Asymptotique de Born-Oppenheimer pour la prédissociation moléculaire (cas de potentiels réguliers)

A

NNALES DE L

’I. H. P.,

SECTION

A

B

EKKAI

M

ESSIRDI

Asymptotique de Born-Oppenheimer pour la

prédissociation moléculaire (cas de potentiels réguliers)

Annales de l’I. H. P., section A, tome 61, n

o

_{3 (1994), p. 255-292}

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255

Asymptotique

de

_{Born-Oppenheimer}

pour la

prédissociation

moléculaire

(cas

de

_{potentiels réguliers)}

Bekkai MESSIRDI

Université de Paris-Nord Institut Galilée

Département de Mathématiques

av. J.-B.-Clément, 93340 Villetaneuse, France

Vol. _{61, n°} 3, 1994, Physique théorique

RÉSUMÉ. - On étudie

_{l’opérateur}

P

_{= - h2 Ox - Dy}

+

_{Y (x, ~/)}

sur

R~

x

_R~

_{lorsque h}

tend vers

_0,

et V est un

_{potentiel régulier.}

On se

place

dans un cas où deux niveaux

électroniques

se croisent dans la zone

classiquement

interdite,

et où des résonances de P

_{apparaissent.}

On montre que ces résonances ont un

_{développement asymptotique}

réel en

h 1 ~ 2

et

qu’elles

ont une

partie imaginaire exponentiellement petite quand h

tend

vers 0.

ABSTRACT. - We

_study

the

_operator

P =

-h2

Ox -

Dy

+ V

_{(x, y)}

on

R~

x

_R~

when h tends to zéro, and V is a smooth

potential.

We consider

a case where two electronic levels cross in the classical forbidden

région,

and where résonances of P _{appear. We prove} that P has résonances with a real

asymptotic expansion

in

h 1 ~ 2

and that their widths are

_{exponentially}

small as h tends to zéro.

INTRODUCTION

Dans ce

_travail,

on étudie les

_{propriétés spectrales}

de P

= - h2

Ox

-Dy

+ V

_{(x, y) =}

_{-h2 0394x}

+

_Q

_(x)

dans

_Rx

x

R00FF

_{lorsque h}

tend vers 0

Annales de l’Institut Poincaré - Physique théorique - 0246-0211

près

d’un niveau

_d’énergie

_Eo

fixé. Si

Ai

(x),

Â2

(~),

As

(x)

désignent

les trois

_premières

_{valeurs propres de}

_Q

_(x),

on se

_place

dans la situation où

Â2

admet un minimum strict non

_dégénéré

de valeur

_Eo

et croise

_As

sur un

_{compact K}

_de

_{R~, K}

_étant

_disjoint

_du

_puits

_de

potentiel

crée par

Â2,

et

_Ai

restant en dessous de

Eo .

En

_particulier

_Â2,

_As

et leurs fonctions _{propres associées} u2 et u3

perdent

leurs

_{régularités}

_lorsqu’on

_s’approche

de K. Pour

_palier

à ce

problème

on construit une base de

_l’espace

_{propre associé à}

_{{Â2 (~),}

_As

_(~c)}

qui

soit et

_qui

coïncide avec

~u2 (x,

_{~/), u3 (~, ~) ~}

_{pour x à}

l’extérieur d’un

_voisinage

de K assez

_petit.

Pour cette nouvelle base on

peut

définir les résonances de P

_près

du niveau

_d’énergie

_Eo

à

_partir

d’une dilatation

_analytique

_Ue

en ~. On montre _que ces résonances admettent des

développements asymptotiques

réels en

_puissance

de

_h1~2,

et en

_particulier

la

_partie

_imaginaire

de ces résonances est

_{C~ ( h°° ) .}

Par la méthode de Feshbach on se ramène à un

_opérateur

matriciel 3 x 3

qui

permet

de réduire le

_problème

_spectral

initial à un

_problème

dans

L2 (Rx ) ® L2 (Rx ) ® L2 (R~ ) ~

On met une condition de viriel sur

Ai

et

As

assurant

_{que -h2}

_Ai

_(~)

et - h 2

_Ox

+

As

(x)

ne _{créent pas de} résonances

_près

du niveau

Eo.

On se ramène ensuite à un

_{opérateur 2 x 2,}

HÉ

sur

L2

_(R~)

(B

L2

_(R~)

de terme

_principal

-e-28 h2

_0~

I + M

_(x,

_()),

où M

_{(x, 8)}

est une matrice

multiplicative

dont les valeurs _propres sont les dilatées

_~2

_(~r)

et

_a3

_(x)

de

_a2

_(x)

et

_As

_(x),

et

_{M (x, B)}

=

a3 e o (~)

à l’extérieur d’un

voisinage

de K assez

_petit.

y U

As (~~ ~/

On étudie alors les

_propriétés

_spectrales

de

_HÉ

en utilisant les

_techniques

de

_[8],

ainsi _{que la}

_dépendance

non linéaire de

_H03B8E

_par

_rapport

au

_paramètre

d’énergie

E. On utilise finalement des constructions BKW _pour obtenir les

développements asymptotiques

des résonances

_proches

de

_Eo.

La deuxième

partie

de ce travail consiste à montrer _que ces résonances ont une

_partie

imaginaire

0(e’~),

C &#x3E; 0. Par des

_{inégalités d’Agmon}

on montre la

décroissance

_{exponentielle}

des fonctions _{propres de}

_HÉ,

et donc celles de

Pe,

ensuite les résultats de

[ 14], §

3 et

_4,

nous

_permettent

de conclure.

Une telle situation

_correspond

au cas

_{physique appelé}

_{prédissociation}

moléculaire,

et a

_déjà

_{été étudiée par M.} Klein dans

[9].

Cependant,

ce

dernier

_supposait

la réduction de Feshbach

_déjà

_faite,

et travaillait avec une matrice 2 x 2

_{d’opérateurs}

différentiels

_{semi-classiques,}

et de

_symbole

principal diagonal.

Bien que ce soit son article

_qui

a motivé notre

_étude,

celle-ci révèle néanmoins

_{qu’en pratique,}

la matrice

d’hamiltoniens

effectifs

décrivant le

_phénomène

est

_{plus compliquée}

_que celle

_qu’il

a considérée

dans

[9].

Dans un futur

_travail,

on

_{généralisera}

ces résultats au cas

_physique

des

potentiels

Coulombiens,

du _{moins pour} ce

_qui

concerne les molécules

diatomiques

(cf.

[ 15],

[ 16]).

L’auteur remercie _{vivement A. Martinez pour} ses

_{encouragements}

et _pour

les nombreuses discussions

_qui

ont contribué à l’élaboration de ce travail.

Le

_plan

est le suivant :

1.

_Hypothèses,

dilatation

_analytique

et résultats. 2. Choix d’une base

_{électronique.}

3. Méthode de Feshbach par le

problème

de Grushin dilaté.

4. Réduction de

_{l’opérateur}

de Feshbach.

5. Localisation des résonances. Constructions BKW.

6.

