MEMOIRE Présenté pour obtenir le diplôme de Magister en Génie Mécanique OPTION:

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTRE DE L’ENSIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MENTOURI-CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre : / Mag / 2006 Série : / GM / 2006

MEMOIRE

Présenté pour obtenir le diplôme de Magister en Génie Mécanique

OPTION: Thermo-Fluides

ETUDE DE L’INSTABILITE HYDRODYNAMIQUE ET THERMIQUE LORS D’UN CHANGEMENT DE PHASE AVEC ET SANS CHAMP

MAGNETIQUE

Par :

Saïd BOUABDALLAH Soutenu le : 12/07/ 2006 Devant le jury composé de :

Président : M

^r

Z. NEMOUCHI Prof. Université Mentouri-Constantine

Rapporteur : M

^r

R. BESSAIH Prof. Université Mentouri-Constantine

Examinateur : M

^r

M. KADJA Prof. Université Mentouri-Constantine

Examinateur : M

^r

S. BENISSAAD M.C. Université Mentouri-Constantine

REMERCIEMENTS

Je remercie vivement Monsieur, Rachid BESSAIH, Professeur à l’Université Mentouri-Constantine, encadreur de cet mémoire, pour la confiance qu’il placée en moi, pour sa patience, pour ses conseils, pour son aide et son soutien permanent.

Je tiens à exprimer mes remerciements à Monsieur Z.NEMMOUCHI, Professeur à l’université Mentouri-Constantine, qui mon fait l’honneur de précéder le jury de ce mémoire, pour son aide et ses conseils. Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude.

J’exprime mes vifs remerciements à Monsieur M.KADJA, Professeur à l’Université Mentouri-Constantine, et S.BENISSAAD, Maître de Conférences à l’Université Mentouri-Constantine et Chef de Département de Génie Mécanique, pour avoir accepter de participer à mon jury montrant ainsi l’intérêt qu’ils portent au sujet de ce travail.

J’exprime mes meilleurs remerciements à Monsieur S.BOUGOUL, et A.SOUDANI, Maîtres de Conférences à l’Université de Batna pour leurs aides et conseils permanents.

A tous, je tiens à exprimer mes sincères remerciements.

Dédicaces

A mes parents A mes frères et soeurs

A toute ma famille

A mes amis

Sommaire

SOMMAIRE

Remerciement………i

Dédicace……….………...ii

Sommaire……… iii

Nomenclature………... iv

CHAPITRE I : INTRODUCTION………...………1

CHAPITRE II : MODELE MATHEMATIQUE………14

II.1 Introduction………..14

II.2 Problème physique………...15

II.3 Propriétés thermo-physiques de l’aluminium………. 16

II.4 Equation générale de transport……….18

II.4.1 Equation de continuité………...18

II.4.2 Equation de quantité de mouvement………...18

II.4.3 Equation de l’énergie………...19

II.5 Formulation des équations du problème physique………...20

II.5.1 Hypothèses simplificatrices………...20

II.5.2 Méthode enthalpique………...21

II.5.3 Ecoulement avec champ magnétique………22

II.5.4 Formulation des équations de transport………23

II.6 Equations du problème sous forme adimensionnelle..………25

II.6.1 Equations sous forme adimensionnelle.…….………26

II.6.2 Conditions initiales et aux limites……….. 27

CHAPITRE III : METHODE NUMERIQUE ………....28

III.1. Introduction………..…..28

III.2 Equation générale de transport……….……...29

III.3 Maillage………...30

Sommaire

III.5 Application du schéma numérique des différences centrées……...……... 33

III.6 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant X……...34

III.7 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant Y……...36

III.8 Discrétisation de l’équation de l’énergie………...37

III.9 Résolution du système d’équation……….. ..38

III.10 Algorithme SIMPLER……….. ..42

III.11 Méthode de résolution………. . 43

III.11.1 Méthode de balayage………... .43

III.11.2 Algorithme TDMA de Thomas ………...44

III.12 Critère de convergence………....46

III.13 Algorithme de calcul…...………47

CHAPITRE IV : RESULTATS ET DISCUSSION………....48

IV.1 Présentation des résultats………..48

IV.2 Effet du Maillage sur les solutions numériques………....52

IV.3 Validation du code avec les données expérimentales….………..55

IV.4 Solution stationnaire …………..………..57

IV.5 Solution instationnaire en absence d’un champ magnétique (Ha = 0)…….66

IV.6 Solution instationnaire avec champ magnétique (Ha ≠0)…...75

IV.6.1 Effet d’un champ magnétique sur le champ d’écoulement …………..75

IV.6.2 Effet de l’angle d’orientation sur le champ d’écoulement …. ……...91

IV.7 Diagrammes de stabilité………...93

IV.8 Evaluation de taux de transfert de chaleur... .93

IV.9 Comparaison des résultats avec ceux trouvés dans la littérature…………..94

CONCLUSION………...102

Références Bibliographiques ……… 104

Résume………108

CHAPITRE I Introduction

CHAPITRE I INTRODUCTION

L’industrie électronique exige une forte demande en matériaux semi-conducteurs et une exigence sévère de leur qualité. Ces cristaux sont produits à partir du bains fondus en utilisant des techniques de croissance cristalline diverses (configuration de Bridgman, zone flottante, czochralski,…). Lors de la croissance cristalline par la technique de Bridgman horizontale (HB), des gradients de température suffisamment élevés peuvent se produire par conduction dans un bain fondu. Ces gradients thermiques sont à l’origine des forces de gravité qui engendrent des mouvements convectifs importants au sein du fluide. Ces mouvement de convection constituant un mode de transfert d’énergie important qui peut accélérer le processus et affecter significativement la qualité du cristal formé [1].

