Suites doubles de basse complexité

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

V

ALÉRIE

B

ERTHÉ

L

AURENT

V

UILLON

Suites doubles de basse complexité

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{1 (2000),}

p. 179-208

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_1_179_0>

© Université Bordeaux 1, 2000, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Suites doubles de

basse

_complexité

par VALÉRIE

BERTHÉ

et LAURENT VUILLON RÉSUMÉ. Nous donnons une _{représentation géométrique} des

sui-tes doubles uniformément récurrentes de fonction de

_complexité

rectangulaire

mn+n. Nous montrons que ces suites codent l’action d’une Z2-action définie _par deux rotations irrationnelles sur le cer-cle unité. La preuve repose sur une étude des suites doubles dont

les

_lignes

sont des suite sturmiennes de même

_langage.

ABSTRACT. We

_give

a

_{geometric representation}

of

uniformly

recurrent two-dimensional sequences of

rectangular

complexity

function mn + n. We show that these _sequences code a Z2-action

defined

_by

two irrational rotations on the unit circle. The

_proof

is based on a

_study

of double _sequences the lines of which are

Sturmian _sequences of same

_language.

1. INTRODUCTION

On associe

_{classiquement}

à une suite

_prenant

un nombre fini de

valeurs,

une mesure de son

_{désordre, appelée}

fonction de

_complexité,

_qui

_compte

le nombre de facteurs de

_longueur

donnée. Cette fonction

permet

non

seulement de caractériser les suites

_périodiques

mais aussi de donner une

représentation géométrique

de certaines suites en fonction de leur

comple-xité,

par

exemple

les suites de

complexité n

+

_1,

_appelées

suites

stur-miennes

_[13].

Dès _que l’on _passe en dimension

_supérieure

se _pose la

ques-tion de la définition de la fonction de

_complexité.

Nous nous intéresserons

ici _pour les suites doubles

_(indexées

sur

7~2)

à la notion de fonction de

complexité

rectangulaire,

qui

compte

le nombre de facteurs

rectangu-laires de taille donnée. Pour une définition

plus

générale

de la

_complexité,

voir _par

_exemple

_{( 16J .}

Les

_questions

suivantes sont alors naturelles.

_Quelles

fonctions de

comple-xité

_{(rectangulaires)}

existent ? Peut-on obtenir une caractérisation

géo-métrique

d’une suite à

_partir

de sa fonction de

complexité ?

Que

se

passe-t-il

dans le cas

_{périodique ?}

Une suite double est dite

_périodique

si elle admet un vecteur de

périodi-cité non

_nul,

c’est-à-dire si elle est invariante par translation. La fonction

de

_complexité

_{rectangulaire}

ne

_permet

_pas de caractériser les suites

péri-odiques :

on _peut en effet construire des suites doubles admettant un vecteur

de

_{périodicité}

non

_nul,

et de

_complexité

arbitrairement

_grande.

Réciproque-ment,

il est

_conjecturé

_que s’il existe un

couple

d’entiers non nuls

(rno, no)

tel

que

P(mo, no) :5

mono, alors la suite double admet un vecteur de

périodi-cité non nul. Notons _que cette

_conjecture

est fausse en dimension

supérieure

(voir

le

_{contre-exemple}

_produit

dans

_{~16J ) .}

Le but de cet article est double : nous

_{construisons,}

d’une

_part,

des

suites bidimensionnelles de basse

_complexité,

_où,

_par basse

_complexité,

nous

entendons une

_{complexité proche}

de la fonction

_conjecturée

dans le cas

périodique.

Nous donnons d’autre

_part

une

_{représentation}

_{géométrique}

de

certaines suites en fonction de leur

complexité.

Comment obtenir des suites doubles

_qui

soient à la fois de basse

comple-xité et non

_{périodiques ?}

Une idée naturelle consiste à

_disposer

en

ligne

des suites unidimensionnelles de basse

_complexité

et non

périodiques,

_par

exemple

des suites sturmiennes.

_{Rappelons qu’une}

suite sturmienne code l’orbite d’un

_point

_p du cercle unité sous l’action d’une rotation

_d’angle

irrationnel _a, selon la

_partition

du cercle unité

_(identifié

à

_R/Z)

en deux

intervalles semi-ouverts d’extrémités 0 et 1 - a

(voir

[13)).

Supposons

donc

que l’on

dispose

en

_ligne

des suites sturmiennes de même

_angle,

afin de réduire le "désordre". Soit _{pi le}

_point

dont l’orbite est codée _par la

_ligne

d’indice i. Nous allons considérer deux situations extrêmes. Les

_points

de

départ correspondant

à

_chaque

_ligne

sont des itérés de la rotation

_d’angle

a

(Vi,

_{pi =}

icx),

ou bien ils sont

_gouvernés

par une seconde rotation

irra-tionnelle

_{d’angle {3}

_(Vi,

_pi = où

1, a, ~3

sont rationnellement

indépen-dants. Dans le

_premier

_cas, on obtient une suite

périodique

de

complexité

m + n. Dans le second _cas, on a une suite uniformément récurrente et non

périodique

de

_complexité

mn + _{n, pour} m assez

grand.

Inversement,

nous

montrons que ces deux fonctions de

_complexité

admettent la

_{représentation}

géométrique

suivante.

Théorème. Une suite double U sur

Z2

a _pour

_complexité

m -~- n si et

seule-ment s’il existe une suite u

(sur Z)

de

complexité

n + 1 telle _que l’on a

ou

Les suites de

_complexité

m + n sont donc

périodiques

et sont obtenues en

décalant d’un cran de

ligne

en

ligne

une suite donnée de

_complexité

n + 1. La _preuve de ce théorème est

_purement

combinatoire et repose sur l’étude

On

appelle

suite uniformément récurrente une suite telle _{pour pour} tout

entier _n, il existe un entier

N(n)

_pour

lequel

tout facteur carré de côté

_N(n)

de la suite contienne tous les facteurs carrés de côté n.

Théorème. Une suite double

_{uniformément}

récurrente

_{U, définie}

sur

l’al-phabet

{O, 1},

a _pour

complexité

_{mn+n, pour} m assez

_grand,

si et seulement

s’il existe

_(a,,Q)

E

II~2,

tels _que

_1,

_cx,

_~3

sont rationnellement

_{indépendants,}

et

p E R tels _que l’on ait soit

soit

La _preuve de ce théorème est basée sur des

techniques

de calcul de

comple-xité _pour des

_codages

de rotation. L’étude de telles suites

_permet

de

_plus

de tester la

_conjecture

sur la

périodicité.

Nous étudions en

particulier

de

manière

_{systématique}

les suites dont le

_langage

en

_ligne

est sturmien et

dont la

_complexité

satisfait

_{P(2, m)}

2m +

_2,

pour m assez

grand.

