Modules <span class="mathjax-formula">$\mathrm {TTK}$</span>-critiques et notions connexes

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

J ^ACQUES R ^AYNAUD

Modules TTK-critiques et notions connexes

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1984, fascicule 4A

« Modules TTK-Critiques et notions connexes », , p. 1-33

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MODULES T T K - C R I T I Q U E S ET N O T I O N S C O N N E X E S par Jacques R A Y N A U D

I N T R O D U C T I O N •

L ' o b j e t d e c e p a p i e r d ' a l g è b r e n o n n é c e s s a i r e m e n t c o m - m u t a t i v e e s t d ' o b t e n i r , p o u r c e r t a i n s a n n e a u x et m o d u l e s à p a r t i r d u c o n c e p t d e T T K - d i m e n s i o n i n t r o d u i t p a r J , S . G o l a n ( v o i r [ 2j , [ 5] , [ 2J_] et [ 22] ) , d e s r é s u l t a t s a n a -

l o g u e s à c e u x o b t e n u s p a r A • V . J a t e g a o n k a r d a n s [ 10] e n u t i l i s a n t le c o n c e p t d e d i m e n s i o n d e K r u l i p o u r l e s m o - d u l e s s u r u n a n n e a u n o e t h é r i e n c o m p l è t e m e n t b o r n é .

D a n s l e p a r a g r a p h e 1, o n d o n n e l e s p r o p r i é t é s g é n é r a - l e s d e s m o d u l e s T T K - c r i t i q u e s q u i a v a i e n t é t é i n t r o d u i t s ( s o u s u n n o m l é g è r e m e n t d i f f é r e n t ) et p a r t i e l l e m e n t é t u - d i é s d a n s [ i l ] ; c e s m o d u l e s s o n t l e s a n a l o g u e s p o u r l a T T K - d i m e n s i o n d e s m o d u l e s c r i t i q u e s d é f i n i s à p a r t i r d e l a d i m e n s i o n d e K r u l l ([9] , [ 1 0 ] ) . D a n s l e d e u x i è m e p a - r a g r a p h e , o n s ' i n t é r e s s e à l a n o t i o n d e s u i t e T T K - b a s i - q u e d ' u n m o d u l e ( a n a l o g u e d e s " b a s i c s é r i e s " d e l a d i - m e n s i o n d e K r u l l ) , et o n d o n n e u n a n a l o g u e d u T h é o r è m e d e J o r d a n H o l d e r p o u r u n A - m o d u l e n o n n u l n o e t h é r i e n à d r o i t e q u i p o s s è d e u n e T T K - d i m e n s i o n a v e c A D - a n n e a u à d r o i t e q u i v é r i f i e la c o n d i t i o n ( M i n . ) à d r o i t e ( [ 1 9 ] , [ 2 1 ] , [ 2 2 ] ) et n o s r é s u l t a t s g é n é r a l i s e n t s t r i c t e m e n t c e u x d e [ J M j s u r c e s u j e t ( c a r d a n s [ 19] , [ 2jJ et [ 2 2 ] o n a d o n n é u n e x e m p l e d ' a n n e a u q u i v é r i f i e l a c o n d i t i o n

( M i n . ) à d r o i t e et q u i n e v é r i f i e p a s l a c o n d i t i o n ( R ) à d r o i t e u t i l i s é e d a n s [ 1 1 ] ) ; o n d o n n e d ' a u t r e s p r o p r i ë -

t é s e n p a r t i c u l i e r s u r l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s d ' u n m o d u l e a n a l o g u e à c e l l e d e [ 1 0 ] s u r l a " K r u l l d i - m e n s i o n s é q u e n c e o f a m o d u l e " . E n f i n d a n s c e d e u x i è m e p a r a g r a p h e o n é t a b l i t le l i e n p r é c i s e n t r e l a n o t i o n d e s u i t e T T K - b a s i q u e et la n o t i o n g é n é r a l e d e " T - c o m p o s i - t i o n s é r i e s " d é v e l o p p é e et é t u d i é e e n d é t a i l p a r W . G . L a u d a n s s a t h è s e [ 1 21 o ù le l e c t e u r p o u r r a s e r e p o r t e r a v e c i n t é r ê t ; à p a r t i r d e [ 1 2 ] o n c o n s i d è r e l a n o t i o n d e T T K - r a d i c a l d ' u n m o d u l e et o n d é m o n t r e q u e le T T K - r a d i c a l d ' u n a n n e a u n o e t h é r i e n à d r o i t e q u i v é r i f i e l a c o n d i t i o n ( M i n . ) à d r o i t e e s t n i l p o t e n t . D a n s l e t r o i - s i è m e p a r a g r a p h e , o n s ' i n t é r e s s e à l a n o t i o n d e m o d u l e T T K - l i s s e e t à c e l l e d e s u i t e d e s T T K - s o c l e s d ' u n m o d u -

le q u i p e r m e t d e c a r a c t é r i s e r , p o u r c e r t a i n s a n n e a u x , l e s m o d u l e s T T K - 1 i s s e s ; n o s r é s u l t a t s s o n t i n s p i r é s d e c e u x d e [ 1 0 ] s u r l e s " s m o o t h m o d u l e " et " s o c l e s é r i e s o f a m o d u l e " . L e d e r n i e r p a r a g r a p h e e s t c o n s a c r é a u x m o d u l e s inj ec t i f s i n d é c o m p o s a b l e s s u r c e r t a i n s a n n e a u x q u i s o n t a l o r s d e s m o d u l e s T T K - 1 i s s e s et o n d o n n e p o u r t e r m i n e r u n t h é o rè m e d e s t r u e t u r e d e c e s m o d u l e s i n j e c - t i f s i n d é c o m p o s a b l e s an a 1 o g u e e n p a r t i e à u n r é s u l t a t b i e n c o n n u d e E . M a 1 1 i s s u r l e s m o d u l e s i n j e c t i f s i n d é - c o m p o s a b l e s s u r u n a n n e a u c o m m u t â t if n o e t h é r i e n [ 1 3 ] ; c e d e r n i e r ré s u l t a t q u i f a i t i n t e r v e n i r l a s u i t e d e s T T K - s o c 1 e s e s t b i e n p l u s p r é c i s e t c o m p 1 e t q u ' u n r é s u l - t a t d u m i m e t y p e d e [ i l ] d o n t o n s ' e s t i n s p i r é .

N O T A T I O N S E T T E R M I N O L O G I E .

D a n s 1a s u i t e , t o u s l e s a n n e a u x , m o d u l e s e t m o r p h i s - m e s c o n s i d é r é s s e r o n t u n i t a i r e s , e t l e s a n n e a u x n o n n é - c e s s a i r e m e n t c o m m u t a t i f s .

P o u r t o u t a n n e a u A , on d é s i g n e r a p a r M o d A l a c a t é g o - r i e d e s A - m o d u l e s à d r o i t e . S a u f m e n t i o n e x p r e s s e d u c o n t r a i r è t o u t e s l e s n o t i o n s u t i l i s é e s s e r o n t s u p p o s é es à d r o i t e ( c ' e s t à d i r e , p a r A - m o d u 1 e o n e n t e n d r a A - m o -

d u l e à d r o i t e ; i d é a l d e A s i g n i f i e r a i d é a l à d r o i t e d e A ; . . .) •

N o u s a p p e l l e r o n s filtre localisant (à droite) d r un anneau A , t o u t e n s e m b l e t o p o l o g i s a n t et i d e m p o t e n t d ' i d é a u x d e A d é f i n i p a r P . G a b r i e l d a n s [ J j •

S i e s t u n f i l t r e l o c a l i s a n t d1 u n a n n e a u A , n o u s d i - r o n s q u ' u n A - m o d u l e M e s t d e ^ - t o r s i o n ( o u d e t o r s i o n s ' i l n ' y a p a s d e r i s q u e d e c o n f u s i o n ) s i l ' a n n u l a t e u r d e t o u t é l é m e n t d e M a p p a r t i e n t à T o u t A - m o d u l e N p o s s è d e u n p l u s g r a n d s o u s - m o d u l e d e J *⁷- t o r s i o n n o t é J^CN) . U n A - m o d u l e M s e r a d i t s a n s t o r s i o n ( o u s a n s

t o r s i o n ) s i o n a J ^ M ) = 0 .

D ' a u t r e s t e r m i n o l o g i e s s o n t u t i l i s é e s p a r a i l l e u r s . P o u r p l u s d e d é t a i l s s u r t o u t c e q u i p r é c è d e o n p o u r r a s e r e p o r t e r à [ j j , [ 7j , [ _3] et [ 2 5 ] .

