Liens entre les propriétés statistiques et dynamiques des fragments produits lors des collisions d'ions lourds autour de l'énergie de Fermi.

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autour de l’énergie de Fermi.

G. Lehaut

To cite this version:

U.F.R. des SCIENCES

ÉCOLE DOCTORALESIMEM

THÈSE

présentée par

Monsieur Grégory LEHAUT

et soutenue le 14 o tobre 2009

en vue de l'obtention du

DOCTORAT de l'UNIVERSITÉ de CAEN

Spé ialité : Constituants Élémentaires et Physique Théorique

(Arrété du 7 août 2006)

Titre :

Liens entre les propriétés statistiques et

dynamiques des fragments produits lors

des ollisions d'ions lourds autour

de l'énergie de Fermi

JURY

M. Bernard BORDERIE, Dire teur de re her he CNRS, IPN Orsay (Rapporteur)

M. Fouad RAMI, Chargé de re her he CNRS, IPHC Strasbourg (Rapporteur)

M. RémiBOUGAULT, Dire teur de re her he CNRS, LPC Caen (Dire teur de thèse)

M. Giuseppe CARDELLA, Physi iens INFN, Catanes

M. Jean COLIN, ProfesseurUCBN, UCBN Caen

dynamiques des fragments produits lors des

ollisions d'ions lourds autour de l'énergie de

Fermi.

Grégory Lehaut

Enpremierlieu, je tiensà remer ier Jean-ClaudeSte kmeyer, dire teur du LPC

Caen, pour m'avoir a ueilliau sein du laboratoire.

Mer iàJeanColind'avoirprésidémonjurydethèse.Jeremer ieFouadRamiet

Bernard Borderie d'avoir a epté de rapporter e manus ript, et d'y avoir apporté

des orre tions pour sa ompréhension. Je remer ie Giuseppe Cardella d'avoir fait

ledépla ementdepuis Catanepour fairepartie du jury de ette thèse.

Mer i à Rémi Bougault d'avoir été le dire teur de ette thèse, ainsi que le hef

du groupe "dynamique et thermodynamique du noyau" au LPC. J'en prote pour

remer ierl'ensembledesmembresde egroupepour leursdisponibilités:Emmanuel

(ave quij'aipassédetrèsbonmomentslorsdustagedeM2),Marian,Ni olas,Paolo,

Bernard, Damien, Mohammad.

Et elui sans qui les pages suivantes n'auraient au un sens (le man hot é rit

n'étant pas très répandu) : Olivier Lopez; mer i à toi pour tout e que tu m'as

transmi (ta bonne humeur, ton appro he des données expérimentales et la passion

de la ommuni ation grand publi ) ettoutes les a tivités que nous avons partagées

( onféren es, é ole d'été etfête de la s ien e), mer i pour es trois ans.

Fran es a, je te remer ie d'avoir a epté d'en adrer la partie théorique de ma

thèse, d'avoir onsa ré une grande partiede ton temps àmeformer àla

thermody-namique (que e soit en ours ou pendant nos réunions) et de ton soutien.

Mer i Dominique, de m'avoir proposé l'étude du pouvoir d'arrêt de la matière

nu léaire et d'avoir été là pour répondre à toutes mes questions plus ou moins

farfelues.

Et eluiquim'aintroduit àlaphysiquedes ollisionsnu léairesautourde

l'éner-gie de Fermi : Denis. Mer i de m'avoir pris omme stagiaire, et de m'avoir donné

mapremière arme pour aborder e domaine: HIPSE.

Etmer iàFrançoisdem'avoirfaitdé ouvrirlesjoiesde lamodélisationetde la

programmationobjet.

Mer i à l'ensemble des membres du LPC de faire de e laboratoire un endroit

agréable permettant de travailler dans de bonnes onditions, et mer i à l'ensemble

dela ollaborationINDRApourlaqualitéetlaquantitédes donnéesexpérimentales

disponibles.

Sans transition, an d'éviter un oubli éventuel, je remer ie tous eux et elles

quim'ont onsa ré du tempspour toutesles a tivitésextérieures auxdomaines des

ollisions d'ions lourds, lors de mes journées de thésard. Journées rythmées par les

pauses aféde 10h et16h, momentsjoyeuxs'apparentant àune transhuman eplus

oumoinsbruyantede lama hineà aféjusqu'aunoyau entraloù ha unapportesa

note d'humour, d'histoire,de ulture,de toutetde n'importe quoi.À haquepause

solitaire, mon bureau étant situé au fond du laboratoire, mon hemin m'amenait à

gardé votre porte grande ouverte.

Lajournée a hevée, il est toujours possible de trouver des volontairespour aller

prendre une bière et refaire lemonde du Highlandà l'É ume des nuits; pour

orga-niser des Pasta parties, barbe ues (ave andouillettes bien-sûr). Mer i à tout mes

ompagnons du répus ule.

Remer iements appuyés à elui qui, en plus d'être présents aux moments

lu-diques, était présent lorsque j'étais dans lebureau : le hef de bureau,

JL

2

.

Etenn mer i à eux extérieurs àla physique qui ont toujours été là pour

par-tager de bons moments : mon Biquet, mon Mathieu, Paulin et Cha ha, ...; mer i

d'être de bons amis. Je remer ie mes parents de m'avoirlaissé hoisir mavoie.

Ça y est 'est la n de mathèse, mer i de m'avoir soutenu et maintenant

L'objet d'étude de e travailest le noyau atomique soumis à des onditions

ex-trêmes en terme de densité, températureet isospin.Dans e travail,on her hera à

déterminer les ara téristiques de l'équation d'état de la matière nu léaire,

notam-menten e qui on erne le termed'énergie de symétrie. L'étudese dé omposera en

deuxparties.Lapremières'intéresseraauxpropriétésstatistiquesdesnoyauxformés

durantles ollisionsen termesdetempératureetdensitéàl'aided'un modèledegaz

sur réseau ( hapitre 1 et2). Lase onde sera onsa rée aux données expérimentales

a quises par le multidéte teur INDRA, nous essaierons de mettre en éviden e les

liensexistantentre lespropriétés dynamiquesetstatistiquesdes fragmentsproduits

lorsdes ollisions d'ionslourds.

Le noyau atomique en onditions extrêmes

La matière qui nous entoure est onstituée d'atomes, dont

99.95%

de la masse est ontenue dans le noyau. Sur Terre, les noyaux atomiques sont dans leur état

fondamentalqui est ara térisépar uneénergie de liaisonde leurs onstituants,par

leur rayonetleur durée de vie.Dans une étoilemassive oulorsde l'explosion d'une

étoile, lesnoyaux sont dans des onditions extrêmes, loinde leur état fondamental.

La matièrenu léaireà l'intérieur d'une étoile massive subit la gravitation,agissant

omme une pression qui peut omprimer la matière nu léaire à une densité

supé-rieureàladensitédesaturation(

ρ

0

= 0.17

nu léon

.f m

−3

)etàtempératurenonnulle

(

T

de quelques MeV). Lors de l'explosion d'une étoile massive,l'expansion spatiale va onduire le système nu léaire d'une densité élevée (

ρ > ρ

0

) à une densité infé-rieure à

ρ

0

.

Noyaux en ollision

Sur Terre, le seul moyen d'observer des systèmes nu léaires à des densités

dif-férentes de

ρ

0

et à température non-nulle est de les réer en laboratoire. L'énergie d'ex itation peut être apportée par la ollision d'un proje tile (parti ule ounoyau)

surunnoyau iblequi,suivantsanatureetsonénergie,vasonderdiérentes

ara té-ristiquesdusystème nu léaireentermede pression,température,momentangulaire

ouen oreisospin.Unproje tileleptonique hargé(e

−

,

µ

+

,

µ

−

)vasonderlaréponsedu

système nu léaireàune ex itationpurementéle tromagnétique, alorsqu'un pro

Une ollisionentre une parti ule hadronique etun noyauvaex iter le système sans

ompression ni ex itation mé anique, alors que pour des ollisions entre deux

sys-tèmesnu léairesde grandetaille(

A + A

),lesystème vaêtresoumisàuneex itation nu léaire,mé anique (rotation, ompression) et oulombienne.