Nous

montrons que ces suites sont ou bien

périodiques,

ou ont pour

complexité

P(m, n)

= _{mn +}

n, pour m assez

_grand.

Les suites uniformément récurrentes de

_complexité

mn -I- n ont été

intro-duites dans

_[4].

Elles sont obtenues comme une

_projection

lettre à lettre de suites doubles définies sur un

alphabet

à trois

lettres,

codant un

plan

discret. Ces dernières _{ont pour}

_complexité

mn + m + n et

_peuvent

être

con-sidérées comme une

_{généralisation}

bidimensionnelle des suites sturmiennes

(voir

aussi

_~23J).

Nous construisons

_également

des

_exemples

de suites de

complexité

mn + n non uniformément récurrentes.

Cet article est

_organisé

comme suit. Nous

_rappelons

dans la

_partie

2

quelques

propriétés

élémentaires des suites sturmiennes. Dans la

_{partie 3,}

nous introduisons des définitions et notations concernant l’étude des suites

doubles. En

_particulier,

nous

_énonçons

quelques

_{propriétés suffisante,}

comme l’uniforme

_récurrence,

_{pour que} le

langage

des facteurs en

ligne

d’une suite dont la

_complexité

satisfait :

_Vm,

_{P(m, 1) =}

m +

1,

soit

stur-mien,

c’est-à-dire _{que toutes} les suites en

_ligne

sont des suites sturmiennes de même

_angle.

Dans la section

_3.5,

nous établissons une

bijection

entre

les facteurs

_{rectangulaires}

de taille donnée

_{(suffisamment grande)}

et une

partition

finie du cercle unité en intervalles. Les théorèmes

_principaux

sont

énoncés dans la

_partie

4.1 et les _preuves se trouvent dans les

_paragraphes

2. SUITES STURMIENNES

2.1.

_Quelques

définitions. Soit .~4, un ensemble fini

appelé

alphabet.

Soit u =

(un )

_{une suite à} valeurs dans

(indexée

par N ou

Z).

On

appelle

facteur de la suite infinie u un bloc fini w de lettres

_apparaissant

de manière

consécutive dans la suite : w = _{Un+1 ... Un+d ;} d est

appelé

la

longueur

de

z,u et est noté

_Iwl.

L’ensemble des facteurs de la suite u est

_appelé

_langage

de la suite et est noté

_£u.

La suite u est dite strictement

_périodique

si : 3T &#x3E;

_0,

_Vn,

_un+T = _un.

La suite u est dite ultimement

_périodique

si :

_{3no, 3T}

&#x3E;

_0,

np,

Un-Une suite est dite récurrente si tous ses facteurs

_apparaissent

infiniment

souvent. Elle est dite uniformément récurrente si tout facteur

_apparaît

infiniment souvent et si toutes ses occurrences sont à lacunes bornées.

On

_appelle

fonction de

_complexité

de u la fonction _p, définie sur les

entiers, qui

compte

le nombre de facteurs de u de

_longueur

donnée :

p(n)

= w est facteur de u et

n~.

La fonction de

_complexité

_permet

de caractériser les suites

_{périodiques.}

On a en effet le résultat

_classique

suivant

(voir

[12, 7]) :

3n,

p(n)

n ~

_3C,

Vn

p(n)

C - u est

_périodique.

Plus

_{précisément,}

si la suite u est

_{unidirectionnelle,}

c’est-à-dire indexée _par

N,

la suite est alors ultimement

_périodique

et si la suite u est

bidirection-nelle,

c’est-à-dire indexée _par

_Z,

la suite est strictement

_périodique.

La preuve de ce résultat _repose sur le fait _que s’il existe n tel _que

p(n)

n,

alors il existe no tel

que p(no + 1)

=

p(no), et

tout facteur de

longueur

no ad-met une

_unique

extension

(on

_appelle

extension d’un facteur w une lettre

x telle _que zvx est aussi

_facteur).

Pour tout entier

_k,

le "futur" de la

_suite,

c’est-à-dire est donc déterminé _par la donnée de Uk-1. Il

suffit de considérer un facteur de

_longueur

_no

_{qui apparaît}

deux fois dans la

suite _pour en déduire la

périodicité.

La

période

est alors inférieure ou

_égale

à no . Pour

_plus

d’informations sur la notion de fonction de

_complexité,

voir le survol

_[3]

_pour une

_approche

combinatoire,

et le survol

_[9],

pour les

relations avec la

_{dynamique symbolique.}

2.2. Suites sturmiennes. Il

_apparaît

alors naturel de s’intéresser aux

suites de

_complexité

_{n + 1,}

c’est-à-dire telles _{que, pour tout n,}

_p(n)

= n + 1.

De telles suites existent sur N et sur Z. Les suites de

_complexité

n + 1

indexées

_{par N}

sont

_appelées

suites sturmiennes. Les suites sturmiennes

sont donc les suites de

_complexité

minimale

_parmi

les suites non-ultimement

périodiques. L’exemple

le

_{plus classique}

de suite sturmienne est la suite de

Fibonacci, point

fixe de la substitution a définie _par = ab et

o,(b)

= _a.

ce

_qui

est

_remarquable,

c’est

_qu’elles

_peuvent

être

_également

_{représentées}

géométriquement

(voir [13]) :

les suites sturmiennes sont exactement les suites obtenues en codant l’orbite d’un

_point

_p du cercle unité sous la

ro-tation

_d’angle

irrationnel a, par

rapport

à des intervalles

_{complémentaires}

du cercle unité de

_longueurs

a et 1 - a.

Dans tout ce

_qui

suit

Ra

désigne

la rotation

définie

sur le cercle unité

(identifié

à _{par :}

_Ra(x)

= x -f- a modulo 1. S’il

n’y

_a

pas

d’ambiguïté,

nous omettrons de

_préciser

_que nous travaillons modulo 1.

Théorème 1

_{(Morse-Hedlund).}

Soit u une suite sturmienne à valeurs dans

{0,1}.

Il existe alors a irrationnel et _p tels _que l’on ait : soit

soit

On

_appelle

_angle

d’une suite sturmienne le réel a

_qui

lui est ainsi associé.

On note

_{partition correspondante :}

on a donc

_Io

=

[0, 1 - a[

_ou

Io

_{=]0,1 -}

Notons _que les suites sturmiennes ont de nombreuses autres

caractéri-sations,

tant

_{géométriques}

_que combinatoires

_(voir,

_par

_exemple,

les survols

[5, 10]).

Un des intérêts de cette

_{représentation géométrique}

est

_qu’elle

fournit

une

_description

_simple

en termes d’intervalles du cercle unité des facteurs de

_longueur

donnée.

_Rappelons

la

_{propriété classique}

suivante

_(voir

_par

exemple

[11]).

