Sur la méthode de Van der Corput pour les sommes d'exponentielles

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

M

AROUAN

R

EDOUABY

Sur la méthode de Van der Corput pour les

sommes d’exponentielles

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

13, n

o

_{2 (2001),}

p. 583-607

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2001__13_2_583_0>

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Sur

la

méthode de

Van

der

_Corput

_pour

les

sommes

d’exponentielles

par MAROUAN REDOUABY

RÉSUMÉ. Pour

_majorer

la somme

d’exponentielle

2M

e(TF(m/M)),

où F :

_[1,2]

~ R est une fonction

"presque monomiale",

M est

une entier

_grand

et T un réel

grand

devant

M4,

nous étudions

le

_procédé

_{Ak BAD,}

où A et B

_désignent

comme d’habitude les

transformations A et B de Van der

_Corput

_[2],

et où D

_désigne

le double

_grand

crible

_appliqué

dans

_l’esprit

de

_Fouvry

et Iwaniec

[1].

Nos résultats

_complètent

le tableau 17.1 de

_[5]

_{(voir également}

[4])

et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.

ABSTRACT. In order to bound the

_exponential

sum

e(TF(m/M)),

where F :

_[1,2]

~ R is an "almost monomial"

_function,

M is a

large

integer

and T is a real number

_larger

than

_M4,

we

study

the

Ak BAD process, where A et B refer to the classical A and B Van der

_Corput

transforms

_[2],

and D refers to the double

_large

sieve as used

by Fouvry

and Iwaniec

[1].

Our results

_complete

Table 17.1 of

_{[5] (see}

also

_[4])

and are summarized in

_corollary

2 below.

Introduction

Soit F :

_{(1, 2~}

- R une fonction

_plusieurs

fois dérivable. Les sommes

d’exponentielles

de la forme

avec M entier

_grand

et T réel »

_M,

interviennent dans de très nombreux

problèmes

de théorie

_analytique

des

_nombres,

et notamment _pour

_majorer

+

_it),

_{où (}

est la fonction zêta de

_Riemann,

avec

1 /2 ~

1.

Lorsque

T est très

_grand

devant M

_(disons

T »

M3

_pour fixer les

_idées),

les

_majorations

de S obtenues

_{jusqu’à aujourd’hui}

restent très

_éloignées

du résultat

_conjecturé

_(cf.

_[6,

_conjecture

2 _page

_59]).

La méthode de Van der

_Corput

_[2]

consiste à

_appliquer

d’abord

_plusieurs

fois la transformation A

_qui

a _pour effet de se ramener à une somme de

_type

(o,1),

mais avec un T moins

grand

_que dans la somme

originale,

et de faire

_apparaître

un

paramètre ;

le

_prix

à _payer est _que, à

_{chaque application}

de la transforma-tion

_A,

le

_gain

doit être

_pris

à la

_puissance

un demi.

L’utilisation du

_paramètre

de la transformation A conduit à la méthode de Van der

_Corput

_pour les sommes doubles

_{d’exponentielles. Malgré}

d’énormes

_{complications,}

celle-ci n’amène que de très

légères

améliorations

dans les sommes

_{simples d’exponentielles.}

Les meilleurs résultats actuels sont obtenus à l’aide du

_puissant

Théorème de

_Huxley

_pour les sommes

_{simples d’exponentielles}

avec

paramètre

(cf.

[4,

Théorème

_2]

ou

[5,

Théorème

17.2.2],

_{l’application}

aux sommes

simples

avec

T

_grand

étant

_exposés

au Théorème 3 de

[4]

ou au Théorème 17.4.2 de

[5]).

Les

_{paramètres qui apparaissent}

à

_{chaque application}

de la transformation

A sont effectivement

_utilisés,

mais leur contribution au résultat final est

faible.

Dans cet

_article,

nous _reprenons le

_procédé

de Van der

_Corput.

À

l’aide de

_{quelques manipulations}

faciles sur les

_paramètres

de la transfor-mation

_A,

nous nous mettons en

_position

_pour

_appliquer

la méthode de

Fouvry

et Iwaniec

_[1]

_pour les sommes

_{multiples d’exponentielles}

à

_phase

monomiale,

ce

qui

_permet

une utilisation

plus

forte des

paramètres.

