Linear diffusion with stationary switching regime

(1)

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Linear diffusion with stationary switching regime

Xavier Guyon, Serge Iovleff, Jian-Feng Yao

To cite this version:

Xavier Guyon, Serge Iovleff, Jian-Feng Yao.

Linear diffusion with stationary switching regime.

ESAIM: Probability and Statistics, EDP Sciences, 2004, 8, pp.25-35. �10.1051/ps:2003017�.

�hal-00272033�

(2)

Xavier Guyon

,Serge Iovle

, Jian-Feng Yao

SAMOS, Université Paris1 et

IRMAR, Université de Rennes 1

guyonuniv-paris1.fr

February 14, 2002

Abstra t

SoitY unediusiondeOrnstein-Uhlenbe kgouvernéeparunrégimeX: dY t = a(X t )Y t dt+ (X t )dW t ;Y 0 = y 0 . On établit que = E (a(X 0

)) < 0 est une ondition susante d'ergodi ité de Y lorsque X est stationnaire de loi invariante . Puis on s'intéresse à l'existen e de moments pour la loi invariante de Y. Utilisant les résultats de Brandt sur les modèles à oe ient aléatoire, et le fait que Y est, onditionnellement à X, gaussien, onétablitsimplementune onditiond'existen edumomentd'ordres0lorsqueX estun pro essusdesautmarkovienànombrenid'états. OnretrouveunrésultatdeBasaketaltri établiàl'aidedete hniquesde ontrledesystèmelinéaire.

Mots lés: diusion deOrnstein-Uhlenbe kàrégime stationnaire,modèle à oe ient aléatoire,pro essusmarkoviendesauts,ergodi ité,momentdelaloiinvariante.

Classi ation AMS :60J60,60J75

1 Introdu tion

Les modèles à temps dis ret Y = (Y n

;n 2 N) gouvernés par une haîne de Markov X = (X

n

;n 2 N) sont bien adaptés aux situations où un régime autonome X module la

dynamique de Y. Ces modèles, relativement par imonieux en nombre de paramètres, élar-gissent signi ativement le as d'un régime unique. Parmi eux, les modèles auto-régressifs à régime markovien (swit hing Markov AR model) sont les plus populaires. Leur utilisation en

é onométrie est due à Hamilton ([7, 8℄). Leur étude statistique ( f. par exemple [8℄, [15 ℄, [9℄, [10℄) a pré édé les études probabilistes. L'ergodi ité a été étudiée par Fran q et Roussignol [6℄ et par Yao et Attali [17 ℄. Dans e dernier travail,les auteurs donnent :

(i) des onditions de stabilitéd'un AR non-linéaire Y à régimemarkovien X;

(ii) des onditions d'existen e d'un moment d'ordre s0 pour laloi de Y.

Ces deuxrésultats,obtenus sous des onditions desous-linéarité oude Lipshitzpourlafon tion

d'auto-régression, sont préalables àtoute étudeasymptotique.

Notreobje tif estd'établir des résultats(i)et (ii) pour une diusionde Ornstein-Uhlenbe k (notée O.U.) Y = (Y

t

;t 0) à régime X = (X t

;t > 0). On obtient une ondition générale de

stabilité (i) deY si lerégime X eststationnaire. La question(ii) estétudiée par Basak,Bisi et Ghosh [1 ℄ pour X un pro essus de saut markovien à nombre ni d'états, Y étant multidimen-sionnelle. Leurappro heutilise lastabilité et le ontrle desystèmes linéairesà saut, perturbés

ou non( f. Mariton [14℄,Jiet Chize k[12 ℄). Notre appro he de ette question(ii)estdiérente : elle repose d'une part sur l'utilisation d'une représentation AR (1) à oe ient aléatoire de Y

(Æ) =(Y

nÆ

;n 2 N), d'autre part sur les résultats d'ergodi ité de Brandt [3 ℄ pour les modèles

à oe ient aléatoire, et enn sur l'utilisation du ara tère onditionnellement gaussien de Y. Nous obtenons ainsi une ondition susante d'existen e de moment d'ordre s > 0 pour la loi

(3)

elledonnée par [1℄.