Nous utiliserons des raisonnements

_analogues

_{par la suite.} Lemme 1. Soit u une suite sturmienne

d’angle

a et de

_partition

_{(Io, il)}

Il existe une

_bijection

entre les

_facteurs

de

_longueur

n de la suite u et les n + 1 intervalles de la

_partition

du cercle unité _par les

_{points -ka,}

0 k n.

Nous noterons

_l’unique

intervalle du cercle unité ainsi associé au

f acteur

wi ... wn . On a

Preuve. Un bloc w = W1... wn E est facteur de la suite u si et

seulement s’il existe kEN tel que

c’est-à-dire

Réciproquement,

soit w = _{w1... wn E} tel _que

I (w ) ~

0.

L’inté-rieur de

_I(w)

est donc non

_vide,

et _par densité de la suite il existe

k tel _que ka + _p E

_{I (w),}

et donc w

_apparaît

à l’indice k.

Par

_conséquent,

w est facteur si et seulement si

_{I (w) ~}

0.

On montre de

_plus

_que les ensembles

_I(w)

sont connexes. La preuve se

fait _{par récurrence}

_(voir

_par

_exemple

_~1~)

et utilise la

_propriété

suivante : si I

et J sont deux semi-intervalles

_(de

même sens

d’ouverture)

du cercle unité

dont l’intersection n’est _{pas connexe,} alors la somme de leurs

longueurs

est strictement

_supérieure

à 1 et les extrémités de I

_{(respectivement}

_J)

appartiennent

à l’intérieur de J

_{(respectivement I).}

Enfin,

on voit que ces intervalles sont délimités _par les

_{points -ka,}

0

k n.

D

Notons _que les

_longueurs

des intervalles délimités _par les

_points

_-ka,

0 J~ _{n, prennent} trois valeurs au

_{plus :}

il

_s’agit

du théorème des trois

longueurs

(voir

[19,

20,

21]

ou le survol

[2]).

Soit

ôn

la

plus

grande

de ces

longueurs.

On a alors

_{limn,+,,,,z, ân}

= 0. Nous utiliserons cette

propriété

dans la suite de cet article.

Une suite sturmienne est donc déterminée par la donnée de son

angle

_cx,

du

_point

de

_départ

de l’orbite codée et du sens d’ouverture des intervalles

de la

_partition

du _{cercle unité par} les

_points

0 et 1 - _{a ,} ces trois éléments

étant cités dans un ordre d’influence décroissant.

Plus

_{précisément,}

on déduit du lemme

_précédent

_que toutes les suites sturmiennes de même

_angle

ont même

_langage.

Définition 1. On

_désigne

_par

_Ga

le

_langage

des facteurs des suites

stur-miennes

_d’angle

a.

Réciproquement,

toute suite

_ayant

_pour

_langage

_{£a est}

une suite sturmi-enne

d’angle

a

(voir

_par

_exemple

[10)).

En d’autre

_termes,

_{pour toute} suite

sturmienne _u, le

_système

_dynamique

_{(C~ (u), T )}

est

_minimal,

T

_désignant

le

décalage

unilatéral : et

_désignant

la clôture

de l’orbite de u sous l’action de T dans muni du

produit

des

topolo-gies

discrètes. Ceci

_implique

en

particulier

[12]

qu’une

suite sturmienne

est uniformément récurrente.

_Enfin,

_{notons que} deux suites sturmiennes de

même

_angle

a et de même

_point

de

_départ

_{p mais} codées _par deux

_partitions

de sens d’ouverture inverses l’un de

_l’autre,

soit sont

_égales

_(si

_{p e}

Z +

soit ne diffèrent

_qu’en

au

plus

deux indices

qui

sont alors consécutifs.

2.3.

_Langage

sturmien. Nous nous intéresserons dans les

paragraphes

suivants à des suites doubles dont le

_langage

des facteurs en

_ligne

est de la forme

_£0..

Nous aurons donc besoin de caractériser les

_langages

factoriels

factoriel si tout facteur d’un mot du

_langage

_appartient

encore au

_langage.

Un

_langage

est dit

_{biprolongeable}

si tout facteur se

_prolonge

à

_gauche

et

à droite en un mot du

langage.

Lemme 2. Un

_langage

~C

_factoriel

et

_{biprolongeable}

de

_{corraplexité}

n + 1 est

l e

_langage

d’une suite d e

_{compl exzté n}

_{+ 1,}

ind exée _par Z.

Preuve. Nous allons construire une suite n de

complexité n

+ 1 telle _que son

langage

Lu

soit

_égal

à ,C. Pour tout n, il existe un

_unique

facteur

Gn

de

longueur

n de ,C tel _que

OGn

et

_{1G,, appartiennent}

à G. Le facteur

_G~

est

alors un

préfixe

de

Gm ,

_pour tout m &#x3E; n.

Supposons

qu’il

existe _{xo, xl, ... , zk} tels _que

Par

_{biprolongeabilité,}

il existe une lettre telle _{que pour} une infinité

d’entiers _n, on ait ...

xoGn

e L. Cette

propriété

est alors vraie pour

tout n,

puisque

le

_langage

est factoriel et

_{puisque Gn}

est un

préfixe

de pour tout m &#x3E; n. On

_peut

donc définir _{par récurrence} une telle suite de

lettres On définit alors sur Z une suite v de la

_façon

suivante :

Le

_langage

_,Cv

des facteurs de la suite v est bien inclus dans ,C _par factori-alité. Si la

_complexité

de la suite v satisfait :

_Vn,

_{p,(n) =}

n +

_1,

alors la suite v convient.

Dans le cas

_contraire,

la suite _{v, et par}

_conséquent,

la suite

unidirec-tionnelle sont

_purement

_{périodiques,}

et donc récurrentes. Pour

tout n, il existe alors une lettre _yn telle _que

ynGn

soit facteur de la suite

unidirectionnelle Il existe une même

_{valeur y}

_prise

_par la lettre

yn pour une infinité d’entiers n &#x3E; 1. On _{pose x} =

0,

si

y = 1 et x =

1,

sinon. On définit alors une suite u sur N de la manière suivante : _uo = x et

Vn,

ul ... un =

Gn .

Par

factorialité,

le

langage

f-u

_{est encore} inclus dans .C.

On

_prolonge

alors comme

_{précédemment u}

en une suite définie sur Z dont

le

_langage

reste inclus dans ,C. Par

_{construction,}

il existe n arbitrairement

grand

tel _que

_xGn

et

_yGn

soient facteurs de la suite u. La

_complexité

de u

n’est donc _pas bornée et _par

_conséquent,

_pu(n)

= n +

1,

pour tout n. D

Rappelons qu’une

suite est dite récurrente si tous ses facteurs

appa-raissent infiniment souvent. Les suites de

_{complexité n}

+ 1 définies sur

Z

_peuvent

être décrites de manière

_explicite

_(voir

_[13]).

