Le dipôle RL. r : la résistance interne de la bobine en Ohm (Ω) L : l inductance en Henri (H) t : le temps en seconde (s)

Le dipôle RL

I) La bobine : 1) Définition :

La bobine est un dipôle constitué d’un enroulement non connecté de fil conducteur de cuivre autour d’un cylindre isolant.

Le symbole de la bobine est :

𝑳: l’inductance de la bobine, son unité dans (S.I) est Henry 𝑯.

𝒓 : la résistance interne de la bobine, son unité dans (S.I) est Ohm (Ω).

Remarque :

Lorsque la résistance interne r ≃ 0, on dit que la bobine est idéal est son symbole devient :

2) Tension aux bornes d’une bobine :

La tension aux bornes d’une bobine (L, r), est donnée par la relation : uL: la tension en Volte (V)

i: l’intensité de courant en Ampère (A)

u

_L

= r.i + L

^𝒅𝒊

𝒅𝒕 r: la résistance interne de la bobine en Ohm (Ω) L: l’inductance en Henri (H)

t: le temps en seconde (s) Remarque: :

- Lorsque la bobine est parcourue par un courant d’intensité constante (régime permanent) Alors: ^𝒅𝒊

𝒅𝒕= 0 D’où : u_L= r.i

Donc la bobine se comporte comme un conducteur ohmique dans le cas du courant continu .

- Lorsque la résistance interne de la bobine est négligeable, la tension entre ses bornes devient : uL= L^𝒅𝒊_𝒅𝒕 - Si l’intensité du courant (𝒕) est croissante, alors: la tension u_Lest positif .

- Si l’intensité du courant (𝒕) est décroissante, alors : la tension u_Lest négatif .

- Si l’intensité du courant est variée très rapide, la dérivée ^𝒅𝒊_𝒅𝒕 prend une valeur très grande, d’où elle apparaît aux bornes de la bobine une surtension. Ce phénomène est utilisé par exemple pour provoquer des étincelles aux bornes de la bougie d’un moteur à essence et l’allumage des lampes au néon.

3) l’influence d’une bobine dans un circuit électrique:

Activité 1 : on réalise le montage expérimental suivant dans lequel les deux lampes sont identiques et la résistance de la bobine et celle du conducteur ohmique ont la même valeur 𝒓= 𝑹

Observations :

- Lorsque on ferme l’interrupteur K on remarque que L₂s’allume avant L₁. - Lorsque on ouvre l’interrupteur K on remarque que L₂s’éteint avant L₁. Conclusion :

La bobine permet de retarder l’établissement et l’annulation du courant électrique . Conclusion

II) Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension : 1) Définition :

Le dipôle 𝑹𝑳est l’association en série d’un conducteur Ohmique de résistance 𝑹et d’une bobine son inductance 𝑳 et sa résistance interne 𝒓. La résistance totale de la dipôle RL est : R_T= R + r .

2) Réponde d’une bobine à un échelon de tension – étude expérimentale :

On réalise le montage du document ci-contre.

On prend : E = 6 V ; L = 0,2 H ; RT = 100 Ω

- On ferme l’interrupteur à l’instant t = 0 et on visualise la variation l’intensité de courant i en fonction de temps (courbe A : le dipôle RL est soumis échelon de tension montant : établissement du courant).

- Lorsque l’intensité de courant i devient constante on bascule K de la position 1 à la position 2. On obtient : la courbe B : (le dipôle RL est soumis échelon de tension descendant : annulation du courant)

On pose que : _𝑹^𝑳

𝑻

= τ ; Dans ce cas : τ = ₁₀₀^0,2 = 0.002 s = 2 ms.

Remarque expérimentale :

- L’intensité i(t) est une fonction continue.

- La durée de l’établissement et de l’annulation du courant est égale à 5τ.

- La durée de l’établissement et de l’annulation du courant augmente qu’on L augmente ou R_Tdiminue.

On constate 2 régimes :

- Régime transitoire quand t ≤ 5τ on constate que i(t) augmente (dans le cas d’établissement) ou diminue (dans le cas d’annulation).

- Régime permanent quand t ≥ 5τ la valeur de i(t) reste constante lors d’établissement est égale à I_max= _𝑹^𝑬

𝑻

et nulle lors de son annulation ( : rupture).