_Propriétés

de

_{l’opérateur}

_{HÉ .}

7.

_{Développements asymptotiques}

des résonances. 8.

_Largeur

des résonances.

1.

_HYPOTHÈSES,

DILATATION

_ANALYTIQUE

ET

RÉSULTATS

On étudie les

_{propriétés spectrales}

de

_{l’opérateur}

différentiel :

dans

_Rx

x

_R~,

_{lorsque h}

tend vers 0.

Si m =

m (~)

_{est une} fonction continue _sur

R~

avec

_?~(~/)

&#x3E;

_1,

on _posera E

m-1 (~) f

E Pour

b &#x3E;

_0,

on note :

(avec

la notation

_(~)

==

v’f+t2),

et

~(~, m)

l’espace

des fonctions de

D~

dans m L~

_(Rpy)

_qui

sont

_holomorphes

et bornées en x dans

D03B4.

HYPOTHÈSES.

(Hl)

// existe m

(?/)

_2::

1,

continue sur Rpy, V1

~ A

_{(8, 1)}

et

V2

~ A

_{(8, m)}

tels _que V ==

Vi

₊

V2,

En

_particulier

_{pour V} E

_{,,4 (b, 1 )}

_{l’hypothèse}

(Hl)

est

_{toujours satisfaite,}

et _{par les} formules de

_Cauchy

on a : =

pour

x E

_{D~, , s~}

8.

Les extensions de Friedrichs

_(cf.

_{[ 17]),}

de P et

_{Q (x)}

_(notées

_{par les}

mêmes

lettres)

sont de domaines

_{respectifs :}

munis de leurs structures naturelles

_d’espaces

de Hilbert. En

_particulier

le

domaine de

_Q

_(x)

est

_indépendant

de x

_{(cf. [12]).}

On

_désigne

_par

_Ai

_(~c),

_Â2

_(x),

_As

_(x)

les trois

_premières

_{valeurs propres} de

_{Q (x),}

dont l’indexation résultera des

_hypothèses

suivantes.

A cause de

_{l’hypothèse}

_(Hl),

on en déduit que

Ai

(x),

_À2

(x)

et

_As

_(x)

sont uniformément _{bornées par}

_rapport

à x.

On suppose aussi

on note

on _remarque

_{que K}

est

_compact

_d’après

_(H3),

et

_{pour 8}

&#x3E; 0 on note aussi :

où dist

_désigne

la distance euclidienne sur Rn .

(H4) B 80

&#x3E;

₈₁

&#x3E; _{0 tel que les}

_composantes

connexes de

_{K03B40BK03B41}

et

celles de sont

_simplement

connexes.

_Kso

ne contient

_{pas 0.}

Soit d &#x3E; 0 assez

_petit

_{tel que}

_~x

E

_{Rn; As}

_(x)

&#x3E;

_{2 d~ ~}

_ainsi

_que

03A91, 03A92

deux ouverts de Rn tels _que

_03A91

U

_03A92

=

Rn, S21

C x

_E

Rn ;

On suppose aussi que

Ai

et

_As

ne _{créent pas de} résonances

_près

du niveau

0,

plus

précisément

on met les conditions de viriel suivantes sur

Ai

et

_As:

On considère donc la situation suivante :

On

_désigne

_{par u~}

_(x,

_y)

la fonction _propre de

_Q

_(rc),

réelle et normalisée

dans

L2

_(R~),

associée à

_{a~ (x), j}

E

_{1,

_2,

_3}.

En

_particulier

~~

(x,

?/)

et

Ai

_(x)

sont de classe Coo sur

_Rx,

_u2

_{(x, ?/),}

_~c3

_{(x, ~),}

_~2

_(x)

_et

_As

_(x)

_sont

de classe Coo à l’extérieur d’un

_voisinage

assez

_petit

de K

_(cf.

_[13]),

mais leur

_régularité

sur K n’est pas

_garantie

à cause de

_{l’hypothèse}

de croisement.

En fait un modèle standard est donné _{par la matrice} A =

x~ x2

_:

B~2

-xl

A est de classe Coo sur

R2

admettant _{pour valeurs propres}

~~ _

±(x21

+

x22)1/2;

a+

et

03BB- coïncident

en xl = _x2 =

0;

de

_plus

03BB±

et

les fonctions _propres associées ne sont _pas dérivables en 0. Pour

_palier

à

ce

_problème

c’est la base construite au

_§

2 ci-dessous _que nous utiliserons

dans la réduction de Feshbach du dilaté

_analytique

de P.

DILATATION ANALYTIQUE.

Notons

U8

l’opérateur

de dilatation en x, défini pour B réel assez

_petit

par (cf.

[1]):

U8

se

_prolonge

en un

_opérateur

unitaire sur

L2

(Rn+p)

_puisque

!7~

= =

~B

donc

_{l’opérateur}

unitairement

_conjugué

à

_{P, P8}

est

_auto-adjoint

de domaine

Dp.

grâce

à

(Hl)

( Q

(xee))

donc

aussi

_(Pe)

se

prolongent

en des familles

analytiques

en

B,

_pour 9 E

_{C, 1 () 1}

assez

petit.

De

plus

on note _pour tout x en dehors d’un

voisinage

assez

_petit

de K et

y E

_Rp,

ue

(x, y)

_{= u~}

(xee,

y)

une fonction _{propre de}

Q

(xee)

associée à

la valeur _propre

_ae

_{(~r) = ~~}

(xee), j

_{e {1,}

2,

3}.

On définit les résonances de P comme étant les valeurs propres de

Pe, 8

0, b

[,8

&#x3E; 0 assez

petit,

celles-ci ne

_dépendent

_{pas du} choix de () et sont situées dans le

demi-plan

inférieur {z

E

_{C ;}

0}.

Remarque

1.1

_(cf

[14]). -

Pour () E

C,

1 ()

1

assez

petit,

on a :

IIB

est la

_projection

sur

_{l’orthogonal}

de

l’espace

propre de

Q

(.r,ee)

associé à

_~~B

_~~)~

_~â

_~~~,

~s

_~x~}~

(ii) :) C2

&#x3E; 0 _{tel que:}

&#x3E; 0 tel _que,

_{b3 ~ ~ ~2 Re (e2e ~2 (~~)}

2 b3 ~ x ~2

dans un

voisinage

assez

petit

de 0 contenant E

.x, ~ 1 1 () 1 },

et

RÉSULTATS. - Soit

_Co

&#x3E; 0 fixé en dehors du

_spectre

de

Ho

=

+ -

03BB"2(0)x, x},

notons

_{1 el,}

...,

eN0}

les valeurs propres de

Ho

dans

_{[0, Co]}

on a alors le résultat suivant :

THÉORÈME 1.2. - Sous les

_hypothèses

_{(H 1 )}

à

(H5)

et pour h &#x3E; 0 assez

petit,

P admet exactement

_No

résonances dans

_{r -é,}

_Co

_~~

-f- i

_{r -é, é l}

notées pl

(h),

... , pNa

(h),

et pour tout

j,

p~

(h)

admet un

développement

asymptotique

réel du

_type:

De plus ~~0

&#x3E;

_{(h)| 1}

=

O(e-~0/h),

uniformément pour h

&#x3E; 0

assez

_petit.