Nous

noterons AD ce

_procédé,

où D

_désigne

le double

_grand

crible au sens de la

Proposition

1 de

_[1].

Nos résultats deviennent meilleurs _que ceux de

_Huxley

_{pour T} »

M 4.22

(une

amélioration survient

_{déjà lorsque}

T est

_proche

de mais alors les résultats de

_[8]

sont meilleurs _que les

_nôtres).

_Toutefois,

l’utilisation de la méthode de

_Fouvry

et Iwaniec pour les sommes

d’exponentielles

à

phase

monomiale nous

_oblige

à renforcer les

_hypothèses

sur F. Nous _supposons

que F vérifie :

avec

pour un certain 8

qui

ne

_dépend

_que de la

_{quantité log}

_M/

_log

T . Il est à

noter _que

_{l’hypothèse}

_(0.2)

autorise

_{l’application}

à la

_majoration

+

it).

Dans le

_procédé

_AD,

les termes non monomiaux sont éliminés _par la transformation A au

§2.1.

Nous arrivons alors au Théorème

Ak BAD

énoncé

et démontré au

_{§3. Enfin,}

au

_§3.3,

nous formulons le Corollaire 2 correspon-dant aux cas 1~ = 4 _et J~ =

_5,

_ce

_qui

complète

le Tableau 17.1 de

[5]

_pour

les fonctions

_"presque

monomiales"

_(i.e.

les fonctions

_qui

vérifient

_{(0.2) ) .}

Cependant,

notre amélioration _par

_rapport

à

_[5]

reste minime.

Nous remercions Patrick

_Sargos

_pour ses nombreux

_conseils,

_remarques

et corrections.

Notations. Pour tout réel _x, on _pose

e(x) =

Si z est un nombre

complexe,

Re

_(z)

_désigne

sa

_partie

réelle. Pour toute fonction _g, on note

g’, g",

les dérivées d’ordre

_{l, 2, j avec j &#x3E;}

3. Une fonction de classe

Ci

est une fonction

_qui

admet des dérivées

_{continues jusqu’à l’ordre j.}

Les

_{symboles classiques 0,}

_{«, ~} sous-entendent

_toujours

des constantes

absolues.

_{Lorsqu’ils apparaissent}

dans une

_conclusion,

les constantes

dépen-dent au

_plus

des autres constantes absolues sous-entendues dans les

hy-pothèses.

Par contre le

_{symbole «j}

sous-entend une constante

_qui

_peut

également dépendre de j .

La relation u « v ou u =

O(v)

signifie

qu’il

existe une constante absolue

C telle que

Cv ; u

» v

_signifie

que u et v sont

_positifs

_{et que v « u ;}

enfin u = v

_signifie

_qu’on

a à la fois u « v et u &#x3E; v.

Le

_symbole

D

_indique

la fin d’une

_{démonstration ;}

s’il est

_placé

à la fin d’un

_énoncé,

il

_signifie

_que la démonstration ne

_présente

_{pas de} difficulté et

qu’elle

a été omise.

1. La transformation

A~B

Nous

_apportons

_quelques

_précisions

à la transformation

A~B

usuelle en vue d’une

_exploitation

des

_paramètres

_provenant

de la transformation A itérée l~ fois.

Après k

itérations de la transformation

_A,

la

_phase

_{f (m)}

devient :

On pose alors

ll - hI - - - hk-l

et

₁₂

=

hk.

On

_applique

alors la transformation

_B,

relativement à la variable m. Il est ici

_important

de _{remarquer que} la nouvelle

_phase

s’écrit sous la forme d’un terme

_{principal plus}

un terme

_secondaire,

ce dernier étant contrôlé

1.1. La tramsformation

Ak.

Soient M un réel

positif &#x3E;

_2,

et

_{[a, b]}

un intervalle de R tel _que

Soit

_{f :}

_[a,

_b]

- R une fonction

quelconque.

On _pose

La tranformation A de Van der

_Corput,

remaniée par Heath-Brown

[3]

s’énonce comme

Lemme 1. Sous

_{l’hypothèse}

_(1.1),

et avec la notation

_(1.2),

_{pour tout}

en-tier H tel _que 2 H

_M,

nous avons :

avec

et

où

Démonstration. La

_majoration

_(1.3)

découle de

_{l’inégalité}

suivante

_{(cf. [1,}

Lemme

_{5.6.2]) :}

En utilisant une récurrence sur

(1.6),

on arrive au

Lemme 2

_{(Transformation}

_Ak).