Il est reconnu que la convection dans le liquide est laminaire et stable relativement aux faibles nombres de Grashof. Cependant, la convection naturelle peut devenir oscillatoire et périodique dans le temps à partir de certaine valeur, appelée valeur critique, pour lequel le comportement de l’écoulement devient soudain qualitativement différent du comportement antérieur. Un tel changement de comportement est appelé bifurcation et se traduise par une perte de symétrie du système. Les instabilités représentent un sous-ensemble de l’ensemble plus général des bifurcations (Abou [2], Zhou et Zebib [3]). Un champ magnétique est largement utilisé pour le contrôle des écoulements de la convection thermique dans la phase liquide pour les processus de la croissance cristalline des semi-conducteurs. L’un des buts du contrôle électromagnétique est la stabilisation de l’écoulement, c’est-à-dire la suppression des instabilités oscillatoires. Cette technique à été largement utilisée depuis l’expérience de base de Hurle et al.

[4] et [5] par plusieurs chercheurs.

En ce qui concerne le traitement des écoulements des fluides avec changement de phase,

des méthodes spéciales utilisées pour gouverner tout le milieu d’étude, lesquelles se comporte

CHAPITRE I Introduction La méthode de la grille fixe et celle de la grille transférée. La méthode de la grille fixe qui s’appelle la méthode enthalpique, laquelle utilise une seule équation de conservation d’énergie et des conditions aux limites pour gouverner tout le domaine solide et liquide. Par ailleurs, la méthode de la grille transférée utilise une équation de conservation d’énergie pour chaque phase et une équation de l’interface. Ce type de formulation appelée la formulation classique de Stéfan (Bricard et Gobin [6]).

Dans la littérature, la méthode enthalpique a été largement utilisée (Kim et al. [7], Scanlon et Stickland [8], Zhou et Zebib [3],…etc) et demeure à nos jours.

Bricard et Gobin [6] ont présenté une synthèse des méthodes analytiques et numériques pour le traitement du transfert de chaleur avec changement d'état solide/liquide avec quelques exemples d'applications.

Gong et Mujumdar [9] ont simulé numériquement l’écoulement en fusion d’un matériau pur (Phase Change Material) dans une cavité rectangulaire bidimensionnelle chauffée par le bas. La méthode des lignes de courant Upwind/Petrov et la méthode Galerkin des éléments finis combinée avec la méthode de la grille fixe ont été utilisées par ces auteurs.

Rabin et Korin [10] ont étudié le changement de phase multidimensionnel sans prise en compte de l’effet de la convection naturelle dans la phase liquide pour différentes configurations. Ils ont démontré que cette méthode est très économique, et ils ont obtenu des résultats très concluants comparativement à ceux obtenus avec des ordinateurs puissants.

Cerimele et al. [11] ont présenté des résultats numériques lors de la fusion du gallium dans une cavité rectangulaire. Le mouvement de l'interface au moyen de la technique de la grille fixée avec une transformation des coordonnées a été détecté.

Völler et al. [12] ont présenté la modélisation de la solidification des systèmes avec

changement de phase par une méthode générale basée sur la linéarisation du terme source

contenant l'effet de la chaleur latente. La méthode à été illustrée dans un teste où la fraction

du liquide est en fonction de la température.

CHAPITRE I Introduction Alexiades et al. [13] ont présenté la solution Benchmark bidimensionnelle pour calculer les effets du maillage et des schémas numériques sur les solutions numériques, dont le but de tester et valider les codes de calculs développés pour les écoulements avec transfert de chaleur lors d’un changement de phase solide-liquide de l’étain.

Une autre méthode développée par Das [14] appelée la méthode spline a été utilisée pour contrôler l’interface solide/liquide lors d’un processus de moulage continue.

En ce qui concerne des études expérimentales avec changement de phase, on trouve les travaux de Gau et Viskanta [15], Beckermann et Viskanta [16], qui ont présenté quelques mesures de la température au centre d’une cavité rectangulaire, des nombres de Nusselt moyens et locaux, la position de l’interface lors d’un changement de phase (solidification ou fusion).

Leurs expériences permettent de connaître le rôle de la convection naturelle sur l'interface solide/ liquide et le transfert de chaleur durant la fusion et la solidification du gallium pur.

En effet, ces travaux cités concernent des écoulements laminaires et stables. Autrement, les travaux traitant la transition des écoulements aux régimes oscillatoires et instables ont été faits sans changement de phase. Par exemple, Wakitani [17] présente une investigation numérique tridimensionnelle de la convection naturelle des fluides à faible nombre de Prandtl

027 . 0 Pr

0 ≤ ≤ dans des cavités rectangulaires chauffées par les parois verticales (figure I.1).

Les calculs ont été effectués pour des allongements des enceintes 2 et 4, et les rapports de

largeurs s’étendant de 0.5 à 4.2. La structure tridimensionnelle de l'écoulement est caractérisée

par des vortex longitudinaux [17].

CHAPITRE I Introduction

Lan et al. [18] ont rapporté une analyse de la bifurcation, pour un modèle bidimensionnel horizontal de Bridgman, associé à la croissance cristalline des matériaux à faible nombre de Prandtl. Ils ont construit un diagramme de bifurcation, et examiné différentes familles des solutions importantes au moyen des modes propres, et de l’analyse linéaire de la stabilité. Ils ont trouvé aussi que les amplitudes des oscillations de la vitesse de l'interface diminuent avec l'augmentation de la chaleur de fusion.

Afrid et Zebib [19] et [20] ont simulé numériquement la transition de la convection naturelle d’un fluide à faible nombre de Prandtl contenu dans des enceintes rectangulaires de dimensions 4 × 1 × 1 et 4 × 1 × 2 . Les résultats obtenus montrent l’effet de la géométrie sur la stabilité de l’écoulement, c’est-à-dire le cas 4 × 1 × 1 est plus stable que celui de 4 × 1 × 2 .

Gadoin et al. [21] ont présenté une méthodologie générale pour l’étude de l’instabilité des écoulements de la convection naturelle dans des cavités complexes. Le principe de leur méthodologie a été exposé avec des résultas préliminaires. Leur méthodologie peut être exercée pour comprendre la transition aux régimes instables et chaotique pour les écoulements internes.