En

_particulier,

les

suites récurrentes de

_complexité

n + 1 sont les extensions sur Z des suites de

mais il existe

_également

des suites non récurrentes comme les

exemples

suivants de suites de

_{complexité n}

+ 1 :

Théorème 2

_{(Morse-Hedlund).}

Une suite récurrente u

définie

sur Z a _pour

complexité

n -E-1 si et seulement s’il existe a

ft Q

et p E

_R,

tels _que

ou

Dans tout ce

_{qui suit,}

nous nous intéresserons à des suites récurrentes de

complexité

n + 1 définies sur Z ainsi

qu’aux langages factoriels,

biprolonge-ables

_{correspondants d’après}

le lemme 2.

Définition 2. Nous

_appellerons

suite sturmienne une suite récurrente

de

_complexité

n + 1.

3. SUITES DOUBLES

3.1. Notations et définitions. Nous étudierons dans tout ce

qui

suit des

suites doubles indexées _par

7~2.

Soit U = une telle suite.

On

_appelle

facteur

_{rectangulaire}

de taille

_{(m, n)}

de la suite U un tableau

W = de la forme

tel

_qu’il

existe

_{k, l}

satisfaisant = _{pour 1} i _m, 1

j n.

Nous

_{représenterons}

les suites doubles avec la convention utilisée

clas-siquement

pour la

représentation

en coordonnées dans le

plan :

le

_premier

indice

_{désigne l’abcisse,}

donc l’indice de colonne

_(de

_gauche

à

_droite)

et le second indice

_désigne

_{l’ordonnée,}

donc l’indice de

_ligne

_(de

bas en

haut).

Nous

_garderons

cette même convention pour la

représentation

des

facteurs,

ce

_qui

ne

_correspond

_plus

à la notation matricielle habituelle.

Définition 3. On note l’ensemble des facteurs

_{rectangulaires}

de taille

_{(m, n)}

de la suite double U et

_Gl

le

_langage

en

_ligne,

c’est-à-dire

l’ensemble des facteurs de toutes les suites

_{(unidimensionnelles)}

en

ligne

La fonction de

_complexité

_{rectangulaire}

est alors

_définie,

_{pour tout}

couple

d’entiers

_{(m, n),}

comme

Définition 4. Une suite double U est dite _{récurrente si pour} tout facteur

W,

pour tout

(m, n)

E

Z2,

il existe une occurrence de W dans chacun des

quatre

quadrants d’origine

(m, n) .

Une suite double U est dite uniformément _{récurrente si pour} tout

entier _n, il existe un entier

N(n)

tel _{que tout} facteur carré de côté

_N(n)

de la suite contienne tous les facteurs de taille

_{(n, n) .}

3.2.

_Complexité

minimale. Il est naturel de

_{s’interroger}

sur les liens entre

_{complexité rectangulaire}

et

_{périodicité.}

Une suite double est dite

périodique

si elle est _{invariante par}

_translation,

c’est-à-dire si elle admet

un vecteur de

périodicité

non nul et à coordonnées entières :

Notons _que la

_{complexité rectangulaire}

est bornée si et seulement si le

réseau des vecteurs de

_{périodicité}

est de _{rang 2.} Comment caractériser alors le fait

_qu’il

existe au moins un vecteur de

_{péridodicité}

non nul ?

Rappelons

la

_conjecture

suivante.

Conjecture

1. S’oit une suite double et soit

P(m, n)

sa

fonction

de

_complexité

_{rectangulaire.}

S’il existe

_{(mo, no)}

tel _que

alors la suite double U est

_périodique.

Sanders et

_Tijdeman

ont

_prouvé

la

_conjecture

dans

_[17]

_pour des facteurs de taille

_(2,

_n)

ou

(n, 2) :

s’il existe n tel _que

P(2,

n)

2n ou

P(n, 2)

2n,

alors la suite est

_périodique.

Notons

_qu’une

_conjecture

_plus

_générale

est

énoncée dans

_[15,

_16,

_17],

en étendant la notion de

complexité.

Un

contre-exemple

à la

_conjecture

_analogue

_pour des suites

_{k-dimensionnelles,}

avec

k &#x3E;

_3,

est donné dans

_[16].

_Epifanio,

Koskas et

_Mignosi

montrent de

_plus

dans

_[8]

une version affaiblie de la

_{conjecture :}

s’il existe tel _que

amono, avec a =

1/100,

alors la suite est

_périodique.

Le cas

limite mn + 1 a été étudié en détails _par

_Cassaigne

dans

[6].

On voit aisément _que s’il existe deux entiers

_positifs

_{rrio, no} tels _que

’mo + no + d -

2,

pour une suite double définie sur un

alphabet

de cardinal

d,

alors cette suite

est

_périodique,

_{soit par}

_rapport

aux

_lignes,

soit par

_rapport

aux

colonnes,

c’est-à-dire _que l’un des vecteurs

_{(1, 0)}

ou

(0,1)

est un vecteur de

_{périodicité}

[14].

Il suffit _pour obtenir ce résultat de

_calquer

la _preuve du cas

unidimen-sionnel. Nous étudions le cas limite de la

complexité

m + n dans la

_partie

-3.3. Une condition sur le

_langage

en

_ligne.

Le but de ce

paragraphe

est

d’énoncer des conditions

_qui

_impliquent

la

_propriété

suivante sur le

langage

en

_ligne

,Ct

de la suite double U :

(1)

3a g Q

tel

_{que f-1}

=

La,

avec

,C«

défini dans la définition 1.

Lemme 3. Soit U suite double

_fixée.

Les conditions suivantes sont

équi-valentes :

1. il existe

_{a g Q tel}

_que

_,Ct

=

2.

_{chaque ligne}

est une suite sturmienne

d’angle a ;

3. il existe une

ligne

_qui

est sturmienne

_d’angle

_{a, et}

_Vm,

_{P(m, 1)}

m~-1.

Preuve.

_{Rappelons qu’une}

suite sturmienne est uniformément récurren-te

_(tout

facteur

_apparaît

infiniment souvent et à lacunes

_bornées).

Comme

une suite sturmienne est de

_plus

non

périodique,

il n’existe _pas de

puissances

arbitrairement

_grandes

d’un même facteur.

_Supposons

_que le

_langage

d’une

ligne

soit strictement inclus dans

,Ct.

Cette

_ligne

_possède

alors au

plus

n facteurs de taille _{n, pour} un certain entier n. Elle est donc

_purement

périodique,

ce

_qui

contredit l’uniforme récurrence. D

Lemme 4. On considère une suite double U dont la

fonction

de

complexité

satisfait

P(m,1 )

= _{m +}

1,

pour tout m. Si la suite U

satisfait

l’une ou

l’autre des deux conditions

_suivantes,

à

_savoir,

1. la suite U est

_{uniformément}

_récurrente,

2. la suite U admet soit une

ligne,

soit une

colonne,

non ultimement

périodique,

alors il existe tel _que

_,Cl

=

,C«.