Le modèle de diusion à régime X est présenté au 2. On établit au 3 la ondition (i) d'ergodi ité de Y si le régime X est stationnaire. Le 4 établit (ii), l'existen e d'un moment d'ordre s0pourlaloiinvariantedeY lorsqueX estunpro essusdesautmarkovienànombre

ni d'états.

2 Diusion linéaire à régime stationnaire

On dira qu'un pro essus à temps ontinu S = (S t

) t0

est ergodique s'il existe une mesure de

probabilité telle que quand t ! 1, la loi de S t

onverge faiblement vers indépendamment de laloiinitialede S

0

. sera appelée laloi limite deS. Si S estun pro essusdeMarkov, est laloi invariante de S etelle est unique.

Nous dénissons une diusion Y à régime X en deux étapes. On se donne d'abord un pro essusX =(X

t )

t0

,ditderégime. OnsupposeratoujoursparlasuitequeX eststationnaire, à valeurréelle et dénisurun espa ede probabilité (;;Q).

Soit ensuite W = (W t

) t0

un mouvement brownien (MB) standard déni sur un espa e de probabilité (;B;Q

0

), F =(F t

) laltration duMB. On onsidérera l'espa eproduit (; B;QQ

0

), P=QQ 0

et E l'espéran easso iée. Conditionnellement àX, Y =(Y t

) t0

est un

pro essusde diusion àvaleur réelledéni, pourtout !2, par :

1. Y 0

est unev.a. dénie sur(;B;Q 0

),F 0

-mesurable ;

2. Y estsolution del'EDS linéaire

dY t =a(X t )Y t dt+(X t )dW t ; t0: (1) Ainsi(Y t

)estunediusionlinéaireà oe ientsaléatoiresfon tionsd'unpro essusexogène

(X t

). I i a et sont deux fon tionsmesurables à valeurs réelles. L'existen e et l'uni ité d'une solution forte pour l'Eq. (1) est assurée par la ondition [S℄ suivante (voir [13℄, 5.6 ou [16 ℄),

ondition quenoussupposeronsvériée par lasuite :

[S℄ : Q-p.s,t7!a(X t

(!))et t7!(X t

(!)) sontlo alement bornées.

Notons pour 0st, (s;t)= s;t (!)=exp Z t s a(X u )du:

Le pro essusY admet lareprésentation ([13℄):

Y t =Y t (!)=(0;t) Y 0 + Z t 0 (0;u) 1 (X u )dW u

et pour 0st, Y vériela relationde ré urren e

Y t = (s;t) Y s + Z t s (s;u) 1 (X u )dW u = (s;t)Y s + Z t s exp Z t u a(X v )dv (X u )dW u :

Il est ommode de réé rire ette ré urren esous laforme

Y t (!)= s;t (!)Y s (!)+V s;t (!) 1=2 s;t ; (2) où s;t

est unevariablegaussienne entrée réduite,fon tion de (W u ;sut)et V s;t (!)= Z t s exp 2 Z t u a(X v )dv 2 (X u )du: (3)

Pour Æ > 0, nous appellerons dis rétisation à pas Æ de Y le pro essus à temps dis ret Y (Æ) = (Y nÆ ) n

oùn2N. Notre étudedeY est baséesur ellede sesdis rétisations (Y (Æ)

(4)

3.1 Ergodi ité des pro essus dis rétisés Y (Æ)

Dans ette se tion, on xe Æ >0 et on onsidère le pro essus dis rétisé Y (Æ) . D'après Eq. (2), pour n0, Y (n+1)Æ (!)= n+1 (!)Y nÆ (!)+V n+1 (!) 1=2 n+1 ; (4) ave n+1 (!) = exp Z (n+1)Æ nÆ a(X u (!))du; V n+1 (!) = Z (n+1)Æ nÆ exp " 2 Z (n+1)Æ u a(X v (!))dv # 2 (X u (!))du; où ( n

) estune suite i.i.dgaussienne réduite dénie sur(;B;Q 0

).