Cette thèse s'intéresse aux ollisions d'ions lourds aux énergies intermediaires

(autour de l'énergie de Fermi soit

E

≈ 38MeV/A

, 'est-à-dire des systèmes nu- léaires subissantune ex itation nu léaireetmé anique, dansune gamme d'énergie

où les degrés de liberté du système sont les protons et les neutrons. Ce travail

es-saiera d'apporter des élémentsde réponse à la question : Comment sont formés les

fragments produits lors des ollisionsd'ions lourds?

Le noyau en tant que système quantique à N- orps

Le noyau atomique est omposé de neutrons et de protons 1

. Les neutrons sont

des parti ulesde hargenullesubissantl'intera tionforte(for erésiduelledelafor e

de ouleurdeQCD),lesprotonssontdes parti ules hargéespositivementsubissant

l'intera tionforteetl'intera tion oulombienne.L'intera tion oulombienneest une

intera tiontrèsbien onnue, elleagitsur lesparti ules hargéesave une portée

in-nie. La onstantede ouplageentre lesprotonsetlesneutrons àl'intérieurdu noyau

est mal onnue, on sait que ette intera tion agitsur les hadrons (proton,neutron)

et est de portée nie. Le noyau est don un système à N- orps (quantique), dont

l'intera tion prin ipale est mal onnue. Pour dé rire e système théoriquement, il

faut don se pla er dans le formalisme quantique et résoudre les équations du

sys-tème à N- orps, e qui onstitue un problème à l'heure a tuelle. En utilisant des

approximations, e problème peut être abordé pour dé rireles propriétés du noyau

àdiérentsdegrésdedes ription,partantd'uneappro he detypegoutteliquide

jus-qu'aux modèles de parti ules en intera tion en passant par lesmodèles à parti ules

indépendantes.

Appro he ma ros opique du noyau : modèle de la goutte

li-quide

Le modèle de la goutte liquide est une appro he ma ros opique des noyaux à

T = 0

. Dans e modèle, lenoyau atomiqueest représenté par unegoutte de matière

nu léaire homogène. Cette goutte est ara térisée par un rayon et une énergie de

liaison

E

liaison

. L'énergétique de ette goutte peut être dé omposée en plusieurs parties :

1

Lesneutronset lesprotonssontdessystèmes omposésdequarks.Cesquarkssontles

onsti-tuantsélémentaires detoute lamatière hadronique (neutron,proton, noyauxatomiques,

π

−,0,+

,

K

−,0,+

...) et interagissent entre-eux grâ e à l'intera tion forte. La théorie qui dé rit ette

in-tera tion est la hromodynamique quantique QCD. Nous onsidèreronssouvent dans e travail,

les neutrons et les protons omme les onstituants élémentaires de la matière nu léaire (noyaux

 l'énergiede volume, proportionnelle au volume ouau nombre de nu léon :

A

,  l'énergiede surfa e, proportionnelleà lasurfa e

A

2/3

. Ce terme traduitle fait

quela goutte est de taillenie,

 l'énergie oulombienne, quiest dû aufait que lesprotons sont hargés,

 l'énergiede symétrie,qui reèteladiéren ede l'intera tion neutron-neutron,

proton-proton, neutron-proton (isove torielle),

 l'énergiede pairing, e termeprend en omptelefait quelesnoyaux ayant un

nombre de proton et neutron pairs sont plus stables que les noyaux ave un

nombre de neutron et protonimpairs.

Ce i donne une paramétrisationde l'énergie de liaison par nu léon quis'é rit :

E

liaison

A

=

−a

v

+ a

s

A

−1/3

_{+ a}

c

Z

2

A

−4/3

+ a

sym

(A

− 2Z)

2

A

2

+ δ

p

a

p

A

−3/2

(1)

où

a

v

est letermede volume,

a

s

est leterme de surfa e,

a

c

leterme oulombien,

a

sym

letermede symétrieet

a

p

letermede pairing.

δ

p

est égalà

+1

pourlesnoyaux ave un nombre pair de neutron et proton,

−1

pour les noyaux ayant un nombre impairde protonet neutron,

0

dans lesautres as.

Cette paramétrisation permet de reproduire de manière remarquable la masse

des noyaux atomiquesstables mesurés. Nouspouvons voiren ette paramétrisation

ma ros opique une équation d'état des noyaux à température nulle et à la densité

de saturation.

Modèle à parti ules indépendantes

L'étapesuivantl'appro hema ros opiqueestl'appro hemi ros opique,qui

onsi-dére le noyau omposé de nu léons. Le plus simple de es modèles est le modèle

du gaz de Fermi. Dans e modèle, les nu léons sont représentés par des fon tions

d'ondeplanes, ara tériséespar un ve teur d'onde

~k

. Lesniveaux d'énergie asso iés auxve teurs d'onde ne sontpas quantiés, autrementdit

~k

peut prendre n'importe quelle valeur. Par ontre, la nature fermionique des nu léons intervient en limitant

lenombre d'o upation des diérentes valeurs de

~k

à1, respe tant ainsi le prin ipe d'ex lusion de Pauli

2 .

Le gaz de Fermi est ara térisé par son énergie de Fermi

E

F

. À température nulle, ette énergieest reliée àla densité

ρ

du système par :

ρ =

4

6π

2

 2m

ℏ

2



3/2

E

_F

3/2

où

ℏ

estle onstantedeplan k(divisépar

2π

).Pourun noyausymétrique(N=Z) età densité de saturation

ρ

0

= 0.17f m

−3

,

E

F

vaut approximativement

38MeV

. Dans e modèle, les nu léons sont alors en mouvement à l'intérieur du noyau

de manière indépendante, ave une énergie inétique maximale de

38

MeV. Ce i revient à dire que les nu léons n'interagissent pas à l'intérieurdu noyau; ils y sont

simplement onnés.

2

Ce prin ipe interdità deux fermions de posséder stri tementle même ensemble de nombres

Modèle de nu léons en intera tion

Dans les modèles de nu léons en intera tion, le point de départ est le système

àN- orps,ensuitedestron aturesysontee tuéesanderendreleproblèmesoluble.

Nous nous limiterons i i à un modèle lassique mi ros opique, qui peut être

résolu de manière exa te numériquement sans au une approximation, en prenant

en ompte toutesles orrélations à N- orps. Ce modèle sera étudié dans l'ensemble

statistique anonique-isobare ( onservationdu nombre de onstituantset ontrainte

sur levolumepar la pression),an de ara tériserun système lassique de neutrons

et de protons en fon tion de la pression et la température. Ce i nous amènera à

parler de l'équation d'étatde la matièrenu léairedans lasuite.

L'équation d'état de la matière nu léaire.

L'équation d'état d'un système à l'équilibre thermodynamique est une relation

entre diérentsparamètresphysiquesquidéterminentsonétat.Lamatièrenu léaire

est l'idéalisation d'un milieu homogène inni (sans eets de bords, éle triquement

neutre et onstitué de degrés de liberté nu léoniques).

L'équationd'état de lamatière nu léairerelie l'état d'unsystème nu léaire(son

énergie, sa densité) à la température, la pression, l'isospin (variable qui

ara té-rise l'asymétrie neutron-proton du système). Pour ela, l'équation d'état ontient

plusieurs termesreliant es grandeurs entre elles :

 le terme d'énergie de symétrie :

E

sym

(ρ, T ) =

1

2

 ∂

2

_E/A

∂I

2



ρ,T,I=0

où

E

est l'énergie du système et

I =

N −Z

A

est l'isospin du système. Ce terme orrespond don à la variation de l'énergiedu système à

ρ

et

T

xe pour un hangement de omposition himique (neutron-proton) autour de l'équilibre

(

I = 0

).  le terme de ompressibilité:

K

∞

= 9

∂

∂ρ



ρ

2

∂E/A

∂ρ



−1

ρ=ρ

0

,I=0

Ce terme mesure la réponse du système à omposition himique xe pour un

hangement de densité, autourde ladensité de saturation.