L ' e n s e m b l e d e s f i l t r e s l o c a l i s a n t s d ' u n a n n e a u A e s t m u n i d ' u n e s t r u c t u r e d e t r e i l l i s c o m p l e t b r o u w é r i e n p a r

la r e l a t i o n ^ c ( q u ' o n l i t J^{2 7}' e s t p l u s f i n q u e $F et q u ' o n n o t e a u s s i <jF < ) . V o i r [ 2 1 ] , [ 2 2] e t [ 3] p o u r p l u s d e d é t a i l s s u r c e t t e s t r u c t u r e .

S i M e s t u n A - m o d u l e , o n d é s i g n e r a p a r Ç ( M ) l e p l u s p e t i t f i l t r e l o c a l i s a n t d e A t e l q u e M s o i t d e t o r s i o n , et o n d é s i g n e r a p a r x ( M ) l e p l u s g r a n d f i l t r e l o c a l i - s a n t d e À t e l q u e M s o i t s a n s t o r s i o n .

S o i t u n f i l t r e l o c a l i s a n t d ' u n a n n e a u A . N o u s d i - r o n s q u ' u n A-module M e s t &~cocritique s i M e s t n o n n u l s a n s « ^ - t o r s i o n et s i , p o u r t o u t s o u s - m o d u l e n o n n u l N d e M , l e m o d u l e q u o t i e n t M / N e s t d e J * " - t o r s i o n ; u n idéal I d e A s e r a d i t J ^ - c r i t i q u e s i l e A - m o d u l e A / I e s t « f - c o - c r i t i q u e . U n A-module M ( r e s p . u n idéal I d e A ) s e r a d i t cocritique ( r e s p . critique) s ' i l e s t x (^M) ~ c o c r i t i - q u e ( r e s p . x (A/I) ~cocriticlue) • D e t e l s m o d u l e s o n t é t é i n t r o d u i t s d a n s [7] et c o n s i d é r é s s o u s d i f f é r e n t s n o m s p a r l a s u i t e ; la t e r m i n o l o g i e a d o p t é e i c i e s t c e l l e d e

[ 3 ] .

N o u s d i r o n s q u ' u n filtre localisant 3? d ' u n a n n e a u A e s t premier s ' i l e x i s t e u n A - m o d u l e c o c r i t i q u e M t e l q u e 0* = x ( M ) ( v o i r [ 7_] o ù c e t t e n o t i o n a é t é i n t r o d u i t e ) . L ' e n s e m b l e d e s f i l t r e s l o c a l i s a n t s p r e m i e r s d e l ' a n - n e a u A s e r a a p p e l é l e speotre (à droite) d e A e t d é s i -

g n é p a r S p e g ( A ) .

P o u r t o u t A - m o d u l e M , l ' e n s e m b l e A s s ( M ) d e s ^ G S p e g ( A ) t e l s q u e M a i t u n s o u s - m o d u l e ^ - c o c r i t i q u e e s t a p p e l é l'assassin d e M ; l ' e n s e m b l e S u p p ( M ) d e s ^ G S p e g ( A ) t e l s q u e M n e s o i t p a s d e t o r s i o n e s t a p p e l é l e support d e M . ( V o i r [ 3] p o u r l e s p r o p r i é t é s a n a l o g u e s à c e l l e s d u c o m m u t â t i f ) „

O n d i r a q u ' u n a n n e a u A e s t u n D-anneau à droite s i p o u r t o u t A - m o d u l e n o n n u l M o n a A s s ( M ) 0 . ( V o i r [ 3] , [ \ 9] , [ 2_0 ] , [ 2JJ e t [22] p o u r p l u s d e d é t a i l s s u r c e s a n n e a u x ) . E n p a r t i c u l i e r , l e s a n n e a u x s e m i - n o e t h é - r i e n s à d r o i t e ( c ' e s t à d i r e l e s a n n e a u x d o n t l a d i m e n - s i o n d e G a b r i e l d e l a c a t é g o r i e M o d A e s t d é f i n i e ; c f . [ j j p a g e 3 8 2) c a r a c t é r i s é s d a n s [ 1 6 ] et [ 171 , l e s a n - n e a u x a y a n t u n e d i m e n s i o n d e K r u l l à d r o i t e ( c f . [ 9] ) , e t d o n c l e s a n n e a u x n o e t h é r i e n s à d r o i t e s o n t d e s D - a n - n e a u x à d r o i t e .

N o u s d i r o n s q u ' u n A-module c o c r i t i q u e M e s t surcocri- tique s i o n a l a r e l a t i o n S u p p ( M ) = { ^ E S p e g ( A )

|^<x(M)}

et n o u s d i r o n s q u ' u n idéal c r i t i q u e I d e A e s t surcri- tique s i l e A - m o d u l e A / I e s t s u r c o c r i t i q u e . E n f i n n o u s d i r o n s q u e l'anneau A vérifie la condition ( M i n . ) à droite s i t o u t A - m o d u l e c o c r i t i q u e p o s s è d e u n s o u s - m o - d u l e s u r c o c r i t i q u e , et n o u s d i r o n s q u e l'anneau & véri- fie la condition (R) à droite s i t o u t A - m o d u l e c o c r i t i - q u e e s t s u r c o c r i t i q u e ( c o n d i t i o n i n t r o d u i t e e n [ 16] e t [17]). V o i r [19]⁹ 1 2 0 ] , [ 2 J J et [22] o ù c e s n o t i o n s s o n t i n t r o d u i t e s e t é t u d i é e s e n d é t a i l .

I . P R E L I M I N A I R E S .

S o i t A u n a n n e a u q u e l c o n q u e .

J . S . G o l a n a i n t r o d u i t , d a n s [2] , l ' a p p l i c a t i o n ô q u i à t o u t e p a r t i e Y d e S p e g ( A ) a s s o c i e le f i l t r e l o c a l i - s a n t 6 ( Y ) d e l ' a n n e a u A a s s o c i e à la s o u s - c a t é g o r i e l o - c a l i s a n t e d e M o d A c a r a c t é r i s é e p a r l e s A - m o d u l e s M q u i v é r i f i e n t 0 A s s ( M / N ) C Y p o u r t o u t s o u s - m o d u l e p r o p r e N d e M ( c f . p r o p o s i t i o n 2.1 d e [ 2j ) • P o u r t o u t o r d i n a l

i, il a c o n s i d é r é le s o u s - e n s e m b 1 e d e S p e g ( A ) d é f i n i c o m m e il s u i t :

•Uo e s t l ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s m i n i m a u x d e S p e g ( A ) ; . s i i n ' e s t p a s u n o r d i n a l l i m i t e a l o r s

U^x = ( ^ G S p e g ( A ) | ^ ' e S p e g ( A ) et ^ ^f < ^ => ^^fG U } ;

• s i i e s t u n o r d i n a l l i m i t e a l o r s U = U U . i K< i K

O n d i t a l o r s , [2] , q u ' u n A - m o d u l e n o n n u l M a u n e T T K - d i m e n s i o n K et o n é c r i t T T K - d i m ( M ) = K, s i lf " e n -

s e m b l e " d ' o r d i n a u x { i j M e s t d e 6(U ) - t o r s i o n } e s t n o n v i d e et s i K e s t s o n p l u s p e t i t é l é m e n t . O n p o s e a u s s i T T K - d i m ( O ) = - 1 .

N o t o n s q u e s i A e s t u n a n n e a u q u i v é r i f i e la c o n d i - t i o n ( M i n . ) à d r o i t e a l o r s , d ' a p r è s l e t h é o r è m e 3 . 9 d e [ 2 2 ] ( o u t h é o r è m e 4.1 d e [ 1 9 ] , o u t h é o r è m e 2 . 5 . 9 d e [ 2 1 ] ) , u n A - m o d u l e M a u n e T T K - d i m e n s i o n s i et s e u l e - m e n t s i M a u n e d i m e n s i o n d e G a b r i e l et c e s d i m e n s i o n s

s o n t é g a l e s .

L E M M E 1 . 1 . - [ 5_\ - Pour tout A-module M et pour tout sous-module N de M on a T T K - d i m ( M ) = s u p { T T K - d i m ( N ) , T T K - d i m ( M / N ) }.

L e 1 e m m e s u i v a n t g é n é r a l i s e l e l e m m e 2.1 d e [ 1 1 ] : L E M M E 1 . 2 . - Si A est un T)-anneau à droite et si M est un k-module tel que T T K - d im ( M ) = \³ alors \ est le plus petit ordinal tel que S u p p ( M ) C .