L'équation (4) dénit un modèle AR(1) à oe ients aléatoires, la suite des oe ients

( n ;V 1=2 n n

)étant stationnaire. Onpeut alors étendre (4)surZ.

Proposition 1 Supposonsque lesfon tionsmesurablesaet vérientles onditionssuivantes:

1. R ja(x)j(dx)<1 et := R (dx)a(x)<0 ; 2. R log + 2 (x)(dx)<1. Alors,

(i) il existe une unique solutionstationnaire ( ~ Y nÆ

) satisfaisant sur Zl'Eq. 4 et donnée par

~ Y nÆ = 1 X k=0 n n 1 n k+1 V 1=2 n k n k ; n2Z: (ii) Si Y (Æ)

est une suite satisfaisant l'Eq. 4 pour n 0, de valeur initiale une v. a. Y 0 quel onque, alors p.s. limsup n!1 1 n logjY nÆ ~ Y nÆ jÆ<0:

Preuve. (i). C'est une onséquen e du Theorème 1 de Brandt [3℄ dont nous vérions les onditions d'appli ation, à savoir:

(a) Elog + j 0 j<1 ; (b) Elog + jV 1=2 0 0 j<1 ; ( ) 1 := Elogj 0 j<0 . Pour x;y;a>0,log +

x=max(0;logx)vérie log + (xy)log + x+log + y et log + x a =alog + x.

( ) : en utilisant le théorèmede Fubini et l'hypothèse 1), onobtient :

1 = Elogj 0 j= E Z Æ 0 a(X u )du= Z Æ 0 Ea (X u )du=Æ <0: (a) : Elog + j 0 j = Elog + exp Z Æ 0 a(X u )du Elog + exp Z Æ 0 ja(X u )jdu = E Z Æ 0 ja(X u )jdu=ÆEj a(X 0 )j<1:

(5)

(b) : Elog + jV 0 0 j Elog + V 0 + Elog + j 0 j.

Le deuxième terme du majorant estni puisque 0

est gaussien. Pour lepremier terme :

V 0 = Z Æ 0 exp 2 Z Æ u a(X v )dv 2 (X u )du Z Æ 0 exp 2 Z Æ u ja(X v )jdv 2 (X u )du Z Æ 0 exp 2 Z Æ 0 ja(X v )jdv 2 (X u )du=exp 2 Z Æ 0 ja(X v )jdv Z Æ 0 2 (X u )du: (5) D'où log + V 0 2 Z Æ 0 ja(X v )jdv+log + Z Æ 0 2 (X u )du:

Le premierterme estd'espéran enied'aprèsl'hypothèse(1). Pour lese ondterme, log + étant on ave log + Z Æ 0 2 (X u )du = log + Æ Z Æ 0 2 (X u )(du=Æ) log + Æ+log + Z Æ 0 2 (X u )(du=Æ) log + Æ+ Z Æ 0 log + 2 (X u )(du=Æ);

qui estd'espéran enie d'aprèsl'hypothèse (2).

(ii). Ona pour n1, Y nÆ ~ Y nÆ = n 1 (Y 0 ~ Y 0 ):

Leshypothèsesentraînent quep.s.

lim n 1 n logj n 1 j= 1 <0:

La on lusion s'endéduit immédiatement.

Une onséquen edelapropositionestquesouslaloi P,sionnote laloi ommune des ~ Y

nÆ , pour toutesolution Y

(Æ) =(Y

nÆ

); n0de l'Eq. (4),Y nÆ

onverge enloi vers quand n!1 : Y

(Æ)

est ergodique.

