ ▼♦r✐✱ q✉✐ ❡st ❧❛ ❣é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ré❣❧é❡s ❡♥ ❣r❛♥❞❡s ❞✐♠❡♥✲ s✐♦♥s✳ ❯♥❡ ✈❛r✐été ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡ Y ❡st ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ✜❜ré ❞❡ ▼♦r✐ s✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❞✬✉♥ r❛②♦♥ ❡①trê♠❛❧ str✐❝t❡♠❡♥t KY✲♥é❣❛t✐❢ f : Y → Z t❡❧❧❡ q✉❡ dim Z < dim Y ✳ ❯♥ ❛✉tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ✈❛r✐étés ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 3 q✉✐ ♥❡ ♣♦s✲ sè❞❡♥t ♣❛s ❞❡ ♠♦❞è❧❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❧✐ss❡✳ ■❧ ❢❛✉t ❞♦♥❝ ❛✉ss✐ ❝♦♥s✐❞ér❡r ❧❡s ✈❛r✐étés s✐♥❣✉❧✐èr❡s✳ ➚ ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡s tr❛✈❛✉① ❞❡ ❑❛✇❛♠❛t❛✱ ❘❡✐❞✱ ❙❤♦❦✉r♦✈✱ ❡t❝✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞✉ ❝ô♥❡ s✉✐✈❛♥t ♣♦✉r ❧❡s ✈❛r✐étés ♣❡✉ s✐♥❣✉❧✐èr❡s ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬❚❤♠✳ ✸✲✷✲✶ ❡t ❚❤♠✳ ✹✲✷✲✶❪❑▼▼✽✼✮✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✵✳✵✳✸ ✭❚❤é♦rè♠❡ ❞✉ ❈ô♥❡✮✳ ❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ❝♦♠♣❧❡①❡ Q✲ ❢❛❝t♦r✐❡❧❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ à s✐♥❣✉❧❛r✐tés ❑❛✇❛♠❛t❛ ❧♦❣ t❡r♠✐♥❛❧❡s✳ ❆❧♦rs ✶✳ ■❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❛✉ ♣❧✉s ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡ ❞❡ ❝♦✉r❜❡s r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s Cj ⊆ X✱ ❛✈❡❝ j ∈ J✱ t❡❧❧❡s q✉❡ KX · Cj < 0 ♣♦✉r t♦✉t j ❡t ◆❊(X) = ◆❊(X)KX>0+ X j∈J R+[Cj]. ✷✳ P♦✉r t♦✉t ǫ > 0 ❡t t♦✉t ❞✐✈✐s❡✉r ❛♠♣❧❡ H✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ I ❞❡ J t❡❧ q✉❡ ◆❊(X) = ◆❊(X)(KX+ǫH)>0+ X i∈I R+[Ci]. ✸✳ ❙♦✐t R ⊆ ◆❊(X) ✉♥ r❛②♦♥ ❡①trê♠❛❧ ❞♦♥t ❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❛✈❡❝ KX ❡st str✐❝t❡♠❡♥t ♥é❣❛t✐✈❡✳ ❆❧♦rs ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ ✜❜r❛t✐♦♥ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ cR: X → Z t❡❧❧❡ q✉✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ C ⊆ X s♦✐t ❝♦♥tr❛❝té❡ ♣❛r cR s✐ ❡t s❡✉❧❡✲ ♠❡♥t s✐ [C] ⊆ R✳ ▲❡ ♠♦r♣❤✐s♠❡ cR ❡st ❛♣♣❡❧é ❧❛ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❞❡ R✳ ▼ê♠❡ s✐ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❢♦✉r♥✐ ♣❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❝✐✲❞❡ss✉s✱ ✐❧ ② ❛ ❡♥❝♦r❡ ✉♥ ♦❜st❛❝❧❡✳ ❈♦♥s✐❞ér♦♥s ✉♥❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❡①trê♠❛❧❡ c : X → Z✳ ❙✐ ❧❡ ❧✐❡✉ ❡①❝❡♣t✐♦♥♥❡❧ ❞❡ c ❡st ❞❡ ❝♦❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛✉ ♠♦✐♥s 2 ❞❛♥s X✱ ❛❧♦rs ❧❛ ❜❛s❡ Z ❡st tr♦♣ s✐♥❣✉❧✐èr❡ ♣♦✉r ❧✉✐ ❛♣♣❧✐q✉❡r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞✉ ❝ô♥❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❞❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r KZ ♥✬❡st ❥❛♠❛✐s Q✲❈❛rt✐❡r✳ ▲✬✐❞é❡ ❞❡ ▼♦r✐ ♣♦✉r ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞✬✐♥tr♦❞✉✐r❡ ✉♥ ❛✉tr❡ t②♣❡ ❞❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡✱ ❧❡ ✢✐♣✱ ♣♦✉r X✳
❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✾ X ✢✐♣ // X+ }} Z ▲✬❡①✐st❡♥❝❡ ❞❡s ✢✐♣s ❡st ❞é♠♦♥tré❡ ♣❛r ▼♦r✐ ✭❬▼♦r✽✽✱ ❚❤♠✳ ✵✳✷✳✺❪✮ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 3✱ ♣❛r ❙❤♦❦✉r♦✈ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 4 ❡t ♣❛r ❇✐r❦❛r✱ ❈❛s❝✐♥✐✱ ❍❛❝♦♥ ❡t ▼c❑❡r♥❛♥ ✭❬❇❈❍▼✶✵✱ ❈♦r✳ ✶✳✹✳✶❪✮ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❣é♥ér❛❧✳ ❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ❝♦♠♣❧❡①❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❧✐ss❡✳ ❆❧♦rs ♣❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞✉ ❝ô♥❡ ❡t ❧✬❡①✐st❡♥❝❡ ❞❡s ✢✐♣s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❜✐r❛✲ t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❞❡ X X = X0 99KX199K· · · ❖♥ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ q✉✬✉♥❡ t❡❧❧❡ s✉✐t❡ ❡st t♦✉❥♦✉rs ✜♥✐❡ ❡t q✉❡ s✐ X∗ ❡st ❧❡ ❞❡r♥✐❡r t❡r♠❡✱ ❛❧♦rs ♦✉ ❜✐❡♥ KX∗ ❡st ♥❡❢✱ ♦✉ ❜✐❡♥ X∗ ❡st ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ✜❜ré ❞❡ ▼♦r✐✳ ▲❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞❡ t❡r♠✐♥❛✐s♦♥ ❞❡ ▼▼P ❡st éq✉✐✈❛❧❡♥t❡ à ❧❛ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ❞✬✉♥❡ s✉✐t❡ ✐♥✜♥✐❡ ❞❡ ✢✐♣s✳ ❈❡tt❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❡st ❞é♠♦♥tré❡ ♣❛r ❙❤♦❦✉r♦✈ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 3 ✭❬❙❤♦✽✻✱ ❈♦r✳ ✷✳✶✼❪✮ ❡t ♣❛r ❑❛✇❛♠❛t❛✱ ▼❛ts✉❞❛ ❡t ▼❛ts✉❦✐ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ 4 ✭❬❑▼▼✽✼✱ ❚❤♠✳ ✺✲✶✲✶✺❪✮✳ ❊♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛✉ ♠♦✐♥s 5✱ ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❡st ❡♥❝♦r❡ ♦✉✈❡rt❡✳ ❯♥❡ ❛✉tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞❛♥s ❧❡ ▼▼P ❡st ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞✬❆❜♦♥❞❛♥❝❡✳ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ✵✳✵✳✹✳ ✭❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞✬❆❜♦♥❞❛♥❝❡✮ ❙♦✐t Y ✉♥❡ ✈❛r✐été ❝♦♠♣❧❡①❡ Q✲❢❛❝t♦r✐❡❧❧❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ à s✐♥❣✉❧❛r✐tés ❑❛✇❛♠❛t❛ ❧♦❣ t❡r♠✐♥❛❧❡s t❡❧❧❡ q✉❡ KY s♦✐t ♥❡❢✳ ❆❧♦rs ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❡♥t✐❡r m > 0 t❡❧ q✉❡ ❧❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ OY(mKY) s♦✐t ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r s❡s s❡❝t✐♦♥s ❣❧♦❜❛❧❡s✳ ▲❡ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ OY(mKY) ✐♥❞✉✐t ✉♥❡ ✜❜r❛t✐♦♥ f : Y → Z t❡❧❧❡ q✉❡ dim Z = κ(Y )✳ ▲❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞✬❛❜♦♥❞❛♥❝❡ ❡st s❡✉❧❡♠❡♥t ❞é♠♦♥tré❡ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❞❡✉① ❡t tr♦✐s ✭❬❑❛✇✾✷❪✮✳ ❈❡s ❞❡✉① ❞❡r♥✐èr❡s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s s✉❣❣èr❡♥t q✉❡ t♦✉t❡ ✈❛r✐été ❝♦♠♣❧❡①❡ X ❛❞♠❡t✱ à éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡ ♣rès✱ ✉♥❡ ✜❜r❛t✐♦♥ f : X → Y t❡❧❧❡ q✉❡ ❧❛ ✜❜r❡ ❣é♥ér❛❧❡ F ✈ér✐✜❡ q✉❡ ♦✉ ❜✐❡♥ KF ❡st ❛♠♣❧❡✱ ♦✉ ❜✐❡♥ KF = 0✱ ♦✉ ❜✐❡♥ −KF ❡st ❛♠♣❧❡✳ ❘❡♠❛rq✉♦♥s q✉❡ ❝❡tt❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡s ✜❜r❡s r❡ss❡♠❜❧❡ à ❝❡❧❧❡ ❞❡ ❧✬❊①❡♠♣❧❡ ✵✳✵✳✶ ♣♦✉r ❧❡s ❝♦✉r❜❡s✳ ❈❡s tr♦✐s t②♣❡s ❡①trê♠❛✉① ❞❡s ✈❛r✐étés ❢♦r♠❡♥t ❧❛ ❜❛s❡ ❞❡ ❧❛ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡s ✈❛r✐étés✳ ▲❡s ✈❛r✐étés ❞✉ tr♦✐s✐è♠❡ t②♣❡ s♦♥t ❛♣♣❡❧é❡s ✈❛r✐étés ❞❡ ❋❛♥♦✳ P♦✉r ❧❡s ✈❛r✐étés ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❧✐ss❡s X t❡❧❧❡ q✉❡ KX = 0✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡ ❇❡❛✉✈✐❧❧❡✲❇♦❣♦♠♦❧♦✈ s✉✐✈❛♥t✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✵✳✵✳✺ ✭❬❇❡❛✽✸✱ ❚❤♠✳ ✶❪✮✳ ❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❧✐ss❡ t❡❧❧❡ q✉❡ KX s♦✐t ♥✉♠ér✐q✉❡♠❡♥t tr✐✈✐❛❧❡✳ ❆❧♦rs ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ r❡✈êt❡♠❡♥t ✜♥✐ ét❛❧❡ X′ → X t❡❧ q✉❡ X′ ∼= T ×Y i Vi× Y j Wj, ♦ù T ❡st ✉♥ t♦r❡✱ Vi ❡st ✉♥❡ ✈❛r✐été ❞❡ ❈❛❧❛❜✐✲❨❛✉ s✐♠♣❧❡♠❡♥t ❝♦♥♥❡①❡ ❡t Wj ❡st ✉♥❡ ✈❛r✐été s②♠♣❧❡❝t✐q✉❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡✳
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◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞♦♥♥❡r ❞❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❡t ❛❧❧♦♥s r❛♣♣❡❧❡r q✉❡❧q✉❡s rés✉❧t❛ts ♣ré❧✐♠✐♥❛✐r❡s✳ ❯♥❡ ✈❛r✐été ❞é✜♥✐❡ s✉r ✉♥ ❝♦r♣s k ❡st ✉♥ s❝❤é♠❛ ❣é♦♠étr✐q✉❡✲ ♠❡♥t ✐♥tè❣r❡✱ sé♣❛ré ❡t ❞❡ t②♣❡ ✜♥✐ s✉r k✳ ❙❛✉❢ ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✹✳✹✳✸✱ ♥♦✉s tr❛✈❛✐❧❧♦♥s s✉r C✱ ❧❡ ❝♦r♣s ❞❡s ♥♦♠❜r❡s ❝♦♠♣❧❡①❡s✳ ❯♥ ♠♦r♣❤✐s♠❡ f : X → Y ❡♥tr❡ ❞❡✉① ✈❛r✐étés ♥♦r♠❛❧❡s ❡st ❛♣♣❡❧é ✉♥❡ ✜❜r❛t✐♦♥ s✐ f ❡st ♣r♦♣r❡✱ s✉r❥❡❝t✐❢ ❡t à ✜❜r❡s ❝♦♥♥❡①❡s✳ ❙✐ f : X → Y ❡st ✉♥ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ♣r♦♣r❡ s✉r❥❡❝t✐❢ ❡t s✐ ❧❛ ✈❛r✐été X ❡st ❧✐ss❡✱ ❛❧♦rs ❧❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ❞❡ f ❡st ❞é✜♥✐ ❝♦♠♠❡ ❧❡ s♦✉s✲s❝❤é♠❛ ré❞✉✐t ❞❡ Y ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ q✉❡❧❧❡ f ♥✬❡st ♣❛s ❧✐ss❡✳✶✳✶ ❉✐✈✐s❡✉rs s✉r ❧❡s ✈❛r✐étés ♥♦r♠❛❧❡s
❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♥♦r♠❛❧❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ✉t✐❧✐s❡r ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿ Cl(X)✿❂ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ❞✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❞✐✈✐s❡✉rs ❞❡ ❲❡✐❧ s✉r X✳ Pic(X)✿❂ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡ P✐❝❛r❞ ❞❡ X✱ ✐✳❡✳ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ❞✬éq✉✐✈❛✲ ❧❡♥❝❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❞✐✈✐s❡✉rs ❞❡ ❈❛rt✐❡r s✉r X✳ ❩1(X) ✿❂ ❧❡ ❣r♦✉♣❡ ❛❜é❧✐❡♥ ❧✐❜r❡ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s ❝♦✉r❜❡s ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s ❞❛♥s X✳ ❯♥ é❧é♠❡♥t D ❞❛♥s Cl(X)⊗ZQ❡st ❛♣♣❡❧é ✉♥ Q✲❞✐✈✐s❡✉r ✭❞❡ ❲❡✐❧✮✳ ■❧ ❡st ❞✐t Q✲❈❛rt✐❡r s✐ ✉♥ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♥♦♥ ♥✉❧ ❞❡ D ❡st ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❈❛rt✐❡r✳ ❉❡✉① Q✲❞✐✈✐s❡✉rs D ❡t D′ s♦♥t ❞✐ts Q✲❧✐♥é❛✐r❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥ts s✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❡♥t✐❡r ♥♦♥ ♥✉❧ r t❡❧ q✉❡ rD ❡t rD′ s♦✐❡♥t ❞❡✉① ❞✐✈✐s❡✉rs ❞❡ ❲❡✐❧ ❡♥t✐❡rs ❧✐♥é❛✐r❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥ts✳ ❙✐ ❝✬❡st ❧❡ ❝❛s✱ ♦♥ ♥♦t❡ D ∼Q D′✳ ▲❛ ✈❛r✐été X ❡st ❞✐t❡ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥t ❢❛❝t♦r✐❡❧❧❡ s✐ ❧❡ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ♥❛t✉r❡❧ Pic(X) → Cl(X) ❡st s✉r❥❡❝t✐❢✳ ❊❧❧❡ ❡st ❞✐t❡ Q✲❢❛❝t♦r✐❡❧❧❡ s✐ t♦✉t ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❲❡✐❧ ❞❛♥s X ❡st Q✲❈❛rt✐❡r✳ ❙✐ C ❡st ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❡t D ❡st ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❈❛rt✐❡r ❞❛♥s X✱ ❛❧♦rs ♥♦✉s ❞é✜♥✐ss♦♥s ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❞❡ C ❡t D ♣❛r C · D = deg f∗D✱ ♦ù f : ¯C → C ❡t ❧❛ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥✳ ◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❛❧♦rs ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ✶✸❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✶✹ ✉♥ ❛❝❝♦✉♣❧❡♠❡♥t · :❩1(X) × Pic(X) → Z. ❙♦✐t ≡ ❧✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♥✉♠ér✐q✉❡ ♣♦✉r ❝❡t ❛❝❝♦✉♣❧❡♠❡♥t✳ ❆❧♦rs✱ ❡♥ ♣r❡♥❛♥t ❧❡ q✉♦t✐❡♥t ♣❛r r❛♣♣♦rt ❛✉① éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ♥♦♥✲❞é❣é♥éré❡ · :◆1(X) ×◆1(X) → R, ♦ù ◆1(X) = (❩1(X)/ ≡) ⊗ R et ◆1(X) = (Pic(X)/ ≡) ⊗ R. ❈❡s ❞❡✉① ❡s♣❛❝❡s ✈❡❝t♦r✐❡❧s ♦♥t ❧❛ ♠ê♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ρ(X) ❡t ♥♦✉s ❧✬❛♣♣❡❧♦♥s ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ P✐❝❛r❞ ❞❡ X✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡s s✉r❢❛❝❡s✱ ✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ C ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧❡ ❧✐❡✉ ❧✐ss❡ ❞✬✉♥❡ s✉r❢❛❝❡ S ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ✉♥❡ (−k)✲❝♦✉r❜❡ s✐ ❡❧❧❡ ✐s♦♠♦r♣❤❡ à P1 ❡t C · C = −k✳ ❙♦✐t D =Pr i=1aiDi ✉♥ Q✲❞✐✈✐s❡✉r ♥♦♥ ♥✉❧✱ ♦ù ❧❡s Di s♦♥t ❞❡s ❞✐✈✐s❡✉rs ♣r❡♠✐❡rs ❡t ❧❡s ais♦♥t ❞❡s ♥♦♠❜r❡s r❛t✐♦♥♥❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s✳ ❆❧♦rs D ❡st ❞✐t ❡✛❡❝t✐❢ s✐ ai>0♣♦✉r t♦✉t i✳ ■❧ ❡st ❞✐t Q✲❡✛❡❝t✐❢ s✬✐❧ ❡st Q✲❧✐♥é❛✐r❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t à ✉♥ Q✲❞✐✈✐s❡✉r ❡✛❡❝t✐❢✳ ▲❡ ❞✐✈✐s❡✉r Dred ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r Dred= r X i=1 Di. ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ min{ai}❧❡ ♣❧✉s ♣❡t✐t ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ D✳ ◆♦t♦♥s [D] =Pri=1[ai]Di ∈ Cl(X)✱ ♦ù [ai]❡st ❧❛ ♣❛rt✐❡ ❡♥t✐èr❡ ❞❡ ai✳ ▲❡ ❞✐✈✐s❡✉r D ❡st ❞✐t à ❝r♦✐s❡♠❡♥ts ♥♦r♠❛✉① s✐♠♣❧❡s ♦✉ s♥❝ ✭✓s✐♠♣❧❡ ♥♦r♠❛❧ ❝r♦ss✐♥❣✔ ❡♥ ❛♥❣❧❛✐s✮ s✐ t♦✉s ❧❡s Di s♦♥t ❧✐ss❡s ❡t t♦✉t❡s ❧❡✉rs ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s s♦♥t tr❛♥s✈❡rs❡s✳ ❙♦✐t ◆❊(X) ❧❡ ❝ô♥❡ ❢❡r♠é ❝♦♥✈❡①❡ ❞❛♥s ◆1(X) ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s ❝❧❛ss❡s ❞❡ ❝♦✉r❜❡s✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✶✳ ❯♥ é❧é♠❡♥t D ❞❛♥s ◆1(X)❡st ❞✐t ♥❡❢ s✐ α · D > 0 ♣♦✉r t♦✉t❡ ❝❧❛ss❡ α ∈ ◆❊(X)✳ ◆♦t♦♥s Nef(X) ❧❡ ❝ô♥❡ ❞❛♥s ◆1(X) ❞❡s ❝❧❛ss❡s ♥❡❢s✳ ❙♦✐t Amp(X) ❧❡ ❝ô♥❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❞❛♥s ◆1(X) ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s ❝❧❛ss❡s ❞❡ ❞✐✈✐s❡✉rs ❛♠♣❧❡s✳ ❯♥ Q✲❞✐✈✐s❡✉r Q✲❈❛rt✐❡r D ❡st ❞✐t Q✲❛♠♣❧❡ ✭♦✉ ❛♠♣❧❡✮ s✐ mD ❡st ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❈❛rt✐❡r ❛♠♣❧❡ ♣♦✉r ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❡♥t✐❡r m > 0✳ P❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t✱ ❧❡ ❝ô♥❡ Nef(X) ❡st ❧✬❛❞❤ér❡♥❝❡ ❞❡ Amp(X) ❡t Amp(X) ❡st ❧✬✐♥tér✐❡✉r ❞❡ Nef(X)✳ ❚❤é♦rè♠❡ ✶✳✶✳✷ ✭❈r✐tèr❡ ❞❡ ❑❧❡✐♠❛♥ ❬❑❧❡✻✻✱ Pr♦♣✳ ■❱✳✷✳✷❪✮✳ ❯♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❈❛rt✐❡r D ∈ Pic(X) ❡st ❛♠♣❧❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ α · D > 0 ♣♦✉r t♦✉t❡ ❝❧❛ss❡ α ∈ ◆❊(X)\{0}✳ ❙♦✐t f : X → Y ✉♥ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ♣r♦❥❡❝t✐❢ ❡♥tr❡ ❞❡✉① ✈❛r✐étés ♥♦r♠❛❧❡s ❡t s♦✐t D ✉♥ Q✲❞✐✈✐s❡✉r Q✲❈❛rt✐❡r s✉r X✳ ❆❧♦rs D ❡st ❞✐t f✲r❡❧❛t✐✈❡♠❡♥t ❛♠♣❧❡ ♦✉ f✲❛♠♣❧❡ s✐ ❧❛ r❡str✐❝t✐♦♥ ❞❡ D s✉r ❝❤❛q✉❡ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡
❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✶✺ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ✜❜r❡ ❞❡ f ❡st ❛♠♣❧❡✳ ❉❡ ♠❛♥✐èr❡ éq✉✐✈❛❧❡♥t❡✱ D ❡st f✲❛♠♣❧❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ α · D > 0 ♣♦✉r t♦✉t❡ ❝❧❛ss❡ α ∈ ◆❊(X/Y )\{0}✱ ♦ù ◆❊(X/Y ) ❡st ❧❡ ❝ô♥❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❢❡r♠é ❞❛♥s N1(X)❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s ❝♦✉r❜❡s ❝♦♥tr❛❝té❡s ♣❛r f ✭✈♦✐r ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❬❑▼✾✽✱ ❚❤♠✳ ✶✳✹✹❪✮✳ ❙♦✐t Psef(X) ⊆ ◆1(X)❧❡ ❝ô♥❡ ❞❡s ❞✐✈✐s❡✉rs ♣s❡✉❞♦✲❡✛❡❝t✐❢s✱ ✐✳❡✳ ❧❡ ❝ô♥❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❢❡r♠é ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❞❡s ❞✐✈✐s❡✉rs ❡✛❡❝t✐❢s✳ ❈♦♠♠❡ ❧❡s ❞✐✈✐s❡✉rs très ❛♠♣❧❡s s♦♥t ❡✛❡❝t✐❢s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s Nef(X) ⊆ Psef(X)✳ ❙♦✐t f : Y → X ✉♥ ♠♦r♣❤✐s♠❡ s✉r❥❡❝t✐❢ ❡♥tr❡ ❞❡✉① ✈❛r✐étés ♥♦r♠❛❧❡s ♣r♦❥❡❝t✐✈❡s✳ ❙♦✐t D ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❛♥s Pic(X) ⊗ZQ✳ ❆❧♦rs✱ ♥♦✉s ❞é✜♥✐ss♦♥s ❧❡ t✐ré✲❡♥✲❛rr✐èr❡ ❞❡ D ♣❛r f ♣❛r f∗D = 1 rf ∗(rD) ∈ Pic(Y ) ⊗ ZQ, ♦ù r ❡st ✉♥ ❡♥t✐❡r ♥♦♥ ♥✉❧ t❡❧ q✉❡ rD ∈ Pic(X)✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ s✐ f ❡st ❡q✉✐❞✐✲ ♠❡♥s✐♦♥♥❡❧ ❡t s✐ D ❡st ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❲❡✐❧ ❡♥t✐❡r✱ ❛❧♦rs f∗D ❝♦ï♥❝✐❞❡ ❛✈❡❝ ❧✬❛❞❤ér❡♥❝❡ ❞❡ (f|Y0) ∗(D| X0)❞❛♥s Y ✱ q✉✐ ❡st ❛✉ss✐ ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❲❡✐❧ ❡♥t✐❡r✱ ♦ù X0 ❡st ❧❡ ❧✐❡✉ ❧✐ss❡ ❞❡ X ❡t Y0= f−1(X0)✳ ❙♦✐t f : X 99K Y ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❜✐r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡t s♦✐t D ∈ Cl(X) ⊗ZQ✳ ▲❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ str✐❝t❡ ❞❡ D ♣❛r f✱ f∗D✱ ❡st ❞é✜♥✐❡ ❝♦♠♠❡ ét❛♥t ❧✬❛❞❤ér❡♥❝❡ ❞❡ f|U(U ∩ D)✱ ♦ù U ❡st ❧❡ ♣❧✉s ❣r❛♥❞ ♦✉✈❡rt ❞❡ X t❡❧ q✉❡ f|U s♦✐t ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡✳
✶✳✷ ❋❛✐s❝❡❛✉① ré✢❡①✐❢s
✶✳✷✳✶ Pr♦♣r✐étés ❞❡ ❜❛s❡ ❙♦✐❡♥t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ♥♦r♠❛❧❡ ❡t F ✉♥ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t s✉r X✳ ▲❡ ❢❛✐s✲ ❝❡❛✉ ❞✉❛❧ ❞❡ F ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r F∗ = H om(F , O X)✳ ▲❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ F ❡st ❞✐t ré✢❡①✐❢ s✐ ❧❡ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ♥❛t✉r❡❧ F → F∗∗ ❡st ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡✳ ❊♥ ♣❛rt✐✲ ❝✉❧✐❡r✱ F∗∗ ❡st ✉♥ ❢❛✐s❝❡❛✉ ré✢❡①✐❢ ❡t ❡st ❛♣♣❡❧é ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ré✢❡①✐✈❡ ❞❡ F ✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ ❝r✐tèr❡ ❞❡ ré✢❡①✐✈✐té s✉✐✈❛♥t✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✷✳✶ ✭❬❍❛r✽✵✱ Pr♦♣ ✶✳✻❪✮✳ ❙♦✐t F ✉♥ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t s✉r ✉♥❡ ✈❛r✐été ♥♦r♠❛❧❡ X✳ ❆❧♦rs F ❡st ré✢❡①✐❢ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✬✐❧ ❡st s❛♥s t♦rs✐♦♥ ❡t ♣♦✉r t♦✉t ♦✉✈❡rt U ❡t t♦✉t ❢❡r♠é Y ⊆ U t❡❧ q✉❡ codimUY > 2✱ ❧❡ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ♥❛t✉r❡❧ F (U) → F (U\Y ) ❡st ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡✳ P♦✉r ✉♥ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t F s✉r ✉♥❡ ✈❛r✐été ♥♦r♠❛❧❡ X✱ ♥♦t♦♥s F[⊗m]= (F⊗m)∗∗ ❡t F[∧m] = (F∧m)∗∗✳ ❙✐ G ❡st ✉♥ ❛✉tr❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t s✉r X✱ ❛❧♦rs ♥♦✉s ♥♦t♦♥s F [⊗]G = (F ⊗ G )∗∗✳ ❙♦✐t D ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❲❡✐❧ s✉r X✳ ❉é✜♥✐ss♦♥s ❧❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ OX(D) ♣❛r✱ ♣♦✉r t♦✉t ♦✉✈❡rt U ❞❡ X✱OX(D)(U ) = {f fonction rationnelle de X | div(f ) + D est effectif} ∪ {0}, ♦ù div(f) ❡st ❧❡ ❞✐✈✐s❡✉r ❛ss♦❝✐é❡ à f✳ ❘❡♠❛rq✉♦♥s q✉❡ OX(D) ❡st ré✢❡①✐❢ ❡t q✉❡ s✐ ❞❡✉① ❞✐✈✐s❡✉rs D ❡t D′ s♦♥t ❧✐♥é❛✐r❡♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥ts✱ ❛❧♦rs ❧❡s
❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✶✻ ❢❛✐s❝❡❛✉① OX(D)❡t OX(D′)s♦♥t ✐s♦♠♦r♣❤❡s ✭✈♦✐r ❬❘❡✐✽✵✱ ❆♣♣❡♥❞✐① t♦ ➓✶❪✮✳ ◆♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❞♦♥❝ ✉♥ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞❡ ❣r♦✉♣❡
Cl(X) → {faisceaux r´eflexifs de rang 1}/∼= ✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✷✳✷ ✭✈♦✐r ❬❘❡✐✽✵✱ ❆♣♣❡♥❞✐① t♦ ➓✶❪✮✳ ▲❡ ♠♦r♣❤✐s♠❡ ❞é✜♥✐ ❝✐✲❞❡ss✉s ❡st ✉♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠❡✳ ❙♦✐t Ω1 X ❧❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❞❡s ❢♦r♠❡s ❞❡ ❑ä❤❧❡r s✉r X✳ ❙♦✐t Ω [r] X ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ré✢❡①✐✈❡ ❞❡ Ωr X = (Ω1X)∧r ♣♦✉r t♦✉t r > 0✳ ❙✐ dim X = n✱ ❛❧♦rs ♦♥ ♥♦t❡ ωX = Ω[n]X ❡t ♦♥ ❧✬❛♣♣❡❧❧❡ ❧❡ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ X✳ ❙♦✐t KX ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❲❡✐❧ t❡❧ q✉❡ OX(KX) ∼= ωX✳ ▲❡ ❞✐✈✐s❡✉r KX ❡st ❛♣♣❡❧é ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ X✳ ▲❛ ✈❛r✐été X ❡st ❞✐t❡ ●♦r❡♥st❡✐♥ s✐ ❡❧❧❡ ❡st ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❡t KX ❡st ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❈❛rt✐❡r✳ ❊❧❧❡ ❡st ❞✐t❡ Q✲●♦r❡♥st❡✐♥ s✐ KX ❡st Q✲❈❛rt✐❡r✳ ❯♥ é❧é♠❡♥t σ ❞❛♥s H0(X, (Ω1 X)[⊗m]) ❡st ❛♣♣❡❧é ✉♥❡ m✲♣❧✉r✐✲❢♦r♠❡ ✭ré✢❡①✐✈❡✮ s✉r X✱ ♦ù m > 0 ❡st ✉♥ ❡♥t✐❡r✳ ✶✳✷✳✷ P❡♥t❡ ❞❡s ❢❛✐s❝❡❛✉① ❝♦❤ér❡♥ts ❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ❝♦♠♣❧❡①❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♥♦r♠❛❧❡ Q✲❢❛❝t♦r✐❡❧❧❡✳ ❙♦✐t α ∈ ◆1(X)✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞❡ ❝♦✉r❜❡ ❡t s♦✐t F ❢❛✐s❝❡❛✉ ré✢❡①✐❢ ❞❡ r❛♥❣ ✉♥✳ ❆❧♦rs ♣❛r Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✷✳✷✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❞❡ ❲❡✐❧ D t❡❧ q✉❡ OX(D) ∼= F✳ ❖♥ ❞é✜♥✐ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ α · F ♣❛r α · F = α · D✳ ❯♥❡ ❝❧❛ss❡ α ∈ ◆1(X) ❡st ❞✐t❡ ♠♦❜✐❧❡ s✐ α · D > 0 ♣♦✉r t♦✉t ❞✐✈✐s❡✉r ❡✛❡❝t✐❢ D ✭❬❇❉PP✶✸✱ ❚❤♠✳ ✵✳✷❪✮✳ ❙♦✐t F ✉♥ ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t s✉r X ❡t s♦✐t H ✉♥ s♦✉s✲❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t✳ ❆❧♦rs✱ ❧❡ ♣❧✉s ♣❡t✐t s♦✉s✲❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t Hsat ❝♦♥t❡♥❛♥t H t❡❧ q✉❡ ❧❡ q✉♦t✐❡♥t F /Hsat s♦✐t ✉♥ ❢❛✐s❝❡❛✉ s❛♥s t♦rs✐♦♥ ❡st ❛♣♣❡❧é ❧❛ s❛t✉r❛t✐♦♥ ❞❡ H ✳ ▲❡ s♦✉s✲❢❛✐s❝❡❛✉ H ❡st ❞✐t s❛t✉ré s✐ H = Hsat✳ ❙♦✐t α ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ♠♦❜✐❧❡✳ ❆❧♦rs ♣♦✉r t♦✉t ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t F ❞❡ r❛♥❣ str✐❝t❡♠❡♥t ♣♦s✐t✐❢ s✉r X✱ ♥♦✉s ❞é✜♥✐ss♦♥s ❧❛ ♣❡♥t❡ ❞❡ F ♣❛r r❛♣♣♦rt à α ♣❛r µα(F ) := α · det F rang F , ♦ù det F = (F∧(rang F ))∗∗✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ s♦✐t
µmaxα (F ) = sup{µα(G ) | G ⊆ F un faisceau coherent}.
P♦✉r t♦✉t ❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t F ❞❡ r❛♥❣ str✐❝t❡♠❡♥t ♣♦s✐t✐❢✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ s♦✉s✲❢❛✐s❝❡❛✉ ❝♦❤ér❡♥t s❛t✉ré H ⊆ F t❡❧ q✉❡ µmax α (F ) = µα(H ) ✭❬●❑P✶✹✱ ❆♣♣✳ ❆❪✮✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✷✳✸ ✭❬●❑P✶✹✱ ❆♣♣✳ ❆❪✮✳ ❙♦✐t X ✉♥❡ ✈❛r✐été ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ♥♦r✲ ♠❛❧❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ Q✲❢❛❝t♦r✐❡❧❧❡✳ ❙♦✐t α ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ♠♦❜✐❧❡✳ ❆❧♦rs ♣♦✉r t♦✉s ❢❛✐s✲ ❝❡❛✉① ❝♦❤ér❡♥ts F ❡t G ❞❡ r❛♥❣ str✐❝t❡♠❡♥t ♣♦s✐t✐❢✱ ♦♥ ❛ µα((F ⊗ G )∗∗) = µα(F ) + µα(G )
❲❡♥❤❛♦ ❖❯ ✶✼ ❡t
µmaxα ((F ⊗ G )∗∗) = µmaxα (F ) + µmaxα (G ).
❙✐ A ❡st ✉♥ ❞✐✈✐s❡✉r ❛♠♣❧❡ ❞❛♥s X✱ ❛❧♦rs An−1❡st ✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ♠♦❜✐❧❡✱ ♦ù n ❡st ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ X✳ P♦✉r s✐♠♣❧✐❝✐té✱ ♦♥ ♥♦t❡ µA= µAn−1❡t µmaxA = µmaxAn−1✳
✶✳✸ ❙✐♥❣✉❧❛r✐tés t❡r♠✐♥❛❧❡s✱ ❝❛♥♦♥✐q✉❡s ❡t ❑❛✇❛✲
♠❛t❛ ❧♦❣ t❡r♠✐♥❛❧❡s
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