Semma et al. [22] ont investigué le comportement de transfert de chaleur et de masse dans une cavité carrée verticale de Bridgman contenant un fluide à faible nombre de Prandtl. Les deux conditions aux limites : chauffage oscillatoire, et température isotherme par le bas, ont été considérées. Leurs résultats montrent l’existence d’une fréquence de modulation suivant la réduction de l’intensité moyenne de l’écoulement pour le régime stable et une fréquence critique de modulation pour le cas d’un écoulement instable.

Gelfgat et Tansawa [23] ont étudié la dépendance du nombre de Grashof critique et la fréquence des oscillations de l'instabilité avec une large variation du rapport de forme d’une cavité rectangulaire ( 1 ≤ A ≤ 10 ), pour les deux cas du nombres de Prandtl 0 et 0.015. Des diagrammes de stabilité lesquels montrent que cette dépendance est plus compliquée et très sensible pour un petit changement dans le paramètre de contrôle, et le transfert convectif n'est pas négligeable même pour les faibles nombres de Prandtl.

CHAPITRE I Introduction Pour l’étude de la stabilité des fluides à faible nombre de Prandtl en fonction du rapport d’aspect, on trouve le travail récent de Ernburg et al. [24] , où ils ont étudié la multiplicité des états stables et la bifurcation de la convection naturelle dans une cavité rectangulaire chauffée par les parois verticales. Le digramme de stabilité représenté dans la Figure I.2 a été aussi tracé par ces auteurs.

Figure I .2 Diagramme de stabilité établi par Ernburg et al. [24] .

Hof et al. [25] ont rapporté des résultats expérimentaux et numériques pour le seuil de

la convection oscillatoire dans une cavité rectangulaire chauffée latéralement, contenant le

gallium fondu. Ils ont effectué des comparaisons détaillées entre des résultats expérimentaux

et numériques de la simulation numérique tridimensionnelle par le modèle de Boussinesq. Ils

ont trouvé que le seuil de transition prend place où existe une bifurcation supercritique de

Hopf. L’investigation numérique montre l’existence d’une seule bifurcation pour deux états

asymétriques. Ceci n’est pas évident dans l’expérience et cette différence qualitative est

attribuée pour les perturbations non Boussinesq lorsque le nombre de Grashof augmente.

CHAPITRE I Introduction

Figure I.3 : Dispositif utilisé dans la référence [25] .

Braunsfurth et al. [26] ont présenté des résultats d'une étude combinée (numérique et expérimentale) d'un écoulement convectif dans un échantillon de gallium chauffé par l'une des parois verticales et refroidie par l'autre. La mesure du champ de température dans l'écoulement a été comparée avec la solution standard de la cellule de Hadley (Hadley-cell).

Un bon accord a été trouvé entre les mesures et les simulations numériques pour des faibles valeurs du nombre de Grashof.

Gelfgat et al. [27] ont appliqué la méthode spectrale de Galerkin avec des fonctions de

base pour l’analyse de l’instabilité oscillante des écoulements convectifs dans une cavité

rectangulaire (A = 4) chauffée par les parois latérales. Ils ont présenté les perturbations plus

instables de la fonction de courant et de la température. La comparaison avec d’autres

investigations numériques montre que la méthode de Galerkin avec les fonctions de base libre

divergentes, qui satisfont toutes les conditions sur la frontière, a besoin de moins de modes

que d’autres méthodes utilisant la discrétisation de la région de l’écoulement.

CHAPITRE I Introduction Pour l’étude de l’instabilité convective en présence d’un changement de phase on trouve le travail de Zhou et Zebib [3]. Ils ont utilisé un modèle numérique bidimensionnel de la solidification des métaux purs dans une cavité rectangulaire horizontale. Ils ont examiné principalement l'influence de la transition oscillatoire-periodique de la convection naturelle et prédire les paramètres associés à ce phénomène. En particulier, l'influence de la température de solidification sur le nombre de Grashof critique. Ils ont montré que cette influence est directement liée avec le rapport d'aspect dans la partie liquide. L’augmentation de la température de solidification provoque la convection oscillatoire pour des nombres de Grashof critiques élevés.

Le travail de Cerimele et al. [11] ont présenté des résultats numériques d'une modélisation de la fusion du gallium pour une configuration horizontale de Bridgman ( HB ). Le schéma du second ordre ENO (second order essentially nonoscillatory scheme) et la technique de la grille fixée ont été utilisées. Ils ont confirmé l'absence de la structure multicellulaire de l’écoulement comparablement avec les autres qui ont utilisé des schémas numériques de discrétisation de faible ordre ou des maillages moins consistants.

Scanlon et stickland [8] ont présenté une investigation numérique par la méthode de la grille fixe de la transition de l’écoulement de convection naturelle avec changement de phase.

Deux échantillons pour la détection de l'interface solide/liquide, la fusion de l’acide de lauric et la congélation de l’eau ont été utilisés. Les variations des chaleurs spécifiques sont également incorporées pour faire apparaître le changement de phase.

Le Quéré et Gobin [28] ont présenté une analyse de l’ordre de grandeur des paramètres pour lesquels les écoulements de convection naturelle consécutifs à la fusion d’un matériau chauffé latéralement peuvent présenter des instabilités hydrodynamiques. Ils ont confirmé également par simulation numérique que pour les fluides à faible nombre de Prandtl, des cellules transverses correspondant à l’instabilité, ont été observées pour des temps courts. Par ailleurs, l’instabilité ne peut pas être observée pour des forts nombres de Prandtl élevés qu’à des nombres de Rayleigh très grands.