D E M O N S T R A T I O N . - D ' a p r è s [ 2_2] ( p a g e s 8 4 à 8 8 ) o n a l a

r el at i o n S u p p ( M ) d U • S i K e s t u n o r d i n a l t e l q u e

S u p p ( M ) C U a l o r s , p o u r t o u t s o u s - m o d u l e p r o p r e N d e M , o n a 0 = É A s s ( M / N ) C S u p p ( M / N ) C S u p p ( M ) C U ^k et p a r s u i t e o n o b t i e n t K > I. C e c i d é m o n t r e le r é s u l t a t . "

L a n o t i o n s u i v a n t e i n t r o d u i t e d a n s [ \_\] e s t d i r e c t e - m e n t i n s p i r é e d e la n o t i o n d e m o d u l e a - c r i t i q u e d e [ 9 ] , [ 1 0 ] :

D E F I N I T I O N . - S i M e s t u n m o d u l e n o n n u l s u r u n a n n e a u A e t s i a e s t u n o r d i n a l , n o u s d i r o n s q u e M e s t u n

A-module a - T T K - c r t t i q u e s i T T K - d i m ( M ) = a et s i p o u r t o u t s o u s - m o d u l e n o n n u l N d e M o n a T T K - d i m ( M / N ) < a . U n A-module s e r a d i t T T K - c r i t i q u e s ' i l e s t a - T T K - c r i t i - q u e p o u r u n c e r t a i n o r d i n a l a .

C o m m e d a n s [9] il v i e n t :

P R O P O S I T I O N 1 . 3 . - Tout sous-module non nul d'un modu- le a-TTK-critique est a-TTK-critique.

D E M O N S T R A T I O N . - E l l e e s t a b s o l u m e n t i d e n t i q u e à c e l l e d e l a p r o p o s i t i o n 2 . 3 d e [9] e n u t i l i s a n t n o t r e l e m m e

1 . 1 . "

P R O P O S I T I O N . 1 . 4 . - Tout module TTK-critique est cocri- tique.

D E M O N S T R A T I O N . - E l l e e s t i d e n t i q u e à c e l l e d u c o r o l - l a i r e 2 . 5 d e [9^] c a r l a n o t i o n d e " m o n o f o r m m o d u l e^{1 1} c o ï n c i d e a v e c c e l l e d e m o d u l e c o c r i t i q u e ( c e l a r é s u l t e d u t h é o r è m e 2 . 9 d e [ 9j ) . •

L e s l e m m e s 1.5 et 1.6 g é n é r a l i s e n t l e s l e m m e s 2 . 3 e t 2 . 4 d e [ I I ] :

L E M M E 1 . 5 . - Soit M un A-module a-TTK-critique. Si L est un A-module qui possède une TTK-dimension, si M est un sous-module de L qui est essentiel dans L et si on a T T K - d im ( L / M ) < a, alors L est un A-module a-TTK-criti-

que »

D E M O N S T R A T I O N . - O n a T T K - d i m ( L ) = a d ' a p r è s l e l e m m e 1 . 1 . S i Lf e s t u n s o u s - m o d u l e n o n n u l d e L a l o r s L ' n M e s t u n s o u s - m o d u l e n o n n u l d e M et M / L ' O M e s t i s o m o r - p h e à ( L1+ M ) / L ' . E n u t i l i s a n t l e l e m m e 1.1 et l e s h y p o - t h è s e s il v i e n t :

T T K - d i m ( L / L1) = s u p { T T K - d i m ( M / Lfn M ) , T T K - d i m ( L / ( L1+ M ) ) }

< s u p { T T K - d i m ( M / L^fn M )^fT T K - d i m ( L / M ) }

< a . D^fo Q l e r é s u l t a t . "

L E M M E 1 . 6 . - Si A est un V-anneau à droite et si M est un A-module a-TTK-critique qui possède un sous-module surcocritique N³ alors a n^rest pas un ordinal limite et on a X W G U et x ( M ) £ U

A a a - 1

D E M O N S T R A T I O N . - D ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1.3 o n a

T T K - d i m ( N ) = a et d ' a p r è s l e l e m m e 1.2 i l v i e n t S u p p ( N ) C U ^ c e q u i i m p l i q u e q u e x (N) a p p a r t i e n t à U ^ . S i a e s t u n o r d i n a l l i m i t e , il e x i s t e u n o r d i n a l < < a t e l q u e X ( N ) a p p a r t i e n t à c e q u i e n t r a î n e S u p p ( N ) c UK : c o n - t r a d i c t i o n a v e c l e l e m m e 1 . 2 . D o n c a n ' e s t p a s u n o r d i - n a l l i m i t e et o n a x ( N ) E U \ U c e q u i n o u s d o n n e l e

A a x a- î

r é s u l t a t c a r o n a x (N) = x (M) d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 4 . "

P R O P O S I T I O N 1 . 7 . - Si A est un D-anneau à droite et si M est un A-module a-TTY.-critique qui possède un sous- module surcocritique* alors M est un A-module ^ ( U^J ) - cocritique.

D E M O N S T R A T I O N . - O n a T T K - d i m ( M ) = a et T T K - d i m ( M / N ) <

a p o u r t o u t s o u s - m o d u l e n o n n u l N d e M . D ' a p r è s l e l e m - m e 1.6 e t l a p r o p o s i t i o n 1.3 l e m o d u l e M e s t s a n s

ô ( U ) - t o r s i o n . L e r é s u l t a t e s t a l o r s i m m é d i a t . "

a - î

P R O P O S I T I O N 1 . 8 . - Four un ordinal ij si M est un

A-module 6 ( U ) - c o c r i t i q u e qui possède une T T K - d i m e n s i o n ay alors M est un A-module a-TTK-critique et a > i .

D E M O N S T R A T I O N . - O n a 6 ( U ) ( M ) = 0 e t 6 ( U ) ( M / N ) = M / N p o u r t o u t s o u s - m o d u l e n o n n u l N d e M . C o m m e o n a

Ô ( U ) ( M ) = M , il v i e n t Ô ( U ) C 6 ( U ) et p a r s u i t e i < a . Ot i ot

D ' o ù M e s t u n A - m o d u l e a - T T K - c r i t i q u e . •

P R O P O S I T I O N 1 . 9 . - Si A est un T)-anneau à droite et si M est un A-module sur c ocri tique qui possède une TTYL-di- mension a³ alors M est un A-module a-TTK-critique et a n^rest pas un ordinal limite.

D E M O N S T R A T I O N . - D e T T K - d i m ( M ) = a o n d é d u i t A s s ( M ) C U a c ' e s t à d i r e x ( M ) E U ^ . I l e x i s t e a l o r s u n p l u s p e t i t o r - d i n a l K< a t e l q u e x ( M ) £ U ^ et K n ' e s t p a s u n o r d i n a l l i - m i t e . S i N e s t u n s o u s - m o d u l e n o n n u l d e M o n a

A s s ( M / N ) C S u p p (M / N ) C S u p p ( M ) = { ^ G S p e g ( A ) | ' ^ < x ( * 0 }. C o m - m e l e m o d u l e q u o t i e n t M / N e s t d e x ( M ) ~ t o r s i o n i l v i e n t

^ < X ( M ) p o u r t o u t ^ G A s s ( M / N ) , et d e x ( M ) G U o n d é d u i t

^ E U k_ i . P a r s u i t e o n a A s s ( M / N ) C U ^ ^ . P a r c o n s é q u e n t M e s t u n m o d u l e a - T T K - c r i t i q u e et a n ' e s t p a s u n o r d i n a l l i m i t e d ' a p r è s l e l e m m e 1 . 6 . "

C e t t e p r o p o s i t i o n 1.9 g é n é r a l i s e , e n p a r t i c u l i e r , l e l e m m e 2 . 5 d e [ 1 1 ] .

C O R O L L A I R E 1 . 1 0 . - Soit A un anneau semi-noethérien à droite qui vérifie la condition ( M i n . ) à droite. Si a est un ordinaly alors les A-modules a-TTK-critiques sont les A-modules 6 ( U )-cocritiques.

a - 1 ⁿ

D E M O N S T R A T I O N . - D ' a p r è s l a d é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e 2 . 5 . 9 d e [ 2 j J ( o u d u t h é o r è m e 3 . 9 d e [ 2 2 j ) l a T T K - d i - m e n s i o n d e s m o d u l e s 6 ( U ) - c o c r i t i q u e s e s t i + l. L e r é -

s u l t a t s e d é d u i t a l o r s d e s p r o p o s i t i o n s 1.7 e t 1 . 8 . "

I I . S U I T E S T T K - B A S I Q U E S D ' U N M O D U L E .