Sa onnaissan e permet de modéliser ma ros opiquement la matière nu léaire,

telle qu'elle peut être vue dans lamatière d'étoiles.

La problématique de l'énergie de symétrie

Le terme d'énergie de symétrie de la matière nu léaire intervient en physique

Ce terme apparaittrès viteen physique nu léaire dans la paramétrisationde la

massedes noyaux(modélede lagoutteliquide), quipermet de ontraindrel'énergie

desymétrieàdensitédesaturation ettempératurenulle.L'énergiede symétriepour

lesétatsfondamentauxdétermineaussil'épaisseurdelapeaudeneutronsdesnoyaux

lourds [Typ01 ℄.

Le programme expérimentalPREX à J-Lab a pour obje tif de mesurer

l'épais-seurde lapeaude neutronsde

208

Pbàl'aided'unfais eaud'éle trons.Cettemesure

devrait permettre de ontraindre la dérivée de l'énergie de symétrie par la densité

[Hor01℄.

Au GSI,des mesures de résonan es géantes dipolairesisove toriellesetPygmées

permettent de ontraindre

E

sym

[Aum08℄.

Les ollisions d'ions lourds aux énergies intermédiaires permettent d'explorer

la matière nu léaire à basse densité et température non nulle. Des analyses des

propriétésdesfragmentsproduitspeuventdon ontraindreladépendan eendensité

ettempératurede l'énergiede symétrie.

Des ription d'une ollision

Les diérentes phasesqui interviennent lorsde la ollision sont (gure 1):

 laphased'appro he: ettephaseest gouvernéeparl'intera tion oulombienne.

 laphasede onta t etd'é hange dematière:l'intera tion nu léaireest

l'inter-a tion prin ipale, l'intera tion oulombienne est ependant toujours là. Cette

phase dure entre 100 et 200 fm/ .

 la phase de désex itation : les produits de la ollision sont dans des états

fortementex ités,ilsvontsedésex iterparémissiondeparti ulesetfragments,

onparlede désex itationse ondaire.Lestemps ara téristiquesde ettephase

sontde l'ordrede 1000 fm/ .

Suivant l'énergie et le paramètre d'impa t, nous allons avoir diérents types

de ollisions, et don diérents s énarii pour la produ tion des parti ules, omme

l'illustrele s héma de la gure1.

 Les ollisions périphériques de basse énergie (

E

peripheriques

1

≈ 5 − 20MeV/A

) :

lesdeux noyauxvontfusionnerdansun réferentielen rotation,quipeut mener

lesystème forméà ssionner ou à évaporer des parti ules, suivant sa ssilité.

Lespartitionsdusystème 3

vontdon être onstituéesde deuxnoyauxde taille

inférieureauxparti ipants(quasi-proje tileQP etquasi- ibleQC,QT)

a om-pagnés de quelques parti ules légères(LCP : proton, neutron, deuton, triton,

X

_He

).

 Les ollisions périphériques à haute énergie (

E

peripheriques

2

≈ 70 − 80MeV/A

)

[Luk03℄ : nous sommes i i dans le régime parti ipant-spe tateur. La zone de

re ouvrement entre les deux noyaux va orrespondre à la zone parti ipante,

oùles nu léons des deux noyaux vont interagir entre eux. La zone spe tateur

3

Distributiondesdiérentes ara téristiquesdusystème( harge,masse,énergie,angle,isospin

se ontente d'éva uer l'énergie d'ex itation dûe à la perturbation de la zone

parti ipante.

 Les ollisions entrales àbasse énergie(

E

centrales

1

≈ 15 − 20MeV/A

):lesdeux

parti ipantsdela ollisionfusionnent,etensuitelenoyaudefusionvase

désex- iter. Nous observons dans la voie de sortie un résidu de fusion a ompagné

de parti ules légères.

 Les ollisions entrales àénergie intermédiaire (

E

centrales

2

≈ 35 − 50MeV/A

) :

i i, les deux noyaux fusionnent de manièrein omplète à ause de la

transpa-ren e et l'énergie d'ex itation enmagasinée va faire passer le système par une

phase à basse densité, pour obtenir en voie de sortie plusieurs fragments de

taillevariable dûs au hangement de volume du système.

 Les ollisions entrales àhauteénergie(

E

centrales

3

> 50MeV /A

): lesdeux

par-ti ipants de la ollision enmagasinent susament d'énergie pour se vaporiser

en parti ules légères.

Toutes es ollisions vont former des systèmes nu léaires de taille et d'énergie

d'ex itation variés. Cettevariétéde système nous oreun observatoireex eptionnel

pour étudier la matière nu léaire loin de son état fondamental et de sa densité de

saturation (

ρ

0

= 0.17 nucleon.f m

−3

). Mais pour haque énergie, nous observerons

diérentsphénomènessuivantles paramètresd'impa t(b).Ladi ulté sera de

dis- riminer esdiérentsphénomènesande ré upérer des informationssur lamatière

nu léaireà l'instantde la réation des fragments (temps ditde freeze-out).

Diérents a élerateurs permettent d'ee tuer es ollisions (GANIL, GSI,

RI-KEN, NSCL), etdiérentsdispositifsde déte tion ontété developpéspour déte ter

de manièreex lusive lesproduits de la ollision(INDRA,CHIMERA,Isis,Lassa,...).

INDRA

Le multidéte teur INDRA est le fruit d'une ollaboration de plusieurs

labora-toires du CNRS-IN2P3 qui a ommen é en 1989. L'obje tif de la ollaboration

INDRA est l'étude des noyaux formés lors des ollisions d'ions lourds autour de

l'énergie de Fermi. La mise en éviden e des modes de dé roissan e tels que la

mul-tifragmentation, ou en ore l'apparition d'eets dynamiques ( ol, prééquilibre) sont

poursuivies. Ce sont les données a quises au ours des diérentes expérien es, qui

?

E

₁

périphérique

E

₂

périphérique

E

₁

centrale

E

₂

centrale

E

₃

centrale

?

t = 0

t = 100−200 fm/c

t = 500fm/c

collisions périphériques :

phase de contact

phase d’approche

phase de désexcitation

collisions centrales :

Fig. 1  Des ription s hématiquedes ollisions d'ions autour de l'énergie de Fermi

en fon tion du temps. En haut : ollisions périphériques ave

E

peripheriques

1

<

E

₂

peripheriques

,en bas : ollisions entrales ave

E

centrales

I Degré de liberté d'isospin dans un modèle mi ros opique

statistique 17

1 Le modèle de gaz sur réseau 23

1.1 Des ription du modèlede gaz sur réseau . . . 23

1.2 Ensemblestatistique . . . 24

1.3 Mise en oeuvre numérique . . . 26

1.3.1 Algorithme . . . 26

1.3.2 Validation de l'appli ationnumérique . . . 26

1.4 Le gaz sur réseauà températurenulle . . . 30

1.4.1 Re uit simuléadaptatif . . . 30

1.4.2 États fondamentaux . . . 32

2 Thermodynamique du modèle de gaz sur réseau 37 2.1 Observation de la transitionliquide-gaz . . . 37

2.1.1 Hamiltoniens alaire . . . 37

2.1.2 Hamiltonienisove toriel . . . 38

2.1.3 Hamiltonien omplet . . . 41

2.1.4 Températures de transitions . . . 41

2.2 Transitionssion-évaporation . . . 43

2.3 Diagramme des phases . . . 47

2.4 Fon tionnellede l'énergie . . . 49

2.5 Propriétés isotopiquesdes fragments . . . 54

2.5.1 Contenu isotopiquedes fragments . . . 54

2.5.2 Observationdel'isos alingetsonlienave l'énergiedesymmétrie 55 2.6 Con lusion . . . 58

II Données expérimentales 61 3 INDRA et la mesure de systèmes nu léaires ex ités 67 3.1 Déte teur INDRA . . . 67

