(I1) (A) ou (C) 16 061 257 955 721 16 111 259 564 321

F135. Nombres croisés - Grille n°35

Remarques préliminaires

(A) est un carré d’un nombre de la grille, donc (A) est le carré de (i1) ou de (I1), seuls nombres de 5 chiffres de la grille.

Idem pour (C), mais en inversant (i1) et (I1)

(i1) et (I1) commencent par 1, 2 ou 3 10 000 ≤ ሺi1ሻou ሺI1ሻ ≤ 31 622 (A) et (a) sont des carrés, donc se terminent par 0, 1, 4, 5, 6, ou 9

Donc (i1) et (I1) commencent par 1 et (A) et (a) se terminent par 1 (i1) et (I1) commençants par 1, (A) et (a) commencent par 1, 2 ou 3 A ne contient pas de zéros.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1

(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H)

(I) 1

La somme des chiffres d’un nombre de 9 chiffres étant inférieure ou égale à 81, on trouve facilement les deux solutions de l’équation ݏ^௣= ܰ où ܰ possède 9 chiffres dont la somme est ݏ.

(b) ou (h) 18^଻= 612 220 032 46^ହ= 205 962 976

Cas 1 Cas 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 6 2 1

(B) 1 0

(C) 2 5

(D) 2 9

(E) 2 6

(F) 0 2

(G) 0 9

(H) 3 7

(I) 1 2 6

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 6 1

(B) 0 1

(C) 5 2

(D) 9 2

(E) 6 2

(F) 2 0

(G) 9 0

(H) 7 3

(I) 1 6 2

On cherche (I1)

• Commence par 12 ou 16

• Pdc < 10

• Nombre premier

• chacun des 2 derniers chiffres est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 (d) et (e2) sont des carrés

• si le 2^ème chiffre de (I1) est 2, alors les 2^ème et 8^ème chiffres de son carré sont (6,2) ou (2,5)

• si le 2^ème chiffre de (I1) est 6, alors les 2^ème et 8^ème chiffres de son carré sont (2,6) ou (5,2) on obtient 2 réponses :

(I1) (A) ou (C) 16 061 257 955 721 16 111 259 564 321

qui permettent d’éliminer le cas 1, mais génèrent deux autres cas :

Cas 11 Cas 12

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 6 1

(B) 0 1

(C) 2 5 7 9 5 5 7 2 1

(D) 9 2

(E) 6 2

(F) 2 0

(G) 9 0

(H) 7 3

(I) 1 6 0 6 1 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 2 6 1

(B) 0 1

(C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1

(D) 9 2

(E) 6 2

(F) 2 0

(G) 9 0

(H) 7 3

(I) 1 6 1 1 1 2

Et on élimine le cas 11 puisque le produit des chiffres de (e) ne peut être un multiple de 5

On cherche maintenant (i1)

• les 1^er et 3^ème chiffres sont 1

• pdc < 10

• nombre premier

• chacun des 2 derniers chiffres est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 (D) et (E2) sont des carrés

• le carré de (i1) est (A) = *2*****61, et ne contient pas de zéros on obtient une seule réponse :

(i) (A) 11 119 123 632 161

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1

(B) 0 1 1

(C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1

(D) 9 2 1

(E) 6 2 9

(F) 2 0

(G) 9 0

(H) 7 3

(I) 1 6 1 1 1 2

Calcul de (c)

• cube de masque 3*9*****1 il y a deux réponses :

య

ඥሺcሻ

(c) 691 329 939 371 711 359 425 431

(c) est le cube d’un nombre de la grille. Ce nombre ne peut pas être (I2), puisque son 2^ème chiffre est 2, donc il s’agit de (i2).

Et comme (i2), lu à l’envers, est un carré, (2) est égal = 691 (14²=196), donc on a : (i2) = 691 et (c) = 329 939 371

On en profite pour compléter (I2), qui est une séquence, par un 3, puisque (g) ne comporte que 2 chiffres qui sont 1 et 3.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1

(B) 0 2 1 1

(C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1

(D) 9 9 2 1

(E) 6 3 2 9

(F) 2 9 0

(G) 9 3 0 6

(H) 7 7 3 9

(I) 1 6 1 1 1 3 2 1

Calcul de (B)

(A) est le carré de (i1) qui est un nombre premier. Donc le plus grand diviseur de (A) est sa racine, donc (B) est un multiple de ඥሺAሻ = i1 = 11 119.