L e s n o t i o n s s u i v a n t e s i n t r o d u i t e s d a n s [ i l ] s o n t d i -

r e c t e m e n t i n s p i r é e s d e s n o t i o n s c o r r e s p o n d a n t e s d e [ 1 0 ] ( p a r a g r a p h e 3 ) :

S o i t A u n a n n e a u q u e l c o n q u e .

S i M e s t u n A - m o d u l e n o n n u l d o n t l ' e n s e m b l e d e s s o u s - m o d u l e s T T K - c r i t i q u e s e s t n o n v i d e , o n a p p e l l e r a sous- module TTK-basique d e M t o u t s o u s - m o d u l e n o n n u l B d e M

q u i e s t m a x i m a l p a r m i l e s s o u s - m o d u l e s a - T T K - c r i t i q u e s d e M o ù a e s t l ' o r d i n a l t e l q u ' i l n ' e x i s t e p a s d e s o u s - m o d u l e s 8 - T T K - c r i t i q u e s d e M a v e c 8 < a . U n e suite TTK- hasique d e M s e r a u n e c h a î n e f i n i e

0 = B C B C . . . C B = M o i n

d e s o u s - m o d u l e s d e M o ù l e m o d u l e q u o t i e n t B . / B . e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / B ^ ^ p o u r i = 1 , . . . , n ; l ' e n t i e r n s e r a a p p e l é la longueur d e l a s u i t e T T K - b a - s i q u e . D e u x suites TTK-basiques { B ^ | i = l , . . . , m } e t { B j | j = l , . . . , n } d e M s e r o n t d i t e s équivalentes s i m = n et s ' i l e x i s t e u n e p e r m u t a t i o n TT d e { 1 , . . . , n } t e l l e q u e X ^ / B ^ ) = ^(B^ ( i )/B^ ( i ) - ! ) P o u r i= 1 ' ' " 'n'

E v i d e m m e n t u n A - m o d u l e q u i p o s s è d e u n e s u i t e T T K - b a - s i q u e a u n e T T K - d i m e n s i o n .

T H E O R E M E 2 . 1 . - Soit A un T)-anneau à droite qui véri- fie la condition ( M i n . ) à droite. Considérons M un A -

module non nul noethé rien qui possède une TTK-dimension . Alors M possède une suite TTK-basique.

D E M O N S T R A T I O N . - O n p o s e BQ = 0 . C o m m e M e s t n o n n u l , o n a A s s ( M ) ^ 0 e t , d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 9 , le m o - d u l e M p o s s è d e d e s s o u s - m o d u l e s T T K - c r i t i q u e s ; o n p e u t a l o r s c o n s i d é r e r B^j u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M ( i l e x i s t e c a r M e s t n o e t h é i i e t i ) . S i BJ ^ M a l o r s o n a

A s s C M / B j ) 9*= 0 et O n c o n s t r u i t a i n s i u n e c h a î n e f i n i e ( c a r M e s t n o e t h é r i e n ) d e s o u s - m o d u l e s d e M q u i e s t , p a r . c o n s t r u c t i o n , u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e M . "

D o n c , s o u s l e s h y p o t h è s e s d u t h é o r è m e p r é c é d a n t , o n

o b t i e n t q u ' u n m o d u l e n o n n u l n o e t h é r i e n p o s s è d e u n e T T K - d i m e n s i o n si et s e u l e m e n t s i il p o s s è d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e .

L e l e m m e s u i v a n t a n a l o g u e a u l e m m e 3.2 d e [ 1 0 ] g é n é - r a l i s e le l e m m e 2.6 d e [ 1 1 ] .

L E M M E 2.2.- Soit A un D-anneau à droite qui vérifie la condition ( M i n . ) à droite. Si M est un A-module avec une TTK-dim en s ion qui possède un sous-module TTK-basi- que Bj alors pour tout sous-module N de M contenant B strictement on a : T T K - d i m ( B ) < T T K - d i m ( N / B ) .

D E M O N S T R A T I O N . - S u p p o s o n s q u e T T K - d i m ( N / B ) < T T K - d i m ( B ) . A l o r s si N c o n t i e n t u n s o u s - m o d u l e n o n n u l N ' t e l q u e N'fï B = 0 o n a T T K - d i m ( N ' ) < T T K - d i m ( B ) ( c a r Nf e s t

i s o m o r p h e à u n s o u s - m o d u l e d e N / B ) , et c e c i e s t i m p o s - s i b l e d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1.9 p u i s q u e N ' c o n t i e n t u n s o u s - m o d u 1 e s u r c o c r i t i q u e e t p u i s q u e B e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e ; d o n c B e s t e s s e n t i e l d a n s N et d ' a p r è s l e l e m m e 1.5 l e s o u s - m o d u l e N e s t a - T T K - c r i t i -

q u e a v e c a = T T K - d i m ( B ) : i l y a d o n c c o n t r a d i c t i o n a v e c l e f a i t q u e B e s t T T K - b a s i q u e . E n c o n s é q u e n c e o n a T T K - d i m ( B ) < T T K - d i m ( N / B ) .•

L a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e g é n é r a l i s e l a p r o p o s i t i o n 2.7 d e [ i l ] et e s t l ' a n a l o g u e d u l e m m e 3.3 d e [ 1 0 ] .

P R O P O S I T I O N 2.3.- Soit M un A-module qui possède une TTK-dimension. Considérons B et B ' deux sous-modules T T K - c r i tique s maximaux de M tels que B ' n B = 0 et

T T K - d i m ( B ) = T T K - d i m ( B ' ) = a . Si N est un sous-module de M maximal par rapport aux propriétés suivantes :

(i) B ® B ' est essentiel dans N ; (ii) T T K - d i m ( N / B © B ' ) < a.

Alors N / B et N / B ' sont des sous-modules a - T T K - c r i t i q u e s maximaux de M / B et M / B ' respectivement tels que l 'on a

X ( N / B ) = x ( Bf) et X( N / Bf) = X( B ) .

D E M O N S T R A T I O N - - S i K e s t u n s o u s - m o d u l e d e N t e l q u e K H ( B © B ' ) = B et K =É B a l o r s , c o m m e le m o d u l e q u o t i e n t K / B e s t i s o m o r p h e à u n s o u s - m o d u l e d e N / B e B1 , o n a T T K - d im (K / B ) < a ; c o m m e o n a KfïB ' = 0 , il e s t i m m é d i a t d e v é r i f i e r q u e K e s t u n i f o r m e et a i n s i , d ' a p r è s le l e m m e 1 . 5 , o n o b t i e n t q u e K e s t u n m o d u l e a - T T K - c r i t i - q u e : c o n t r a d i c t i o n a v e c le f a i t q u e B e s t T T K - c r i t i q u e m a x i m a l . P a r s u i t e B © Bf/ B e s t e s s e n t i e l d a n s N / B . C o m m e B ' e s t i s o m o r p h e à B © B ' / B il r é s u l t e d u l e m m e 1.5 q u e N / B e s t u n m o d u l e a - T T K - c r i t i q u e et o n a x ( N / B ) = x (B 1 ) .

S o i t X / B u n s o u s - m o d u l e T T K ~ c r i t i q u e d e M / B c o n t e n a n t N / B s t r i c t e m e n t . S i Y e s t u n s o u s - m o d u l e d e X t e l q u e Y O ( B © B¹) = 0 a l o r s o n a ( Y + B ) n ( B © B^f) = B et c o m m e B © B ' / B e s t e s s e n t i e l d a n s X / B ( d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n

1 . 4 ) o n o b t i e n t ( Y + B ) / B = 0 c ' e s t à d i r e Y C B ; d ' o ù Y = 0 . P a r s u i t e B © B ' e s t e s s e n t i e l d a n s X e t c o m m e o n a

T T K - d i m ( X / B © B ' ) < a ( d ' a p r è s l a d é f i n i t i o n d e X / B m o d u - le T T K - c r i t i q u e et d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 3 ) e t N c o n t e n u s t r i c t e m e n t d a n s X : il y a c o n t r a d i c t i o n a v e c la m a x i m a l i t é d e N p a r r a p p o r t a u x p r o p r i é t é s ( i ) et

( i i ) . D o n c N / B e s t u n s o u s - m o d u l e a - T T K - c r i t i q u e m a x i - m a l d e M / B et X( N / B ) = x ( B ' ) .

D e m ê m e p o u r N / B¹ c e q u i a c h è v e l a d é m o n s t r a t i o n . "

L a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e g é n é r a l i s e l e t h é o r è m e 2 . 8 d e [ 1 1 ] , et e l l e c o m p l è t e l e t h é o r è m e 2 . 1 .