B A

Régime transitoire

Régime permanant Régime

transitoire

Régime permanant

2) Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension montant ( établissement du courant

Etude théorique:

) :

a) l’équation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t):

On considère le circuit RL présenté dans la figure ci-contre.

À l’instant t = 0 qu’on va la considéré comme origine des dates, on ferme L’interrupteur K.

La résistance totale du dipôle RL est : R_T= R + r . Si r est négligeable Par rapport à R, alors : R_T≈ R et 𝑟

𝑅≈ 0 ) .

D’après la loi d’additivité de tension, on a :

u

_L

+ u

_R

= E (1) .

Et on a

u

_R

= R.i

et pour la bobine :

u

_L

= r.i + L

_𝑑𝑡^𝑑𝑖 . Remplaçant dans l’équation (1) on trouve :

r.i + L

_𝑑𝑡^𝑑𝑖

+ R.i = E

C-à-d que :

L

^𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ (r.+R).i = E

d’où ^𝐿 𝑅+𝑟

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ i =

^𝐸

𝑅+𝑟 C-à-d ^𝐿 𝑅_𝑇

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ i =

^𝐸

𝑅_𝑇

,

on pose

τ =

^𝐿

𝑅_𝑇 l’équation devient :

τ

^𝒅𝒊

𝒅𝒕

+ i =

^𝑬

𝑹_𝑻

Remarque:

On a u_R= R.i alors :

i =

^𝑢𝑅

𝑅 d’où

u

_L

= r.

^𝑢𝑅

𝑅

+ L

^𝑑(

𝑢_𝑅 𝑅)

𝑑𝑡 ; remplaçant dans l’équation (1) on trouve : 𝑟

𝑅

u

_R

+

^𝐿

𝑅 𝑑

u

_R

𝑑𝑡

+ u

_R

= E donc τ

^𝒅

u

_R

𝒅𝒕

+ u

_R

=

^𝑹.𝑬

𝑹_𝑻 c’est l’équation différentielle vérifiée par la tension u_Raux bornes du conducteur ohmique .

b) Solution de l’équation différentielle:

La solution de l’équation τ_𝒅𝒕^𝒅𝒊+ i= _𝑹^𝑬

𝑻

différentielle s’écrit sous la forme : i= A + B.𝑒^−𝛼𝑡 , tel que A et B et 𝛼sont des constantes .

 Déterminant A et 𝛼on utilisant l’équation différentielle:

On a : i= A + B.𝑒^−𝛼𝑡 alors : ^𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 ‒ 𝛼.B.𝑒^−𝛼𝑡 ; remplaçant dans l’équation différentielle on trouve :

‒ τ. 𝛼.B.𝑒^−𝛼𝑡+ A + B.𝑒^−𝛼𝑡= _𝑅^𝐸

𝑇

d’où : B.𝑒^−𝛼𝑡(1 ‒ τ. 𝛼) = ^𝐸

𝑅_𝑇‒ A ; pour que cette équation soit vérifiée quelque soit le temps il faut que : ^𝐸

𝑅_𝑇‒ A = 0 et (1 ‒ τ. 𝛼) = 0 . Donc l’expression de A et 𝛼est : A = ^𝑬

𝑹_𝑻 et 𝜶

=

^𝟏

𝝉

=

^𝑹𝑻

𝑳 .

 On détermine B on utilisant les conditions initiales:

À l’instant t = 0 on a i(0) = 0 ; remplaçant dans la solution de l’équation différentielle on trouve : A + B = 0 d’où B = ‒ A Et on a : A

=

^𝐸

𝑅_𝑇 donc : B =

−

^𝑬

𝑹_𝑻

L’expression de l’intensité de courant circulant dans le circuit lors de l’établissement de courant est :

i =

^𝑬

𝑹_𝑻

( 1 ‒ 𝒆

^−𝒕𝝉

)

Remarques:

u

_R= R.i donc l’expression de

u

_Ren fonction du temps est :

u

_R= ^𝑅.𝐸

𝑅_𝑇

( 1 ‒ 𝑒

^−𝑡𝜏

) = u

_R,max

( 1 ‒ 𝑒

^−𝑡𝜏

)

L’expression de la tension

u

_Laux bornes de la bobine en fonction du temps :

u

_L

= r.i + L

^𝑑𝑖

𝑑𝑡

=

^𝑟.𝐸

𝑅_𝑇

( 1 ‒ 𝑒

^−𝑡𝜏

) + L

^𝐸

𝑅_𝑇

.

