Partie A « Robot de chargement »

DS5-2014_CORRIGE

Partie A « Robot de chargement »

[12 Pts]

1. Présentation du mécanisme

Le schéma cinématique de la fig.1 représente l’architecture d’un robot de chargement – déchargement. Ce mécanisme est constitué de trois solides principaux :

- le bras S1 en liaison pivot d’axe (O,Y0) par rapport à S0 et de repère R1(O,X1,Y0,Z1)

- l’avant-bras S2 en liaison pivot d’axe (A,Z1) par rapport à S1 et de repère R2(A,X2,Y2,Z1) - la coulisse S3 en liaison glissière d’axe (A,Y2) par

rapport à S2 et de repère R3(B,X2,Y2,Z1)

Trois moteurs permettent de commander les trois liaisons de ce robot. Il en résulte que les paramètres α, β et λ sont variables et indépendants.

La géométrie du système est la suivante :

x1

a OA r

= ^; AB byr₂

= ^et BC yr₂

λ

=

(a et b sont des constantes positives)

2. Etude cinématique

Question A-1 : Donner l’expression des vecteurs suivants :

1 . )

0 / 1 ,

(A a Z

V =−

α

^&

2 . )

1 / 2 ,

(B b X

V =−

β

^&

0 . ) 0 / 1

( =

α

^&Y

Ω

1 . ) 1 / 2

( =

β

^&Z

Ω

0 ) 2 / 3

( =

Ω

Question A-2 : Calculer V(B,2/0) en dérivant le vecteur position.

( )

^{. 1} _{1/0 . 1} ^{. 2} _{2/0 . 2}

) 0 / 2 , (

2 1

0

Y dt b

Y b X d

dt a X a d dt

OB B d

V

R R

R

∧ Ω

 +









 +

∧ Ω

 +











=











=

(

^{. 0 . 1}

)

^{. 2}

1 . 0 . ) 0 / 2 ,

(B Y aX Y Z bY

V =

α

^& ∧ +

α

^& +

β

^& ∧

2 . 1 . sin . 1 . )

0 / 2 ,

(B a Z b Z b X

V =−

α

^& +

α

^&

β

−

β

^&

Question A-3 : Calculer V(B,2/0) avec la relation de composition des vitesses.

0 / 2 )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

(B =V A +BA∧Ω

V^{(B,2/0) a .Z1 b.Y2}

(

^{.Y0 .Z1}

)

V =−

α

^& − ∧

α

^& +

β

^&

2 . 1 . sin . 1 . )

0 / 2 ,

(B a Z b Z b X

V =−

α

^& +

α

^&

β

−

β

^&

Fig. 1

Question A-4 : Calculer V(C,3/0)par la méthode de votre choix.

La méthode de la dérivation n’est pas forcément la plus longue.

Par analogie avec le calcul de la question A-2, on trouve :

( )

^{. 1} _{1/0 . 1} ^{( ). 2} _{2/0 ( ). 2}

) 0 / 3 , (

2 1

0

Y dt b

Y b X d

dt a X a d dt

OC C d

V

R R

R

λ

_{+Ω ∧ +}

λ











 +

+

∧ Ω

 +











=











=

(

^{. 0 . 1}

)

^{( ). 2}

2 . 1 . 0 . ) 0 / 2 ,

(B Y aX Y Y Z b Y

V =

α

& ∧ +

λ

& +

α

& +

β

& ∧ +

λ

2 . ) ( 1 . sin . ) ( 2 . 1 . )

0 / 2 ,

(B a Z Y b Z b X

V =−

α

^& +

λ

^& + +

λ α

^&

β

− +

λ β

^&

On peut également utiliser la relation de composition des vitesses : )

0 / 2 , ( ) 2 / 3 , ( ) 0 / 3 ,

(C V C V C

V = +

Cette méthode de calcul n’a d’intérêt que si l’on est capable de déterminer V(C,2/0) sans calcul.

Pour cela, il faut que le point C soit fixe par rapport à S2, c’est-à-dire

( λ

=^cste

)

^.