3.2 Ergodi ité du pro essus Y

Dorénavant,on hoisira lepasÆ danslasuite(2 m

)pourdesentiersm1. Sousles onditions de la Proposition 1, Y

(2 m

)

est ergodique, et pour m 0

m, les pro essus dis rétisés Y (2 m ) et Y (2 m 0 )

ontlamême loi limite. Si Y estergodique,saloi limite estné essairement ellede tous ses pro essus dis rétisés Y

(Æ)

. Nous allons établir l'ergodi ité de Y en évaluant l'é art entre Y et ses dis rétisésY

(Æ) .

Proposition 2 Sousles onditions de la proposition1 etsi

lim Æ!0 Z Æ 0 2 (X u

)du=0; enprobabilité (6)

alors la diusionlinéaire Y à régime X dénie par 1 est ergodique.

Preuve. Soit laloi limite ommune despro essusdis rétisés. Soit ">0 xéet hoisissons A " telquefx:jxjA " g". Onnotera = E[ja (X 0 )j℄. Pour Æ=2 m ett>0,soitn t leplus grand multiple de Æ inférieur àt. Ona n

t

<tn t

+Æ. La relation deré urren e (2)s'é rit :

Y t Y nt =[(n t ;t) 1℄Y nt +e t ;

(6)

ave e t =V nt;t nt;t . Nousavons: P( jY t Y nt j2") P( j[(n t ;t) 1℄Y nt j")+ P[ je t j"℄ : (7) (1). Contrlede je t j : Ona pourK 0 fje t j"g=fje t j";j nt;t jKg[fje t j ";j nt;t j>Kg: nt;t

étant gaussienne réduite, onxe unK >0 telque P(j nt;t j>K)". D'où P[ je t j"℄ P h V 1=2 n t ;t " K i +":

D'autre part,de façon analogue àEq. (5),

0V nt;t exp 2 Z nt+Æ nt ja(X v )jdv Z nt+Æ nt 2 (X u )du: Ainsi, P V n t ;t ("=K) 2 P exp 2 Z n t +Æ nt ja(X v )jdv 2 + P Z n t +Æ nt 2 (X u )du("=K) 2 =2 :

Par l'inégalité deMarkov, lepremier terme estmajorépar 2 Æ=log(2); ledeuxième tend vers0 quandÆ !0d'après l'hypothèse. Il existe don unÆ

1

tel quepourtout ÆÆ 1

, ona

P[ je t

j"℄3": (8)

(2). Contrledupremierterme: utilisant lefait queje x 1je jxj 1,on a,pour s>0, P[ j(n t ;t) 1js℄ P Z t nt a(X u )du log(s+1) log (s+1) 1 E Z t nt a(X u )du log (s+1) 1 E Z (n t +Æ) nt ja(X u )jdu = ( Æ)=log(s+1): (9)

Par ailleurs,on déduit deladé omposition

fj[(n t ;t) 1℄Y n t j"g=fj [(n t ;t) 1℄Y n t j";jY n t j<A " g[fj [(n t ;t) 1℄Y n t j";jY n t jA " g; que P[ j [(n t ;t) 1℄Y nt j"℄ P[ j (n t ;t) 1j"=A " ℄+ P[ jY nt jA " ℄ ( Æ)=log(("=A " )+1)+ P[ jY nt jA " ℄ :

Choisissons unÆ tel queÆ Æ 1 et Ælog (("=A " )+1) 1 <". Ave eÆ, on a P[ j[(n t ;t) 1℄Y nt j"℄ P[ jY nt jA " ℄+": (10)

(3). n de la preuve : En résumé, desestimations (8)-(10) on obtient que 8" >0, 9A " , 9Æ, 8t>0,9n t ,tels que fjxjA " g", n t <tt+Æ et P( j Y t Y nt j2") P[ jY nt jA " ℄+4":

Considérons maintenant unesuite (Y t k ) k ave t k !1. L'inégalité pré édente en t=t k donne: P Y t k Y nt k 2" P h jY nt k jA " i +4":