Semma et al. [29] ont étudie numériquement les instabilités de la phase fluide et de

l’interface de solidification en croissance dirigée horizontale. La méthode de localisation de front

a été utilisée. Quelques situations de contrôle à traverse la chaleur latente et l’écart des

CHAPITRE I Introduction En ce qui concerne le contrôle de l’écoulement et la suppression des oscillations des instabilités par application d’un champ magnétique, on trouve plusieurs investigations numériques. Par exemple, le travail de Ben Hadid et Henry [30] qui ont étudié numériquement l'exposition de l'écoulement de la convection naturelle à un champ magnétique constant dans une configuration horizontale de Bridgman. Leurs résultats montrent que le champ magnétique entraîne une diminution de la convection et cause des modifications dans la structure de l'écoulement par l'apparence des couches limites de Hartmann aux voisinages des parois verticales. Le champ magnétique vertical stabilise l'écoulement et entraîne l'augmentation du nombre de Grashof critique.

Sayed-Ahmed et Attia [31] ont étudie l'écoulement magnétohydrodynamique ( MHD ) laminaire et stationnaire d'un fluide visqueux et incompressible dans une conduite rectangulaire avec transfert de chaleur. L’effet de hall a été pris en compte dans cette étude. Ils ont examiné aussi l'effet du nombre de Hartmann Ha , du paramètre de hall m, et de rapport d'aspect ( A = 1) sur l'écoulement et le transfert thermique. Les résultats montrent que le nombre de Hartmann a un effet très apparent sur l'écoulement et le transfert de chaleur pour A élevé et m faible.

Le travail de Bessaih et al. [32] sur l’effet combiné de la conductivité électrique des parois d’une enceinte similaire à la configuration ( HB ) et d’un champ magnétique sur la convection naturelle, d’un métal liquide pour la production des cristaux, a met en évidence l’influence de conductivité électrique des parois et du champ magnétique sur l’écoulement et le transfert de chaleur.

Davoust et al. [33] ont étudié expérimentalement l’écoulement magnétohydro- dynamique laminaire dans une cavité cylindrique remplie par le mercure et soumise à un champ magnétique uniforme et vertical. Ils ont trouvé à partir des mesures de la température et du potentiel électrique, que pour un nombre de Hartmann de l’ordre de 10, l’écoulement MHD se stabilise.

Hof et al. [34] ont rapporté des résultats expérimentaux de l'amortissement

magnétohydrodynamique de la convection naturelle sur les parois latérales d'une cavité

rectangulaire remplie par le gallium fondu. Ils ont investigué, en particulier, la suppression de la

convection par l'application d'un champ magnétique séparément dans chacune des directions de

l'écoulement. Un fort amortissement de l'écoulement a été trouvé pour la direction verticale, ce

CHAPITRE I Introduction

qui en accord avec la théorie. En outre, la direction transversale présente un grand amortissement que celle longitudinale. L’écoulement de convection dans la partie liquide peut également causer des inhomogénéités dans la distribution du dopant à un niveau macroscopique, appelé la ségrégation axiale, s’ils se produisent le long de l’axe de croissance et de la ségrégation radiale pour la perpendiculaire de cet axe ( Grandet et Alboussiére [35] ).

Gelfgat et Yoseph [36] ont traité le problème de seuil de l'instabilité oscillatoire de l'écoulement convectif d'un fluide électriquement conducteur sous l'action d'un champ magnétique uniforme extérieur imposé. Leur géométrie et conditions aux limites sont présentées dans la figure I.3 .

Figure I.3 : Géométrie et conditions aux limites utilisées dans la référence [36]

L'effet d’un champ magnétique avec différentes valeurs et orientations sur la stabilité des

modèles unicellulaires et bicellulaires de l'état stable de l'écoulement a été étudié. Les auteurs

[36] ont montré que le nombre de Grashof critique Gr

Cr

est dépendant à l'égard du nombre de

Hartmann, Ha qu'un champ magnétique verticale fournit l'effet de stabilisation le plus fort. Et

également, que la multiplicité des états stables est supprimée par l'effet électromagnétique, de

sorte qu'un certain niveau du champ magnétique seulement, l'écoulement unicellulaire reste

stable. Une analyse de leur perturbation prouve qu'a partir de certaine valeurs de Ha , ces

écoulements unicellulaires sont déstabilises à l'intérieur des couches limites de Hartmann. Les

CHAPITRE I Introduction

Figure I.4 : Diagrammes de stabilité montrent la dépendance de Gr

Cr

et la fréquence critique des oscillations avec le nombre de Hartmann pour différentes orientations du champ magnétique

( Gelfgat et Yoseph [36] ).

Conçalves et al. [37] ont présenté la solution numérique de la fusion du galium dans une

cavité rectangulaire chauffée latéralement et soumise à un champ électromagnétique, dont le but

de simuler l’effet de la faible gravité (Low gravity). La possibilité de minimiser la distorsion du

champ de l’écoulement causée par les fortes champs magnétiques au moyen de la force

résultante du champ magnétique, d’un courant électrique transversal et l’amélioration de la

CHAPITRE I Introduction simulation à faible gravité ont été montrés. Le reversement de l’écoulement est précédé par la convection thermo-électromagnétique (figure I.5 ).

Figure I.5 : Schéma du problème (a) configuration de l’écoulement bidimensionnel, (b) circuit externe [37]. T

_w

et T

_f

représentent respectivement

les températures de la paroi chaude et froide (T

w

>T

f

).

Douglas et al. [38] ont effectué des simulations numériques tridimensionnelles du cas traité dans la référence [37]. La validation de la méthode utilisée a été faite avec les résultats obtenus dans la référence [32] en absence de changement de phase.

Récemment, le travail expérimental et numérique de Kaneda et al. [39] , concerne l’effet d’un courant électrique sur la convection naturelle d’un métal liquide sous un champ magnétique uniforme dans une cavité cubique. Le champ magnétique est orienté parallèlement aux parois chaude et froide. Les résultats montrent que lorsque le champ magnétique est appliqué uniquement, la convection naturelle est amortie par la force de Lorentz. Cependant, lorsque le courant électrique et le champ magnétique sont appliqués, l’allure de la convection et la quantité de transfert de chaleur de la paroi chaude vers la paroi froide diffère au cas du champ magnétique appliqué seulement.

