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Seconde solution de la question 263

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G. B ELLAVITIS

K ORALEK

Seconde solution de la question 263

Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 13 (1854), p. 362-366

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1854_1_13__362_0>

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(2)

SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 263

(voir t. XH, p. 319);

PAR M. G. BELLAVITIS, Professeur à l'Université de Padoue,

ET M. KORALEK.

Soit l'équation

3432 a;'— 12012 xb~\- i6632 a,ê — 1 i55ox*-+- 42 0 0 <**

— 756 je2 -+- 56 x — 1 = 0, Posons

on obtient

2 8

Celte équation est la septième dérivée de l'équation

qui a sept racines égales à H—-> et sept autres égales à

— -*, donc, d'après le théorème de Rolle, l'équation donnée a sept racines réelles. c. Q. F . D.

Note du rédacteur. Soit Ap xv le terme d'une équation 5 la nieme dérivée de ce terme est

/?./>— 1 . , . p — n H- 1 .ApxP-n;

on peut donc écrire de suite la nieme dérivée d'une équation quelconque, et si l'équation donnée n'a que des racines

(3)

( 363 )

réelles, il en sera de même de l'équation dérivée dont les racines seront comprises entre celles de l'équation donnée ; il est donc facile de former des équations à racines réelles irrationnelles, et comprises entre des limites données (voir question 191 > tome VII, page 368) ; mais M. Ko- ralek a déterminé la valeur des racines irrationnelles, et voulant donner un exercice, l'habile calculateur n'avait pas à s'enquérir de l'origine de l'équation, ni de sa sim- plification. En divisant l'équation en y par y et faisant ensuite^2 = z, on obtient

3432 z3 — 1386 z2 + — z — ^ = o ,

2 0

équation du troisième degré, susceptible d'une solution trigonométrique que nous devons à M. Koralek.

L'équation peut s'écrire

En posant

on obtient

2 3 l 572 *

io5

i *r 1 2 2 8 8 "

23l _

3.572

35 27456

p +_77_, 572'

77 i3552

Soient

et

1 , . o i -j rl Sin 3 s =r 4 3 ou

r,_36g6

~ 572'

(4)

(364

)

et

, . , 54208

r S l n 3 < f = ^

on aura

*>, = /• sin 9, o2 = rsin(6o°—<p) et

<>3 = — r sin (6o° 4- <p).

log sin 3 <p = log 54208 — log 3 — 3 log 572 — 3 log r

= 4,7340634 — 0,4771213 — 8,2721880 -h 2,9205900 = 7,6546534 — 8,7493093

= 8,905344l — I O ; de Jà

3? = 4°36'45/ /,o;

donc

e t , par suite,

l o g c , = logr -f- log sin y = — 0,9735300 -+- 8,428640^ — i a

= o,455i102 — 3 , donc

ire racine v{ = 0,002851742.

log vtz= log r -h log sm ( 6 o ° ~ <p) = log r -+- log sin 58° 27' 45"

= — O597353oo 4 - 9 , 9 3 0 5 9 1 4 5 — 10

= 0,95706145 — 2 , donc

2e racine v7 z= o ,09058607.

log ( — ('3 ) = log r 4- log sin (6o° 4- 9 )

= log r 4 - I o g s i n 6 i ° 3 2r i5''

= — 0,9735300 4- 9,944o5>27 — 10

= 0,9705227 — 2 , donc

3e racine c3 = — o, 09343782.

(5)

( 365 )

Pour avoir les valeurs de z, il suffit d'ajouter successi- vement aux valeurs de ^ j , ft et fs la fraction J —

072 On a

^ = O

donc

z, = vt -4- O , I 3 4 6 I 5 3 8 4 = o, 137467126, Zi = <^ -f- o, 134615384 = o, 225201454, s, = 0^ -I- 0,1346i5384 = 0,041177564.

Pour avoir les valeurs de a:, il suffit d'extraire les ra- cines carrées de zi9 zz et z%, et d'ajouter o,5 aux six valeurs qu'on obtient ainsi. On a

^ = ± 0 , 3 7 0 765 595, v Ç T = ± 0 , 4 7 4 553 953, y/s, = ± 0 , 2 0 2 922 557, donc

ou

Jl = 0,870 765 595, JC2=O,129 234 4°^ 5 x3 = 0,974 553 953, .r4 — o,O25 446 °4l 7

#5 = 0,702 922 557, Xc=r 0,297 077 443

En les écrivant dans l'ordre ascendant de grandeur, on a

xl = o,O25 446 047, x2 = o, 129 234 4°5 ?

#3 = 0,297 077 443, r4 = 0 , 7 0 2 922 557,

#5 = 0,870 765 595,

#( = 0 , 0 7 4 553 953.

(6)

Nous ne pouvons pas compter beaucoup sur l'exacti- tude des deux dernières décimales, car nous n'avons pris les logaritbmes qu'avec sept décimales; néanmoins, nous sommes portés à les croire exactes, car l'application de la métbode de Graeff nous a donné d'une manière irré- cusable les valeurs qui suivent :

Xi

* 3

x{

xh

= O,O25

= 0 , 1 2 9

= 0,297

= 0,702

= 0,870

= o) 9 74

446

234 077 9 2 2

765 554

(0),

(4),

(4),

(6), (6),

( 0 ) .

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