Remarque

1.3. - Pour vérifier si les

_peuvent

ou non être des

valeurs propres

prolongées

de

P,

on renvoie le lecteur intéressé _par cette

question

aux travaux de

_{[ 17],}

Tome

IV,

Chapitre

XIII.

2. CHOIX D’UNE BASE

_{ÉLECTRONIQUE}

Pour 8 E assez

_petit,

notons

03A003B823

_(x)

_03A023

_(x)

où

_03A023

_(x)

est la

_projection

sur

_l’espace

_{propre de}

_Q

_(x)

associé à

_~~2

_(x),

_~3

_(x)~.

Pour construire une base

_adéquate

Coo sur

_Rn,

de Im

_03A003B823

_(x)

nous avons

d’abord le lemme suivant _{dont la preuve} est

_analogue

à celle de

_{[ 13],}

lemme 2.1:

LEMME 2.1. -

_{(i) L’opérateur}

_{(Q (xee) -}

_{Q (x) )}

est borné de

{u; m(y) u

E dans

_vérifié

Q

(x)

(Lm, £2) = 0

(1 () ),

uniformément

par

rapport à

x.

03A003B823

(x) -

03A023~£

(£2) = 0

(1 () 1),

uniformément par

rapport à

x.

Remarque

2.2. - Grâce aux

_hypothèses

_(H3)

_(et

notamment le fait _que

~(~i? {~2? ~3 ~ )

reste minoré _par une constante

_positive)

et au lemme

_2.1,

il est facile de vérifier _que

_(x)

_dépend

de manière Coo de x sur Rn .

PROPOSITION 2.3. - Pour 03B8 E

_C,

_{| assez petit,}

_{on peut} trouver une

base

_{w03B82

_{(x, y),}

_w3

_{(x, y)}}

de

_{Im 03A003B823}

_(x)

telle _que, E

_{2,

_{3} :}

à l’extérieur d’un

_voisinage

assez

_petit

de K.

_{( ( , ~ y}

_désigne

le

_produit

scalaire dans

L2

_{(R00FF ) ) .}

Preuve. -

_TI23(X)

E

_{C°° (Rn,}

_{,C (Dq,}

_{L2 (Rp ) ) ),}

et définit un fibré

vectoriel trivial

_puisque

Rn est contractible. Par

_conséquent

il existe deux

sections

_(que

l’on

_peut

_prendre

_réelles)

de classe Coo

_(Rn)

de ce

fibré,

v2

(x, ~/)

et _v3

_(x,

_~/)

_{telles que :} E

_Rn,

_~v2

_{(x, ~/),}

v3

(x,

y) ~

forme

une base orthonormale de Im

_03A023

_{(x) .}

_D’après

(H4),

il est facile _{de voir que}

l’on

_peut

_également

_{prendre ~}

E Coo

_{(Rn ~K~1,}

_{pour j}

_{e {2,}

_3}.

En

particulier

pour tout x E il existe une matrice 2 x 2

_orthogonale

7Z ( x )

régulière

en x _{telle que} E on ait :

Quitte

à

_changer

l’ordre des sections

_{v2,

_v3~

on

_peut

_{supposer que}

R (~)

E

O+

_(2),

_{plus précisément}

on a :

où a

(x)

est

_l’angle,

défini modulo 2 _7r, de la rotation 7Z

_{(x) .}

_{L’application :}

est de classe et _{donc par}

_(H4)

et la

_{propriété caractéristique}

des revêtements

universels,

elle se relève en une

_application

posons :

où ~

E

_{Co (R"),}

0

_{~ ~ ~ 1,}

_supp

_(~)

C

_K03B40,

et ~

== 1

près

de

K03B41.

On

définit ensuite les vecteurs

2

et

₃

dans Im

_03A023

_(a;),

~x E

_R",

_{par :}

Par construction

_w~

E Coo

_(Rn,

_w~

_{(x, ~/)}

_{= v~}

_{(x, ?/)}

sur

_{(x, ?/) =}

_~~

(x, ~J)

sur

_{{2, 3},}

et

_{(x, ~J),}

w3 (x,

y)}

forme une base de Im

03A023

(x) .

Posons ensuite

pour 8

E

_C,

1

8 ~ 1

assez

_petit,

j

E

_{{2, 3},}

_y),

y)}

forme une base orthonormée de

Im

03A023

_(x)

(car

_{iu° _}

et _{du fait que}

we

_{= j}

+ (9

_{(1 ()}

₁₎

on en déduit

que

{03B82

(x, y),

w3

(x,

y)}

forme une base de

Im03A003B823

(x),

E

_(pour

1 B

1

assez

_petit),

il en est _{de même pour}

(x, y),

~

(x,

y)},

où

On

_peut

ainsi orthonormaliser cette dernière base en considérant :

avec

Alors

_we

E C°°

_(Rn,

= de

plus

_E

wJ

=

E

{2,

3}.

D

Remarque

2.4. - On pose

we

=

uf

_et

par le

procédé

« d’ ortho-normalisaton » utilisé en

(2.7),

on obtient =

03B4j,

k,j, k ~ {1,

2,

3}.

Par construction

_w2

et

_w3

sont

_{prolongeables analytiquement}

_par

_rappport

à

9,

il en est _{de même pour}

_wf

_(cf.

_[13]),

en fait on a le résultat suivant :

LEMME 2.5

_(cf.

[13]). -

(i)

Pour j

E

{2, 3},

_~~

_(resp.

prolonge

holomorphiquement

dans

_{Ds~ ,}

_(b’

&#x3E; 0 assez

petit), vérifiant :

~~

~~

(x)

= 0

(1 () 1),

uniformément par rapport à x

dans

(resp. x

dans

_Rn),

E

₍

assez

petit.

uniformément pour x

E Rn et o 1 E

₁

₁

asse,z

petit.

Vol. 61, n° °

3.

MÉTHODE

DE FESHBACH

PAR LE

PROBLÈME

DE

GRUSHIN

DILATÉ

On définit maintenant _pour ? E

_C,

_{1 ()}

₁

assez

_petit,

le

_{projecteur II8}

sur

L2

_{par :}

où

_(-,

est

_l’adjoint

de

_{l’opérateur}

L2

_{(R") 3 ~}

)-~

vwe

E

L2

_(Rn+p)

(car

==

b~, ~ ,

pour tout 8 assez

_petit,

_{par unicité du}

_prolongement

analytique),

II8

= 1 -

Puisque

P8

et

_{e {1,}

_2,

_3},

_possèdent

des extensions

_analytiques

en

(),

on définit alors le

_problème

de Grushin dilaté

(associé

à

_Pe,

et

_{e {1,}

_2,

_3}),

_pour 9 E C et h &#x3E; 0 assez

_petits,

_{par :}

tA

dénote le

_transposé

de

_{l’opérateur}

A. Pour inverser

_{l’opérateur}

matriciel

A~

(h)

nous

_rappelons

le résultat suivant de

_{[13] :}

LEMME 3.1

_(cf.