3.1.1 Cara téristiques géométriques . . . 67

3.1.2 Prin ipes de déte tion . . . 71

3.1.3 Modules de déte tion . . . 71

3.1.4 Éle tronique etlogique de dé len hement . . . 73

3.2.1 Identi ationChIo-Si . . . 74

3.2.2 Identi ationSi-CsI . . . 75

3.2.3 Identi ationCsI rapide-lente . . . 75

3.2.4 Identi ationChIo-CsI . . . 77

3.3 Résumé du jeu de données disponibles . . . 78

3.4 La 5ème Campagne . . . 78

3.4.1 Améliorationde l'identi ationen masse . . . 80

3.4.2 Introdu tiondu degré de liberté d'isospin. . . 80

3.5 Lesautres expérien es . . . 81

4 Étude expérimentale des ollisions entrales 83 4.1 Présentation des données expérimentales . . . 83

4.1.1 Se tion e a e de réa tion . . . 83

4.1.2 Cara téristiques des événements déte tés . . . 85

4.1.3 Séle tions des événements omplets . . . 87

4.1.4 Séle tion des ollisions entrales . . . 91

4.1.5 Collisionsles plus violentes . . . 96

4.1.6 Évolutiondes valeurs moyennes . . . 97

4.2 Mesure du pouvoird'arrêt dans les ollisions entrales . . . 101

4.2.1 Isotropie de l'émission des parti ules . . . 101

4.2.2 Comparaison etsystematique du stopping . . . 103

4.3 In lusion du degré de libertéd'isospin . . . 105

4.3.1 Séle tion des ollisions entrales . . . 106

4.3.2 Mesure de l'isostropie des ollisions entrales . . . 106

4.3.3 Diusion de l'isospin dans les ollisionsles plus violentes . . . 108

4.4 Con lusion . . . 108

5 Des ollisions entrales aux ollisions périphériques 115 5.1 Mé anisme de réa tion . . . 115

5.1.1 Séle tion en paramètre d'impa t . . . 115

5.1.2 Tri en mé anisme . . . 121

5.1.3 Cara téristiques des lasses A, B1 etB2 . . . 125

5.1.4 Proportion des diérentes lasses . . . 130

5.2 Propriétés des parti ules légères . . . 130

5.2.1 Diusion d'isospinpour les parti ules légères . . . 134

5.2.2 Isos aling . . . 138

5.3 Perspe tives . . . 139

5.3.1 Identi ationen masse . . . 140

5.3.2 Mesure de l'isospindans l'espa e des vitesses . . . 141

Degré de liberté d'isospin dans un

Géneralités

Pendant laphase nale d'une étoile massive,de l'explosionde lasupernova

jus-qu'àsonrefroidissementenproto-étoileàneutrons,lamatièreexploreàtempérature

nie des densités baryoniques diérentes de la densité de saturation. Pour

om-prendre e phénomène omplexeladéterminationdelafon tionnelleénergie-densité

de la matière nu léaire est né essaire [Li08℄. En parti ulier, la ompréhension des

propriétés des étoiles à neutrons ou de la dynamique des supernovae requièrent la

dépendan e en températureet en densité du terme d'énergie de symétrie [Ste08℄.

Dans ette partie,nous allons baser notre étudesur lemodèle de gaz sur réseau

ave uneintera tiondépendantedel'isospinentrepro hesvoisins(quenousappelons

isove toriellepar abus de langage)etune intera tion oulombienneàlongueportée,

dontla des ription etla mise en ÷uvre seront faiteslorsdu premier hapitre.

Nous étudierons ensuite la thermodynamique du modèle et onstruirons le

dia-grammedes phases d'un système de taillenie subissant à lafois l'intera tion

ou-lombienneet dépendantede l'isospin.

Nous ee tuerons enn une paramétrisation de type hamp moyen prenant en

ompte expli itement le terme de symétrie an d'étudier sa dépendan e en terme

de températureetde densité.Ce i fait,nouspourronsalors omparer lesdiérentes

méthodesexpérimentalesproposéespourévaluerletermedesymétriedanslese ond

hapitre.

Fragmentation et équilibre statistique

La fragmentation d'un noyau ex ité est un phénomène omplexe dépendant du

temps.Cependant, ettefragmentationpeutêtrevue ommeunsystèmeàl'équilibre

thermodynamique onstitué de parti ules en intera tion, dans ertaines onditions

expérimentales [Bor96℄.

D'unpointdevuethéorique,ilestaussiadmisdans ertaines ir onstan es[Cvi02,

Cho05℄ qu'un pro essus dépendant du temps puisse être abordé ave le formalisme

de la mé anique statistique à l'équilibre. Ainsi, la fragmentation peut être utilisée

pour étudier lespropriétés thermodynamiquesdes systèmes nu léaires.

transition de phases liquide-gaz

La forme de l'intera tion nu léon-nu léon, attra tive à ourte distan e ave un

÷urrépulsif, ressemble àl'intera tion de Lennard-Jonesqui lielesmolé ules d'eau

dans laphase uide. Cette similaritéa onduitlesauteurs de la référen e [Ber83℄ à

supposer l'existen e d'une transition de phases de type liquide-gaz dans la matière

nu léaire.Ilest lairquelephénomènede multifragmentationdu systèmenu léaire,

largementobservé depuislesannées 80[Jak82, Biz93,Mor93, Mar95,Bel00,Dur01,

Man08℄, apparaît alors omme une transition, au sens d'un hangement de régime

dans le mode de désex itation. L'ordre de ette transition reste à dénir, mais de

ré entes étudesmontrentque ettetransitionsembleêtreunetransitiondupremière

Dans la référen e [Car98℄, les auteurs proposent une étude du diagramme des

phases et de la distribution des fragments à l'aide d'une simulation d'un modèle

d'Isingànombre onstantdeparti ules.Lathermodynamique omplètede emodèle

a été évaluéedans laréferen e [Gul03a℄ etmontre quela transitionde phasesayant

lieudans e modèleest delamême lassed'universalitéquelatransitionliquide-gaz.

Uneétude des transitions de phases dans lessystèmes nis a montré l'existen e

d'une distribution bimodale des paramètres d'ordre du système lorsdes transitions

de phases du premier ordre (y ompris la transition liquide-gaz) [Cho01℄. Mais e

signaldebimodalitéapparaitaussipouruneautretransition,latransitiondeJa obi,

leparamètrede ontrlede ettetransitionduse ondordren'estpas latempérature

mais lemoment angulaire[Lop05℄. Ce signal de bimodalité seul est né essaire mais

pas susant pour signer la transition liquide-gaz. Ce signal de bimodalité pour la

harge du plus gros fragment et de l'énergie d'ex itation a été observé du point

de vue expérimental pour lesquasi-proje tiles réeslorsdes ollisions périphériques

entre ions lourds [Pi 06,?, Mer08℄.

Maisquedevientlatransitiondephaseslorsquelesystèmeestsoumisàdes

inter-a tions de longue portée répulsives omme l'intera tion oulombienne? Diérentes

études montrent que ette transitionsemblesurvivre [Rad01, Gul03b, Iso04℄. Dans

ette partie nous allons don nous intéresser à l'inuen e oulombienne et

isove to-rielle sur lanature de la transition.

Dépendan e du terme d'énergie de symétrie nu léaire

Les auteurs de l'arti le [Pan97℄ ont étudié un modèle de gaz sur réseau ave

une intera tion dépendante de l'isospin. Ave l'ajout du degré de liberté d'isospin

dans e type de modèle, nous pouvons avoir a ès à des informations sur le terme

d'asymétrie neutron-proton

c

sym

.En eetle terme d'asymétrie est déni omme:

c

sym

=

1

2

∂

2

_E

∂δ

2

|

A,<V >,T,δ=0

(2)

où

E

est l'énergie d'un noyau de masse

A

, de volume moyen

< V >

, à une température

T

, et

δ = (N

− Z)

orrespond à l'asymétrieneutron-proton.