Soit k un entier &#x3E; 1. Sous

_{l’hypothèse}

(1.1)

et avec la notation

_(1.2),

_pour tout entier H tel _que

nous avons :

et

Remarque.

En utilisant

_(1.6),

on voit facilement _que la constante sous-entendue dans le

_symbole

« de

_(1.8)

_peut

être choisie

_égale

à

_12/V2.

1.2. Une modification de la transformation

Ak.

Nous commençons par

l’analogue

du Lemme 2.7 de

[2].

Soient H un entier &#x3E;

2, k

un entier &#x3E;

1,

et

_{hl, ... ,}

_hk

des entiers tels

que

Soit

_{f :}

_{[a, b]}

--7 R une fonction de classe

_qui

vérifie :

, . _ , 1 W _ _ _ .

-où

_Àk+4

_désigne

un réel

positif.

Lemme 3. Sous les

_hypothèses

_(1.12)

et

_(1.13),

on a _{pour tout} m E

_[a

+

avec h - t = _{-I- ~ ~ ~ -f-}

hktk. En

particulier

_{on a :}

avec

Le lemme suivant est

_également

un

classique.

Lemme 4

_(Sommation

d’Abel

_multiple).

Soient k un entier &#x3E; 1 et

_Ml,

... ,

Mk

des réels

positifs &#x3E;

1.

Soit!1k =

[Ni,

x ~ ~ ~ x

[Nk,

N~~

un

pavé

de

e

tel que

- - -

pour tout

_{(-’el i...}

E

_~2k

et tout sous-ensemble non vide

_{il,

_{... ,} de

{l,

...

,1~~,

et où T

désigne

un réel

positif.

Soit

enfin

une suite

quelconque

de nombres

_complexes.

Alors il existe un

_pavé

[Ni,

Nï

l x ~ - ~ x

_[Nk,

tel _que C

_Í2k’

pour

l equel

on ait

Désormais,

dans ce

_{qui suit,}

k

_désigne

un entier &#x3E;

_{2 ;}

l’intervalle

_{[a, b]}

de R est défini comme en

_(1.1).

On suppose que la

fonction-phase f

de

(1.2)

est de classe

Ck+4,

et

qu’il

existe un réel À tel _que

pour tout x E

_{la, b],}

où

_Co

_désigne

une constante

_positive.

Soit enfin un entier H &#x3E; 2 tel _que

Nous avons alors le lemme suivant :

Lemme 5. Sous les

_hypothèses

_{(1.1), (1.19)}

et

_(1.20),

et avec la notation

(1.2),

il existe

_cinq

entiers

_positifs

_Ll,

_L’,

_L2,

_L’

et

bl

tels _{que :}

pour

lesquels

nous avons :

et

Démonstration.

_a)

On commence _par

_appliquer

le Lemme 2 à la somme S. En vue du Lemme

_3,

en écrivant

e(E)

= 1 +

O(E),

_on obtient :

avec

où on a posé :

b)

On écrit :

Avec la sommation d’Abel _{pour sortir} la

_{fonction-poids}

_1/;,

_{suivie par}

l’iné-galité

de Van der

_Corput

_([2,

Théorème

_2.2])

sur les deux dernières _sommes, sachant _que sous

_{l’hypothèse}

avec

_Sk

donnée par

(1.27)

et

c)

Transformation de

_Sk.

On commence _par

découper

les intervalles de sommation

[1,.H~ ~j,

1 i

_k,

en intervalles

diadiques ;

et on utilise la sommation d’Abel

_multiple

_{(Lemme 4)}

_pour sortir la

_{fonction-poids 1/;.}

Sous

_{l’hypothèse}

H «

À 1/(1-3.2k-l),

la variation totale

_{de 1/;}

_par

_rapport

aux k + 1 variables

_{hl .. - , hk,}

m est « 1. On en déduit

qu’il

existe des

IV N

entiers Îi, Îi’

( 1 i

k )

et

₆₁

tels _que

pour

lesquels

on ait

et

Finalement on _pose

ll - hl ~ ~ ~ hk-1 , l2

=

hk, et

on écrit :

avec

Nous avons la

_majoration

_«,,k

En

_{majorant log}

H par Me aussi

En

_remplaçant

_Sk

dans

_(1.30)

par le membre de droite de

(1.33),

on arrive

1.3. Le Lemme Dans la somme obtenue au Lemme 5

(i.e.

le Lemme nous devons maintenant

_appliquer

la transformation B par

rapport

à la variable m. Pour formuler le résultat de

_façon

_précise,

nous nous

_plaçons

sous

_{l’hypothèse}

où

_f

est "semi-monomiale" .