_{[13]). -}

Il existe une constante C

_positive

_{telle que pour} ()

_complexe

assez

_petit,

E

L2

tel que

03A003B8 u

E

_Dp,

on ait:

En

_particulier

ce résultat montre l’existence d’un inverse borné

de la restriction de

_E)

à

_{u

E

_Dp;

03B8 u

=

u}.

Il _est

alors élémentaire de vérifier _que

_{l’opérateur}

_AÉ

_{( h)}

est inversible sur

Dp

EB

L2

_(Rn)

EB

L2

_(Rn)

EB

L2

_{(Rn ) .}

Si on note

_{pour |03B8|, | E|}

et h &#x3E; 0

assez

_petits,

alors :

avec

FÉ

est

_appelé

_opérateur

de

Feshbach,

il

_permet

de ramener le

problème

spectral

initial à un

_problème

dans

L2

(R~)

EB

L2

_(R~)

EB

L2

_(R~),

et il

servira aussi _{par la suite pour déterminer} les résonances de P

_{(cf. [3]).}

COROLLAIRE 3.2.

De

_{plus si}

_{0 ri.}

sp

(ae +

(E)),

alors :

Réciproquement

si _sp

_(PB),

alors:

4.

RÉDUCTION

DE

L’OPÉRATEUR

DE FESHBACH

On a

_d’après

_{[ 13] :}

E

_Z,

E

_{0,

_1,

_2},

est

C~ (h-j )

de dans uniformément par

rapport

tous trois assez

_petits,

où on a noté = Hm

(R~,

L2

(R~)).

. .

[~x,

est 0

₍₁₎

de dans _pour tout m E Z.

Notons

_{G103B8(E) = G103B8}

=

G03B8(.w03B81), w03B81&#x3E;y,

Im03B8 _&#x3E; 0. A l’aide de

l’hypothèse

de viriel sur

_Ai,

on

_peut

facilement montrer,

pour

1 ()

1

et h &#x3E; 0 assez

_petits,

_que

_{l’opérateur}

(G~

(E) - E)

est inversible de

~-l2

dans

_L2,

son inverse se

_prolonge

de dans _pour tout m E

_Z,

et j

E

_{0,

_1,

_2},

et

où

_{C (m)}

&#x3E; 0 est

_indépendant

de

E, B

et /~

Soit maintenant a = _{al EB a2 EB cx3 une} solution de

l’équation :

En utilisant la forme

_expliciite

de

_F~

et

_{(4.1 ),}

on _{voit que}

_(4.2)

équivaut

à :

où

et

Par

_conséquent

l’étude

_spectrale

de

Pe

se ramène ainsi à celle de

HÉ

sur

L2

(Rn)

EB

L2

_{(Rn ) .}

La

_{partie principale}

de

_{l’opérateur}

réduit

_HÉ

est

donnée par :

PROPOSITION 4.1. - Pour 03B8 E C

_{fixé, |03B8| 1}

assez

petit on a :

avec

uniformément

pour h &#x3E; 0 assez

petit,

E E

_C,

_E

₁

assez

_petit.

I est la matrice identité 2 x

_2,

M

_{(x, o) _}

(

o (x)

, d x E

RnBK203B40.

M

_{(x, 8)}

_{admet pour valeurs propres}

_~2

_(x)

et

~3

_(x),

E Rn.

Preuve. -

_Puisque

_[Q

_(xee),

03B8]

=

_0,

_{on a}

pour

i, j

E

_{{2, 3} :}

alors

A l’extérieur de

_{M (~,}

₈₎

est la matrice

_{diagonale :}

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Physique ’

et

. = 0

puisque

=

1,

de

plus

est borné uniformément par

rapport

à ~ de ~~ dans

7~~’~.

..

_~

= alors :

est

O(h-j)

de ?f dans

_Hm-2+j,

_{pour j}

E

_{O,

_1,

_2}.

... est

_(~(1)

de

7~

dans

-~~.

Il suffit alors d’étudier pour E

_{{2, 3},}

les

_opérateurs:

D’une

_part,

les

_{opérateurs :}

et

sont

_{(~ (h2)}

de 7~ dans

7~.

D’autre

_part,

les

_opérateurs

_Zé

_{(E) =}

-(Gé

_{(E) -}

E)-1

Gâ’ 1

(E)

sont

0

₍₁₎

de

~"

dans

~-l"’+1.

Puisque

Zé’~’

(E)

=

(E)

ZB

(E),

on a alors

!)

(E)

= C

_(h2)

et

_{a fortiori}

ZB’’

(E)

est C’

_(h2)

de

dans

~-l~-1.

D

Remarquons

qu’on

peut

aussi écrire

.R~

(.E,

/t)

sous la forme :

5. LOCALISATION DES

_RÉSONANCES,

CONSTRUCTION

BKW

Dans ce

_paragraphe

de la même manière _{que dans}

[ 13]

on montre _que

l’on

_dispose

_{d’une bonne théorie des résonances pour} P

_près

du niveau 0

(cf.

[5], [13]),

et

_{plus précisément}

on a :

PROPOSITION 5.1

_{(cf. [ 13]). -}

Sous les

_hypothèses

(H1 )

à

_(H5)

le _spectre

de

_Pe

₍₈

E

_C,

0 Im B

_bo,

0

_8b

assez

_petit)

est discret

_près

de 0 inclus dans

_~z

E

_C;

Im z

_S

0~

et est

_indépendant

de 9

₍₈

assez voisin

d’uh

_8o

De

_plus

si

_{.~4.s désigne}

l’ensemble des

_fonctions

entières _~p

sur

Cn+p,

_{telles que:}

Alors _pour tout _cp,

_’l/J

dans

_{A8, la}

,

_{fonction z}

2014~

( (P -

_cp, ,

prolonge méromorphiquement

près

de

0, à

,

_partir

de Im z &#x3E;

_0,

et

pour

c’

&#x3E;

_0,

asse,z

_petit.

D

Constructions BKW

_{(cf. [6],}

[ 11 ], [ 12], [ 13]) :

Soit

_Ho

un

_voisinage

assez

_petit

de 0 à bord

_régulier,

tel que

(en

particulier

dans

_03A90,

w2 ==

u2, w3 =

_u3),

les constructions

BKW _{pour P} dans

_Ho

sont _{données par :}

,

PROPOSITION 5.2. - Sous les

_hypothèses

(H4),

on peut

trouver pour

tout j

~ {1 ?

..., des séries

formelles :

.’

avec E °° telle ’

que ’ l’oh

ait formellement :

où les _mj sont choisis de telle sorte que

Il

eW

(x)lh

_{ô~ 11£2}

_{(00 x R,p )} =

(x)

est la distance

_d’Agmon

de x à 0 associé à la

_métrique

_dégénéré

~2

(x) dx2,

et

_{el,

..., les valeurs propres de

-0394x

+ !