Si l'énergie des noyaux (dans leur état fondamental ou ex ité) peut être

repro-duite par une fon tionnelle de la densité omme dans les appro hes de type hamp

moyen (

E =

R d

3

_rǫ(ρ

n

(r), ρ

p

(r), T )

), il est alors lair que

c

sym

= c

sym

(ρ

p

, ρ

n

, T ) =

c

sym

(ρ, δ, T )

.À températurenulle, letermede symétriede laplupartdes appro hes

hamp moyen de l'équation d'état de la matière nu léaire peut être reproduit par

une fon tionnelleen densitéde laforme[Che05 ℄ :

c

sym

(ρ) = c

0

sym

 ρ

ρ

₀



γ

(3) où

ρ

0

= 0.17f m

−3

n'est même pas lair qu'une des riptionen terme de fon tionnelle de la densitésoit

orre te et que

c

sym

ne dépende que de

ρ

et

T

. La dépendan e en

T

de l'énergiede symétrie n'est pas non plus très bien onnue.

Isos aling et énergie de symétrie

Il est apparu expérimentalement que le rapport (

R

21

) des taux de produ tion d'isotopes

Y

i

(N, Z)

dans deux ollisionsdiérentes en isospin (

i = 1, 2

) suit une loi d'é helle appelée Isos aling [Tsa01 ℄ :

R

21

(Z, N) =

Y

2

(N, Z)

Y

1

(N, Z)

∝ exp (αN + βZ)

(4)

où

α

et

β

sont les oe ients d'isos aling.

Plusieurs analyses expérimentales montrent que le paramètre

α

dé roit ave l'augmentation de la violen e de la ollision [Tsa01, Lef05, She07℄. Une

augmen-tation de la violen e de la ollisionest asso iée à une augmentationde la

tempéra-ture/une diminution de la densité lors de la réation des fragments, e qui suggère

quenouspuissionsremonter àladépendan e de l'énergiede symétrieen fon tionde

la densité et de la température. En ore faut-il que le paramètre d'isos aling

α

soit bien relié à

c

sym

. Dans des modèles statistiques ma ros opiques et dans l'ensemble grand anonique, e lienaété fait[Bot02, Ono04,Rad06℄.Nousallonspoursuivre e

typed'étude dans le hapitre2grâ e àune appro he mi ros opiquede typegaz sur

Des ription du modèle de gaz sur

réseau et mise en ÷uvre numérique

1.1 Des ription du modèle de gaz sur réseau

Un réseau ubique de 8000 sites (

L = 20

) est utilisé pour dé rire l'espa e des positions. Le paramètre de maille

a

0

du réseau est égal à

1.8f m

an de reproduire la densité de saturation de la matière nu léaire (

ρ

0

= 0.17f m

−3

) dans le as d'une

onguration ompa te.Chaquesite est ara tériséparquatredegrésde liberté:un

dis retpourl'isospin

σ

i

(

σ

0

= 0

;

σ

n

=

−1

;

σ

p

= 1

),ettrois ontinuspour l'impulsion

~p

i

= (p

x

i

, p

y

i

, p

z

i

)

.

L'énergétique du système est dé ritepar l'hamiltonien

H

:

H =

X

<i,j>

ǫ

σ

i

σ

j

σ

i

σ

j

+

σ

i

=σ

j

=1

X

i6=j

I

c

r

ij

+

L

3

X

i

p

2

i

2m

σ

2

i

(1.1)

où

< i, j >

orrespond aux paires de plus pro hes voisins (

i

,

j

),

ǫ

σ

i

σ

j

est le ou-plagedépendantdel'isospinentre lessites

i

et

j

(

ǫ

0,0

= ǫ

−1,−1

= 0

,

ǫ

−1,1

= 5.5MeV

) qui simulel'intera tion nu léaire[Pan97℄.

I

c

estl'intensitédel'intera tion oulombienneentredeuxprotons(

I

c

= 1.44MeV.f m

) et

r

ij

est la distan e entre es deux protons. Le dernier terme est le terme d'éner-gie inétique où

m = 939MeV

est la masse d'un nu léon et

p

i

l'impulsion, qui à l'équilibresuit une distributionde Maxwell-Boltzmann de laforme :

f

M B

(p

q

) = (2πmT )

−1/2

exp



−

p

2

q

2mT



(1.2)

où

p

q

est l'impulsionsuivant l'axe

q

(

= x, y, z

),et

T

est latempérature.

Par la suite, la ontribution énergétique du ouplage entre plus pro hes voisins

seraappelée

E

bulk

,

E

coul

serala ontributionde l'intera tion oulombienne,et l'éner-gied'intera tionseranotée

E

int

= E

bulk

+ E

coul

.L'énergie inétiquemoyenne

E

cin

du systèmesedéduitdelafon tionde distributiondel'impulsion(equ 1.2),etest égale

à

3T /2

;elle ne ontribuequ'en un termedépendant uniquement de la température

termes :

E

total

= E

bulk

+ E

coul

+ E

cin

.

Les fragments, onstitués de nu léons, seront re onstruits à partir de la règle

suivante :deux nu léons (

i

,

j

)voisins appartiennent au mêmefragmentsi :

E

rel

<

|ǫ

σ

i

σ

j

|

(1.3) ave

E

rel

=

µ

2

v

2

rel

où

µ

est lamasse réduite des deux nu léons et

v

rel

lavitesse relativeentre es deux nu léons.

Lesfragmentsformés sontdes fragments liéspar dénition [Sat03℄; ela signie

quesil'on onsidéraitune évolutiondynamiquedu systèmesous l'a tionde

l'hamil-tonien 1.1, les fragments resteraient tels qu'ils sontjusqu'à un temps inni.

1.2 Ensemble statistique

Notrebutestd'étudier lespropriétésstatistiquesdusystèmenu léairefortement

ex ité autemps dit de freeze-out à partirduquel la omposition himique des

frag-ments est établie et ne sera plus modiée par l'évolution libre jusqu'aux déte teurs

(hormisla désex itationse ondaire). Cettesituationest ara térisée par une

exten-sion spatiale bien dénie (volume de freeze-out) qui toutefois n'est onnue qu'en

moyenne ar elleu tue événement par événement.

Un tel système peut être dé rit de façon statistique en le onnant dans un

puit de potentiel [Cho01℄. De plus, le nombre de parti ules doit être onstant. Un

ensemblestatistiquerespe tant es ontraintes est l'ensembleisobare- anonique.La

fon tion de partition de et ensembles'é rit :

Z

β,P

=

X

(n)

exp

−β E

(n)

_{+ P V}

(n)

(1.4)

La somme est ee tuée sur l'ensemble des réalisations

(n)

.

β =

1

kT

est l'inverse de latempératureet

k

est la onstantede Boltzmann(qui vaut 1 sila température est expriméeen MeV).

P

est la pressionqui ontraint levolume

V

, levolume étant estimé par :

V =

4

3

πR

3

₌

4

3

π

2

P

L

3

i

r

i

3

|σ

i

|

P

L

3

i

|σ

i

|

(1.5)

où

r

i

est la distan e entre lesite

i

etle entre du réseau 1

,

L

est lataillelinéaire du réseau.

1

Dans le as d'un système sphérique et homogène, ette dénition de

R

est exa te (

R

3

₌

2

R

V

r

3

ρdr

3

R

V

ρdr

3

),danslesautres as,elledoitêtreinterprétée ommel'undesestimateurspossiblesde

La probabilté

p

(n)

d'une réalisation

(n)

,d'énergie

E

(n)

etde volume

V

(n)

, àune

température

β

et une pression

P

se déduitde l'équation1.4 :

p

(n)

_{(β,P )}

=

1

Z

β,P

exp

−β E

(n)

_{+ P V}

(n)

(1.6)

Etlaprobabilité

p(E, V )

d'observerlesystèmeàune énergie

E

etun volume

V

:

p

(β,P )

(E, V ) =

W

(β,P )

(E, V )

exp (

−β (E + P V ))

Z

β,P

(1.7)

où

W(E, V )

est lenombre d'états d'énergie

E

etvolume

V

:

W

(β,P )

(E, V ) =

X

(n)

δ(V

(n)

− V )δ(E

(n)

_{− E)}

(1.8)

où

δ

est la fon tionde Dira .