(7)

limsup k!1 P Y t k Y nt k 2" fjxjA " g+4"5":

Notons C() l'ensemble des points de ontinuité de la f.d.r F

de la loi . Soit x 2 C(), et hoisissons>0 telquex22C(). Nousavons

P(Y t k x) P(Y nt k x+2")+ P Y t k Y nt k 2" ; et de façon analogue P(Y nt k x 2") P(Y t k x)+ P Y t k Y nt k 2" : D'où F (x 2") 5"liminf k P(Y t k x)limsup k P(Y t k x)F (x+2")+5":

En faisant tendre " vers 0 (ave x22C(), e qui est possible puisque C() est dense),on obtient : lim k P(Y t k x)=F (x); x2C():

4 Diusion linéaire à régime markovien ni

Dans ettese tion, nousexaminonsle asparti ulieroù lerégimeX estunpro essusmarkovien

de saut à valeur dansun ensembleni E =f1;2; ;Ng,N >1 (pms, f. Feller [5℄ , Co oza [4℄, h. 8). On onsidérera par lasuitesaversion anonique(;;(Q

x )

x2E

)où=D([0;1[) est l'espa e desfon tions réelles àdlàg sur [0;1[ et sa tribu borélienne asso iée à lamétrique de

Skohokod.

Soit: E !℄0;1[ lafon tion d'intensité deX quel'on supposera stri tement positive : X est alors ergodique de loiinvariante . Si T

1

est lepremierinstant de saut

T 1 =infft : t>0 et X t 6=X 0 g T 1

suit laloiexponentielle deparamètre (X 0 ),etlatransitionde X T 1 versX T 1

est déniepar

un noyau markovien q(x;y) sur E vériant q(x;x)=0 pour toutx2E. Ondénit de lamême

manière lesinstantsde sauts (T n ), ave T 0 =0,par 8n0; T n+1 =infft : t>T n et X t 6=X T n g:

La suite des états visités Z = (Z n ), Z n = X T n

; est une haîne de Markov de transition q. Elle est ergodique et on notera sa loi invariante. Les deux lois invariantes sont reliées par la relation : i / i (i); i2E:

Par onstru tion, les intervalles de sauts ( n

=T n+1

T n

;n 0) sont des variables expo-nentiellesde paramètres ((Z

n

);n0),indépendantes entreelleset indépendantesde la haîne

Z.

Les probabilités produit seront notées P x

= Q x

Q 0

. En parti ulier, sous la probabilité P = Q Q 0

, le régime X est stationnaire. La trans ription de la Proposition 2 dans le as présent donne :

Corollaire 1 Onsuppose que le pro essus markovien de sauts X à nombre ni d'états est sta-tionnaire deloi invariante . Alorsla diusionde O.U.Y à régime markovien X est ergodique dès que X i=1;N i a(i)<0: (11)

Nousallonsdonnerdes onditionssusantespour l'existen edemomentsd'ordre s0dans e asparti ulier. Nousmontreronsauparagraphe 4.3quenos onditionssont équivalentesave elles de Basaket al[1℄. Toutefoisnotre méthodede démonstration esttrès diérente.

(8)

n Tn n Soit U =(U n =Y T n

;n0) ladiusion auxinstants de hangement de régime. Utilisant (4), U est unAR (1)à oe ientsaléatoires C=(C

n ) : U n =C n U n 1 +e n ; n1;C n =exp[a(Z n 1 ) n ℄; (12) où n =T n T n 1

estlalongueurdun-ièmeintervalledesaut. Sous P

,lasuiteZ =(Z n

)des régimes étant stationnaire et les variables

n

étant exponentielles E((Z n 1

)) indépendantes, C =(C

n

) est stationnaire. D'autre part, onditionnellement à X =(X t

;t0), les variables e n sont gaussiennes entrées, indépendantes, de varian es:

Var (e n jX)= 2 (Z n 1 ) expf 2a(Z n 1 ) n g 1 2a(Z n 1 )