Soit donc F :

_{~1, 2~}

--~ R une fonction de classe

Ck+5

avec k &#x3E; 2 entier telle _que

avec Q E

_{It8 B}

_{{l, 2}}

et avec la convention t’ =

logt

si a =

0,

où C est un réel strictement

_positif

et où on a

q

désignant

un réel

_positif

suffisamment

_petit.

Soient M et T deux réels

_{positifs grands}

tels que

On pose

Soit enfin un entier H &#x3E; 2 tel _que

et

Nous avons alors le

Lemme 6

_(Lemme

_AkB).

Sous les

_hypothèses

_(1.34)

à

_(1.39),

et avec la notation

_(1.2),

il existe deux constantes

_positives

non n2clles

Dl

et

D2 qui

dépendent

uniquement

de C et u telles _que si

alors on a _pour &#x3E; 0

Ll, Ll

et

_L2

sont

_définis

en

(1.~1~ ;

_pour

li

E

_[LI,

l’intervalle

_{1 NI’,]}

_]

est contenu dans où

_D3

et

_D4

sont deux

constantes

_dépendant

_uniquement

de

_k,

C et a-

_vérifiant

0

D3

_:5

D4,

et

où est un intervalle contenu dans

_{[L2, 2L2],}

_pour tout

_li

E

_[Li,

_L’]

et

tout m* E

_[Nit,

et

1 Il ’

où

_{D5, D6, D7}

et

_D8

sont des constantes non nulles

_qui

_dépendent

unique-ment

_{de k,}

C et a.

Démonstration.

_a)

On commence _par

appliquer

le Lemme 5 à la somme

S ;

la formule

_(1.22)

s’écrit ici

avec

Sk

est donnée _par

_(1.24)

et où on a

posé

J

b)

Pour fixer les

_idées,

on _suppose

f ~k+2~

(x)

&#x3E; 0 _pour x E

_{[a, bl].}

Il existe

alors une constante

_positive

non nulle

_Dl,1

_dépendant

_uniquement

de C

et a telle _que

_Di,iM

_implique

1112TM-k-2

pour

tout x E

_{la, bl]}

Sous les

_hypothèses

_(1.36)

et

_(1.39),

est

_petit

devant

_{l’unité ;}

on

_peut

_appliquer

la transformation B par

_rapport

à la variable m.

Nous

_rappelons

brièvement l’énoncé et les notations relatifs à la

Soit G :

_{[a, b]}

- ]R une fonction de classe

C3

avec

[a, b]

C R et b - a &#x3E; 2.

On _suppose

_qu’il

existe deux réels

_positifs

X et

_M,

avec M &#x3E;

b - a,

tels

qu’on ait

On _pose

_{[a, #]}

=

G’((a,

b~),

de _sorte

que

G’ :

[a, b]

-

(a"Q~

soit une

_bijection.

Soit alors Z :

_[a,,8]

-

[a, b]

la fonction

_réciproque

de

G’.

On introduit la

fonction

Dans ces

conditions,

le Théorème l’ de

[7]

s’écrit :

avec

- - a a

Si on

_applique

ce résultat à la situation

_qui

nous

_intéresse,

on obtient

où

_désigne

la fonction

_réciproque

de

et

22

-c)

Calcul de Si on

_peut

écrire

G (x)= g (x)

+

_{u (x),}

_{où g}

est il 12.

un terme dominant

(en

un sens à

préciser),

on s’attend à ce

qu’on

ait

G*(y)

=

g*(y)

₊

v(y),

où

g*

_est

également

"dominant". La formulation

précise

de cette

_phrase

est démontrée au Théorème 3 de

[7].

Sous les

_hypothèses

_(1.34),

_(1.35)

et

_(1.37),

_Gh,l2

s’écrit

avec

(si

Q =

0,

il faut

remplacer

CQ

par

C)

où on a

_posé

_Ti

=

2klll2TM-k.