Okada et Ozoe [40] ont étudié expérimentalement la convection naturelle du gallium

CHAPITRE I Introduction Tagawa et Ozoe [41] ont étudié numériquement la convection d’un métal liquide pour une petite gamme du nombre de Hartmann d’un champ magnétique horizontal et parallèle aux parois chaude et froide. Ils ont trouvé que le mécanisme de transfert de chaleur pour les faibles nombres de Hartmann est dû à l’écoulement re-circulaire (Flow-rectifying).

Par conséquent, afin d’obtenir des cristaux de très grandes puretés, il est souhaitable d’éliminer la convection pendant le processus de croissance ( Bessaih et al. [32] ). La voie unique pour supprimer la convection est d’accroître les cristaux dans la micropesanteur et de réduire de ce fait les effets de flottabilité, mais ceci peut être prohibitivement cher. Une méthode alternative pour atténuer la convection durant la croissance des cristaux concerne l’application d’un champ magnétique (Figure I.6 )

Figure I.6 : Configuration horizontale de Bridgman ( Bessaih et al. [32] )

Le travail de Kholai [42] concerne la simulation numérique du transfert de chaleur avec changement de phase d’un fluide à faible nombre de Prandtl contenu dans une cavité carrée. La méthode enthalpique a été utilisée pour déterminer l’interface solide/liquide sans décomposition du domaine physique. L’écoulement de convection naturelle a été supposé laminaire, permanent et bidimensionnel. À cause des moyens informatiques de calcul moins performants (IBM/PC- AT286), uniquement les maillages de 22 x 22 et 42 x 42 nœuds ont été utilisés pour simuler les champs d’écoulement thermique/enthalpique pour Gr = 10

⁵

et 10

⁶

, en régime laminaire et permanent.

X

S

TC ^L

V

B

0

Cooling

Solidification

front

Pulling

CHAPITRE I Introduction

A notre connaissance, l’effet d’un champ magnétique sur la structure d’écoulement oscillatoire durant la solidification d’un fluide à faible nombre de Prandtl (par exemple, le cas de l’aluminium en phase liquide) n’a jamais été examiné, à l’exception du cas traité récemment par Gelfgat et Yoseph [36] , en absence d’un changement de phase. Pour cela, notre objectif consiste à la détermination de l’effet d’un champ magnétique sur la structure du champ de l’écoulement et du champ thermique en régime oscillatoire lors de la solidification de l’aluminium à l’intérieur d’une enceinte rectangulaire, et aussi la détermination des différents nombres de Grashof critiques, Gr

Cr

, et fréquences critiques, F

Cr,

pour différents nombres de Hartmann ( Ha = 0 − 30 ) et différents orientations du champ magnétique ( γ = 0 − 90 ° ).

Le mémoire présentant ce travail est organisé en quatre chapitres et une conclusion avec recommandation.

™ Dans le premier Chapitre, nous avons présenté une introduction générale sur les applications industrielles des processus de changement de phase solide/liquide et une recherche bibliographique concernant les méthodes de traitement de ce type de problème, et nous concentrons sur les écoulement instables et leur contrôle par l’intervention d’un champ magnétique extérieur. A la fin du Chapitre, on a présenté l’objectif de notre travail.

™ Le second Chapitre, nous donnons une formulation mathématique du phénomène étudié, et la géométrie considérée. Ainsi, la méthode enthalpique et les propriétés thermophysiques de l’aluminium sont également présentées.

™ Dans le troisième Chapitre, nous exposons la méthode numérique, à savoir : le maillage, la localisation de différentes types des variables, et la discrétisation des équations du modèle mathématique utilisé.

™ Les résultats obtenus sont présentés et commentés dans le quatrième Chapitre. Des

résultats sous forme de contours de la fonction de courant, des vecteurs de vitesses

couplés avec les trajectoires des particules, les lignes isenthalpiques, des profils de la

vitesse, de la température en fonction du temps, les portraits de phase , les diagrammes de

stabilité ( Gr

_c

-Ha ) et ( F

_cr

–Ha ), et les variations du nombre de Nusselt moyens en

CHAPITRE II Modèle Mathématique

CHAPITRE II

MODELE MATHEMATIQUE

II.1 Introduction :

Un transfert d’énergie a lieu chaque fois qu’un gradient de température existe à l’intérieur d’un système. Dans le cas du changement de phase solide-liquide d’un matériau pur, changement qui s’effectue à une température constante, température de fusion, il’y a production ou consommation de l’énergie dans la zone de changement de phase, ce qui entraîne la discontinuité des gradients thermiques qui s’établissent dans chaque phase de part et d’autre de l’interface.

Suivant le sens du changement de l’état (fusion ou solidification), l’énergie

provient d’une source externe à la température supérieure à celle de fusion ou,

inversement, la chaleur est extraite à une température inférieure à celle de fusion. Pour la

fusion, un étui fondu se forme entre la surface active et le matériau encore solide, les

transferts s’y produisent par conduction, puis par convection naturelle. Pour la

solidification, l’énergie est extraite à travers une croûte solide qui s’épaissit

progressivement à partir de la surface d’échange et le liquide se refroidit progressivement

jusqu’à la solidification.

CHAPITRE II Modèle Mathématique

II.2 Problème physique :

Le système physique considéré est une cavité rectangulaire de longueur L et de hauteur H , dont le rapport d’aspect fixe ( A = L/H = 4 ) . L’enceinte contient de l’aluminium liquide caractérisé par un faible nombre de Prandtl (Pr = 0.014). Les parois verticales de l’enceinte sont isothermes et soumises respectivement aux température chaude T

h

et froide T

c

(T

h

> T

c

), qui encadrent la température de fusion T

m

,( T

c

< T

m

< T

h

). Par ailleurs, les parois horizontales sont adiabatiques et rigides (Voir la figure II.1).

Figure II.1 : Géométrie du problème physique.