P R O P O S I T I O N 2 . 4 . - Soit A un T)-anneau à droite qui vé- rifie la condition ( M i n . ) à droite. Considérons M un k-module qui possède une suite TTK-basique. Alors deux suites TTK-basiques de M sont équivalentes. De plus il n'existe pas de chaîne infinie strictement croissante de sous-modules de M

0 = N^Q < Nⁱ < . . . < M

telle que soit un sous-module TTK-basique de

M/N£.1 pour tout i = l , . . . .

D E M O N S T R A T I O N . - S o i t n l a p l u s p e t i t e l o n g u e u r d e t o u t e s l e s s u i t e s T T K - b a s i q u e s d e M . D é m o n t r o n s le r é - s u l t a t p a r r é c u r r e n c e s u r n . S i n = 1, l a p r o p o s i t i o n e s t é v i d e n t e c a r M e s t T T K - b a s i q u e . S o i t n > 1, et s u p - p o s o n s q u e l e r é s u l t a t e s t d é m o n t r é p o u r t o u s l e s m o d u - l e s q u i p o s s è d e n t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d o n t l a l o n - g u e u r e s t s t r i c t e m e n t i n f é r i e u r e à n .

C o n s i d é r o n s 0 = Bf t c Bt o • • * C B = M u n e s u i t e T T K -

o i n

b a s i q u e ( B ) d e M d e l o n g u e u r n .

A l o r s M / B j p o s s è d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e l o n g u e u r n - 1 et il r é s u l t e d e l ' h y p o t h è s e d e r é c u r r e n c e q u e t o u t e s u i t e T T K - b a s i q u e d e M d o n t le p r e m i e r t e r m e n o n n u l e s t Bj e s t é q u i v a l e n t e à l a s u i t e ( B ) •

S o i t B ' u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e q u e l c o n q u e d e M t e l q u e Bf ^ Bj . C o m m e o n a T T K - d i m ( B ) = T T K - d i m ( B1) , p o s o n s T T K - d i m ( B¹) = a et n o t o n s q u e a n ' e s t p a s u n o r - d i n a l l i m i t e d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 6 . M o n t r o n s

q u ' o n a B ' n Bt = 0 : s i B 'D B^l ^ 0 a l o r s o n a

T T K - d i m ( ( B ' + B^t ) / B ' ) = T T K - d i m ( B¹ / ( B ' n B^t ) ) < a et i l r é s u l t e d u l e m m e 1.5 q u e B ' n ' e s t p a s e s s e n t i e l d a n s B ' + B1; d o n c il e x i s t e u n s o u s - m o d u l e n o n n u l C d e B ' + B j t e l q u e B ' n C = 0 e t , c o m m e C e s t i s o m o r p h e à u n s o u s - m o d u l e d e ( B ' + B ^ / B ' , o n a T T K - d i m ( C ) < a c e q u i

d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1.9 n o u s d o n n e u n e c o n t r a d i c t i o n ( c a r C c o n t i e n t u n s o u s - m o d u l e s u r c o c r i t i q u e q u i e s t 6 - T T K - c r i t i q u e a v e c 8 < a ) . O n a d o n c B ' n Bt = 0 . C o m m e a n ' e s t p a s u n o r d i n a l l i m i t e o n p e u t , d ' a p r è s l e t h é o r è - m e d e Z o r n , c o n s i d é r e r u n s o u s - m o d u l e N² d e M m a x i m a l

t e l q u e B ' e B ^ s o i t e s s e n t i e l d a n s N2 et t e l q u e

T T K - d i m ( N² / B ' e B¹ ) < a . A i n s i d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 2 . 3 et le l e m m e 2 . 2 le m o d u l e q u o t i e n t N /Bj ( r e s p . N²/ B ' ) e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / B j ( r e s p . d e M / B ' )

t e l q u e x C ^ / B ^ - x( B ' ) ( r e s p . x C^ / B ' ) = x C B ^ ) . C o m m e 0 C B /B C . • • C B /B = M / B e s t u n e s u i t e T T K -

2 1 n i 1

b a s i q u e d e M / B d e l o n g u e u r n - 1 et c o m m e N /B e s t u n

1 2 1

s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / Bt il r é s u l t e d e l ' h y p o - t h è s e d e r é c u r r e n c e et d u r a i s o n n e m e n t q u i p r é c è d e q u ' i l e x i s t e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e M / Bj d e l o n g u e u r n - 1 d e la f o r m e 0 C N /B C N /B, C . . . C N /B M / B

2 1 3 1 n 1 1

( e n e f f e t si N2 / B ^ = B 2/ B ^ c ' e s t i m m é d i a t , et si N2/ Bt j=. B²/Bⁱ a l o r s o n a d ' a p r è s c e q u i p r é c è d e

(N / B )n(B /B ) = 0 d ' o ù l ' e x i s t e n c e d e N t e l q u e N /B

2 1 2 1 3 3 2

s o i t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / B2, et c o m m e M / B2

a u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e l o n g u e u r n - 2 . . . ) .

A i n s i o n o b t i e n t l e s s u i t e s T T K - b as i q u e s é q u i v a l e n t e s d e M d e l o n g u e u r n :

O C B C N C N C . . . C N = M ( N )

1 2 3 n '

et 0 C B ' C N C N C . . . C N = M ( N ' ) .

2 3 n

( E n o u t r e la d e r n i è r e p a r t i e d e la p r o p o s i t i o n r é s u l - te d e l ' h y p o t h è s e d e r é c u r r e n c e et d u f a i t q u e M / B ' q u i p o s s è d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e l o n g u e u r n - 1 n e p o s s è - d e p a s d e c h a î n e i n f i n i e s t r i c t e m e n t c r o i s s a n t e . . . ) •

P a r c o n s é q u e n t si o n a v a i t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e ( B ' ) d e M a u t r e q u e ( B ) a v e c p o u r p r e m i e r t e r m e n o n n u l B¹ d i f f é r e n t d e Bi :

O C B ^f C B ' C B ' C . . . C B ' = M ,

2 3 m

o n o b t i e n d r a i t e n u t i l i s a n t l ' h y p o t h è s e d e r é c u r r e n c e q u e m = n , q u e l e s s u i t e s ( N ' ) et ( B ' ) s o n t é q u i v a l e n t e s et q u e l e s s u i t e s ( N ) et ( B ) s o n t é q u i v a l e n t e s .

C o m m e l e s s u i t e s ( N ) et ( N ' ) s o n t é q u i v a l e n t e s o n e n d é d u i t q u e l e s s u i t e s ( B ) et ( B ' ) s o n t a u s s i é q u i v a -

l e n t e s . C e c i a c h è v e la d é m o n s t r a t i o n . "

O n o b t i e n t l ' a n a l o g u e d u t h é o r è m e 3.1 d e [ 10] : T H E O R E M E 2 . 5 . - Soit A un anneau noethêrien à droite

k-module non nul de type fini M possède au moins une suite TTK-basiques et deux suites TTK-basiques de M sont équivalentes.

D E M O N S T R A T I O N . - C e l a r é s u l t e d u t h é o r è m e 2.1 et d e l a p r o p o s i t i o n 2 . 4 . "

R E M A R Q U E » - [ i l ] - S i A e s t u n a n n e a u c o m m u t a t i f d o n t la d i m e n s i o n d e K r u l l e s t s u p é r i e u r e o u é g a l e à 1 e t s i P et Q s o n t d e u x i d é a u x p r e m i e r s d e A t e l s q u e P s o i t s t r i e t e m e n t c o n t e n u d a n s Q , a l o r s 1 e A - m o d u 1 e

M = A / P + A / Q p o s s è d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e m a i s i1 n e p o s s è d e p a s d e x( A / P ) - c h a î n e a u s e n s d e G o l d m a n [ 8 ] .

S i A e s t u n D - a n n e a u à d r o i t e q u i v é r i f i e 1 a c o n d i - t i o n ( M i n . ) à d r o i t e e t s i M e s t u n A - m o d u l e q u i p o s s è - d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e 0 = B C B O . • C B = M a l o r s

o i n d ' a p r è s 1 a p r o p o s i t i o n 2 , 4 1 a l o n g u e u r d e t o u t e s l e s

s u i t e s T T K - b a s i q u e s d e M s o n t é g a l e s e t c e t e n t i e r s e r a n o t é 1 ( T T K ( M ) ) . D ' a u t r e p a r t s i , p o u r t o u t i = 1 , . . . , n , o n p o s e a . =^: T T K - d im (B . / B . ) i 1 e s t i m m é d i a t d ' a p r é s

i i i-i

1 a p r o p o s i t i o n 2 . 4 e t 1 e 1 e m m e 1 .6 q u e 1 a s é q u e n c e { a ^ | i =1 , . . . ,n } e s t i n d é p e n d a n t e d e l a s u i t e T T K - b a - s i q u e u t i l i s é e p o u r la d é f i n i r . C e t t e s é q u e n c e s e r a a p p e l é e 1 a séquence des TTK-dimensions d e M ( c e c i p a r a n a 1 o g i e a v e c [ 1 0 ] p a g e 1 1 4 ) .