Une première onséquen e de lareprésentation (12)est l'obtention dire tede l'ergodi itéde U: ((C

n ;e

n

);n 1) étant stationnaire, log + C n et log + je n

j étant intégrables, les résultats de Brandt [3℄ ( f. aussi Bougerol et Pi ard [2℄) assurent que U est ergodique dès que l'exposant

supérieur de Lyapunovde lasuite (C n

)est négatif,à savoir:

= inf n1 1 n E [logfC n C n 1 C 1 g℄<0

Ce oe ient esti i simpleà évaluer :

= E [logC 1 ℄= E [a(Z 0 ) 1 ℄= E [a(Z 0 )(Z 0 ) 1 ℄ = X i i a(i)(i) 1 = P i i a(i) P i i (i) :

Onretrouve la onditiond'ergodi ité (11)de Y établie auparagraphe pré edent.

4.2 Existen e de moments pour la loi invariante de Y

Une deuxième onséquen e est que(12) permet d'estimer les moments de la loi invariante de Y. Dénissons, pour s0,lamatri e : Q

s =((q(i;j) (j);i;j =1;N), où (j)= (j) (j) sa(j) : (13) Onalerésultat suivant:

Proposition 3 Supposons que, pour s0, les deux onditions suivantessontsatisfaites :

1. 8i2E : sa(i) (i)<0. 2. le rayonspe tral (Q s ) de Q s est inférieur à 1.

Alors la loi invariante deY admet un momentd'ordre s.

Preuve. Montronsd'abordque es onditionsentraînent <0etpar onséquentl'ergodi ité

de Y. Utilisant leLemme 2 de[17 ℄, ona X i i log (j) = X i i log [1 sa(i)(i) 1 ℄ 1 log(Q s )<0: La fon tion log(1 sx) 1

étant onvexe surfx:x<s 1 g,on a: log 1 s X i i a(i)(i) 1 ! 1 X i i log(1 sa(i)(i) 1 ) 1 <0:

(9)

Don i i a(i)(i) 1

= < 0. Ainsi Y est ergodique de même loi invariante que U. Plus pré isément, lasérie U n = 1 X k=0 d n;k e n k ; (14) ave d n;k =C n C n 1 C n k+1 =exp k 1 X `=0 a(Z n ` 1 ) n ` ;

onverge p.s. et est une solution stationnaire de Eq. (12). Montrons que ette série onverge absolument dansL s . Conditionnement àX,lesd n;k ete n k

sontrespe tivement des onstantesetdesgaussiennes entrées de varian e Var (e n k jX)= 2 (Z n k 1 ) expf2a(Z n k 1 ) n k g 1 2a(Z n k 1 ) : D'où n;k := E jd n;k e n k j s jX =jd n;k j s E je n k j s jX C 1 jd n;k j s 2 (Z n k 1 ) expf2a(Z n k 1 ) n k g 1 2a(Z n k 1 ) s=2 ; où C 1

dépend de s seulement. L'espéran e en X, pro essus qui est résumé par ((Z n

; n

)), se al ule en2 étapes:

(i) onprend l'espéran e en=( n

)àZ =(Z n

)xée. Lesvariables n

étant exponentielles et indépendantes, lesespéran es i-dessousexistent et sont nies à ondition que, 8i2E, sa(i) (i)<0. D'unepart, pourC

2 dépendant de sseul,on a: E " expf2a(Z ` 1 ) ` g 1 2a(Z ` 1 ) s=2 jZ # E h f ` (1_expf2a(Z ` 1 ) ` g) g s=2 jZ i E h s=2 ` + s=2 ` expfsa(Z ` 1 ) ` gjZ i C 2 n (Z ` 1 ) s=2 +[ sa(Z ` 1 )+(Z ` 1 )℄ (s=2+1) o = C 2 '(Z ` 1 );

où lapremière inégalité dé oule de

e x 1 x 1_e x ; x2R et où ona posé '(z)=(z) s=2 +[(z) sa(z)℄ (s=2+1) : (15) D'autre part, E expfsa(Z ` 1 ) ` gjZ = (Z ` 1 ): D'où,pour C 3 dépendant de sseul,on a: E n;k jZ C 3 2 (Z n k 1 )'(Z n k 1 ) k 1 Y `=0 (Z n ` 1 ):