Il

existe alors

_(cf.

_[7,

Théorème

_3])

deux constantes strictement

_positives

_D1,2

et

_D2

_{dépendant uniquement}

de C et Q telles les conditions

_D1,2M

et _q

_~

_D2

_impliquent

avec

z

désignant

la fonction

réciproque

de

g’

et

En

_majorant

trivialement la somme sur sachant que

on obtient

avec

Le calcul

_explicite

de

_g*(m*)

_{+u(z(m*)) (cf.}

_[7,

Lemme

_9])

donne

où

_{Ci et -0}

sont donnés par

(1.45)

et

_(1.46)

et où le

_signe

f

_signifie

+ si

On sort le terme

_e(E*)

en écrivant

_e(E*)

= 1 +

O(E*) ;

en rassemblant

avec

Sk

est donnée _par

_(1.24)

et

d)

Fin de la démonstration. On

_permute

dans

_Sk

la somme sur m* avec celle sur

_12,

on utilise la sommation d’Abel sur

₁₂

_pour sortir la

fonction-poids

_{(Gl’ 12}

(Z~~(±m*)))’ ~ ,

on obtient alors

où

_Ni¡,

_Nf!

et sont donnés en

_(1.43)

et

_(1.44).

En

_remplaçant

dans

_(1.58)

_Sk

_par le membre de droite de

_(1.61)

et en

re-marquant

que sous les

_hypothèses

(1.36), (1.38)

et

_(1.39)

les

_quatre

derniers

termes du membre de droite de

_(1.59)

sont dominés _par les

_quatre

_premiers,

on arrive à

(1.41).

On choisit

Di

=

min(D1,1,

D1,2~.

D

2. La transformation AD de

_Fouvry

et Iwaniec

Le but de cette section est d’établir une

_majoration

de la somme

_triple

d’exponentielles

Sk

définie en

_(1.43).

La méthode est celle de

_Fouvry

et

Iwaniec

_(plus

_{précisément}

le Théorème 3 de

_[1])

_que nous devons étendre à des situations où la somme à

_phase

monotone est

_perturbée

_par une

fonction-poids

à faible oscillation.

La démonstration du Théorème 3 de

_[1]

consiste en une

_application

de la transformation A de

_Weyl

et Van der

_Corput,

d’un lemme

_{d’espacement}

(qui

est le coeur de la

_méthode),

suivi du double

_grand

crible _que nous

notons D. Nous _reprenons ce scénario en demandant en outre à la

trans-formation A d’éliminer l’oscillation de notre

_{fonction-poids.}

Ce

_problème

d’élimination se

produit

dans de nombreuses situations par-fois

_plus

_{compliquées qu’ici ;}

en

prévision

d’autres

applications

ultérieures,

nous _commençons cette section _par une formulation de la "transformation

A avec élimination"

_{beaucoup plus générale}

_que ce dont nous avons besoin ici.

2.1. Transformation A avec élimination. On veut

_appliquer

la

trans-formation A à la somme

avec les notations suivantes : Q est un ensemble fini non vide

quelconque

dont le nombre d’éléments est noté

_{N ;}

_pour

_chaque

n

E 11,

En

_désigne

une ensemble fini non vide

_quelconque

_(l’exemple

_que nous avons en tête est

celui où Q est un sous-ensemble de N et où

_En

est une

_partie

de l’ensemble des diviseurs de

_{n) ;}

_pour

_chaque

n E 11 et

_chaque

d E

_En,

_xn,d

_désigne

un nombre

_complexe

de module au

plus

_un,

_{In,d désigne}

un intervalle de Z contenu dans un intervalle fixe

_{[a, b]}

de R de

_longueur

au moins _un,

1/ln,d

désigne

une fonction de

[a, b]

dans C de classe

Cl.

Pour

chaque

m E

[a, bi

n

_{Z, em désigne}

un nombre

complexe

de module au

plus

un.

Enfin,

pour

chaque n

E

Q, f n :

[a, b]

- R est une fonction

_quelconque.

Pour

_chaque

n E Q et

_chaque

d E

_En,

_{soient and} et deux nombres

positifs

tels _que

On _pose

On a alors le

Lemme ’l. Sous les

_hypothèses

_ci-dessus,

pour tout entier

Q

tel que 2

Qb-a,

on a

avec

a)

On commence _par

appliquer

la formule

classique

du

prolongement

de l’intervalle de sommation

_(cf.