O n a l e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s d a n s l e s q u e l l e s 1 e t h é o r è m e 2 . 6 e s t 1 ' a n a l o g u e d u t h é o r è m e 3 . 4 d e [ 1 01 .

T H E O R E M E 2 . 6 . - Soit A un T)-anneau à droite qui véri- fie la condition ( M i n . ) à droite et considérons un k-module M qui possède une suite TTK-basique

0 = B C B C , . . C B - M . Alors on a : o i n

(i) la séquence { | i = i , . . . , n } des TTK-dimensions de M est • croissante et T T K - d i m ( M ) est égal à le n-ième terme de cette séquence ;

(ii) une chaîne croissante 0 = Bf C B f C . . . C B1 = M o i n est une suite TTK-basique de M si et seulement sij pour tout i = l , . . . , n3 le module quotient B | / B !- i est TTK-cri- tique et la séquence { T T K - d i m ( B ?/B j ^) | i = l , . . . , n } est croissante;

(iii) si M contient un sous-module a-TTK-critique > il existe i = l , . . . , n tel que a = a ^ ; si de plus A est un anneau dont toutes les localisations à droite sont sta- bles par enveloppes infectives alors un ordinal a ap- partient à la séquence des TTK-dimensions de M si et

seulement si M contient un sous-module a-TTK-critique•

D E M O N S T R A T I O N . - ( i ) r é s u l t e d u l e m m e 2 . 2 , et

T T K - d i m ( M ) = a s ' o b t i e n t a l o r s a v e c l e l e m m e 1 . 1 . n

( i i ) il s u f f i t d e d é m o n t r e r q u e s i 0 = B1C B1C , . . C B1= M e s t

o i n

u n e c h a î n e c r o i s s a n t e t e l l e q u e B ! / B ! e s t T T K - c r i t i - i i - i

q u e p o u r t o u t i = l , . . . , n e t t e l l e q u e l a s é q u e n c e

{ T T K - d i r a ( B ! ^ / B ^i ) | i = l , . . . , n } e s t c r o i s s a n t e a l o r s 0 = B ' C B ' C . . . C B ' = M e s t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e M . D é m o n -

o i n

t r o n s - l e p a r i n d u c t i o n s u r n :

• s i n =1 c ' e s t t r i v i a l .

. s i n > l , p o s o n s a ! = T T K - d i m ( B / B i ) p o u r i = l , . . . , n . P a r l ' h y p o t h è s e d ' i n d u c t i o n , O C B j / B J C . . C B V B * e s t u n e

s u i t e T T K - b a s i q u e d e M/B^'. S i c ' e s t p o s s i b l e c o n s i d é - r o n s B u n s o u s - m o d u l e B ~ T T K - c r i t i q u e d e M t e l q u e B < a ' ; a l o r s , d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 3 , o n a B O B ^= 0 c e q u i i m p l i q u e q u e M / B ^ c o n t i e n t u n s o u s - m o d u l e B - T T K - c r i t i - q u e : c e c i e s t i m p o s s i b l e c a r B ' / Bf e s t u n s o u s - m o d u l e

^ 2 1

T T K - b a s i q u e d e M / B ^ et B < a ^ < . P a r s u i t e , a v e c l a p r o p o s i t i o n 1 . 9 , a1 e s t l a p l u s p e t i t e T T K - d i m e n s i o n p o s s i b l e d ' u n s o u s - m o d u l e n o n n u l d e M . D o n c s i B^

n ' e s t p a s u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M i l e x i s t e u n s o u s - m o d u l e a1- T T K - c r i t i q u e C d e M q u i c o n t i e n t s t r i c - t e m e n t B ' : m a i s c e l a e s t i m p o s s i b l e c a r o n a

T T K - d i m ( C / Bf ) < < a 2' et C / B * c o n t i e n d r a i t , d ' a p r è s

l a p r o p o s i t i o n 1 . 9 , u n s o u s - m o d u l e g - T T K - c r i t i q u e a v e c 6 < ot ^2f c e q u i s e r a i t e n c o n t r a d i c t i o n a v e c l e f a i t q u e B j / B j e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / B^f. D o n c B ^ e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M e t 0 = B ' C B C . . . C B ' = M

o i n

e s t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e d e M .

( i i i ) . C o n s i d é r o n s N u n s o u s - m o d u l e a - T T K - c r i t i q u e d e M.

S i a = at , c ' e s t t e r m i n é . S i n o n o n a a <a c e q u i i m p l i q u e N H B ^ = 0 et a i n s i M / B^} c o n t i e n t u n s o u s - m o d u l e a - T T K - c r i -

t i q u e . P a r s u i t e c o m m e l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s d e M / B j e s t { a2, . . . , a ^ } u n r a i s o n n e m e n t p a r i n d u c t i o n n o u s d o n n e a = ou p o u r u n c e r t a i n i.

. S i A e s t u n a n n e a u d o n t t o u t e s l e s l o c a l i s a t i o n s à d r o i t e s o n t s t a b l e s p a r e n v e l o p p e s i n j e c t i v e s , i l n o u s r e s t e à m o n t r e r q u e M c o n t i e n t u n s o u s - m o d u l e a ^ - T T K - c r i t i q u e p o u r t o u t i = l , . . . , n . S i n = l , l e r é s u l t a t e s t t r i v i a l . S i n > l , p u i s q u e t o u t s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M e s t a {- T T K - c r i t i q u e , c o n s i d é r o n s u n i t e l q u e a ^ > ai . P a r i n d u c t i o n : M / Bl c o n t i e n t u n s o u s - m o d u l e N ^ / B^l q u i e s t a - T T K - c r i t i q u e ; c o m m e o n a T T K - d i m ( Bⁱ ) é g a l e à a^ et a ^ > a^t , o n o b t i e n t q u e B¹ n ' e s t p a s e s - s e n t i e l d a n s INK ( p u i s q u e 6 ( U ^ ) e s t s t a b l e p a r e n v e l o p - p e s i n j e c t i v e s ) c e q u i e n t r a î n e l ' e x i s t e n c e d ' u n s o u s - m o d u l e C . d e N . t e l q u e C . O B = 0 et p a r s u i t e C . e s t u n

i i ⁿ i i ^r i

s o u s - m o d u l e a ^ - T T K - c r i t i q u e ( d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 3 ) d e M . C e c i t e r m i n e l e r a i s o n n e m e n t p a r i n d u c t i o n , et l e t h é o r è m e e s t d é m o n t r é . "

P R O P O S I T I O N 2 . 7 . - Soit A un J)-anneau à droite qui vé- rifie la condition ( M i n . ) à droite. Considérons un A - module M qui possède une suite TTK-basique de longueur n supérieure ou égale à 2 et { \ i = l , . . , n } la sé- quence des TTK-dimensions de M . Alors on a :

(i) si a^l ^ a²3 le module M possède un unique sous- module TTK-basique;

(ii) si la séquence des TTK-dimensions de M est

strictement croissante avec n termes distincts 3 le mo- dule M possède une unique suite TTK-basique.

D E M O N S T R A T I O N . - ( i ) S o i e n t B et B ' d e u x s o u s - m o d u l e s T T K - b a s i q u e s d e M . I l v i e n t T T K - d i m ( B ) = T T K - d i m ( B^f) = a ¹ . S i o n a B ^ Bf a l o r s , c o m m e d a n s la d é m o n s t r a t i o n d e la p r o p o s i t i o n 2 . 4 , o n m o n t r e q u e B n B ' = 0 et q u ' i l e x i s t e u n s o u s - m o d u l e N d e M m a x i m a l t e l q u e B © B ' s o i t e s s e n - t i e l d a n s N et t e l q u e T T K - d i m ( N / B e B ' ) < a ; d e p l u s N / B ( r e s p . N / B ' ) e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / B

( r e s p . d e M / B ' ) . Il r é s u l t e a l o r s d e l a p r o p o s i t i o n 2 . 3 q u ' o n a T T K - d i m ( N / B ) = T T K - d i m ( N / B f) = . P a r s u i t e si B e s t l e p r e m i e r t e r m e d e l a s u i t e T T K - b a s i q u e d e M a l o r s {a , . . . , a } e s t l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s d e

2 n

M / B et o n a d o n c T T K - d i m (N/ B ) = a p u i s q u e N / B e s t u n s o u s - m o d u l e T T K - b a s i q u e d e M / B . D ' o ù a, = a : c o n t r a -

i 2

d i c t i o n . D o n c o n a B = B ' .