(10)

E [jd n;k e n k j s ℄ = E [ n;k ℄ C 3 X i0;i1;;i k 2E i 0 2 (i 0 )'(i 0 ) Y `=1;k q(i ` 1 ;i ` ) (i ` )=C 3 u T Q k s 1I;

oùuestleve teurde omposantesu i = i 2 (i)'(a i

)et1Ileve teurde omposantestoutes

égalesà 1. Comme(Q s

)<1,Q k s

tend vers 0à vitesseexponentielle quandk !1.

D'oùla onvergen e absolue de lasérieU n

dansL s

.

4.3 Comparaison ave les résultats [1℄

Transposonslerésultat deBasaketal[1 ℄. Con ernant X, lerégimeàN états,rien n'est hangé si en'est queleurrésultat utilise ,le générateurinnitésimalde X :

(i;j)=

(i)q(i;j) sii6=j

(i) sii=j

Considéronsunediusionve torielleY 2R d

solutionde(1),mais ettefois ipour(a(i);(i)); i= 1;:::;N desmatri esdd. Leur ondition(A2)assurant l'existen ed'un moment d'ordres>0

est lasuivante :

(A2) Il existe N matri esdd symétriquesB i

, dénies positives, >0,s>0tels que :

u 0 B i a(i)u+ 1 s u 0 B i u N X j=1 ij u 0 B j u u 0 B i u s=2 juj 2 ; 8u2R d ; u6=0; i=1;:::;N:

Leurrésultat estlesuivant(Théorème 3.1et Lemme 3.2) :

Proposition 4 Sous la ondition (A2) le pro essus (X t

;Y t

) est ergodique et la loi limite de Y t admet unmoment d'ordre s.

Montronsque(A2)impliqueles onditions1. et2. delaproposition3sid=1. Enexprimant à partir deset q, quelquesmanipulations simplesmontrent que(A2) seréé rit :

(A2)' 9b i >0; i=1;:::;N, s>0tels que: (sa(i) (i))b i + X j:j6=i (i)q(i;j)b j <0; i=1;:::N:

Cequiimpliquela ondition1. D'autrepart omme,pourtouti,sa(i) (i)6=0,alors,pour

lamatri eQ s déniepré édemment,b=(b 1 ;:::;b N ) 0

>0,où>estlarelationd'ordre stri tsur haque oordonnées,la ondition(A2)' devient : Q

s

B <B, onditionqui implique 2. (voir par exemple [11℄,pp. 492).

4.4 Exemple : une diusion linéaire à deux régimes

X est àdeux états E =f1;2g, de fon tion d'intensité =(1) >0, =(2) >0. La matri e

de transition des sauts est q =

0 1 1 0

. La loi invariante de X est =(;)=(+). On

suppose également que(1)>0; (2)>0. On obtient alors : Ergodi ité deY si:

(11)

trouve sous la droite d'équation y = 2x et la zone de stabilité à l'ordre 2 (E2) se trouve en

ha huré.

Ergodi ité et existen ed'un moment d'ordre spour Y :

(E2): 8 <

:

(i) sa(1) <0; sa(2) <0

(ii) a(1)+a(2) sa(1)a(2)<0

Dans leplan(a(1);a(2)) :

(i) (E)est délimitéepar le demi-planinférieur de frontière a(2)+a(1)=0.

(ii) (E2)estledemi-espa einférieurdefrontièrel'ar d'hyperbolepassantparl'originetangent à ladroite délimitant (E) et d'équation : a(1)+a(2) 2a(1)a(2)=0.

Referen es

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