Preuve.

1.

_Supposons

la suite U uniformément récurrente. Montrons _{que toute}

suite u associée au

_langage

Gt

selon le lemme 2

(c’est-à-dire

telle _que

[,U =

est récurrente.

_Supposons

au contraire _que

f-1

soit le

lan-gage d’une suite non récurrente. Il existe alors

Wm

e

_{G(m,1 )}

facteur de

_longueur

m tel _que

g

_pour tout mot X. Il existe

N(m)

tel _{que tout} facteur de taille

_{(N(m), N(m))}

contienne par récurrence uniforme. Considérons les

_lignes

d’indice

_{1, 2, ... ,}

_{N (m) .}

Il existe

_km

tel _que

_W,.,2

_{n’apparaisse}

_plus

dans les

_lignes

d’indice 1

à

_N(m),

_pour un indice de colonne

plus grand

_que

km.

Il sufht de

considérer une fenêtre

rectangulaire

de taille

(N(m), N(m))

_placée

à

l’indice de

_ligne

1 et à un indice de colonne

plus

grand

_{que pour}

obtenir une contradiction.

Par

_conséquent,

_d’après

le théorème

_2,

il existe a irrationnel tel _que

2. Nous allons _{raisonner par} l’absurde.

_Supposons

_que la suite U admet

soit une

_ligne,

soit une

colonne,

non ultimement

_périodique.

Il suffit

de raisonner sur les

_lignes

_par

_symétrie.

On _suppose

_qu’il

existe une

ligne

non ultimement

périodique

à droite. Soit i son indice de

ligne.

Considérons la suite unidirectionelle

_(u(m,

Cette suite est non

ultimement

_périodique

_par

_hypothèse

_(donc

sa fonction de

complexité

p satisfait :

Vm,

p(m) &#x3E;

m +

₁₎

et son

langage

_que l’on note

£’

est

inclus dans

_LI

_(par

_{conséquent Vm,}

_p(m)

m

+ 1).

On a donc :

_Vm,

p(m) =

m

_{+ 1, £i = £1,}

et

_d’après

le théorème

_1,

il existe

_{a fi. Q}

tel

que

f-1

=

£0..

0

Remarque.

Considérons la suite double définie _par

_U(m,

_{n) =}

_1,

si m =

n = 0 et

U(m,n) =

0 sinon. On a alors :

V(m,n),

P(m, n) = mn + 1.

On _{voit que} la seule condition

_Vm,

_P(m,1)

= _{m +}

1,

n’implique

pas la récurrence uniforme.

De

_même,

si l’on affaiblit

_{l’hypothèse}

de récurrence uniforme en la

rem-plaçant

par la

simple

hypothèse

de

récurrence,

on

_peut

construire un

_exemple

de suite dont le

_langage

en

_ligne

LI

ne satisfait _pas la condition

(1).

Nous

allons construire une suite double U récurrente dont les

lignes

sont de la

forme ~ ~ ~ 0001000 ~ ~ ~ ,

c’est-à-dire

_f-1

= 0* 10* U 0* .

Comme nous travaillons sur une suite double U dont les

lignes

sont des

suites de la forme ’ ’ ’

_{0001000 - - - ,}

il suffit _pour définir

_U,

de donner _pour

chaque

ligne,

la

_position

de la lettre 1. Nous allons construire la suite U

par récurrence.

On

_place

sur la

_première

_ligne

un 1 en

_position

(0, 0) .

Afin d’avoir une occurrence de la lettre 1 dans chacun des

_quatre

_{quadrants d’origine}

_{(0, 0),}

on

place

_quatre

suites ’ ’ ’

_{000 1000}

avec les 1 en

_positions

( 1,1 ) ,

( -1, 2 ) ,

(-1, -1) et (1, -2).

On vient de construire le facteur

centré en

_{(0, 0).}

Oi

étant un facteur de la même taille _{que wi}

_{(c’est-à-dire}

de taille

_{(32, 5i ) ) .}

Notons

_qu’une

autre

_façon

de définir les facteurs wj consiste à considérer

la substitution suivante :

On a Wi =

On définit alors la suite U comme la suite dont les facteurs centrés en

(0,0)

de taille

_{(3’, 5i)}

sont les facteurs wi

-On vérifie aisément

_qu’il

existe un et un seul 1 par

ligne.

Montrons de

plus

que la suite U est récurrente. Soit W un facteur de la suite U et soit

(m, n)

un

point

de

Z2.

Par

_{construction,}

il existe i assez

grand

_{pour que}

W soit facteur de _{Wi et pour que}

3i-l &#x3E;

_sup(lml,

_ln!).

Si maintenant l’on

2

-considère le facteur _Wi+1, alors Wi

(et

donc

W)

apparaît

dans chacun des

quatre

quadrants

d’origine

(m, n) .

Notons _que la condition

₍₁₎

_appliquée

aux

lignes

et aux colonnes

implique

que

l’angle

associé est alors le même.

Lemme 5. Soit U une suite double. Soit

Le

le

langage

des

facteurs

qui

apparaissent

en colonne :

Supposons

que la condition

(1)

s’applique

aussi bien aux

_lignes

_qu’aux

colon-nes, c’est-à-dire :

On a alors cx =

(3.

Preuve. Il suffit pour cela de considérer la

fréquence

f (0)

d’apparition

de

la lettre 0 : cette

_fréquence

est définie comme la

limite,

si elle

existe,

du

nombre d’occurrences de la lettre 0 dans le facteur "central" carré de la suite

divisé par

(2n

+

1)2.

_Or,

pour tout intervalle fixé I du cerle

_unité,

la

convergence

quand n

tend vers +oo de

vers la

_longueur

de I est uniforme en _p

(en

d’autres

_termes,

une rotation

irrationnelle est

_uniquement

_ergodique).

Par

_conséquent,

on en déduit

que la

fréquence

de la lettre 0 existe _{et vaut a,} en

_comptant

le nombre

d’occurrences de la lettre 0 _par

_ligne.

En

_appliquant

le même raisonnement

aux

_colonnes,

on obtient a =

0.

C7

Remarque.

R.

_Tijdeman

a montré

[22]

de manière combinatoire

qu’une

suite satisfaisant les conditions du lemme

_5,

_par

_exemple

une suite

unifor-mément récurrente telle que

P(m,1 )

=

P(l, m) =

m +

1,

pour tout m,

satisfait alors :

soit

soit

c’est-à-dire

_qu’il

_s’agit

d’une _{suite sturmienne que} l’on a décalé d’un cran

de

_ligne

en

ligne.