( i i ) r é s u l t e i m m é d i a t e m e n t d e ( i ) . "

P R O P O S I T I O N 2 . 8 . - Soit A un anneau quelconque et con- sidérons un A-module M qui possède une suite TTK-basi- aue 0 = B C B C . . . C B = M . Alors A s s ( M ) est un en-

^ o i n

semble fini et on a A s s ( M ) C { x C B^ / B ^ ^ ) | i = l , . . . , n }.

D E M O N S T R A T I O N . - O n a A s s ( M ) C A s s ( B ) U A s s ( M / B ) C

n~i n-i A s s ( B ) U A s s ( B / B ) U A s s ( M / B ) C . . . . C o m m e ,

n - 2 n - 1 n - 2 n - 1

d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 4 , l e m o d u l e q u o t i e n t B . / B . i i — i e s t c o c r i t i q u e o n a A s s ( B ^ / B ^) = { x ( ^{B i} / ^{B i} „ ¹ ) }• D ' o ù l e r é s u l t a t . "

N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t é t a b l i r q u e l a n o t i o n d e s u i t e T T K - b a s i q u e d ' u n A - m o d u l e , o ù A e s t u n D - a n n e a u à d r o i -

t e q u i v é r i f i e l a c o n d i t i o n ( M i n . ) à d r o i t e , e s t e n f a i t u n c a s p a r t i c u l i e r d e la n o t i o n t r è s g é n é r a l e d e

" T - c o m p o s i t i o n s e r i e s '¹ i n t r o d u i t e et é t u d i é e e n d é t a i l p a r W . G . L a u d a n s s a t h è s e [ 1 2 ] .

S o i t A u n D - a n n e a u à d r o i t e q u i v é r i f i e l a c o n d i t i o n

( M i n . ) à d r o i t e et c o n s i d é r o n s u n A - m o d u l e M q u i p o s s è - d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e 0 = B C B C . . . C B = M . P o u r

0 1 n

t o u t i = l , . . . , n p o s o n s a. = T T K - d i m ( B . / B . ) e t c o n s i d é - i î i - i r o n s l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s { a ^ | i = 1 , . . . , n } q u i e s t e n f a i t f o r m é e d e m o r d i n a u x d i s t i n c t s B ^ , B2 , .

B t e l s q u e 6 < 6 < . . . < B ( d ' a p r è s l e t h é o r è -

m i 2 m r

m e 2 . 6 ) . D é s i g n o n s p a r n ^ , p o u r j = 1 , . . . , m , l e n o m b r e d e q u o t i e n t s B ^ / B i d e l a s u i t e T T K - b a s i q u e q u i s o n t 8 ^ - T T K - c r i t i q u e s . P o s o n s 3F. = ô (U ) et ,f . = ô ( U⁰ ) .

i B . ~i m + 1 B

J m

P R O P O S I T I O N 2 . 9 . - Soit A un V-anneau à droite qui vé- rifie ta condition ( M i n . ) à droite et considérons un A-module M qui possède une suite TTK-basique

0 = B C B C . . . C B = M . Alorsi avec les notations

o i n

ci-dessus3 on a :

3F ( M ) = 0 et 3F. .(M) = B pour j = l¹. . . , m . i 1+ 1 n + n + . . . + n . ^ J

1 2 J

D E M O N S T R A T I O N . - P o s o n s s = 0 p o u r <jF. . = 3F e t J + 1 i s = n + n + . . . + n . p o u r j = î » . . « » m .

1 2 J

. .

. D ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1.7 et l e t h é o r è m e 2 . 6 , p o u r i = s + l , . . . , n , l e m o d u l e q u o t i e n t B , / B . e s t s a n s 3F. -

î i - i j + 1 t o r s i o n . C o m m e o n a l e s s u i t e s e x a c t e s :

0 -> B / B -> B / B -* B / B ~> 0

S + l S S + 2 S S + 2 S + 1

0 -> B / B ^-> B / B -* ^B / B -* 0

S + 2 S S + 3 S S + 3 S + 2

0 -> B /B -> M / B -> M ^{/ B ^ I ->} 0 n - 1 s s n ~ i

o n d é d u i t d e l a p r e m i è r e q u e Bg+^ / Bg e s t s a n s # .+^ - t o r - s i o n d ' o ù l ' o n d é d u i t a v e c l a s e c o n d e s u i t e e x a c t e q_ue B / B e s t a u s s i s a n s 3F. . - t o r s i o n , . . . . A i n s i o n o b -

s + 3 s j +1 _

t i e n t q u e l e m o d u l e M / B e s t s a n s & . , - t o r s i o n . s J + i

. P o u r 3F. , = J*⁷ o n a s = 0 et a i n s i o n a b i e n

J + l 1

J * ( M ) = 0 .

. P o u r j = 1 o n a s = n , et c o m m e o n a ( B G ) = Bg

( c a r T T K - d i m ( B ) = B d ' a p r è s l e l e m m e 1.1 et 8 < B ) ,

S 1 1 2

o n o b t i e n t , d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 1.3 d e [ 7 ] et d ' a p r è s l e p r e m i e r p o i n t , le r é s u l t a t & ( M ) = B

2 n D o n c p a r i n d u c t i o n , p o u r j = l , . . . , m - l , o n o b t i e n t le r é s u l t a t g é n é r a l J*. . ( M ) = B

J + 1 nt + . . . + n j

. O n a «^JJ j (^M) ^{= M c a r} d ' a p r è s l e t h é o r è m e 2 . 6 o n a B = a T T K - d i m ( M ) .•

m n

I l e s t à n o t e r q u e c e t t e p r o p o s i t i o n 2 . 9 p r é c i s e l ' a s s e r t i o n ( i i ) d e la p r o p o s i t i o n 2 . 7 .

S o u s l e s h y p o t h è s e s et n o t a t i o n s p r é c é d e n t e s , n o u s p o s e r o n s j f ( M ) = { J*. | j = l , . . . , m + l } et n o u s a p p e l l e - r o n s j f ( M ) la TTK-séquence des filtres localisants (à droite) de M . A l o r s :

P R O P O S I T I O N 2 . 1 0 . - Soit A un T)-anneau à droite qui vérifie la condition ( M i n . ) à droite et considérons un A-module M qui possède une suite TTK-basique

0 = B Q C BI C . . . C B ^ = M . Alors la TTK-séquence j f ( M ) des filtres localisants de M est une fftorsion theory sequence for M " au sens de L a u [ 1 2 ] (page 17)³ et la suite TTK-basique de M est une "T-composition series of M " au sens de L a u [ 1 2 ] (page 22).

D E M O N S T R A T I O N . - C o m m e o n a < ^ < . . . < SF , c a r

i 2 m + 1

Bⁱ < B² < < B ^m et c o m m e , d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 2 . 9 , o n a 0 = & ( M ) < & ( M ) < < & . ( M ) = M l a p r e m i è r e

i 2 m +1

p a r t i e d e l a p r o p o s i t i o n e s t d é m o n t r é e . P o u r t o u t i = l , . . . , n il e x i s t e j = l , . . . , m t e l q u e = Bj c e q u i d o n n e n + . . . + n . , < i < n + . . . + n . ; p a r s u i t e B . / B . .

i j - 1 1 J 1 1 - 1

e s t u n m o d u l e B. - T T K - c r i t i q u e et o n a , d ' a p r è s l a p r o -

J

p o s i t i o n 2 . 9 , J*. ( M ) < B ^ < J T , + 1( M ) c e q u i n o u s d o n n e ,

a v e c l e s n o t a t i o n s d u c o r o l l a i r e 2 . 2 d e [ 1 2 ] , t^ = .

I J

E n c o n s é q u e n c e , d ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 7 , l e m o d u l e q u o t i e n t B . / B . . e s t - c o c r i t i q u e c ' e s t à d i r e t - c o -

c r i t i q u e . L a d e u x i è m e p a r t i e d e l a p r o p o s i t i o n r é s u l t e d o n c d u c o r o l l a i r e 2 . 2 d e [ 1 2 ] . "

L e l i e n p r é c i s a v e c [ \2] é t a n t é t a b l i , l e l e c t e u r p o u r r a d o n c s e r e p o r t e r à [ 1 2 ] p o u r o b t e n i r d e s r é s u l - t a t s c o m p l é m e n t a i r e s s u r l e s s u i t e s T T K - b a s i q u e s d ' u n m o d u l e ( p a r e x e m p l e l a p r o p o s i t i o n 2 . 4 q u i c o n c e r n e l e s

s u i t e s T T K - b a s i q u e s d ' u n s o u s - m o d u l e d ' u n m o d u l e p o s s é - d a n t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e ; le c o r o l l a i r e 2 . 5 q u i c o m - p l è t e ( i i i ) d e n o t r e t h é o r è m e 2 . 6 ; . . . ) .