Les valeurs moyennesde diérentes observables

O

sont al ulées par :

< O >

β,P

=

X

(n)

p

(n)

O

(n)

=

1

Z

β,P

X

(n)

O

(n)

exp (

_{−β (E + P V ))}

(1.9)

L'entropie thermodynamique

S

(β,P )

du système est déniepar :

S

(β,P )

=

−k

X

(n)

p

(n)

_{(β,P )}

ln p

(n)

_{(β,P )}

(1.10)

Onpeut aussiexprimerl'enthalpie

H

,lagrandeur thermodynamiquequi ara térise lesystème à une énergie

E

,volume

V

etpression

P

:

H = E + P V

(1.11)

etsa probabilité s'exprime omme :

p

(β,P )

(H) =

W(H)

exp (

−βH)

Z

β,P

(1.12) ave

W(H) =

X

E,V

W(E, V )δ(H − E − P V )

(1.13)

Latempératuremi ro anoniqueasso iée peut être al uléede lamanière suivante :

∂S

∂H

=

∂ ln

_W(H)

∂H

=

1

T

P

=

∂ ln p

β,P

∂H

− β

(1.14)

Maintenant que les relations de l'ensemble statistique isobare- anonique sont

1.3 Mise en oeuvre numérique

1.3.1 Algorithme

And'explorerl'espa edes phasesa essibles par lesystèmepourune

tempéra-ture etunepressiondonnées, nousutilisonsl'algorithmede Metropolis[Met53℄.Cet

algorithme est basé sur le prin ipe de la balan edétaillée soit:

p

(i)

t

p

(j)

t+dt

= p

(j)

t

p

(i)

t+dt

, où

(i)

et

(j)

sont deux ongurations distin tes. Nous partons d'un système oùles nu léons sont distribués de façon aléatoire à l'intérieur du réseau et nous passons

d'une onguration

(1)

àune onguration

(2)

enee tuantunepermutationde l'o - upation de deux sites (g 1.1). La probabilité d'a epter la nouvelle onguration

est donnée par :

p

(1)→(2)

=

p

(1)

p

(2)

= exp

−β E

(1)

_{− E}

(2)

_{+ P V}

(1)

_{− V}

(2)

(1.15)

Notons que le hoix de et algorithme onserve exa tement le nombre de

parti- ules ainsi quel'isospin total. Les deux sites sont hoisis aléatoirement.Un nombre

susamment grand d'itérations permet le al ul exa t de la fon tion de partition

(eq. 1.4) etdes valeurs moyennes des observables (eq.1.9). Nous allons dénir dans

la partie suivante le nombre d'itérations permettant d'explorer l'espa e des phases

de manière susante et don de pouvoir évaluer numériquement par la suite les

observables du système.

configuration (2)

configuration (1)

Fig.1.1Représentationdupassaged'une onguration(1)àune onguration(2),

où la onguration(2) est a eptée ave laprobabilité donnée par l'équation1.15.

1.3.2 Validation de l'appli ation numérique

Nous allons maintenant présenter l'appli ation numérique de e modèle sur un

système de 75 neutrons et 54 protonsreprésentant un noyau de

129

_Xe

à diérentes

températures et pressions. Ce hoix est di té par la volonté de omparer les

Établissement du régime d'équilibre

La gure 1.2 représente l'évolution d'un système de

75

neutrons et

54

protons pourdeuxtempératures

2

(

2

MeVenbleuet

3

MeVenrouge)etunepression

P = 2.5

10

−5

_{A.MeV.f m}

−3

.

(MeV)

int

E

−800

−600

−400

−200

0

T=3MeV

T=2MeV

nombre de permutations

1

10

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

R (fm)

16

17

18

19

20

21

22

23

Fig. 1.2 Évolution de l'énergie(en haut) et du rayon moyen (en bas) en fon tion

du nombre de permutations pour un système de

75

neutrons et

54

protons à deux températures diérentes (

2

MeVen bleuet

3

MeVenrouge)etunepression

P = 2.5

10

−5

_{A.MeV.f m}

−3

.Lesdroitestiretéesindiquentlesvaleursmoyennes,etlesdroites

en pointilléesreprésentent l'é art-type autour de lavaleur moyenne.

Nous observons deux régimes : un premier régime, qui est le régime transitoire

orrespondant au temps né essaire pour que le système arrive à l'équilibre; le

se- ond régime est le régime d'équilibre qui va faire l'objet de notre étude; e régime

étant dénipar lefaitquele al uldes diérentes valeursmoyennesdes observables

ne dépend plus du hoix de temps initial. La durée du régime transitoire varie en

fon tion de la température et de la onguration initiale; plus la température est

élevée, plus lerégime transitoire est ourt.

Le régime transitoire est un régime hors-équilibre qui sera ex lu des analyses.

Pour nous en aran hir, nous supposerons que e temps varie de façon linéaire en

fon tionde latempératurepour unepression onstante (

t

transitoire

= aT + b

), e qui aétévalidépar diérentstests.Les oe ientsutilisés sont reportés dansletableau

1.1.Onnoteraquelefaitde prendreen ompteuneintera tionplus omplexe

(Cou-lombet/ou isove torielleaugmente onsidérablement letemps transitoire (

×10

).

2

Nousprenons es valeursde pressionet detempérature ar ellesnouspermettentd'explorer

Hamiltonien

a

b

s alaire -16 A 147 A

s alaire+ oulomb -160 A 1000 A

isove torielle -165 A 1000 A

omplet -300 A 1500 A

Tab. 1.1  Valeurs des oe ients utiliséspour une pression onstante de

2.5 10

−5

A.MeV.f m

−3

dans laparamétrisation du temps du régimetransitoire (

t

transitoire

=

aT + b

).

A

est le nombre de nu léons du système.

É hantillonnage des événements

Pour passer d'une onguration

(1)

à une onguration

(2)

, nousee tuons une permutation de l'o upation entre deux sites. Cette façon de pro éder entraîne de

fortes orrélationsentre deux ongurationssu essives. And'atténuer e biais sur

nos mesures, nous al ulons la fon tion d'auto orrélation

f

du système qui s'é rit [Duf99℄ :

f (τ ) =

1

σ

E

(T

− τ)

Z

T −τ

0

dt (E(t)

_{− < E >}

T

) (E(t + τ )

− < E >

T

)

(1.16)

où

τ

est l'intervalleentre deux mesures,

T

est lapériode sur laquelle nous ee -tuons nos mesures,

σ

E

(T

− τ)

orrespond aux u tuations de l'énergie du système sur l'intervalle

T

− τ

.Lorsque lafon tiond'auto orrélationvaut

1

,lesdeux ongu-rationssontfortement orrélées,par ontre lorsqu'ellevaut

0

lesdeux ongurations sont omplètementdé orrélées.

L'évolutionde lafon tion d'auto orrélationest représentée sur lagure1.3pour

un système de

54

protons et

75

neutrons à deux températures (

2

MeV en bleu et

3

MeV en rouge). Cette gure nous permet de dénir la période raisonnable (é hantillonnage) à laisser entre deux mesures (i i une valeur inférieure à

0.1

pour la fon tion d'auto orrélation, ligneen pointillésur la gure).

Là en ore, la période est fon tion de la température, les faibles températures

orrespondant à de longues périodes. Nous supposerons par la suite que ette

pé-riodedépend linéairementde latempérature(

τ = a

′

_{T + b}

′

).Lesévénementsétudiés

orrespondront alors aux événements é hantillonnés ave la période pré onisée par

les valeurs du tableau 1.2.