¹

τ

𝑒

^−𝑡𝜏

=

^𝑟.𝐸

𝑅_𝑇

( 1 ‒ 𝑒

^−𝜏𝑡

) + L

^𝐸

𝑅_𝑇

.

¹_𝐿

𝑅_𝑇

𝑒

^−𝑡𝜏

=

^𝑟.𝐸

𝑅_𝑇

( 1 ‒ 𝑒

^−𝑡𝜏

) + 𝐸. 𝑒

^−𝜏𝑡

Si r est négligeable par rapport à R alors ( ^𝑟

𝑅_𝑇= 0 ) , donc l’expression de la tension u_Ldevient :

u

_L

= 𝑬. 𝒆

^−𝝉𝒕

La courbe ci-contre représente uLet

u

Ren fonction du temps .

3) Réponde d’un dipôle RL à un échelon de tension descendant ( annulation du courant ) :

Etude théorique:

a) l’équation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t):

On considère le circuit RL présenté dans la figure ci-contre Tel que l’interrupteur est fermé et I₀= ^𝐸

𝑅

On considère le diode D idéal ( u_D=0 ), et à t = 0 on ouvre l’interrupteur K D’après la loi d’additivité des tensions, on a :

u

_L

+ u

_R

= 0 (1) .

Et on a

u

_R

= R.i

et pour la bobine :

u

_L

= r.i + L

^𝑑𝑖

𝑑𝑡 . Remplaçant dans l’équation (1) on trouve :

r.i + L

^𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ R.i = 0

C-à-d que :

L

^𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ (r.+R).i = 0

d’où ^𝐿 𝑅+𝑟

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ i = 0

C-à-d ^𝐿 𝑅_𝑇

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+ i = 0 ,

on pose

τ =

_𝑅^𝐿

𝑇

l’équation devient :

τ

^𝒅𝒊

𝒅𝒕

+ i = 0

Remarque:

On a uR= R.i alors :

i =

^𝑢𝑅

𝑅 d’où

u

_L

= r.

^𝑢𝑅

𝑅

+ L

^𝑑(

𝑢_𝑅 𝑅)

𝑑𝑡 ; remplaçant dans l’équation (1) on trouve : 𝑟

𝑅

u

_R

+

^𝐿

𝑅 𝑑

u

_R

𝑑𝑡

+ u

_R

= 0 donc τ

^𝒅

u

_R

𝒅𝒕

+ u

_R

= 𝟎

c’est l’équation différentielle vérifiée par la tension u_Raux bornes du conducteur ohmique .

b) Solution de l’équation différentielle:

La solution de l’équation τ_𝒅𝒕^𝒅𝒊+ i= 𝟎différentielle s’écrit sous la forme : i= A.𝑒^−𝛼𝑡 , tel que A et 𝛼sont des constantes .

 Déterminant 𝛼on utilisant l’équation différentielle:

On a : i= A.𝑒^−𝛼𝑡 alors : ^𝑑𝑖

𝑑𝑡= ‒ 𝛼.A.𝑒^−𝛼𝑡 ; remplaçant dans l’équation différentielle on trouve :

‒ τ. 𝛼.A.𝑒^−𝛼𝑡 + A.𝑒^−𝛼𝑡= 0 d’où : A.𝑒^−𝛼𝑡(1 ‒ τ. 𝛼) = 0 ; pour que cette équation soit vérifiée quelque soit le temps il faut que : (1 ‒ τ. 𝛼) = 0 . Donc l’expression de 𝛼est : 𝜶

=

^𝟏

𝝉

=

^𝑳

𝑹_𝑻 .