_[5,

Lemme

_{5.2.3]) :}

avec

En

_reportant

_(2.6)

dans

_(2.1),

on a

où on a

_posé

b)

Décalage

de

_Weyl

et sommation d’Abel. Si

_Q

est un entier tel _que

2

_Q

b - a, le

principe

du

décalage

de

Weyl

s’écrit

ou _encore, en

_posant

où

_’0,,,,d

est un

_prolongement

de classe

Cl

de la fonction à l’intervalle

On fait une sommation d’Abel sur la

_{variable q}

_pour éliminer le facteur

V)n,d(m

+

_{2q) :}

avec la notation ,

On obtient ainsi

avec

Alors et ne

dépendent

plus

du

paramètre

d et la

_{majoration(2.8)}

s’écrit

À

l’aide de

_{l’inégalité}

évidente

et de

_{l’inégalité}

de

_{Cauchy-Schwarz,}

on arrive à

où S’ est

donnée en

(2.5).

On fait la _{preuve pour}

Sn,i :

Grâce à

_{l’inégalité}

de

_{Cauchy-Schwarz}

on a

où on a

rajouté

des termes

_positifs

du côté de b.

De manière similaire à la _preuve du Lemme 5.6.2 de

_[5]

on arrive à

On a alors

Dans le second membre de

_(2.22)

on

remplace

la

partie

réelle _par le module

pour éliminer les termes

e(-20r),

la

majoration

devient ainsi

indépendante

de 0. On

_prolonge

la somme sur r _pour

qu’elle

devienne

indépendante

de q, on obtient alors

et la

_{première majoration}

de

_(2.18)

en découle.

d)

Fin de la démonstration. On

_reporte

les deux

_majorations

de

_(2.18)

dans

_(2.17)

et comme

_{f JL}

log(b -

a +

_1),

on arrive à

_(2.4).

D

1/2

2.2. Le Lemme AD pour les sommes

triples

à

phase

presque

monomiale. Nous allons dans ce

_paragraphe,

en

_application

du

para-graphe précédent,

donner un

analogue

du Théorème 3 de

[1].

Nous

l’appel-lerons Lemme

_AD,

en référence à la transformation A suivie de

l’inégalité

du double

_grand

crible.

Soit la somme

1 G

où

_Mi,

_M2

et M

_désigne

des réels

_{positifs &#x3E;}

_1,

1

XM1,M2 et em

sont des

nombres

_complexes

de module au

plus

_{un ;}

_x,

_{cx, ai et a2}

_désignent

des nombres réels tels _que

La notation

_Mi

_signifie

ml E

_{[Ml, 2Ml] .}

On suppose en outre _que

pour

chaque

ml N

Ml

et m2 -

M2

(2.26)

est un intervalle due ? tel _que

_Iml,m2

C

_{~M, 2M~,}

’l/Jml,m2 :

[M,2Af] 2013~

C est une fonction de classe

C .

On notera _aMl,M2 et

_/3mi,m2

deux réels

_positifs

tels _que

On pose enfin

Nous avons alors le

Lemme 8

_{(Lemme AD).}

Sous les

_hypothèses

_(2.25)

à

_(2.27),

et avec les

notations

_(2.24)

et

_(2.28),

on a

Démonstration. On commence _par

_appliquer

le Lemme 7 à la somme S avec 11 =

[Ml, 2M,]

x

_{(M2, 2M2~ ;}

les ensembles

En

n’interviennent pas ici

(on

prend

par

exemple

En

=

f nl).

On a alors _pour tout entier

Q

tel _que

avec

Qo

entier

_Q

et

où on a

_posé

1 On pose

On a alors

Le reste de la démonstration est

_identique

à la démonstration du Théorème 3 de

_[1].

Le choix final

_Q

=

M3/5/3

donne

(2.29).

D

3. Le Théorème

AkBAD

Le but de cet article est d’établir le Théorème

AkBAD

pour les sommes

simples

d’exponentielles

à

_{phase "presque}

monomiale". Le résultat formulé au

§3.1

est difficile à manier à cause de la

_présence

du terme dans l’écriture

_(0.2)

de la

_phase,

_qui

fait

_apparaître

un

paramètre 17

dans notre

majoration

(3.6).