On peut en déduire que V(C,2/0) est analogue à V(B,2/0) , il suffit de remplacer le rayon de rotation (b) par (b+λ) :







+

− +

+

−

=

=

2 . ) ( 1 . sin . ) ( 1 . )

0 / 2 , (

2 . ) 2 / 3 , (

X b

Z b

Z a C

V

Y C

V

β λ β

α λ α

λ

&

&

&

&

Sinon, il faut impérativement calculer V(C,2/0) par une formule de champ des vitesses : 0

/ 2 )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

(C =V B +CB∧Ω

V^{(C,2/0) a .Z1 b .sin .Z1 b .X2 .Y2}

(

^{.Y0 .Z1}

)

V =−

α

^& +

α

^&

β

−

β

^& −

λ

∧

α

^& +

β

^&

2 . 1 . sin . 2 . 1 . sin . 1 . )

0 / 2 ,

(B a Z b Z b X Z X

V =−

α

^& +

α

^&

β

−

β

^& +

λ α

^&

β

−

λ β

^&

2 . ) ( 1 . sin . ) ( 1 . )

0 / 2 ,

(B a Z b Z b X

V =−

α

^& + +

λ α

^&

β

− +

λ β

^&

Quelque soit la méthode de calcul de la vitesse d’entrainement, on en déduit : 2

. ) ( 1 . sin . ) ( 2 . 1 . )

0 / 2 ,

(B a Z Y b Z b X

V =−

α

^& +

λ

^& + +

λ α

^&

β

− +

λ β

^&

Question A-5 : Calculer Γ(B,2/1) etΓ(A,1/0) ^. 1

².

1 . )

0 / 1 ,

(A =−a

α

^&&Z −a

α

^& X

Γ

2

².

2 . )

1 / 2 ,

(B =−b

β

^&&X −b

β

^& Y

Γ

Question A-6 : En déduire Γ(B,2/0) en appliquant la relation de composition des accélérations.

) 1 / 2 , ( 0 / 1 2 ) 0 / 1 , ( ) 1 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

(B =Γ B +Γ B + ×Ω ∧V B

Γ

Le seul terme délicat à calculer est l’accélération d’entrainement Γ(B,1/0)

La méthode académique est de le calculer en appliquant la formule de champ des accélérations :

( )

0

0 / 0 1

/ 1 0

/ 1 ) 0 / 1 , ( ) 0 / 1 , (

dt R

BA d BA

A

B 









 Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω + Γ

= Γ

( )

0

0 2 .

. 0 . 2 ) ( 0 . 1

² 1 )

0 / 1 , (

dt R

Y Y d

b Y Y

b Y

X a Z a

B 









∧

−

∧

−

∧ +

−

−

=

Γ

α

^&&

α

^&

α

^&

α

^&

α

^&

1

² . sin . 1 . sin . 1

² 1 )

0 / 1 ,

(B =−a

α

^&&Z −a

α

^& X +b

β α

^&&Z +b

β α

^& X

Γ

On peut éviter ce calcul, en remarquant que pour la rotation de S1/S0, le rayon de rotation du point B est )

sin .

(^a−^b β et que l’axe de rotation (O,Y0) est contenu dans le plan (O, A, B).

On en déduit que ce vecteur accélération est analogue à Γ( A,1/0) , il suffit de remplacer le rayon de rotation (a) par (a-b.sinβ) , on obtient directement :

1

² ) sin . ( 1 ) sin . ( ) 0 / 1 ,

(B =− a−b

β α

^&&Z − a−b

β α

^& X

Γ

Quelque soit la méthode de calcul de l’accélération d’entrainement, on obtient :

1 . cos . . 2 1

² ) sin . ( 1 ) sin . ( 2

².

2 . )

0 / 2 ,

(B =−b

β

^&&X −b

β

^& Y − a−b

β α

^&&Z − a−b

β α

^& X + b

α

^&

β

^&

β

Z

Γ

Question A-7 : En déduire Γ(C,3/0).