Notons que B

x

et B

y

sont respectivement deux champs magnétiques orientés suivants les directions x et y ; et B

0

leur résultante.

B

_x

S Soolliiddee IInntteerrffaaccee

x y

Li L iq qu ui id de e

B

y

B

0

γ γ

Paroi adiabatique

Paroi adiabatique Paroi chaude

T

_h

Paroi froide

T

_c

Champ magnétique Uniforme externe (Aluminium)

L L

H H

CHAPITRE II Modèle Mathématique Initialement, l'aluminium liquide existe à la température T

h

supérieure à celle de fusion T

m

(T

h

> T

m

). A un certain instant , la température de l'une des parois verticales est maintenue à T

h

, alors que la température de l'autre paroi est maintenue à la température T

c

.

Il s’agit ici de la solidification de l’aluminium, alors que le gradient de température dans l’enceinte cause un écoulement en convection naturelle et l'aluminium liquide se rapproche vers la paroi relativement froide est se solidifie. La forme et le lieu de l'interface solide/liquide dépendent des conditions aux limites et des dimensions de l’enceinte. La cavité peut être exposée à un champ magnétique extérieur et uniforme de différentes intensités et orientations.

II.3. Propriétés Thermophysiques de l’aluminium :

Nous avons choisi l’aluminium comme matériau pur exemplaire de changement de phase, appelé souvent matériau de changement de phase. L’aluminium est caractérisé par une chaleur latente de fusion élevée, l = 3.97.10

⁵

[J/kg], dont l’ordre d’une grande restitution ou consommation de l’énergie thermique durant la transformation solide/liquide.

L’aluminium liquide utilisé est de température de fusion de T

m

= 933 K et caractérisé par le nombre de Stéfan, Ste = 0.18. Le nombre de Stéfan est défini par [6] :

Ste = C

l

l

∆T

(II.1)

Où

∆ T = T

_h

− T

_m

(II.2)

est la différence de température associée au terme moteur du changement d’état. Alors, le

nombre de Stéfan représente le rapport des enthalpies spécifiques sensibles et de

changement d’état mises en jeu à la différence de température mentionnée (Bricard et

Gobin [6]).

CHAPITRE II Modèle Mathématique Les propriétés de l’aluminium liquide pour des températures qui varient entre la température de fusion T

m

= 933 K et la température de la paroi chaude T

h

= 1000 K sont présentées dans le tableau II.1 :

Propriété Symbole valeur Unité

Conductivité thermique Viscosité cinématique Densité volumique Chaleur spécifique Diffusivité thermique

Coefficient d’expansion thermique La chaleur latente de fusion

k

l

υl

ρ

l

C

l

α

l

β

l

l

92 4.92 × 10

^-7

2359 1086 3.59 × 10

^-5

4 × 10

^-5

3.97 × 10

⁵

W.m

^-1

.K

^-1

m

²

.s

^-1

kg.m

^-3

J.kg

^-1

.K

^-1

m

²

.s

^-1

K

^-1

J/kg

Tableau II.1 : Propriétés thermophysiques de l’aluminium liquide (Kholai [42]).

De même les propriétés thermophysiques de l’aluminium solide pour des températures qui varient entre la température de la paroi froide T

_c

= 925 K et la température de fusion T

m

= 933K sont présentées dans le tableau II.2 :

Propriété Symbole valeur Unité

Diffusivité thermique Conductivité thermique Densité volumique Chaleur spécifique

α_s

k

s

ρ

s

C

s

3.59 × 10

^-5

209

2570 1066

m

²

.s

^-1

W.m

^-1

.K

^-1

kg.m

^-3

J.kg

^-1

.K

^-1

Tableau II.2 : Propriétés thermophysiques de l’aluminium solide (Kholai [42]).

CHAPITRE II Modèle Mathématique II.4 Equation générale de transport :

La convection naturelle induite par le gradient de température dans la phase liquide régit par des équations générales de conservation de masse, de quantité de mouvement et de l’énergie, bien qu’elles soient traitées de façon détaillée dans de nombreux ouvrages de base de mécanique des fluides et de transfert de chaleur (Candel [43] et Bejan [44]). Nous nous rappelons brièvement leurs formes générales avec la signification physique des différents termes.

II.4.1 Equation de continuité :

Pour un volume de contrôle arbitraire, l’équation de conservation de masse en absence de terme sources est donnée par [43]:

= 0

∂ + ∂

∂

∂

j j

x u t

ρ ρ

(II.3)

( j : indice de somme, j = 1∼3 )

Dans l’équation (II.3), les termes représentent la somme de variation de masse sont des flux massiques traversant les faces du volume de contrôle.

II.4.2 Equation de quantité de mouvement :

Les équations de conservations de quantité de mouvement d’une particule fluide sont déduites de la deuxième loi fondamentale de la dynamique [44] :

( )

_i

j ij i

i

f

x x u p

Dt

D +

∂ + ∂

∂

− ∂

= τ

ρ (II.4)

(i : indice de direction, = 1∼3).

(j : indice de somme, = 1∼3).

Où :

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

j j x t u Dt

D

: représente la dérivée totale.

CHAPITRE II Modèle Mathématique Dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement (II.4), les termes du membre gauche représentent le produit de masse par unité de volume et l’accélération totale. Par ailleurs , les termes du membre de droite représentent les forces extérieures de surface, comprenant les forces de pression et de frottement visqueux et les forces extérieures de volume, qui regroupent les forces dues à un champ extérieur (gravité, magnétique,…).