S o i e n t A u n D - a n n e a u à d r o i t e q u i v é r i f i e l a c o n d i - t i o n ( M i n . ) à d r o i t e et M u n A - m o d u l e q u i p o s s è d e u n e s u i t e T T K - b a s i q u e . S i j T ( M ) e s t l a T T K - s é q u e n c e d e s f i l - t r e s l o c a l i s a n t s d e M , c o n s i d é r o n s c o m m e W . G . L a u à l a p a g e 7 3 d e [ \ l) , p o u r J^EjfCM) , l e s o u s - m o d u l e K^~(M) q u i e s t l ' i n t e r s e c t i o n d e t o u s l e s s o u s - m o d u l e s N d e M t e l s q u e le m o d u l e q u o t i e n t M / N s o i t ^ " - c o c r i t i q u e , e t p o s o n s

V

V

l ^ ^

•

A l o r s n o u s a p p e l l e r o n s K ( M ) l e TTK-radical de M . S i l e

Cri

T T K - r a d i c a l d e M e s t n u l , n o u s d i r o n s q u e M e s t u n A-module TTK-semiprimitif. ( V o i r l e c h a p i t r e 5 d e [ 1 2 ] p o u r p l u s d e d é t a i l s s u r c e s n o t i o n s ) .

E n p a r t i c u l i e r s i M = A , a l o r s , d ' a p r è s l e c o r o l l a i r e 5 . 1 2 d e [ J_2] , l e T T K - r a d i c a l à d r o i t e K ^ ( A ) d e A ( c ' e s t à d i r e le T T K - r a d i c a l d u A - m o d u l e à d r o i t e A ) e s t

l ' i d é a l b i l a t è r e d e A c o n s t i t u é d e t o u s l e s é l é m e n t s d e A q u i a n n u l e n t t o u s l e s A - m o d u l e s ( c y c l i q u e s ) J * - c o c r i -

t i q u e s o ù p a r c o u r t J f ( A ) . I l v i e n t :

T H E O R E M E 2 . 1 1 . - Si A est un anneau noethêrien à droi- te qui vérifie la condition ( M i n . ) à droite³ alors le TTK-radical à droite de A est un idéal bilatère nilpo- tent.

D E M O N S T R A T I O N . - D ' a p r è s l e s t h é o r è m e s 2.1 o u 2 . 5 , c o n - s i d é r o n s 0 = 1 C l C . . . C I = A u n e s u i t e T T K - b a s i -

o i n

q u e d u A - m o d u l e à d r o i t e A et J T ( A ) l a T T K - s é q u e n c e d e s f i l t r e s l o c a l i s a n t s d e A . D ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 . 7 , p o u r t o u t i = l , . . . , n le m o d u l e q u o t i e n t I ^ / 1 ^ e s t u n A - m o d u l e J ^ - c o c r it i q u e p o u r u n c e r t a i n ^ ^ ( A ) , D o n c , d ' a p r è s l e c o r o l l a i r e 5 . 1 2 d e [ 1 2 ] c i t é p r é c é d e m m e n t , o n o b t i e n t I ^ K ^ ( A ) C p o u r t o u t i = l , . . . , n . I l e n r é s u l t e q u ' o n a K ( A )ⁿ = 0 . "

C O R O L L A I R E 2 . 1 2 . - Si A est un anneau premier noethé- rien à droite qui vérifie la condition ( M i n . ) à droite*

alors A est un anneau T T K - s e m i p r i m i t i f à droite (c'est à dire le TTK-radical à droite de A est nul).

D E M O N S T R A T I O N . - R é s u l t e i m m é d i a t e m e n t d u t h é o r è m e 2 . 1 1 . "

C O R O L L A I R E 2 . 1 3 . - Si A est un anneau premier noethé- rien à droite qui vérifie la condition ( M i n . ) à droite*

alors A est un produit sous-direct d1 anneaux K^-(A) -pri- mitifs (c'est à dire d'anneaux R tels qu'il existe un

^-module fidèle et $F-co critique pour ^EJfik) ) .

D E M O N S T R A T I O N . - C ' e s t u n e c o n s é q u e n c e d u c o r o l l a i r e 5 . 9 d e [12] et d u c o r o l l a i r e 2 . 1 2 . "

P o u r d e s e x e m p l e s d ' a n n e a u x n o e t h é r i e n s q u i v é r i f i e n t l a c o n d i t i o n ( M i n . ) o u m ê m e d e s c o n d i t i o n s p l u s f o r t e s v o i r [ 1 9 ] , [ 2 l ]⁹ [22_1, [ 6 ] , [ 2 _ 4 ] , [ ] ± ] .

I I I . M O D U L E S T T K - L I S S E S E T S U I T E D E S T T K - S O C L E S . S o i e n t A u n a n n e a u q u e l c o n q u e et a u n o r d i n a l .

P a r a n a l o g i e a v e c [ 1 O l » n o u s d i r o n s q u ' u n k-module M e s t a-TTK-lisse s i t o u t o r d i n a l d e la s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s d e t o u t s o u s - m o d u l e n o n n u l d e t y p e f i n i d e M p o s s é d a n t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e e s t a . ( S i A e s t u n a n n e a u n o e t h é r i e n à d r o i t e q u i v é r i f i e l a c o n d i t i o n

( M i n . ) à- d r o i t e a l o r s a n ' e s t p a s u n o r d i n a l l i m i t e d ' a p r è s l e s r é s u l t a t s d u p a r a g r a p h e 1 ) . O n d i r a q u ' u n

A-module est: TTK-lisse s ' i l e s t a - T T K - 1 i s s e p o u r u n o r - d i n a l a •

L e s d e u x r é s u l t a t s q u i s u i v e n t s o n t l ' a n a l o g u e d u t h é o r è m e 3.5 d e [ JJ3 ] :

P R O P O S I T I O N 3 . 1 . - Soit A un "D-anneau à droite qui vé- rifie la condition ( M i n . ) à droite et considérons un A - module non nul de type fini M qui possède une suite TTK-basique, Alors M est un A-module a-TTK-lisse si et seulement si chaque terme de la séquence des TTK-dimen- sions de M est égal à a .

D E M O N S T R A T I O N . - D ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 2 . 1 0 e t

d ' a p r è s [ 1 2 | ( p a g e 2 6 ) , l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s d ' u n s o u s - m o d u l e n o n n u l d e M e s t u n s o u s - e n s e m b 1 e d e l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n s i o n s d e M . D ' o ù l e r é s u l t a t . "

P R O P O S I T I O N 3 . 2 . - Si A est un D-anneau à droite dont toutes les localisations à droite sont stables par en- veloppes injectives³ alors un A-module E extension es- sentielle d'un A-module a.-TTK-lisse M est un A-module a-TTK-lisse.

D E M O N S T R A T I O N . - C o n s i d é r o n s N u n s o u s - m o d u l e n o n n u l d e t y p e f i n i d e E p o s s é d a n t u n e s u i t e T T K - b a s i q u e . A l o r s N H M e s t u n A - m o d u l e n o n n u l a - T T K - l i s s e . C o m m e N O M e s t e s s e n t i e l d a n s N , o n d é d u i t d e ( i i i ) d u t h é o r è - m e 2 . 6 q u e t o u t o r d i n a l d e l a s é q u e n c e d e s T T K - d i m e n -

s i o n s d e N e s t a . D o n c E e s t a - T T K - l i s s e . "

S o i e n t A u n a n n e a u et a u n o r d i n a l .

D é s i g n o n s p a r l e f i l t r e l o c a l i s a n t d e A a s s o c i é à l a s o u s - c a t é g o r i e l o c a l i s a n t e d e M o d A e n g e n d r é e p a r

a l e s A - m o d u l e s 6 - T T K - c r i t i q u e s a v e c 8 < a ; c ' e s t à d i r e j * e s t l a b o r n e s u p é r i e u r e d e s f i l t r e s l o c a l i s a n t s £ ( M ) d e A o ù M p a r c o u r t l e s A - m o d u l e s 6 - T T K - c r i t i q u e s a v e c B < a .

a

P o u r u n A - m o d u l e M d é s i g n o n s p a r S ( M ) l a s o m m e d e