Une telle suite a donc _pour

_complexité

m + n. Nous

reviendrons sur cette fonction de

_complexité

au

paragraphe

4.3.

3.4. Facteurs et intervalles. Nous _supposerons dans tout ce

_paragraphe

que nous sommes dans les conditions étudiées

_{précédemment,}

c’est-à-dire

qu’il

existe

_{a e Q}

tel

_{que f-1}

=

Ga,

_et donc

que

chaque

suite en

_ligne

de la

suite double U est une suite sturmiennes

_d’angle

a.

Le but de ce

_paragraphe

est de montrer

_qu’il

existe une

_bijection

entre

l’ensemble des facteurs de taille donnée

_{(sufhsamment grande)}

_qui

appa-raissent infiniment souvent dans la suite double U avec un indice en

_ligne

fixé,

et une

_partition

en intervalles du cercle unité. Cette étude est

_analogue

à l’étude

_classique

faite dans le cas des suites sturmiennes

(lemme 1),

ou

plus généralement,

des

_codages

de rotations

_(voir

_par

_exemple

_[1,

_{2, 4,}

_11]).

Une difficulté

_{supplémentaire}

_apparaît

du fait _que l’on code l’itinéraire des

rotations selon des

_partitions

en intervalles semi-ouverts

_qui

sont

éventuelle-ment différentes d’une

_ligne

à l’autre. Nous allons travailler dans un

_premier

temps avec les

_lignes

_prises

deux à deux. Nous

_{généraliserons}

ensuite les

résultats obtenus à des facteurs de taille

_quelconque.

Définition 5. On note

_1&#x26;

l’intervalle

_{[0,1 - a[}

ou

]0,1 - aJ

_qui

code la suite en

ligne

d’indice i. On définit alors

_Ii

comme le

complémentaire

de

I&#x26;

dans

le cercle unité.

Pour tout i E

_Z,

on _pose de

plus 6i

=

pi+l - pj.

On considère un entier i fixé. Soit

_{,CZ (m, 2)}

l’ensemble des facteurs

rect-angulaires

de taille

_{(m, 2)}

dont l’indice d’occurrence en

ligne

est i.

Lemme 6. Un

_{facteur rectangulaire}

W

= w1 ’ ’ ’

° Wm

apparaît

dans la

Vi ... Vm

suite double U avec un indice de

_{ligne i}

et de colonne k si et seulement si

Un

_{facteur rectangulaire}

W =

apparaît

infiniment

souvent dans la suite double U avec un

indice de

_ligne

i si et seulement si

Il existe de

_plus

un entier mo

qui

ne

dépend

_que de cx

(et

_qui

ne

dépend

donc pas de l’indice

i),

tel que pour m &#x3E; mo, les ensembles

Ii(W)

et

Ii(W)

sont

des intervalles.

Preuve. Soit W = w1 ’ ’

° Wm

un facteur et soit

_{(Jk, i)}

un indice

d’occur-Vl ... vm

rence _pour ce facteur. On a alors

et de même

Par

_conséquent

On a donc montré _{que si} W est

_facteur,

alors

0.

Reprenons

les notations du lemme 1

Notons _que l’on a alors

Réciproquement,

soit W = wl ’ ’ ’ ~’""z bloc

rectangulaire

de taille vi ... Vm

selon que les

partitions

et

(~+1, ~+1 )

(correspondant

aux suites

sturmiennes d’indices i et i + 1 en

ligne)

sont les mêmes ou non.

~

Supposons

_que ces

_partitions

soient les mêmes. On a

alors,

avec les

notations du lemme

_6,

_{Iz (W ) ~ ~}

si et seulement si

0.

Sup-posons

0.

Par densité de la suite

(a ft. Q),

il existe

k tel que pi + ka E

_{Iz (W ) .}

Par

_conséquent,

W E

_.ci

_{(m, 2).}

On a donc

montré que

W E

_jC,(m,2)

si et seulement si

0.

Notons de

_plus,

_{que si} W E

_{Li (m,}

_2),

alors W

_apparaît

infiniment

souvent à l’indice de

_ligne

i.

~

Supposons

maintenant _que les

_partitions

ne soient pas les mêmes. On

peut

alors éventuellement avoir réduit à un

_point.

Cela ne

_peut

se

_produire

_que si les intervalles semi-ouverts et

_6i

(définis

dans le lemme

₁₎

_qui

sont alors de sens d’ouverture

contraires,

ont une extrémité commune. Cette extrémité est de la forme

-lia,

avec 0 n. De

plus,

cette extrémité ne

correspond

à un

facteur,

que si pi E ~ +

_{aZ ;}

ce facteur

_apparaît

alors

(avec

un indice de

ligne

i)

à

_l’unique

indice

_kZ

de colonne tel _que

pi +

kia

modulo 1.

Par

_conséquent,

si _{Pi e} Z + on a encore

équivalence

entre W est

facteur et

0.

Dans le cas

_{où pi e}

Z +

_aZ,

on n’a

plus équivalence

entre W est facteur et

0.

Seule

_{l’implication}

suivante subsiste : si W est

facteur alors est non

vide,

et dans ce _cas, W

_apparaît

une et une seule fois à l’indice de

_ligne

i.

Néanmoins,

si

_{7~(t~) 7~}

_0,

alors W

_apparaît

infiniment souvent à un

indice de

_{ligne égal}

à

_{i, toujours}

_par un

_argument

de densité.

Il reste à montrer _que les ensembles

_{Ii (W )}

sont connexes _pour m assez

grand.

Pour _{tout m,} les m + 1 ensembles de la forme avec _{vl ... vm}

facteur,

sont connexes

(lemme 1).

Il en va de même pour les m+ 1 ensembles

de la forme On a

Ii(W)

= Il existe _un entier

mo tel que pour m &#x3E; mo, la

plus grande

des

longueurs

de chacun de ces

intervalles,

notée satisfait

_âm

_1/2.

Cet entier mo ne

_dépend

_pas de i et

peut

être

_{exprimé explicitement}

en fonction du

développement

en fraction

continue de a

_(voir

_par

_exemple

_~2~).

Or si l’intersection de deux intervalles

I et J du cercle unité est non _connexe, alors la somme des

_longueurs

de ces

deux intervalles est

_supérieure

à 1. Les ensembles sont donc connexes.

Il en est de même _pour les ensembles D

Par

_conséquent

on obtient une

_description

de l’ensemble des facteurs

intervalles. Ceci nous

_permettra

donc d’évaluer la fonction de

complexité

P (m, 2 )

d’une suite double satisfaisant la condition

_{( 1 ) .}

Plus

_{généralement,}

on montre de manière

_analogue

le lemme suivant pour

les facteurs de taille

_quelconque.