03BB"2 (0)

x,

x&#x3E; dans

[0, Co].

On considère

_{l’opérateur}

matriciel :

qui

est un

_{opérateur pseudo-différentiel}

formel à

_{symbole opérateur}

(cf. [2]) :

agissant

sur

_l’espace,

_D~

_EB

C),

des séries formelles

de

_{type :}

où Sj

E C°°

_Do

EB

_C),

et 03C8

(x)

est la distance

_d’Agmon

de x à 0 associée à

~2

_(x)

dx2 (en

particulier ~

E coo

_(Ho)

[6])),

cette action

formelle est définie comme dans

[ 12] .

Il est alors élémentaire de

_vérifier,

_{pour |E}

₁

assez

_petit,

_{que qE}

(x, ç)

est inversible de

_D~

EB C dans EB

C,

‘d (x, ç)

E où

nô

= {(~,

ç)

E

Ho

x

_C";

_{(~-i ~ ~}

_{(x) )}

_voisinage

de 0 dans

Rn,

et

Ce

_qui

nous

_permet

aussi d’ inverser

_{l’ opérateur}

AE

( h ) :

où a _ +

( E )

a _pour

_{symbole principal}

(E 2014 ~ 2014 ~2

( x ) ) ,

_{l’opérateur}

de

Feshbach associé F

_(E)

= E - a_+

(E)

est donc un

_{pseudo-différentiel}

formel de

_{symbole principal}

_~2

_(x)

+

_(,2.

Comme dans

[ 11 ],

les constructions faites dans

_[6]

nous

_permettent

d’obtenir

_{V j}

_{G {!,...,}

des séries formelles : ==

~

hl+~~2,

E R),

et _a~

_{(x, h)}

E

_(Ho,

_C),

telles _{que :}

En

_{posant ensuite,}

on a :

D’après

(Hl),

_{les bj}

ainsi construites se

_prolongent

_{holomorphiquement}

en x dans un

_{voisinage complexe}

de 0. Les

réels,

_mj sont choisis de telle

sorte _{que l’on} ait formellement :

Remarque

5.3. - On vient de construire

lV°

valeurs _{propres formelles}

de

P,

nous _{allons prouver dans les}

_paragraphes

_{suivants que} ces valeurs

propres donnent une bonne

_{approximation}

des résonances de P

_près

du niveau 0 et _que tous les

_{développements}

_{asymptotiques}

_{Ey ( h)}

sont atteints par

r e.

On a besoin alors d’étudier les

_{propriétés specrales}

de

_{l’Opérateur}

de Feshbach réduit

_{HÉ .}

6.

PROPRIÉTÉS

DE

L’OPÉRATEUR

_HÉ

Dans ce

_paragraphe

on étudie le

_spectre

de

_{l’opérateur}

modulo

i~ (h3~2)

pour

E ~

1

fixé assez

petit,

ainsi que la

dépendance

_par

_rapport

à E de

_HÉ.

Notons

_{(E, h),}

où

RB

_{(E, h)}

est défini dans

(4.8),

et

H°

=

(de

_sorte

que

.H~

et

~f~

ne font pas intervenir de résolvante et sont donc des

_opérateurs

_{différentiels).}

_P~

_(resp.

_~)

_désigne

la réalisation

autoadjointe

de

-h2

Ox

+

a2

(x),

(resp.

-h2

0~

+

As

(x)),

et

H°~ °

celle

de

~f~

sur

_Ho.

avec conditions de Dirichlet au bord. Aussi

Puisque

sur

Ho?

la matrice

M (~,

8)

est

_diagonale,

alors :

En

_particulier

le

_spectre

de

P2 ’ °

==

-h2

e-2e 0394x

₊

a2

dans ] -

[

+i]-[

est discret

_indépendant

de

(),

et inclu dans

_{[0, ê [.}

De

_plus

on a aussi

d’après

un résultat

classique

_(cf.

[6],

[ 18]) :

Annales de l’Institut Henri Poincaré - _Physique .

avec _pour tout

6 R),

où les _ej sont les valeurs propres de

_{+ 2}

(~

(0)~?

~)

dans

_[0,

_{désigne pour j}

E

_{{l, ...,}

le cercle

_complexe

de

centre et _{de rayon}

8’

_/~,

où

8’

&#x3E; 0 est choisi assez

_petit

_{pour que}

les

ek h

vérifiant _ej restent à l’extérieur de _03B3j. On commence _par

montrer le lemme suivant :

LEMME 6.1. - Pour ~ &#x3E;

_{0, assez petit, et z}

E

_[2014C,

_Co

_h]

+ i

_[-c,

(~~-~)

(~

(00)) EB

(H2 (Ho)

n

_HJ

₍₀₀₎₎

dans

L2

_(Ho)

EB

L2

_(Ho),

borné

uniformément

pour z,

(),

~) &#x3E; ~

C &#x3E;

_0,

Vu E n

HJ

(Ho),

alors

(Pf~ -

_~)

est

_inversible,

et ~ (P~ -

==

O(h-j),

m E Z

_{et j ~}

_{{0, 1,}

_2}.

De

_{plus ~}

_{(P03B8,02 - z)-1}

~£(L2(03A90))

==

o

_(~~~)

uniformément _{pour ~} E

_[2014~,

Co

_~]

+ i

_[2014~

Co

~], ~

à l’extérieur de tous _{les ’r j,}

_{~, 03B8}

et h &#x3E; 0 tous trois assez

_petits.

A

_partir

de

_{l’équation}

(~,o_~

/3iC/?2 ~

~

_(Ho),

il est facile

_d’exprimer

a2 en fonction de

_~i

et

_/?2,

et d’établir:

et

CB

sont des

_opérateurs

_analytiques

en z

_(z

à l’extérieur

de tous les _~y~

_et

_{z ~ 1}

assez

_petit),

vérifiant

~~~/:(L2(Qo)) ~

C~ (h2),

Il

BB

_{11£ (£2}

_(00» == C

(h) et ~

CB

(00» == C

(h).

En

_particulier,

uniformément par

rapport

à z à _{l’extérieur des ’Y j, ê,}

_9,

et h tous trois

assez

_petits.

D

De

_plus

_pour

_pouvoir

estimer l’inverse de

_{l’opérateur}

_{(Nj~ 2014~),}

1 z ~ 1

assez

_petit,

et z est à l’extérieur de tous les

_{~ {1,}

..., on

a besoin des résultats suivants :

0 0

PROPOSITION 6.2. - Pour tout

_{(xo, yo)}

E

03A90

x

_03A90

et _~ &#x3E;

_0,

il existe

03BDx0

(resp.

Vyo )

voisinage

de xo dans

S2o (resp. voisinage

de y0 dans

03A90)

et

_C~

&#x3E; 0 tels _que pour tout

_{z 1}

assez

_petit,

et z à l’extérieur de

tous _{les "y.} on a :

~u E

_Co

_{(1&#x3E;yo )}

EB

_Co

_{(Vyo ),}

où

de

est la distance

_d’Agmon

associée à la

métrique dégénérée

Min

_(Re

_{(e2e ~2}

_(x)),

Re

_{(e2e ~3}

_(x)))+

dx2.

La preuve de cette

_proposition

découle des trois lemmes suivants:

LEMME 6.3. -

_Soit

_(x)

=

de

(x,

0),

z E

_C,

z à l’extérieur de tous les

03B3j et

_{1 z| asse.z}

_petit,

alors V ~ &#x3E;

_{0, :3}

_C~

&#x3E; 0 tel que,

~u ~

L2

( SZo ) ,

Preuve - Posons v =

(e2e P2’ ° -

~c, donc

(e2e P2’ ° -

z)

v = _u et

v

|~03A90

=

0;

(.r) = (1 -

77)

03C8

(.r).

Posons ==

03A90;

Re(e203B8 03BB03B82(x))

&#x3E;

~},

donc On en déduit alors :

D’autre

_part,

sur on a

~R,e (e2e ~Z (.x)) -

(B7 ’l/;1] )2]

&#x3E; r~2

_pour

assez

_petit,

d’où :

ainsi _{pour ~} &#x3E; 0 assez

_petit

on a le résultat. U

Annales de l’Institut Henri Poincaré - _Physique "

Remarque

6.4. - De la même manière on montre aussi :

pour z à l’extérieur de tous

_{les et}

_{z ~ 1}

assez

_petit.

- En

particulier

un calcul

_analogue

à celui utilisé

_{précédemment}

nous

permet

de montrer _{que les} fonctions _{propres de}

_{P2 ’ °}

et

3 ’

sont

exponentiellement petites

en dehors du

_puits

de

_potentiel.

On

_reprend

maintenant une idée de

_[7]

consistant à boucher dans un

premier

temps

le

_puits

de

_potentiel.

Pour cela on considère une fonction

W E

_Co

_{(de (x, 0)}

_1]),

_{telle que} W &#x3E; 0 et W

₍₀₎

&#x3E; 0 et _posons

Donc

P2 ’

0 est inversible et sa résolvante est liée à celle de

P2 ’

o _par: LEMME 6.5. - V z E

_C,

_{z ~ 1}

assez

petit

et z à l’extérieur de tous les

~y~ on a :

où

avec

ri &#x3E; 0 est choisi assez

_petit

_{pour que}

~x;

de

(x,

0)

_::;

5

ri~

C

no.

Preuve. - En

effet,

en

appliquant

(P2’

0 -

z)

à droite de

l’égalité

précédente

on obtient le résultat en

_remarquant

_{que x2} = 1 sur

supp xm

[P03B8,

0,

xy

=

x2

[P03B8,

0,

xy

et

_{( 1 - W )}

W = 0. D

A

_partir

des lemmes 6.3 et

_6.5,

on montre aussi:

0 0

LEMME 6.6. - Pour tout

_{(x°, y0)}

E

03A90

x

_no,

et ri &#x3E;

0,

il existe

03BDx0

voisinage

de x°,

Vyo

voisinage

de ~° dans

no

et

_C"1

&#x3E; 0 tels _que Vu E

_Co

_{(Vyo ),}

b z E

_C,

_{z ~ 1}

assez

_petit

et z à l’extérieur de tous les

~y~ , on a :

Preuve. - Par un

_argument

_analogue

à celui du lemme 6.3

_appliqué

avec

P2’ °

= de

(x,

on a :

donc

avec lim à

_(~)

= 0.

Si nous

_appliquons

le lemme

_6.3,

on obtient _pour tout u E

_Co

or

0) N

0)

sur

_Vxo

et

_{0) t’V}

0 sur

_Supp

_x2, alors

comme

_{précédemment :}

D’après

le lemme

6.5,

on en déduit _pour tout u E

_Co

Le résultat découle ’

de cette ’

dernière "

estimation.

D

Remarque

6.7. - En utilisant les notations de

_[8],

si K

_désigne

o 0

le noyau distribution dans

_D~(R~),

alors

_2/o)

E n

0 x

no,

==

(lemme

_6.6).

De la même

manière on démontre _que

_y0)

== Par

conséquent

~o)

== _{Aussi les fonctions}

propres de

d’énergie proche

de 0 sont

_{exponentiellement petites}

en

dehors du

_puits

de

_potentiel.

On note _{par la} suite 03C5 ==

Õ

(t)

si

_~03C5~

_~

_C~

e0152 avec

_0,

et lim == O.

Posons maintenant

_(x)

₌

(),

et considérons _pour () E

_{C, 1 ()}

₁

assez

_{petit l’opérateur:}

PROPOSITION. - Pour tout z E

_C,

_z|

₁

assez

_petit,

z à l’extérieur de tous

les 03B3j

et Im03B8~

0,

(HB -

z) :

Hz

H2

_{(Rn) -&#x3E;}

LZ

est inversible d’inverse borné.

Preuve. - Soient :

Xl, X2 E 0

_1,

_{0 ~ ~2 ~}

_1,

_supp

_{~ 03A91,}

supp (~2) C

O2

et

_{x

E

_R";

X1

(x)

=

1}

_U

{x

E

_Rns

Xz

(x)

=

1}

= R".

En

_particulier,

Re

_(M

_(.x,

_(x))}

est définie

_positive

sur _suppxl,

&#x3E; 0 et

Im (e2e ~B (x))

_-C"(Im0),

_(C’

&#x3E;

_0),

sur

suppx2. Soit v E

_Co

_Co

=

(vl, -~2),

et co &#x3E; 0. Posons Alors : or sur ~ol.61,n° * 3~994. é

donc

_{H~~ ~W,}

_~2),

_{~~o -}

+

h3~2

_Il

~.c ~

_{Il }2),}

et _{pour Eo &#x3E;} 0 assez

_petit

on a :

finalement on obtient

_{pour h}

&#x3E;

_0,

et 6-0 assez

_{petits :}

(ici

les normes sont calculées dans

_{L2 (Rn)}

EB

L2 ( Rn ) ) ,

Ci, C2

&#x3E; 0. D’autre

_part,

_{posons :}

De la même manière il existe

_C3

&#x3E;

_0,

_{tel que :}

1 () 1

et h &#x3E; 0 assez

_petits.

Ainsi

En _{utilisant le fait que}

on a :

,z 6

_C,

_|z|

assez

