Note sur quelques identités

N

E. P ROUHET

Note sur quelques identités

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 15 (1856), p. 86-91

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NOTE SUR QUELQUES IDENTITÉS;

PAR M. E. PROUHET.

Je me propose de démontrer quelques identités cu- rieuses énoncées sans démonstration par M. Oscar Weber, professeur à Dresde (Archives de Grunert, t. XXXII, p. 853; i854).

Afin d'éviter une trop grande complication , je pren- drai un exemple particulier, mais on verra sans peine que le même raisonnement convient à tous les cas.

Soient « , &, c, d, e,f six quantités inégales et que nous supposerons racines de l'équation

Xe' -f- P, X* -h P2 x' -h P3 X* + P<f + Ps X -+• P6 = O.

Considérons le tableau formé des diverses puissanoes de ces quantités

bh

d(

r

b*

c*

d^

e^h

f*

(V

b' c' d>

e'

r

a b3

c³

<ï e'

f'

a' bl

c⁷ d1

e2

P

a b c d e

f

cr bQ

c^{' d°

é j '

(*) Chez Mallet-Bachclier, quai des Auguslins, 55. Prix: 3* 5oc.

( « 7 )

Ce tableau renferme quarante-deux termes, de sorte que si l'on enlève une des colonnes verticales, il restera trente-six quantités avec lesquelles on pourra former un déterminant. Je nomme D le déterminant que Ton ob- tient après avoir supprimé la première colonne à gauche, Dt celui qu'on obtient en supprimant la seconde, et ainsi de suite.

D'après un théorème de Vandermonde [A, «S., 1772 , 2epartie, p. 522), on a

D'après un second théorème du même géomètre (Ibid, p. 254), on a

b* b3 b7 b

L/<

d1 d é1 e e

f f /

° I

.J

Les déterminants compris sous le signe \ ont tantôt le signe -4-, tantôt le signe —. Cette particularité n'ayant aucune importance pour l'objet que j'ai en vue, je me contenterai de remarquer que le terme exprimé a le si- gne -+-.

D'après le premier théorème de Vandermonde, on peut encore écrire

T>i=]Pàee(à~c)(à-d)...{à-f)...(e-f), on aura ensuite

X

e c7 c c°

r/> d7 d d"

r\ (,i (, ro

L/

f' f f' J

( 8 8 ) et, par conséquent, *p

on aura aussi

[

ou bien

D, =

et ainsi de suite.

Ces préliminaires admis, soit à résoudre le système des équations suivantes :

P, a5 -h P, a' 4 - P3 «3 -4- P4 ö' - h P5 a H- P6 = — « ' , P, ^⁵ H- P , 6⁴ + P³ ^³ H- P⁴ b* -h P⁵ b -h P⁶ = — b\

où Ton considère P t , P2, etc., comme des inconnues. Le dénominateur commun de ces inconnues sera D : le nu- mérateur de la valeur de Vt sera le déterminant Dt dans lequel on aurait changé de signe tous les termes de la première colonne. On aura donc

>.=-§•

ou, en substituant les valeurs de D et de Di trouvées plus haut et réduisant,

Le numérateur de P8 sera le déterminant D2 dans lequel on aurait transporté la première colonne à la seconde place en changeant les signes de tous ses termes , ce qui n'altère pas la valeur de ce déterminant.

On aura donc

ou, en réduisant,

*•=$•

ab -+- ac -f-. . . -f- ef

a-c) a—d)...{a-f){b — c). J b—f)

On aura de même

aie -h abd -h -+- de/

a* b> &

(3)

(4)

(5)

L e s f o r m u l e s ( i ) , ( a ) , . . . , ( 5 ) s o n t c e l l e s d e M . W e b e r . O n p e u t l e s r e n f e r m e r d a n s l e t h é ^

(a-d)(a-e)(a-/){b-d) (c-j abcd -h abce -f-. . + ede/

a3 b6 c3 d'

[a-c)(a-f)(ù-e)(b-/). (d-j aj)cde -f-. . -f- bede/

à1 bl r2 d7 c1

sont m quantités inégales et racines de l'équation

la somme des produits de ces racines prises n à n sera

égale à

Un peu d'attention suffira pour voir que cet énoncé comprend toutes les formules particulières que nous ve- nons de démontrer.

Note du Rédacteur. Ces identités sont d'utiles exer- cices de calcul à donner aux élèves \ développons-en quel- ques-unes :

a' b2

a — b b — a a"

/i i r —

a -f- b -t- c -f- d = —

a — b)(a — c) (a — d) 6*

~h( 6 — a)(b — c){b— d)

+ (c-a){c-b)(c-d) d"

^ 'd- a)(d-~b)(d — c)9

etc.;

ib -h «e -f- bc =z (a-c)(b

a2 c2

ab^r ac ~{-ad-\-bc-h bd-\-

abc -\~ abd -f- acd -f- l cd =

i

etc

-f-

i )

e - « ) { ( — * ) ( (« — *)(

• >

(a-rf)

(«-«o

(a — c)

a ~Tl~ ^b){

a—c){d-b)

(b-d)(c- a2b'id>

a'c'd*

(c-b)(c-

(b-d)

'c-d)

(d-c)

d)

c)

d)

etc.