Lemme 7. Un

_{f acteur rectangulaire}

W =

apparaît

dans

la suite double U à un indice de

ligne

i si et seulement s’il existe k tel

que

-Soient

_Io

_{= ] 0, 1 -a[}

et

_Il

_{= ~1-a,1(.}

_{Un facteur rectangulaire W}

=

[wj,l]

apparaît

infiniment

souvent dans la suite double U avec un indice de

ligne

i si et seulement si

De

_plus,

les ensembles

_Ii(W)

et

_{IZ (W )}

sont des

_intervalles,

_pour m assez

grand.

4. COMPLEXITÉ ET REPRÉSENTATION

_{GÉOMÉTRIQUE}

Le but de ce

_paragraphe

est d’une

_part

de montrer

_quelles

fonctions de

complexité

sont réalisables sous la condition

(1) (énoncée

au

paragraphe

3.3),

et d’autre

_part

de donner une

_{représentation géométrique}

_pour

cer-taines suites de basse

_complexité.

Nous énoncerons dans le

_paragraphe

4.1

les résultats obtenus. Les

_paragraphes

4.2 et 4.3 contiennent les _preuves

correspondantes.

4.1.

Énoncé

des résultats. Nous allons montrer

_qu’une

étude

_précise

du

langage

des facteurs de taille

_{(m, 2)}

dans le cas où

P(m, 2)

2m-f-2,

_{pour m} assez

_grand,

_permet

de caractériser les fonctions de

_{complexité compatibles}

avec la condition

(1).

On _a,

_plus

_{précisément,}

le résultat suivant.

Théorème 3. Soit U suite double indexée par

Z2@

satisfaisant les

condi-tions suivantes :

1. il existe tel _que

_,Cl

=

,Ca

(condition

(1~~ ;

2.

_{P(m, 2)}

2m +

_2,

pour m assez

grand.

Alors,

ou la suite U est

_périodique,

ou bien sa

_fonction

de

complexité

satis-fait

Rappelons

que s’il existe m tel _que

P(m, 2)

2m,

alors la suite est

périodique

[17].

On déduit de ce théorème et du lemme

_4,

le résultat

_{d’impossibilité}

Corollaire 1. Il n’existe _pas de suite

_{uniformément}

récurrente telle _que

ou telle _que

Le cas des suites de

_complexité

mn + 1 a

_également

été traité dans

_[6]

par une

approche

_purement

combinatoire.

Au cours de la _preuve du théorème 3

(paragraphe 4.2),

nous serons

amenés à démontrer le résultat suivant de caractérisation des suites de

complexité

mn -I- n satisfaisant la condition

_(1).

Théorème 4. Soit U suite uniformément récurrente de

_complexité

mn

+n, pour m assez

grand, définie

sur

~0,1~. Il

existe alors E

}R2,

tel

qne 1,

sont rationellement

_{indépendants, il}

existe _p E R tels _que l’on

ait :

soit

soit

Soit U suite non uniformément récurrente

définie

sur

{0,1},

de

complexité

mn _{+ n, pour} m assez

grand,

et

satisfaisant

la condition

(1)

tel _que

_GI

=

GaJ.

Reprenons

les notations de la

_définition

5. Il

existe alors _p E

_{~8, k,}

_io

E Z tels _que l’on ait

avec :

On trouve d’une

_part

des suites uniformément récurrentes

_{correspondant}

à des suites sturmiennes en

_{ligne d’angle}

a dont les différences entre deux

points

de

_départ

_pi consécutifs sont

_égales

à un réel

Q,

tel _que

_1,

_a,

{3

sont

rationnellement

_{indépendants}

_(Vi,

_pi

_{= ~3).}

On obtient d’autre

_part

des suites sturmiennes en

_{ligne d’angle}

a dont les différences entre deux

points

de

_{départ p2}

consécutifs sont

_égales

à un

_multiple

de _a, mais les

partitions

définissant les suites sturmiennes en

ligne

sont inversées

à

_partir

d’un certain indice de

_ligne.

Notons

_qu’en

aucun cas on n’obtient

de suites

_{périodiques.}

On trouve donc deux situations extrêmes : dans

un _cas, on a des suites

_{régulièrement "perturbées"}

de

_ligne

en

ligne ;

dans

l’autre _cas, on a des suites a

priori

de

complexité

m -I- n

_perturbées

par le

changement

de sens de la

_partition,

on _passe alors à une

complexité

égale

complexité

rran + n ne satisfaisant _pas la condition

(1) :

---La _preuve des théorèmes 3 et _{4 repose} sur l’étude des

lignes prises

conséc-utivement 2 à 2. Nous montrons

_qu’une

contrainte sur le

_langage

en

ligne

puis

sur la

complexité

P(m, 2)

suffit à caractériser les suites non

périodiques.

Enfin,

nous montrons

_également

de manière

_purement

combinatoire dans le

_paragraphe

4.3 _que les suites de

_complexité

m + n sont obtenues en

décalant d’un cran de

_ligne

en

_ligne

une suite donnée de

_complexité

n + 1.

Théorème 5. Une suite double U = _{a pour}

fonction

de

complexité

m + n si et seulement s’il existe une suite u

(définie

sur

Z)

de

complexité

n + 1 telle que

soit

soit

4.2. Preuve des théorèmes 3 et 4. Soit U suite double telle

_qu’il

existe

a irrationnel _pour

_lequel

_f-,

=

La

et telle

que

P(m, 2)

2m +

2,

pour m

assez

grand. Reprenons

les notations de la définition 5. Pour toute

ligne

d’indice

_i,

_{il existe pi} tel _que l’on ait

Vm e Z ,

Rappelons

que

1©

=

[0, 1 - a[

_ou

]0, 1 - a~.

Pour tout i _E

Z,

_{on pose}

pi =

pi+i - Pi.

Nous allons

_considérer,

dans un

premier

_temps,

le cas _{où pour tout}

_i,

(3i

e Z + aZ

_puis,

dans un second

_temps,

le cas où il existe i tel _que

B

Premier cas :

_Vi,

_{3i

_{e Z} + aZ.

À

i

_fixé,

soit

_ki

_l’unique

entier relatif tel que

{3i

=

kia

modulo _1. Soit

Li(m,2)

l’ensemble des facteurs

rectangu-laires de taille

_{(m, 2)}

dont l’indice d’occurrence en

ligne

est i et

₂₎

l’ensemble des facteurs

_{rectangulaires}

de taille

_{(m, 2)}

_{qui apparaissent}

1 si et seulement si

_0,

avec

Il existe de

_plus

mo

(ne

dépendant

que de a et non de

i)

tel _que les ensembles

sont connexes _{pour m &#x3E;} mo.