É hantillonnage de l'espa e des phases

Nousavonsdé riti il'évolutiondusystèmeversl'équilibre(ainsiquelafréquen e

d'é hantillonnage), il nous reste à dénir le nombre d'é hantillons né essaires an

d'avoirune représentation orre te de l'espa edes phases.

Nousavons hoisi troisobservables, orrespondantàtroisniveauxde des ription

du système : unedes ription des valeurs moyennes, une des riptiondes u tuations

τ

0

20

40

60

80

100

3

10

×

)

τ

f(

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T=2 MeV

T=3 MeV

Fig.1.3Évolutiondelafon tiond'auto orrélation

f (τ )

(eq.1.16)en fon tionde la période d'é hantillonnage

τ

(en milliers) pour un système de

75

neutrons et

54

pro-tons àdeux températures (

2

et

3

MeV) etune pression

P = 2.5 10

−5

_{A.MeV.f m}

−3

.

Laligne tiretéeindique la valeur de

f (τ )

orrespondantà une dé orrélation raison-nable entre deux mesures (

10%

).

Hamiltonien

a

′

_b

′

s alaire -7A 70A s alaire+ oulomb -50A 300 A isove torielle -50A 300 A omplet -40A 500 A

Tab. 1.2  Valeurs des oe ients utilisés pour une pression onstante de

2.5 10

−5

A.MeV.f m

−3

dans la paramétrisationde lafréquen e d'é hantillonnage(

τ = a

′

_{T +}

b

′

ave leurs valeurs pour deux millions d'é hantillons (que nous onsidérons

repré-sentatifs 3

), notés ave un exposant

∞

. Ces tests ont été ee tués sur un système de 75 neutrons et 54 protons, à une pression de

P = 5.10

−5

_{A/2MeV.f m}

−3

et une

température

T = 2MeV

. Dans es onditions le système se trouve dans une phase ordonnée (liquide type

II

p.49), phase dans laquelleles onditions numériquessont les plus drastiques (systèmedense et ordonnée).

Le premier niveau de des ription est la des ription du système en terme de

moyenne d'observable, et nous avons représenté en haut de la gure1.4 l'évolution

de l'énergied'intera tion :

test

1 =

|hE

int

i

[0;n]

− hE

int

i

∞

|

hE

int

i

∞

en fon tion de

n

(le nombre d'é hantillons). Nous observons qu'à partir de

50 000

é hantillons, l'é art entre la valeur moyenne asymptotique et la moyenne pour

n

é hantillons dière de moins de

0.3%

.

Le deuxième niveau de des ription est la des ription en terme de u tuations

σ

du système autour de la valeur moyenne. Au milieu de la gure 1.4 est tra é l'évolutionde : test

2 =

|σ

E

[0;n]

int

− σ

∞

E

int

|

σ

∞

E

int

Nousobservons qu'àpartir de

500 000

é hantillons,nous nousé artons de moins de

1%

de la valeur asymptotique.

Enn, le dernier niveau de des ription est la forme des distributions des

obser-vables.Pour ela,nousavons représentélaprobabilité devraisemblan e

p

KS

donnée par letest de Kolmogorov-Smirnov [Jam06, Por08℄ entre la distribution nale etla

distribution à l'instant

n

(en bas sur la gure1.4). Nous observons qu'àpartir de

1

000 000

d'é hantillons, la probabilité n'évolue plus de façon signi ative et

orres-pond àdes probabilitéspro hes de 1.

Ces diérentes observations nous permettent de valider l'algorithme Metropolis

ave l'hamiltonien utilisé, etde dénir le nombre d'itérations né essaires suivant le

niveau de des ription souhaité. Pour une étude des systèmes en valeur moyenne,

50

000

é hantillonspar valeursde

T

et

P

susent pour une pré isionà

1%

;par ontre sil'ons'intéresseauxdistributionsdesobservables,ilfaudraprendreaumoins

1 000

000

é hantillons.

1.4 Le gaz sur réseau à température nulle

1.4.1 Re uit simulé adaptatif

Andetesterledegrédedes riptiondu modèle,nousallonsétudierl'énergétique

de quelques systèmes dans leurs états fondamentaux.

3

Des tests ee tués ave une statistique plus grande (

> 2.10

6

) n'ont pas montré d'évolution

nombre d’echantillons

0

500

1000

1500

2000

3

10

×

KS

E

int

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

test1

0

0.001

0.002

0.003

test2

0

0.01

0.02

0.03

Fig.1.4Enhaut:évolutiondel'é artrelatifdelavaleurmoyenneparrapportàla

valeurmoyennenaleen fon tiondu nombre d'é hantillons(enmilliers).Aumilieu:

évolution de l'é art relatifdes u tuations par rapport à la valeur des u tuations

nales en fon tion du nombre d'é hantillons. En bas : évolution de la probabilité

de vraisemblan e de la distribution par rapport à la distribution nale toujours en

fon tion du nombre d'é hantillons. Les ourbes sont obtenues pour un système de

75

neutrons et

54

protonsàune températurede

2

MeV etune pression

P = 2.5 10

−5

A.MeV.f m

−3

L'algorithme de Metropolis ne peut pas être utilisé à températurenulle, ar et

algorithme ne peut pas sortir des minima lo aux de lasurfa e d'énergie potentielle

(

p

(1)→(2)

T =0

= 1

⇔ E

2

< E

1

).Pour obtenirlesétats fondamentauxdusystème, onpeut

utiliserlaméthode dere uitsimulé; etteméthode onsisteàrefroidirlesystème de

façon lente et à le ré hauer progressivement lorsque le système est piégé dans un

minimum lo al. I i, nous utilisons une méthode un peu plus sophistiquée, le re uit

simulé adaptatif.

Pour ette méthode, nous utilisonsune période

k

, que nousdivisons en 10 sous-plateaux de période

k

′

. Nous notons

hHi

sous−plateau

i

=

k

1

′

P

j=kn+(i+1)k

′

j=kn+ik

′

H

j

, la valeur moyenne de l'énergie du

i

eme

sous-plateau. Et

hHi

plateau

n

=

10

1

P

i=9

i=0

hHi

sous−plateau

i

la valeur moyenne de l'énergie du plateau

n

. La température du plateau

n + 1

est al ulée de la manièresuivante:

T

n+1

=



















1

a

n

T

n

si ♯

n

hHi

sous−plateau

i

≤ hHi

plateau

n−1

o

= 0

et

a

n+1

= a

1

r

n

a

n

T

n

si ♯

n

hHi

sous−plateau

i

≤ hHi

plateau

n−1

o

∈ [1, 4]

et

a

n+1

= a

n

a

n

T

n

si ♯

n

hHi

sous−plateau

i

≤ hHi

plateau

n−1

o

≥ 5

et

a

n+1

= a

r

n

(1.17)

où

r = 0.9

et

a

n

∈]0.96, 0.996[

[Per05℄, et

♯

{test}

orrespond au nombre de fois

oùletestest vérié. Latempérature tive

T

n

déniepar l'équation1.17 estensuite utilisée dans l'algorithme Metropolis dé rit auparagraphe pré édent (p. 26).

L'évolution de l'énergie d'intera tion et de la température Metropolis 4

est

re-présentée sur la gure 1.5; nous observons dans un premier temps une diminution

de l'énergied'intera tion a ompagnée d'une diminution de la températurejusqu'à

e que l'énergie d'intera tion sature. Ensuite, nous observons des os illationsde la

température a ompagnée d'une diminution progressive de l'énergie d'intera tion

jusqu'à lavaleur nale orrespondant à

E

int

minimale.

Les ara téristiques des états fondamentaux de diérentssystèmes ontété ainsi

mesurées grâ e à ette méthode très e a e, qui permet ainsi d'obtenir les minima

absolus d'énergie et don lesétats fondamentaux des systèmes.