Comme pour le calcul de vitesse, la méthode de la dérivation n’est pas forcément la plus longue mais la méthode la plus rapide est d’utiliser une relation de composition des accélérations :

) 2 / 3 , ( 0 / 2 2 ) 0 / 2 , ( ) 2 / 3 , ( ) 0 / 3 ,

(C =Γ C +Γ C + ×Ω ∧V C

Γ

Comme pour la vitesse, on obtient Γ(C,2/0) en remplaçant (b) par (b+λ) dansΓ(B,2/0) ^:

1 . cos . ).

( 2 1

² ) sin ).

( ( 1 ) sin ).

( ( 2

².

) ( 2 . ) ( ) 0 / 2 ,

(B =− b+

λ β

^&&X − b+

λ β

^& Y − a− b+

λ β α

^&&Z − a− b+

λ β α

^& X + b+

λ α

^&

β

^&

β

Z

Γ

Les deux autres termes se calculent sans difficulté :

( )







−

=

∧ +

=

∧ Ω

×

= Γ

2 . 2 1 . sin . 2 2 . 1 . 0 . 2 ) 2 / 3 , ( 0 / 2 2

2 . ) 2 / 3 , (

X Z

Y Z

Y C

V

Y C

λ β β

λ α λ

β α

λ

&

&

&

&

&

&

&

&

&

On en déduit :

2 . 2 1 . sin . 2 1 . cos . ).

( 2

2 .

2

².

) ( 2 . ) (

1

² ) sin ).

( ( 1 ) sin ).

( ( ) 0 / 3 , (

X Z

Z b

Y

Y b

X b

X b

a Z b

a C

λ β β

λ α β

β α λ

λ

β λ β

λ

α β λ α

β λ

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

− +

+ +

+

− +

−

+

−

− +

−

−

= Γ

Partie B : « Chaudière à bois déchiqueté HSV 30 »

[8 pts]

Cette partie est extraite du sujet de concours « Mines AADN » 2010 filière PSI.

1. Présentation du système

L’étude porte sur un sous ensemble de la chaudière à bois déchiqueté HSV 30 de la société Hargassner (figure 2). Cette chaudière, qui développe une puissance de chauffe de 25 à 35 kW, est constituée de différents sous-ensembles :

- Le sous-ensemble d’alimentation automatique en bois déchiqueté.

- Le sous-ensemble de combustion et d’évacuation des gaz.

- Le sous-ensemble de nettoyage automatique des cendres et des suies.

Ce dernier sous-ensemble remplit deux fonctions : évacuer les cendres du foyer à l’aide d’une vis d’Archimède et éviter la formation des suies sur les conduits d’évacuation des gaz de combustion à l’aide de lames hélicoïdales appelées « turbulateurs ».

Sur les figures 3 et 4 ci-dessous, on peut observer que les gaz de combustion doivent passer à travers un échangeur avant de rejoindre le conduit de fumée. Cet échangeur est un réseau de 8 tubes parallèles. Afin d’en augmenter l’efficacité, il est important d’allonger le parcours des fumées. C’est l’un des rôles des 8 turbulateurs en forme d’hélice. Par ailleurs, la mise en translation alternative de ces turbulateurs permet de « racler » les tubes de l’échangeur et de décrocher les suies qui se condensent sur les parois des tubes.

La mise en mouvement des turbulateurs est assurée par un moto- réducteur permettant la rotation continue de la manivelle 1 à une vitesse de N1 = 30 tr/min (figure 5). La bielle 2 transmet le mouvement à l’équerre 3. Le mouvement du point D entraine la

tringle de commande 4 et l’axe de commande 5 (figure 4). Pour finir les rotations alternatives de l’axe de commande engendrent les translations alternatives des turbulateurs.

L’étude suivante ne porte que sur la transformation du mouvement de rotation continue de la manivelle 1 en rotation alternative de l’équerre 3 (figure 5).

On définit :

• R0 (O, x0, y0, z) lié à S0

• R1 (O, x1, y1, z) lié à S1

• R2 (A, x2, y2, z) lié à S2

• R3 (O, x3, y3, z) lié à S3

• R3* (O, x3*, y3*, z) lié à S3 mais décalé

angulairement par rapport à R3 d’un angle α = cst.