petit, z

est à l’extérieur de tous _{les 03B3j.} Donc

_{(03B8 -}

_,x)

est inversible

_{et ~(03B8 -}

_{z)-1~ ~}

C |Im03B8|.

Remarque

6.9. - Par la même méthode et avec des estimations

_d’Agmon

on a aussi :

qui

découle de

_{l’ inégalité plus générale: v}

=

~2)

On démontre aussi que:

où

PROPOSITION 6.10. - Pour tout 1 assez

_{petit, z à}

,

l’extérieur de tous E

_C,

Im B &#x3E;

_0,

_{1 ()}

assez

_{petit :}

Il faut montrer _pour tout v E

_Co

EB

_Co

Vxo,

Vyo

voisinages

assez

_{petits respectivement}

de xo et &#x3E; 0 et

_C~

&#x3E; 0. Posons u =

v,

soit x

E

_Co

_(Ho)

_{telle que :}

_{x (x)}

= 1 _sur

~x;

de

_(x,

_{r~~, r~}

est choisi assez

_petit

_pour

_{que de}

et

_de

_~03A90)

&#x3E; _~. On a alors :

où

He, ° -

+ W

_{(x) .}

A l’aide de la

_proposition

_6.2,

on obtient :

où w =

x~

(He, o _

v. Par une

_{inégalité d’Agmon}

appliquée

==

de

(~r,

9Ho)?

et à l’aide de la _remarque

_6.9,

on a aussi :

Une estimation

_analogue

est alors obtenue en norme

H2

comme au lemme 6.6. On en déduit finalement :

A

_partir

de ces résultats nous allons construire un inverse de

_{HÉ .}

PROPOSITION 6.11. - Posons pour

z E C,

z à l’extérieur de tous les

-y~ , ~ z ~ ,

et h assez

_petits:

9M xl et x2 sont

_définis

au lemme 6.5. Alors :.’

avec

En

_effet,

en calculant le

_produit

z) ^1 ~x2,

est car

_Xl

est

_supportée

dans

_Ho,

_~x2,

est

_supporté

_près

de et

(~~’~ 2014

est

~

_(e-de

_{(x~ y)l~),}

Posons

_{(z) _}

_{(1 -}

_xl)

W

_(x),

alors : où

Donc S03B8

_(z)

est aussi 0

_{(e-03B4’/h),}

car

_(1-xl)

est (9

_(1),

_[03C8,

_03B8]

est localisé

_près

de

West

localisée

_près

de 0 et est

0

_~’~)/~),

_d’après

la

_proposition

6.10. D

00

En

_conséquence

la série de Neumann

_¿

_(z)]j

est absolument

.7=0

convergente

dans £

_(L2

_(R")

EB

L2

_(Rn))

pour h

&#x3E;

_0,

_{1 () 1}

et

_|z|

₁

assez

petits, ~

à l’extérieur de tous

constitue un inverse à

_gauche

de

(H8 -

z),

vérifiant :

De la même manière on

_peut

aussi construire un inverse à droite de

(He -

z).

D’où pour ~ &#x3E; 0 fixé assez

petit,

et z E

_[2014c,

Co

_{h]+i [-~,}

Co

h],

z à l’extérieur de tous les _{~ :}

On en _{déduit que sp}

(HE)

n

_([2014c,

_Co

_h~

_{+ i}

_[2014c,

_Co

_h~)

est inclus dans l’union des intérieurs

_{des 03B3j et}

les

_projecteurs

_spectraux

_{correspondants}

s’écrivent :

Puisque

"

( z -

est

_analytique

"

en z à l’intérieur et sur tous on

obtient en

_posant

II8

,

fi

( z -

03B8,0)-1 dz :

Notons aussi

_{II8’ °}

= ~

_{(~ 2014}

P2 ’ ° ) -1

dz le

_{projecteur spectral}

associe à

P2 ’ °

et _~.

LEMME 6.12. - Pour h &#x3E; 0 asse,z

_petit,

rg 03A003B8j

=

rg 03B8j

=

rg 03A003B8, 0j,

~

e{l,...,~Vo}).

Preuve. - En

effet,

l’égalité

(6.15)

donne,

pour h assez

_petit

rg 03A003B8j

=

rg 03B8j.

(z -

P3 ’ ° ) -1

est

_analytique

en z, à l’intérieur et sur tous les _03B3j.

D’après

(6.4),

_6~

s’écrit :

Les

_pôles

de la résolvante

_{( z -}

P2 ’ ° ) -1

à l’intérieur sont dans

03C3disc

( P2 ’ 0)

n int _03B3j. Notons alors _{03B3j, k} un contour fermé inclus dans int _03B3j, entourant un seul

_pôle

_{a~, ~}

de

_{multiplicité}

De

_plus

à l’aide du

caractère

_autoadjoint

de

P2’ °

_pour () E

_{R, 8}

assez

_petit,

et de l’unicité du

prolongement analytique,

on a :

où est

_analytique

à l’intérieur et sur _~~, et

A8, ~

est un

_opérateur

borné de rang en fait

A8, ~ _

(~ 2014

° ) -1

dz. En utilisant aussi

l’ analyticité

de

C8

_{( z )}

et

B e

_{( z ) ,}

on obtient :

Si est une fonction propre de associée à

_{~~, ~}

on a alors

_d’après

(6.17) :

Si h &#x3E; 0 est assez

_petit,

on en déduit que

rg 03B8j

&#x3E;

Réciproquement,

on a :

Pour

_pouvoir

étudier modulo 0

_(h3~2)

le

_spectre

de

_HÉ

on a aussi

besoin du lemme suivant:

LEMME 6.13. - Si cp° est une

_fonction

_{propre de}

P2 ’ °

normalisée dans

L2

_(SZ°),

et associée à la _{valeur propre}

_~°,

alors

_{(HÉ -}

_a°)

~p - 0

(h2),

uniformément

pour |E|, |1 () 1

et h &#x3E; 0 assez

_petits,

avec

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Physique "

où _{~1 et x2} sont

_définis

au lemme

6.5,

et R03B80

= -2

h2 e-203B8 ~x

u03B82,

Preuve. -

_Puisque

_supp

_(03C6)

c

_Ho,

alors

_{(HÉ -}

==

+ 0

_(h2)

et en utilisant _{la remarque}

6.4,

on a aussi =

C~ (h2).

0

Par le lemme

_6.12,

on sait _{que :}

(~ E ~, ~ 9 ~,

h,

6- assez

_petits).

On a en

_{plus :}

PROPOSITION 6.14. - Pour () E

_C,

assez

_petit,

avec _pour tout

_j,

_~8

_(E,

_h)

=

ej h + 0

_{(h3/2 ),}

_{uniformément}

_pour

_{1 E ~ 1}

et h assez

_petits.

Preuve. - _cpl, ... ,

désignent

les fonctions propres de

P2 ,

normalisées

dans

L2

_(S2o)

et associées à

El

_(h),

... ,

ENo (h),

et E

{l,

... ,

No~,

désignent

leurs dilatées. Notons:

avec

alors

et

De

_{plus d’après l’égalité}

(6.15)

et le lemme

6.13,

on a :

Ainsi {03A003B8j03B8k}k~Jj

forme une base de

_{Im 03A003B8j,}

et la matrice de

_HÉ

_{|Im 03A003B8j}

dans cette base s’écrit

_d’après

_{(6.18) :}

J

et a

_fortiori

Comme dans

_{[ 13 ] § 6,}