τ

ij

est le tenseur des contraintes visqueuses, exprimé en fonction de volume et du taux de déformation pour les fluides Newtoniens par une relation linéaire de la façon suivante (Candel [43]) :

_⎟ ^⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

i j j ij i

k ij k

x u x u x

v δ µ µ

τ 3

2 (II.5)

δ

ij

est le symbole de Kronecker défini par :

⎩⎨

=⎧ 0 1

δ

ij

si

si

j i

j i

≠

=

II.4.3 Equation de l’énergie:

En se basant sur le premier principe de la thermodynamique, l’expression de conservation de l’énergie s’écrit [44] :

^{= − ∂} _∂ ^{+ q + Φ} x

q dt

C dT

j

P j

&

ρ (II.6) (j : indice de somme j = 1∼3)

Dans l’équation de l’énergie (II.6), le terme à gauche représente le taux temporel de changement d’énergie. Par ailleurs, les termes du seconde membre sont définis comme suit :

j

j

x

k T

q ∂

− ∂

= (II.7)

( j : indice de somme ; j = 1∼ 3)

CHAPITRE II Modèle Mathématique

q

j

: Densité de flux de chaleur par conduction définit par la loi de Fourrier.

q & : Générateur de chaleur volumétrique.

Φ : Représente la fonction de dissipation visqueuse. Elle est reliée à la dégradation de l’énergie cinétique en chaleur, du fait des frottements visqueux au sein du

fluide. Elle est exprimée en fonction des gradients de vitesse comme suit [44] :

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂

⎟ ∂

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

= Φ

j i i j j

i k

k

x v x

v x

v x

v µ

µ

2

3

2 (II.8)

(i, j et k : indices de somme ; i , j et k = 1∼3)

II.5 Formulation des équations du problème physique:

II.5.1. Hypothèses simplificatrices :

Dans notre étude, les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et de l'énergie sont simplifiées en tenant compte des hypothèses suivantes :

1. L'écoulement est transitoire et bidimensionnel.

2. Le fluide est supposé Newtonien.

3. Le fluide est considéré pur, homogène et isotrope à propriétés physiques constantes dans chaque phase ( υ , ρ, Cp, k et σ).

4. L’approximation de Boussinesq est valide : la densité est supposée constante dans toutes les termes des équations de quantité de mouvement, sauf dans le terme de gravité suivant y, où elle est exprimée par la formule [44] : ρ = ρ

₀

[ ¹ − β ⁽ T − T

c

⁾ ] _.

5. Pas de génération de chaleur volumétrique ( q & = 0 ) et la dissipation visqueuse est supposée négligeable (Φ =0).

6. L’effet de Joule est négligeable. Ceci est justifié par l'estimation des paramètres adimensionnels des métaux liquides et des semi-conducteurs [36]. En effet, le rapport de l'induction du courant électrique et du champ magnétique est définit par le nombre de Prandtl magnétique :

P

_m

= µ

₀

συ (II.9)

Où µ

0

est la perméabilité magnétique, σ est la conductivité électrique et υ est la

viscosité cinématique du fluide.

CHAPITRE II Modèle Mathématique Pour les métaux liquides, ce nombre est de l'ordre de10

^-7

. Par ailleurs, l'effet de Joule est défini par le terme source adimensionnel :

( )

( ) [ ]

[ ]

²

2 2 2 0

2 2

. . .

.

B Gr v

D Ha

B T v

T C

B

J T T C q H

c h P

c h p

×

=

− ×

=

= − ρ

υ σ

ρυ σ

(II.10)

Avec : :

^te

P

C C H D= g

β

=

Et également pour les métaux liquides la capacité calorifique est de l'ordre de 10

³

[J/kg.K] et le coefficient d'expansion thermique, β de l'ordre de 10

^-5

[K

^-1

], , donc pour une dimension de la cavité de H = 0.01 [m], Ha < 10

²

et Gr > 10

⁴

, , valeurs prises dans nos calculs, on aura

⁸

2

10

. ≈ ⁻

Gr

D Ha

. . Par conséquent, l’effet Joule sera négligé (Gelfgat et Yoeseph [36]).

II.5.2 Méthode enthalpique :

Tant que la position de l'interface solide-liqiude est une inconnue du problème, une formulation du type enthalpique doit être introduite pour connaître la phase en question (liquide, solide et mélange). Dans notre travail, nous avons utilisé la méthode enthalpique décrite en détail par Kholai [42] et Kim et al. [7]. Alors, nous rappelons brièvement les relations essentielles pour la détermination des deux phases et l’interface.

En effet, la fraction du liquide est définie en fonction de l'enthalpie comme [42] et [7]:

f

l

=

l

m

S

T l

C h 1

/ ) (

0

−

si si si

l T C h

l T C h T C

T C h

m S

m S m

S m S

+

≥

+

<

<

≤

(II.11)

Et le champ de température déduit comme :

C

S

h / (Phase solide)

(II.12) (Phase solide)

(Solide/liquide)

(Phase liquide)

CHAPITRE II Modèle Mathématique II.5.3 Ecoulement avec champ magnétique :

L'écoulement de fluide en convection naturelle peut être exposé à un champ magnétique extérieur uniforme et orienté arbitrairement. Pour cela, on introduit les définitions suivantes à propos du vecteur de courant électrique J et les forces électromagnétiques

Fr_EM

dans les équations de quantité de mouvement. Le vecteur du champ magnétique est :

B r B

_x

e r

_x

B

_y

e r

_y

+

= (II.13) Avec :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

x y

y x

B B Tang

B B B

) (

2 2 0

γ (II.14)

e r

_x

et ^{e r}

_y

: Vecteurs unitaires respectivement des directions x et y.

γ : Angle de l’orientation.

B

_x

: Composante horizontale du champ magnétique.

B

y

: Composante verticale du champ magnétique.

B

₀

: Résultante du champ magnétique.