On pose les notations des dimensions constantes de ce

mécanisme : OC = L = 390 mm ; OA = a = 55 mm ; AB = b = 120 mm ; BC = c = 395 mm et CD = d = 180 mm

Figure 3 Figure 4

Figure 5

Fig. 2

2. Travail demandé

Question B-1 : En décrivant la boucle vectorielle OABC, en déduire les deux équations scalaires reliant les angles

θ

₁₀^,

θ

20 ^et

θ

30^.

CB OC AO

AB= + +





 +







−

+









−

= −







−

30 30 10

10 20

20

sin .

cos . 0

sin .

cos . cos

. sin .

θ θ θ

θ θ

θ

c c L a

a b

b





+

−

=

− +

=

2 . sin

. sin

. cos

.

1 . cos

. cos

. sin

.

30 10

20

30 10

20

eq c

a b

eq c

L a

b

θ θ

θ

θ θ

θ

Question B-2 : En déduire une relation entre

θ

₁₀ ^et

θ

30 en fonction des longueurs constantes.

30 10

30 10

30 10 2

2 .2 ² ² ² ² 2 .sin .sin 2 .cos 2 .cos 2 .cos .cos

1

. ^{eq b a c L ac} θ θ ^aL θ ^Lc θ ^ac θ θ

eq + ⇒ = + + − + − −

Question B-3 : Tracer le schéma cinématique de ce mécanisme dans les deux positions extrêmes qui définissent l’amplitude de mouvement de l’équerre 3, en déduire les valeurs mini et Maxi de l’angle θ₃₀en fonction des différentes dimensions.

Les positions angulaires extrêmes de S3 sont obtenues lorsque les points O, A, B sont alignés.

Les valeurs mini et maxi de l’angle θ₃₀ se calculent aisément en appliquant le théorème d’Al Kashi dans le triangle OCB : ^OB² =^OC²+^CB²−2.^OC.^CB.cosθ₃₀ avec OBmaxi = b+a et OBmini = b-a









°

≈



 





×

×

+

−

= +



 



 + − +

=

°

≈



 





×

×

−

−

= +



 



 + − −

=

⇒

120 113 390 2

)² 55 395 (

² 120

² arccos 390 2

)² (

² arccos ²

max

120 57 390 2

)² 55 395 (

² 120

² arccos 390 2

)² (

² arccos ²

min

30 30

Lc a b c L

Lc a b c L

θ θ

Question B-4 : Calculer la norme de V( A,1/0) . s

mm OA

A

V( ,1/0) = .

ω

1=55⋅

π

≈173 /

Question B-5 : Par un tracé graphique sur le document réponse, en déduireV(B,3/0), et V(D,3/0) . Pour « passer » de V( A,1/0)à V(B,3/0), on distingue 3 étapes :

- Le point A est le centre de l’articulation entre S1 et S2 V(A,1/0)=V(A,2/0)

- Le point B est le centre de l’articulation entre S2 et S3 V(B,2/0)=V(B,3/0)⊥(CB)

- Les points A et B appartiennent à S2 : on peut construire V(B,2/0) à partir de V( A,2/0) par les deux méthodes graphiques : « équiprojectivité » ou « CIR et champ des vitesses de S2/S0 »

Pour « passer » de V(B,3/0)à V(D,3/0), on peut utiliser les deux mêmes méthodes car ces deux points

Avec l’équiprojectivité :

Avec le champ des vitesses, en déterminant le CIR I20 du mouvement de S2/S0 :

Question B-6 : En déduire Ω(2/0)^{, et} Ω(3/0) ^.

Pour déterminer les rotations par une méthode graphique, il est nécessaire de déterminer les centre de rotation (cf tracé précédent).

Question B-7 : Tracer le schéma cinématique de ce mécanisme dans les 2 positions où V(D,3/0)est maxi.

L’un des rares avantages que l’équiprojectivité peut avoir par rapport à la méthode du champ des vitesses, est de pouvoir plus facilement repérer les configurations où la vitesse est mini ou maxi.

Dans ce cas, où l’orientation de la barre AB varie beaucoup moins que celle de la manivelle d’entrée OA, la vitesse du point B sera maximum lorsque la vitesse de A sera alignée avec (AB).

Les deux positions correspondent aux deux configurations où le triangle OAB sera rectangle en A :