on en déduit que

sp Mj ~ {ej

h}

+ 0

_(h3/2).

D A l’aide des résultats du

§ 4,

il est facile de montrer la

_proposition

suivante concernant la

_dépendance

de

_HÉ

_par

rapport

au

_paramètre

d’énergie

E :

PROPOSITION 6.15. - 8 E

_C,

₁

assez

avec

pour tout m E

_Z,

et

_{uniformément}

_{pour |E|, |E’|,}

et h assez

_petits.

(ii)

Pour 1~ E

_{O,

_l,

_{2}, j}

E

_{l,

... ,

No~

et m E Z

uniformément

pour z

~ 03B3j; |E|, |E’|, et

h assez

_petits.

7.

DÉVELOPPEMENTS

_{ASYMPTOTIQUES}

DES

RÉSONANCES.

Pour () E C

_{fixé, 1 ()}

assez

_petit

_{et j}

E

_{1,

..., notons ~c~ ==

(h)

une somme

_asymptotique

de

_{E~ (h)}

_(proposition

_5.2),

et

_be

_(x,

_~/,

_h)

celle

de la série formelle _?/,

_h),

_{définie par}

_(5.3)

et

_(5.4).

Soit aussi x E

_Co

_(Ho)~

X = 1

près

de 0. Posons :

On a _{par construction :}

et

où

donc

En

_{particulier d’après}

_(3.3),

et

_{(7.1 ) :}

dans EB EB

~C"2 ,

b m E Z . Utilisant ensuite

_{(4.1 ),}

on obtient dans

EB

~l,m~

bm E Z :

Soit maintenant A une _{valeur propre de}

_P8

dans

_[2014c,

_Co

_~~

+ i

_{[2014c, 0],}

associée à une fonction _propre

we

normalisée. Alors le calcul

_précédent

appliqué

à ~ et

w e

donne :

et,

d’après

la

_proposition

6.14,

il

_{existe j}

_{G {1,}

..., tel que :

Il découle alors de la

_proposition

_6.15,

_{que pour z} E _{~ p}

_{~ {0,}

_1,

_2},

on a :

D’après

(7.2),

on a aussi :

On en _{déduit pour} tout t E

_{Jj :}

avec ~ ~ !!~~e~~ =

0

_~),

_pour tout m &#x3E; 0.

Notons

11~

= ~

_{(z -}

_H~)-1

~,

on obtient à

_partir

de

(7.6) :

7~

avec =

0(~~).

Par suite

{II;,

_{(/~B 2}

forme une

base de Im

_03A003BB,

et la matrice de

_Hâ

dans cette base s’écrit :

Le calcul du

_spectre

de

donne, A

=

ej h

_{+ +}

~ ~h5/21~

E R. Posons ensuite

_A1

=

~l

E

_Jy;

= _on

a de même _pour l E

Il existe alors

l2 E

tel

_{que 03BB = l2}

_{( h)}

+ 0

_{( h3 ) .}

En itérant ce

_procédé

comme dans

_{[ 13],}

on obtient finalement _que

les

_{développements asymptotiques}

réels

_E~

_(h)

_approximent

bien les résonances de P.

Il reste à _{démontrer que}

P8

admet exactement

_No

_{valeurs propres} dans

_{[2014c, Co h]}

+

_z[2014e,0].

En

_effet,

_{par les} constructions

_approchées

du

_paragraphe

5,

on en déduit _{que :}

puisque

les valeurs propres de

Pe

dans

_[-6-,

Co

_h~

+ z

_[-c,

_0]

sont dans l’union des intérieurs des _{’r j .}

D’autre

_part,

il est facile de montrer, par un calcul

_simple

_analogue

à

celui des

_paragraphes

3 et

_4,

_{que l’on} a :

(A ( z )

opérateur

scalaire,

Bi

_{( z )}

opérateur

matriciel

( 1, 2)

et

,~32

_{( z ) ,}

(2,

1 )) .

A(z),

B1

_{( z )}

et

B2

_{( z )}

sont

_analytiques

en z

_près

de

0,

et uniformément

bornés par

rapport

à h. D’où

_{pour j}

_{e {1,}

...,

et

_donc,

_d’après

la

_proposition

6.11 :

A fortiori

on a

pour h

&#x3E; 0 assez

petit

rg

(z-

P03B8)-1

dz

:S;

donc :

~

Remarque

7.1. - Il est aussi

_simple

de montrer _que tous les

développements asymptotiques

réels

_{E~ (h)}

du

_paragraphe

5 sont atteints

par

(cf.

[13]).

8. LARGEUR DES

RÉSONANCES

Pour () E

_C,

_{1 () 1}

assez

_petit,

on commence tout _{d’abord par établir des}

inégalités d’Agmon

sur _{les fonctions propres de}

HÉ,

donc sur celles de

FÉ

et celles de

_P8,

ce

_qui

donne leur décroissance

_{exponentielle}

en dehors

du

_puits.

Cette décroissance est ensuite étendue au domaine

_complexe

(cf.

[ 14] )

à l’aide d’une formule de

_{représentation}

des

_opérateurs

_intégraux

de Fourier à

_{phase complexe.}

Soit ~ une fonction réelle et

_{lipschitzienne}

sur

Rn,

alors comme dans

[ 14]

on a :

LEMME 8.1. -

_{~ m ~ R, il}

existe une constante C

_positive

telle _que: .’

uniformément

pour h

&#x3E;

_{0 assez petit.}

uniformément pour h

&#x3E;

_{0 assez petit}

1 .

D

Avec les mêmes notations du

§ 4,

on a aussi :

PROPOSITION 8.2. - existe , _{une constante} ,

C positive

, telle

que : .’

avec

et

1

uniformément

pour h &#x3E; 0 assez

_petit

_{et ~ B7 I&#x3E; Il}

_L~

_::;

C .

Preuve. -

_D’après

_(4.6),

on a

Re

(E, ~) _

(Re

(E, h)

_{)i, jE{2,}

_3}, et

avec

D’après

le lemme

8.1,

et la forme

_explicite

de

_(E,

_h),

il ne reste

plus qu’à

étudier les

_{opérateurs :}

où

et

En

effet,

Vi, j

E

_{{2, 3},}

Zé; ~

_(E)

est 0

_{(h2 ~}

h

_Il

B7 I&#x3E; de ?-~m

dans d

_mER,

en

_procédant

de la même manière _{que dans la}

proposition

4.1. 0

Établissons

maintenant des estimations

_d’Agmon

sur la

_{partie principale}

de

_HÉ.

Soient xl et _x2 les fonctions définies dans _{la preuve de la}

proposition

6.8,

et ~o &#x3E; 0. _{Posons pour} tout v =

(vl , v2 )

_E

Co (Rn)

_®

Co

( Rn ) :

~03A6

_~L~

-*2014L

où

~2

est une constante

_positive,

on démontre

2

2

alors :

PROPOSITION 8.3. - // existe une constante C’ &#x3E; 0 telle que pour tout

v e

uniformément

pour Il

et h &#x3E; 0 assez

petits.

Preuve. - Posons

PB

=

-h2

’

0~

I ₊ M

(~, (9).

comme

en utilisant alors

_{l’hypothèse}

_(H5)

et _{la remarque}

_1.1,

on a _{pour v} =

(vl, v2) :