Supposons

m &#x3E; mo et m &#x3E; ~

]

- 1. On voit alors

_qu’il

_y a autant de facteurs dans

₂₎

_que d’intervalles du cercle unité

_partitionné

_par les

_points

(respectivement,

par les

points

On a donc

Le traitement de ce

_premier

cas

(Vi,

_(3i

E a + se

_décompose

alors à son tour en deux

_étapes.

Nous allons montrer dans un

premier

_temps

que ki

=

kj,

pour tout

(i, j ) .

Dans un second

_temps,

nous

prendrons

en

compte

le fait _que les sens d’ouverture des intervalles des

_partitions

7~)

et

(~+1, ~+1 )

diffèrent ou non.

Première

_étape.

Nous allons _{montrer que}

_ki

--

kj,

_{pour tout}

(i, j )

_C

Z2.

Pour

_cela,

nous allons utiliser la récurrence uniforme du

_langage

sturmien

£0. correspondant

aux suites sturmiennes

_d’angle

cx

(,Ga = fi)

_{pour montrer}

que si

kj,

il existe alors m arbitrairement

grand

tel _que

ce

_{qui implique,}

_pour m assez

grand :

Comme,

pour m assez

_{grand :}

on en déduira la contradiction souhaitée.

Supposons ki =1=

kj

et

_0,

avec m &#x3E;

sup(lkil +1,

1, mo ) .

Soit W E

_{,CZ (m, 2)}

_n~(m,2).

On _pose

Supposons kj &#x3E;

0. On a donc

avec

On a en

particulier,

comme ~ 1

ce

_qui

implique

et de même

Le raisonnement est

_analogue

si 0. On a alors

On a en définitive

de même

et donc

Soit k =

_{1 ki - kj 1.}

Le facteur v, ... Vm admet donc k comme

_période.

Or le

_{la gage}

sturmien

_La

est uniformément récurrent. Cela

_{implique qu’il}

n’existe pas de

_puissance

arbitrairement

_grande

d’un facteur

_donné,

et donc

qu’il

n’existe _pas de facteur arbitrairement

_long

de

_période

donnée. Par

conséquent,

la condition

ne

_peut

être réalisée _pour m assez

grand.

On a donc _{montré que}

_J~Z

=

kj,

pour tout

(i,

j)

E

~2.

Soit k cette valeur

Deuxième

_étape.

Nous allons

_prendre

en

_compte

maintenant le sens d’ou-verture des intervalles des

_partitions

Supposons

que pour tout

_{i, j,}

on ait :

1&#x26;

La suite admet alors le

vecteur

_{(-k, 1)}

comme vecteur de

_{périodicité.}

Comme _{pZ - po} +

ia,

pour

tout i,

si

_{po g Z}

+ on

_peut

également

_{supposer que pour} tout

i, j,

on

a

Il reste à considérer le cas où

_{po E Z}

+ aZ et où il existe un entier i

tel que

_~+1.

Montrons

_qu’il

existe au

plus

un tel entier.

Supposons

au contraire

_qu’il

existe i

_{=1= i’}

tels _que

_{~+1, Iô ~}

1

=1=

Po 1+1

Montrons

_qu’il

existe alors m arbitrairement

grand

tel _que

P(m, 2)

&#x3E;

_2m+2,

ce

_qui

nous donnera la contradiction cherchée.

On a vu _{que pour} m assez

grand

(m &#x3E;

-

1) ),

on a

On _suppose désormais m &#x3E; -

1).

Il reste à minorer le nombre de facteurs W = W1 ...

° Wm

de

_{Gi (m,}

₂₎

vi ...

2) :

ce sont les facteurs _pour

lesquels

_l...vn a Wl*,»Wn est réduit

à un

_point

_{et pour}

lesquels

il existe un indice de colonne c tel _que

On note _pour

_{0 j}

_m,

_{(respectivement}

_l’unique

intervalle d’extrêmité

_gauche

_{(respectivement droite) - ja,}

dans la

_partition

du cercle unité orienté _par les

_{points - ja, 0 j}

m,

correspondant

aux facteurs de

f-,

de

_longueur

m

(voir

le lemme

1).

Supposons

sans

_perte

de

généralité

_que

1~

=

~0,1-cx(.

L’ensemble

n

est réduit à un

point

si et seulement s’il

existe j

tel que

a Wl ... Wn

avec

_{0 j m et 0 j - k m,}

c’est-à-dire k

_j

m

(si

k &#x3E;

0)

et

0 j k

+ m

(si

k

0).

On obtient donc + 1 tels facteurs. Par

conséquent,

on a

On a de même :

- - 1

-Or on vérifie

Par

_conséquent,

on a _pour m assez

_grand

Il existe donc un

_unique

indice de

ligne

i pour

lequel

la

partition

change.

Supposons

sans

_perte

de

_{généralité}

_{que i} = 0. Calculons alors

P(m, n).

D’après

le lemme

_7,

_pour m assez

_grand,

les ensembles sont des

intervalles ;

on _suppose donc dans ce

qui

suit m assez

grand

_{pour que cette}

condition soit

_{réalisée ;}

on a de

_plus

pour W = facteur de taille

(m, n)

_apparaissant

infiniment souvent à

l’indice de

_ligne

i. Il _y a donc autant de facteurs dans _que de

points

de la forme

_{(- j -}

_{k(l -1))a,}

avec

_{0 j m, 1 l n.}

Supposons

de

_plus

m &#x3E;

_~k~

- 1. On

a donc

Il reste à

_compter

le nombre de facteurs W pour

lesquels

est réduit à un

_point.

Ceci ne se

_produit

_{que si} W

_apparaît

à un indice de

_ligne

i,

avec -(n - 2)

i 0. Fixons un tel indice i. On a

Soit

_pil)

la

_partition

_par les

_points

_{(-j - k(l - 1))a,}

avec

0 j

_m,

1 l -i + 1 et soit

p12)

la

_partition

par les

points

(-j - k(l - 1))a,

avec

_{0 j 7n, -i + 2 l n ;}

Ii (W )

est l’intersection d’un intervalle de la

_partition

plI)

et d’un intervalle de la

_partition

p12).

Ceci

_implique

que

Ii(W)

est réduit à un

_point

si et seulement si

Ii(W)

est

égal

à un

_point

commun aux deux

_{partitions :}

or il existe + 1

_points

communs. On

obtient donc

_{(n -}

+

₁₎

tels

_facteurs,

en considérant les n - 1

indices de

_{ligne possibles,}

d’où

Par

_conséquent,

on a _pour m assez

_grand

Notons _que la suite U est alors non

_récurrente,

puisqu’un

facteur W tel _que

Ii(W)

est réduit à un

_point

n’a

qu’un

nombre fini d’occurrences.

On a donc _{montré que}

_si,

_{pour tout}

_i,

{3i

E Z +

aZ,

alors la suite est soit