Le vecteur de courant électrique

J

est défini par l’application de la loi d’Ohm [32]:

Jr=

σ

[−∇r

ϕ

+Vr∧Br]

(II.15) Ou V r u e r

_x

v e r

_y

+

= désigné le vecteur vitesse dans le plan x-y. Par ailleurs, le vecteur de courant électrique est conservatif, alors :

div J = 0 (II.16) La force électromagnétique F r

_EM

générée par le potentiel électrique ϕ et le champ magnétique, qui s’appelle la force de Lorentz, est définie par [32] :

Fr_EM = Jr ∧ Br

(II .17)

CHAPITRE II Modèle Mathématique Tant que les frontières de la cavité sont supposées électriquement isolantes, donc le potentiel électrique ϕ est constant, ce qui permet de réécrire les équations (II.15) et (II.17) comme suit :

B B V F

B V J

EM

r r r r

r r r

∧

∧

=

∧

=

] [

] [

σ σ

(II.18)

II. 5.4 Formulation des équations de transport :

En tenant compte des hypothèses précédentes, les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et de l’énergie deviennent alors :

• Equation de la continuité : ^{= 0}

∂ + ∂

∂

∂ y v x

u (II.19)

• Equations de quantité de mouvement suivant x :

fEMX Su

y u x

u x

p y

v u x u u t

u ⎟⎟+ +

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2 2

0

1

υ

ρ (II.20)

• Equation de quantité de mouvement suivant y :

^{g T T}

_c

^f

_EMY

^S

_v

y v x

v y

p y

v v x u v t

v ⎟ ⎟ + − + +

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂ 1 ( )

2 2 2 2

0

β

ρ υ (II.21)

Où S

_u

_et S

_v

sont respectivement les termes de Darcy (Viswanath et Jaluria [47]), nécessaires pour la suppression des vitesses u et v dans la phase solide lorsque la fraction du liquide (f

l

= 0). Ces termes sont définis comme suit [47]:

( )

( ) ^{fl fl u}

S

_u

ξ ε

+

− −

=

3

1

2

(II.22)

CHAPITRE II Modèle Mathématique Où ξ possède une valeur plus grande pour supprimer la vitesse lorsque le volume de contrôle est occupé par la phase solide, par contre ε possède une faible valeur utilisée seulement pour éviter la division par zéro lorsque le volume de contrôle est occupé par le solide ( fl = 0 ). Le choix de ces constantes est arbitraire, mais les termes sources ajoutés doivent supprimer la vitesse dans la région solide. Dans notre travail nous avons pris

10

9

1×

ξ = [kg/m

³

s] et ε = 0 . 005 [7] et [47] .

• Equation de l’énergie :

( ) ( ) ( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

y T k y x T k T x

y vC T x uC T

t C^{p p p} ρ₀ ρ₀

(II.24)

En substituant l’expression de l’enthalpie en fonction de la température dans l’équation (II.24):

h = C

_P

T (II.25) Et de même pour l’enthalpie dans la phase solide :

h

_s

= C

_S

T (II.26)

L’équation de l'énergie (II.24) devient alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

s S s

s

y h C k h y

x C k vh x

uh y h x

t ρ

₀

ρ

₀

(II.27)

L’équation (II.27) peut être réécrite sous la forme :

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

y h C k y x h C k x y vh x

uh t

h

S

S 0

. 0

) ( ) (

ρ

ρ

+ ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−

∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−

∂

∂

∂

y h h C k y x

h h C k x

s S s

S 0

0

ρ

ρ (II.28)

Les expressions des composantes de la force de Lorentz suivant les directions x et y (Eq.II.18) sont explicitement comme suit [36] :

fEMX =

(

uBx −vBxBy

)

ρ

σ

(II.29)

fEMY =

(

uBxBy−vB^2y

)

ρ

σ

(II.30)

CHAPITRE II Modèle Mathématique II.6 Equations du problème sous forme adimensionnelle :

On introduit les variables adimensionnelles pour réduire le nombre de paramètres et de faciliter notre étude. Pour cela nous avons pris les grandeurs de références par rapport auxquelles toutes les variables seront normalisées.

• Les grandeurs de références sont :

H²/υ_l

: Temps caractéristique.

H : Longueur caractéristique.

H υl

: Vitesse caractéristique.

∆ h = ( h

_h

− h

_c

) / A : Enthalpie caractéristique.

∆ T = ( T

_h

− T

_c

) / A : Température caractéristique.

2

0

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

P ρ υ H

^l

: Pression caractéristique.

k

l

: Conductivité thermique caractéristique.

Les variables adimensionnelles sont :

X = x / H , Y = y / H

τ =t/(H²/υ_l)

,

U =u/(υ_l/H)

V =v/(υ_l/H)

,

P=p/ρ(υ_l/H)²

( ) ( h h ) A

h h

C h

C

− /

= −

h , ( )

( T T ) A T T

C h

C

− /

= −

θ

K = k / k

_l

.

CHAPITRE II Modèle Mathématique II.6.1 Equations sous forme adimensionnelle :

Les équations adimensionnelles donnant la vitesse, la température et la pression dans le domaine rectangulaire (

0≤ X ≤ A

,

0≤Y ≤1

) sont :

• Equation de continuité :

=0

∂ +∂

∂

∂ Y V X

U

(II.31)

• Equations de quantité de mouvement suivant X :

₂

2 2

) 2

( ) (

Y U X

U X P Y

UV X

UU U

∂ +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = +∂

∂ + ∂

∂

∂

τ

+

F_EMX +S_U

(II.32)

• Equation de quantité de mouvement suivant Y :

θ

τ ^.

) ( ) (

2 2 2 2

Y Gr V X

V Y P Y

VV X

UV

V +

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

+ F

_EMY

+ S

_V

(II.33)

Où F

EMX

et F

EMY

sont respectivement les forces de Lorentz adimensionnelles, suivant les directions X et Y [36] :

F

EMX

=Ha

²

[Vcos( γ ) sin ( γ ) - Usin

²

( γ )] (II.34.a) F

EMY

=Ha

²

[Ucos( γ ) sin ( γ )- Vcos

²

( γ )] (II.34.b) Où Ha =

H l

B σρυ

0

est le nombre de Hartmann.

• Equation de l'énergie :

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

∂

∂ + ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

K Y Y K X

X C Y V X

Uh h h h

h

Pr ) ( ) (

τ

+

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−

∂

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−

∂

∂

∂

K Y Y K X

X

C ( _s ) ( _s )

Pr

h h h

h

(II.35)