Toutefois notre

_{application principale}

revient à

_majorer

+

_it)

pour certaines valeurs de Q,

auquel

cas on

_peut

_{prendre ri}

=

0,

_et

la

_majoration

_(3.6)

s’en trouve

_simplifiée.

La démonstration se scinde en deux

_{parties :}

le Lemme

_qui

est

exposé

au Lemme 6 et le Lemme AD

_qui

est

_exposé

au Lemme

_{8 ;}

le reste

de la démonstration

_exposé

au

§3.2

revient essentiellement à

justifier

la taille des

_paramètres.

Enfin,

au

_§3.3,

nous formulons nos résultats à la manière du Tableau

17.1 de

_[5].

3.1.

Énoncé

du Théorème

AkBAD.

Nous

_rappelons

les

_hypothèses

et

les notations de notre théorème :

Soit F :

_{[1, 2]}

- R une fonction de classe

Ck+5,

avec k entier &#x3E; 2 telle

que

avec Q E

_{{l, 2}}

et avec la convention t’ =

log t

si Q =

0,

où C est _un

réel strictement

_positif

et où on a

Soient T et M deux réels

_positifs

_grands

tels _que

On pose

Théorème 1. Sous les

_hypothèses

_(3.1)

à

_(3.3)

et avec les notations

_(3.l~~

et

_(3.5),

il existe une constante strictement

_positive

_Dc,o-

_dépendant

unique-ment de C et a, telle que 17

implique

que pour tout e &#x3E; 0 on a

où nous avons

_posé

K =

2k

et

3.2. Démonstration du Théorème 1. On commence _par

appliquer

le Lemme 6 à la somme S de

_(3.5).

a)

Majoration

de On traite d’abord la somme

où est donnée en

(1.44).

où

_D3

et

D4

sont donnés en

(1.43).

On _pose

_également

On a donc

avec

où 0

est la fonction définie en

(1.45).

Pour tout

pour tout

12 E

_[L2,2L2],

où on a

posé

ut

et

_u~

sont définies à l’extérieur de l’intervalle

_{~l, 2)}

_par leurs

_polynômes

de

_Taylor

en 1

(ou

en

2)

à l’ordre 1.

On _{suppose que l’on} a

On

_peut

ainsi

_appliquer

le Lemme 8 à la

_{somme Sk}

de

_(3.11),

et on obtient

la

_majoration

suivante

Dans

_(3.17)

on fait le choix

La condition

_(1.39)

_implique

alors _que

_(3.15)

est satisfaite. Dans la suite de la

_{démonstration,}

on _suppose de

_plus

que

ce

_qui

assure _que le terme de

_(3.17)

est inférieur à 1. De même sous

l’hypothèse

(1.38)

les deux derniers termes du membre de droite de

_(3.17)

sont dominés _par les deux termes

_qui

les

_précèdent.

On obtient finalement

b)

Fin de la démonstration. On

_reporte

la

_majoration

_(3.20)

dans

_(1.41)

et on obtient

avec

Sous la condition

_(1.38),

le terme

~

est dominé

par le terme

~23/20~2~-3~-3~-2)2-~ ~ ~ ~

Pour

_optimiser

le choix de

_H,

on utilise le Lemme 2.4 de

[2],

et sous les

hypothèses

(3.3), (1.38),

(1.39),

(1.40)

et

_(3.19)

on arrive à

(3.6).

Un choix

possible

pour

Dc a

est

_Dc,,

=

D2,

la _constante définie dans le Lemme 6.

3.3.

_{Application :}

Sommes avec T

grand.

Comme

application

du

Théorème

1,

nous allons

_compléter

le bas du Tableau 17.1 de la _page 369 de

_[5].

En effet notre théorème donne de bons résultats à

_partir

de k &#x3E;

_3,

mais nous obtenons de réelles améliorations _par

_rapport

à la méthode de

Huxley

avec k &#x3E; 4.

Nous allons

_reprendre

le Théorème

_1,

et nous allons

_exprimer

les deux

paramètres

M et _7î en fonction du

_paramètre

T. Pour cela on _pose

La condition

_(3.3)

s’écrit alors

Pour

_exprimer

la

_majoration

_(3.6)

en fonction de

T,

on _pose

qui

correspond

aux

_quatre

premiers

termes du membre de droite de

(3.6)

et

qui

correspondent

aux

_sept

termes du membre de droite

(3.7).

