G286 – Les cartes magiques [*** à la main]
Problème proposé par Patrick Gordon
Ce jeu de "bataille" renouvelé se joue à deux joueurs avec n cartes comportant chacune m symboles graphiques tous différents. Les cartes sont ainsi constituées que deux cartes quelconques ont toujours 1 symbole commun et 1 seul.
Les joueurs abattent simultanément chacun une carte. Le premier qui identifie le symbole commun ramasse le pli. C'est donc un jeu d'acuité visuelle et de vivacité, mais cet aspect ne nous concerne pas ici.
Les questions qui intéressent le mathématicien sont :
1- Avec m ≥ 2 symboles par carte,calculer le nombre maximum de cartes qu’il est possible de fabriquer,
2- Avec m ≥ 2 symboles par cartes et n cartes, calculer le nombre total minimum de symboles utilisés,
3- Déterminer le cas optimal qui combine le nombre maximum de cartes et le nombre minimum de symboles utilisés.
4- Dans les cas optimaux, décrire explicitement pour les valeurs de m = 3,4,5 et 6 un mode de répartition des symboles selon les cartes.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
A priori,deux cas sont possibles :
1) il existe un symbole commun à toutes les cartes. Chacune des n cartes doit alors contenir m – 1 symboles n’apparaissant sur aucune autre carte, ce qui entraine n(m – 1) symboles différents. On peut fabriquer autant de cartes que l’on veut mais le jeu perd tout intérêt en raison de l’unicité du symbole commun à deux cartes quelconques.
On fait l’hypothèse que ce cas est exclu.
2) il n’existe pas de symbole commun à toutes les cartes.Appelons S₁ un symbole commun à k cartes différentes. Chacune de ces cartes ne peut pas avoir d’autre symbole en commun. Soit une carte qui n’a pas le symbole S₁. Elle doit avoir un symbole commun différent avec chacune des k cartes, ce qui entraine k ≤ m. Il existe donc au plus m cartes qui ont le même symbole S₁ en commun.
Soit une carte quelconque (C) qui a les symboles S₁,S₂,...,S . On désigne par m
k₁,k₂,...k les nombres respectifs de cartes possédant chacun de ces m symboles. Il y a m donc k₁ – 1 cartes ayant le symbole S₁ en commun avec la carte (C), k₂ - 1 cartes ayant le symbole S₂ en commun avec la carte (C),....,k – 1 cartes ayant le symbole m
S en commun avec la carte (C). Toutes ces cartes sont distinctes, sinon on aurait deux m
symboles communs avec la carte (C). Au total il y a k₁+ k₂ + ...+ k – m cartes qui m ont un symbole commun avec (C).Or ceci est vrai pour toutes les cartes du jeu. Il en résulte que k₁+ k₂ + ...+ k – m = n – 1. Comme m k ≤ m pour tout i = 1,2,...m, on i obtient l’inégalité n – 1 ≤ m² – m ou encore n ≤ m² – m + 1.
Q₂
On considère le symbole S₁ commun à k₁ cartes. Sur ces cartes, les m – 1 autres symboles sont tous distincts deux à deux.ce qui entraine l’existence de k₁(m – 1) symboles autres que S₁. Soit M le nombre total minimum de symboles utilisés. On a nécessairement M ≥ k₁(m – 1) + 1.D’où mM ≥ (k₁+ k₂ + ...+ k )(m – 1) + m = (m + n – m 1)(m – 1) = m² + mn – m – n + 1, soit M ≥ m + (m – 1)(n – 1)/m.
Q₃
Le cas optimal est obtenu si on a à la fois les deux égalités n = m² – m + 1 et M = m + (m – 1)(n – 1)/m. Il en découle M = m + (m – 1)² = m² – m + 1 = n. Il y a alors autant de
symboles différents qu’il y a de cartes.
Par ailleurs k₁+ k₂ + ...+ k = m + n – 1 = m². Comme m k ≤ m pour tout i = 1,2,...m, on en i déduit k₁= k₂ = .k .. = i k = m. Chaque symbole est donc présent dans m cartes. m
Q₄
Pour m = 3,4,5 et 6, on a respectivement n = 7, 13, 21 et 31 cartes.
Les tableaux de répartition correspondants des m symboles (a,b,c,....) selon les n cartes (1,2,3,...) sont donnés ci-après.
Chaque ligne i donne la liste des symboles numérotés a,b,c,d,.... d’une même carte.n°i = 1,2,3,... Chaque colonne j indique les numéros des cartes qui contiennent le symbole n° j.
1er cas : m = 3, n = 7
a b c d e f g 1 a b c
2 a d e
3 a f g
4 b d
5 b e g
6 c e f
7 c d g
2ème cas : m = 4, n = 13
a b c d e f g h i j k l m 1 a b c d
2 a e f g
3 a h i j
4 a k l m
5 b e i m
6 b f j k
7 b g h l
8 c f h m
9 c g i k
10 c e j l
11 d f j k
12 d g h l
13 d e i m
3ème cas : m = 5, n = 21
4ème cas : m = 6, n = 31