 On détermine A on utilisant les conditions initiales:

À l’instant t = 0 on a i(0) = _𝑅^𝐸

𝑇

; remplaçant dans la solution de l’équation différentielle on trouve : A = ^𝑬 𝑹_𝑻 L’expression de l’intensité de courant circulant dans le circuit lors de l’établissement de courant est :

i =

^𝑬

𝑹_𝑻

𝒆

^−𝒕𝝉

Remarques:

u

_R= R.i donc l’expression de

u

_Ren fonction du temps est :

u

_R= ^𝑅.𝐸

𝑅_𝑇

𝑒

^−𝑡𝜏

= u

_R,0

𝑒

^−𝑡𝜏

Si r est négligeable alors : u_R= 𝐸. 𝑒^−𝜏𝑡

L’expression de la tension

u

_Laux bornes de la bobine en fonction du temps : On a : u_L+ u_R= 0 alors u_L= - u_R

uL=

−

^𝑅.𝐸

𝑅_𝑇

𝑒

^−𝑡𝜏

Si r est négligeable par rapport à R alors (_𝑅^𝑟

𝑇

= 0 ) ,

donc l’expression de la tension u_Ldevient :

u

_L

= −𝑬. 𝒆

^−𝝉𝒕

La courbe ci-contre représente

u

_Ren fonction du temps .

a) Définition:

On définit la constante de temps τ d’un dipôles RC par la relation: τ = ^𝐿

𝑅_𝑇

b) Dimension de la constante de temps τ:

Pour le conducteur ohmique on a : u = R.i alors: [R] = ^𝑢 [𝑖]

Pour le condensateur on a : u_L= L^𝑑𝑖_𝑑𝑡 alors [L] = ^{𝑢 .[𝑡]}

[𝑖]

En fin : [τ] =^[𝐿]

[𝑅]

=

^𝑖

[𝑢]

×

^{𝑢 .[𝑡]}

[𝑖] = [t] .

Donc la grandeur τ a une dimension temporelle, son unité dans le (SI) est Le seconde (s) .

Détermination de la constante de temps τ :

 Etablissement du courant :

Méthode 1 : lors de l’établissement du courant on a : i(𝒕)= I_p.(𝟏 ‒ 𝑒⁻τ^𝒕) A t = τ on a i(𝒕=τ)= I_max.(𝟏 ‒ 𝑒⁻τ

τ) = 0,63 ×I_p Alors τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0,63I_p

Méthode 2 : τ est l’abscisse de l’intersection entre la tangente de la courbe à et l’asymptote i= I_p.

 Annulation du courant :

Méthode 1 : lors l’annulation du courant on a : i(𝒕) = I₀.𝑒⁻ τ𝒕

À t = τ on a : i(𝒕= τ) = I₀.𝑒⁻τ

τ = 0,37×I₀

Alors τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0,37I₀

Méthode 2 : τ est l’abscisse de l’intersection entre la tangente de la courbe à t =0 et l’axe des abscisses.

5) Constante de temps τ:

1) Mis en évidence d’énergie emmagasinée dans une bobine :

Activité: On réalise le montage expérimental suivant :

On ferme l'interrupteur k à l'instant ،un courant électrique traverse la bobine car la diode est bloquante ،elle empêche le courant de passer dans le moteur puis on ouvre l'interrupteur, on constate que la lampe s’allume .

Conclusion: La bobine a emmagasinée énergie qui a été libérée lorsqu'on a ouvert le circuit. Le corps a reçu cette énergie électrique qui a été

transformée en énergie potentielle

2) L’expression de l’énergie magnétique E

_m

emmagasinée dans une bobine :

La puissance électrique fournie à la bobine est :

P = u

_L

.i

. C-à-d

: P = (r.i + L

^𝑑𝑖

𝑑𝑡

) i = r.i

²

+ L. 𝑖.

_𝑑𝑡^𝑑𝑖

= r.i

²

+

^𝑑

𝑑𝑡

(

¹

2

𝐿. 𝑖

²

) .

-la grandeur r.i²représente la puissance dissipée par effet joule dans la bobine.

-La grandeur ^𝑑 𝑑𝑡

(

¹

2

𝐿. 𝑖

²

)

représente la puissance emmagasiné dans la bobine.

Puisque Pm= L ^𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 alors

E

_m

=

¹

2

𝐿. 𝑖

²

.

L’énergie emmagasiné dans une bobine d’inductance L dans laquelle circule un courant électrique d’intensité iest :

E

_m

=

^𝟏

𝟐

𝑳. 𝒊

^𝟐

E

_m

:

L’énergie magnétique emmagasiné dans une bobine en joule (J) . L: l’inductance de la bobine en Henry (H) .

i: l’intensité de courant en Ampère (A) .

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