On considère les réels

_{Bi(a) (1 i}

₇₎

donnés _par les relations

On _pose enfin

Nous avons alors le

Corollaire 1. Avec les notations

_(3.l~~,

_(3.5),

_{(3.23),(3.25),}

_(3.31~)

et sous les

_hypothèses

_(3.1),

_{(3.2), (3.24),}

si le

_paramètre

T est assez

grand

_par

rapport

à C _{et or, et} si B &#x3E;

_{00 (a),}

on a _{pour tout -} &#x3E; 0

Nous _{pouvons maintenant}

_présenter

nos résultats.

Corollaire 2. Avec les notations

_(3.4),

_(3.5),

_(3.23),

_(3.34)

et sous les

hypothèses

(3.1), (3.2),

si le

_paramètre

T est assez

_grand

_par

_rapport

à C

et _{u, et} si 0 &#x3E;

_00(a),

on a _{pour tout} e &#x3E; 0

avec

si a &#x3E;

_{1012/4265, ~3(a)}

est donné _par le Tableau 17.1 de

_[5].

Démonstration. Découle du Corollaire 1 avec k = 4 pour

(3.37),

k = 5 _pour

(3.38).

D

Remarques

1. Avec k =

3,

le Corollaire donne un bon résultat _{pour a} =

3/10.

Ainsi nous avons

_/~(3/10)

=

107/380

=

0.2815 ... ,

Oo(3/10)

=

142/475

=

0.2989 ... ,

alors que le Tableau 17.1 de

[5]

donne

#(3/10)

=

103/365

=

0.2821... Dans un article récent

[8],

_Sargos

donne

j3(3/10)

=

1283/4560

=

0.2813 ...

2. Avec k &#x3E;

_4,

notre méthode

_prend

le relais du Tableau 17.1 de

_[5]

à

_partir

de a =

1012/4265.

Par

exemple

pour la dernière valeur du

Tableau 17.1 de

_[5]

a =

2848/12173

=

0.2339 ... ,

_{nous avons par} le

Corol-laire 2 :

_{j3(2848 /12173)}

=

767169/3384094

= 0.2266...

00 (2848/12173) =

1582103/6768188

=

0.2337... ,

alors _que Tableau 17.1 de

[5]

corrigé

_par

Tableau 17.2 de

_[5]

donne

_{~3(2848/12173)}

=

5527/24346

= 0.2270...

3. On trouve certaines valeurs de a extérieures au Tableau 17.1 dans le Tableau 17.2 de

_[5].

Par

_exemple

en

_prenant

la dernière

quantité

du Tableau 17.2 avec k =

4,

_{on trouve a} =

5696/29873

= 0.1906 ... Pour cette

valeur,

le Corollaire 2 ci-dessus donne

_{/3(5696/29873)}

= 0.1877... alors

que le

Tableau 17.1 de

_[5]

donne

_{#(5696/29873)}

= 0.1878 ...

4. Pour la dernière valeur

_de,6(a)

dans

_(3.37)

nous

_apportons

la

précision

suivante : si

_{144/725 ~}

a

_23/161

=

0.1987... ,

le Corollaire 1 donne en fait

_{j3(a) =}

_{(- 1 + 7a) /2,}

un résultat très

légèrement

meilleur _que

(3.37),

du

que celles données à la page 370 de

[5],

nous

préférons

ne _pas alourdir le Corollaire 2 avec des améliorations aussi minimes.

Bibliographie

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[2] S. W. GRAHAM, G. KOLESNIK, Van der Corput’s method of exponential sums. London Math. Soc Lecture Notes 126, Cambridge University Press, 1991.

[3] D. R. HEATH-BROWN, Weyl’s inequality, Hua’s inequality, and Waring’s problem. J. London Math. Soc. 28 _(1988), 216-230.

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(1999), 207-232

[8] P. _SARGOS, Un critère de la dérivée cinquième pour les sommes _{d’exponentielles.} Bull. Lon-don Math. Soc 32 _(2000), 398-402.

Marouan REDOUABY

s/c Patrick SARGOS Institut Elie Cartan Université Henri Poincaré B. P. 239

54506 Vandoeuvre Cedex France