1.4.2 États fondamentaux

Pour représenter l'énergie d'intera tion du système à

T = 0

et vérier le degré d'adéquationdumodèleàlades riptiondesystèmesnu léaires,nousavons hoisiune

paramètrisationdel'énergiedeliaisonselonlaformulestandarddeBethe-Weizsa ker

[Wei35, Bet36℄:

E

0

int

(A, Z)

A

≈ a

0

v

+ a

0

s

A

−1/3

+ c

0

sym

(A

_{− 2Z)}

2

A

2

+ α

c

Z(Z

_{− 1)}

r

0

A

4/3

(1.18) 4

Nous parlons i i de température Metropolis ar il ne s'agit plus d'unetempérature au sens

thermodynamiquemaisunetempératurealgorithmique:lorsqu'elles'appro hedezéro,lesystème

(MeV)

Metropolis

T

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(MeV)

int

E

−1200

−1000

−800

−600

−400

−200

0

Fig.1.5Représentationde l'évolutiondelatempératureMetropolis etdel'énergie

d'intera tion, lors de l'appli ation de l'algorithme de re uit simulé (eq.1.17), pour

un système de

75

neutrons et

54

protons.

où

a

0

v(s)

est la onstante de volume (surfa e),

c

0

sym

le terme de symétrie et

α

c

la onstantede ouplage oulombienne.Lesdiérents paramètressontextraitsgrâ e à

une pro édure d'ajustement sur les diérentes variables:



E

bulk

(A) = a

0

v

A + a

0

s

A

2/3

pour les systèmes symétriques (

N = Z

) permet

d'extraireles paramètres

a

0

v,s

(gure 1.6a).



E

bulk

(N

− Z, A = cst) = c

0

sym

(N

− Z)

2

permetd'obtenir

c

0

sym

(gure 1.6b).



R(A) = r

0

A

1/3

donnele paramètre

r

0

(gure 1.6 ).



E

coul

(Z, A) = α

c

Z

2

_/R

permet d'extrairele oe ient

α

c

(gure 1.6d).

La qualité de l'ajustement visible sur la gure 1.6(a-d) montre que l'expression

fon tionnelle 1.18 est très bien adaptée à la des ription de l'énergétique du modèle

pour l'étatfondamental.Lesvaleursnumériquesdesparamètressontreportéesdans

le tableau 1.3. On peut noter que la omparaison des valeurs ave elles extraites

des mesures expérimentales des masses des noyaux est remarquable. Les ourbes

isoénergétiques des états fondamentaux évaluées à l'aide de l'équation 1.18 où les

paramètres sont extraits par l'ajustement aux énergies du modèle omme expliqué

plushaut,sontreprésentéesdanslapartiedroitedelagure1.6. Onpeutremarquer

que les élements les plus stables du modèle (ligne noire) suivent le même

ompor-tement que les noyaux atomiques, à savoir un dé alage vers les noyaux ri hes en

neutrons (à droite de la ligne

N = Z

en pointillé sur la gure) pour les noyaux de

Z

élevés. Nous observons aussi que pour des

Z

élevés, il n'y apas d'états stables à ause de la ssion symétrique induite par l'intera tion oulombienne (zone en noir

surlagure1.6);pour ettezonel'énergétiquen'estpas évaluée orre tementparle

modèle,laligne rougeest lalignede ssilité expérimentale [Dur01℄.Nousobservons

un dé alage ave la zone noire de ssibilité, e i est dû au fait que le on ept de

barrière de ssion, qui est un on ept dynamique, n'est pas pris en ompte par le

A

40

50

60

70

80

90 100

bulk

E

−1200

−1000

−800

−600

−400

a

N−Z

−5

0

5

10

15

20

bulk

E

−1200

−1000

−800

−600

−400

b

A

40

50

60

70

80

90 100

R

4

4.5

5

5.5

6

c

/R

2

Z

100

200

300

400

coul

E

50

100

150

200

250

d

N

20

40

60

80 100 120 140

Z

20

40

60

80

100

120

Fig. 1.6  À gau he : Évolution des diérentes ontributions énergétiques

E

bulk

et

E

coul

enfon tiondesdiérentssystèmesàtempératurenulle.Àdroite:extrapolation des énergies par nu léon en fon tion du nombre de protons et neutrons, la zone en

noir orrespond auxnoyaux quisontinstablespar ssion symétrique àtempérature

Nous pouvons dire en on lusion que laparamètrisationde type Bethe et W

eiz-sa ker(goutteliquide),dé rit orre tementl'énergétiquedessystèmesquenous

étu-dions dans le adre de l'appro he statistique de gaz sur réseau. Ce i nous permet

d'envisager d'utiliser e modèle pour dé rire les systèmes nu léaires à température

non nulle, et 'est lebut du hapitre suivant.

Paramètres

a

0

v

a

0

s

c

0

sym

α

c

r

0

isoLGM -15.9

MeV

14.8

MeV

20.4

MeV

0.554

MeV.f m

1.17

f m

[Mye66 ℄ -15.68

MeV

18.56

MeV

28.1

MeV

0.717

MeV.f m

1.25

f m

Tab. 1.3  Valeurs des diérents paramètres utilisés dans la fon tionnelle 1.18, la

premièreligne orrespondauxrésultatsobtenusenajustantlesparamètresde

l'équa-tion 1.18 ave l'énergie d'intera tion à

T = 0

. À omparer ave les résultats d'un ajustement sur des données de masses expérimentales [Mye66 ℄.

Dans ettepartie,nousavonssimplementtestélamise en÷uvredes algorithmes

de onvergen e, et nous avons étudié les propriétés de l'hamiltonienà température

nulle. Nous allons maintenant nous intéresser à l'évolution du système pour

dié-rentestempératures etpressions an dedéterminer omplètementlediagrammedes

phasesdes systèmesétudiésdansle adredenotreimplémentationdugaz surréseau

Thermodynamique du modèle de gaz

sur réseau

Il est établi que le modèle de gaz sur réseau, ave une intera tion à ourte

dis-tan e indépendante de la nature des parti ules (intera tion s alaire) et sans

inter-a tion oulombienne, présente une transition de phases du premier ordre et une

transitionduse ondordre(point ritique)analogueàlatransitionliquide-gaz(nous

l'appelleronspar lasuite

LG

) [Gul03a℄.

Ave l'ajoutdel'intera tion oulombienneetisove torielle, onpeutsedemander

silatransition

LG

survit et/ou ommentelleest modiée.Étant donnélasimilarité de l'énergétique du modèle ave elle des noyaux, ainsi que les propriétés

d'uni-versalité des transitions de phases, on s'attend à e que le diagramme de phases

asso iés'appro he onsidérablementde eluidesnoyaux.Demême,ilest primordial

de onnaître l'évolution des ara téristiques du système en fon tion des variables

d'état,pression

P

ettempérature

T

.Bienque esvariablesne soientpasmesurables dire tement, une ara térisationthermodynamiquedu système auniveau théorique

vapouvoiràtermepermettreuneinterprétationthermodynamiquedesobservations

parlebiaisdeséquationsd'état, 'est-à-direla onnexionentre

P

,

T

etleurvariables extensives onjuguées

< V >

et

< E >

qui sont elles des quantitésdire tement me-surablesexpérimentalement.

Dansunse ondtemps,nousétudieronsl'évolutiondesdiérentstermesde

l'éner-giedusystèmeandefournirdesprédi tionssurladépendan een

ρ

et

T

del'énergie de symétrie et proposer des observables mesurables expérimentalement.

2.1 Observation de la transition liquide-gaz

2.1.1 Hamiltonien s alaire

Dans un premier temps, nous allons étudier l'évolution d'un système de 129

nu léons (

129

_Xe

) en fon tion de la température, à pression onstante

P = 2.5 10

−5

A.MeV.f m

−3

, ave une intera tion s alaire ( 'est-à-dire indépendante de l'isospin

des parti ules) et sans terme oulombien.

L'évolution de l'énergied'intera tionmoyenne en fon tionde latempératureest