• (B) est de la forme *02****11

• (B) multiple de 11119

• Le 5^ème chiffre est différent de 0, 5 et 7 à cause de (e) dont le pdc = 2^p.3^q

• Le 6^ème chiffre est différent de 2 et 4 à cause de (f) dont tous les chiffres sont différents

• Le 7^ème chiffre est 1 ou 3 à cause de (g) qui ne contient que ces deux chiffres

x 11119 (B) 18 169 202 021 111 36 169 402 163 111 72 169 802 447 111 81 169 902 518 111

Calcul de (D)

• C’est un carré de la forme *99****21

• Le 5^ème chiffre est différent de 0, 5 et 7 à cause de (e) dont le pdc = 2^p.3^q

• Le 6^ème chiffre est différent de 2 et 4 à cause de (f) dont tous les chiffres sont différents

• Le 7^ème chiffre est 1 ou 3 à cause de (g) qui ne contient que ces deux chiffres

ඥሺDሻ (D)

14 111 199 120 321 14 139 199 911 321 19 989 399 560 121 24 489 599 711 121 29 989 899 340 121

La calculatrice donne les 4 résultats suivant pour les carrés (a) et (d), en fonctions des valeurs possibles de (B) et (D), avec (a) sans zéro.

(B) (D) (a) (d) (E) pdc(E)

202 021 111 599 711 121 122 522 761 605 701 321 2 630 0 402 163 111 399 560 121 142 348 761 615 585 721 4 638 576 802 447 111 599 711 121 182 547 121 645 718 921 4 631 72 902 518 111 199 911 321 192 127 321 655 923 321 2 632 72

Le produit des chiffres de (E) étant un carré non nul est 576 = 24² . D’où les valeurs de (B), (D), (a), (d) et (E) :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1 (B) 4 0 2 1 6 3 1 1 1 (C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1 (D) 3 9 9 5 6 0 1 2 1

(E) 4 6 3 8 2 9

(F) 8 2 9 5 0

(G) 7 9 3 7 0 6

(H) 6 7 7 2 3 9

(I) 1 6 1 1 1 3 2 1

(E2) est un carré de quatre chiffres qui se termine par 129 ou 329 : une réponse : (E2) = 5329 = 73². (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1 (B) 4 0 2 1 6 3 1 1 1 (C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1 (D) 3 9 9 5 6 0 1 2 1

(E) 4 6 3 8 5 3 2 9

(F) 8 2 9 5 0

(G) 7 9 3 7 0 6

(H) 6 7 7 2 3 9

(I) 1 6 1 1 1 3 2 1

(F) étant un anagramme de (f), tous ses chiffres sont différents. Donc les possibilités restantes sont : 1, 3, 4, 6, et 7.

Le 1 ou le 3 étant en 7^ème position. On obtient :

(F) dans le désordre Sdc(F) (F) dans l’ordre

134 32 = 2

4 et 3 ne conviennent pas en (f) 413

143 32 = 2

idem 413

147 36 = 6

1 est en (g), 4 ne convient pas en (f) 471

174 36 = 6

idem 471

314 32 = 2

4 et 3 ne conviennent pas en (f) 413

341 32 = 2

idem 413

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1 (B) 4 0 2 1 6 3 1 1 1 (C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1 (D) 3 9 9 5 6 0 1 2 1

(E) 4 6 3 8 5 3 2 9

(F) 8 2 9 5 4 0

(G) 7 9 3 7 0 6

(H) 6 7 7 2 3 9

(I) 1 6 1 1 1 3 2 1

Il reste à trouver (e2) qui est un carré de 4 chiffres qui commence par 4, et se finit par 1, mais pas par 01 Une réponse : (e2) = 4761 = 69².

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1 (B) 4 0 2 1 6 3 1 1 1 (C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1 (D) 3 9 9 5 6 0 1 2 1

(E) 4 6 3 8 5 3 2 9

(F) 8 2 9 5 4 0

(G) 7 9 3 7 7 0 6

(H) 6 7 7 2 6 3 9

(I) 1 6 1 1 1 3 2 1

On soumet tout cela à la calculatrice :

• en faisant varier les 6^ème, 7^ème et 8^ème chiffres de (f) de 0 à 9 (f6, f7, f8)

• en donnant aux 6^ème, 7^ème et 8^ème chiffres de (g) les valeurs 1 ou 3 (g6, g7, g8)

• en vérifiant que (f) est l’anagramme de (F)

• que la somme des chiffres de (G) est un carré

• que le produit des chiffres de (H) est un carré non nul

• que la somme des chiffres de (F) est la puissance d’un entier On obtient la réponse unique suivante :

f

f

f

g

g

g

Sdc(G) Pdc(H) Sdc(F) 1 9 8 3 1 3 49 = 7

2 286 144 = 1 512

32 = 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 2 3 6 3 2 1 6 1 (B) 4 0 2 1 6 3 1 1 1 (C) 2 5 9 5 6 4 3 2 1 (D) 3 9 9 5 6 0 1 2 1

(E) 4 6 3 8 5 3 2 9

(F) 8 2 9 5 4 1 3 0 (G) 7 9 3 7 7 9 1 0 6 (H) 6 7 7 2 6 8 3 3 9

(I) 1 6 1 1 1 3 2 1

Contrôles

(A) carré d'un nombre de la grille 123 632 161 11 119² = (i1)² (B) pgcd(A,B) est un nombre de la grille 402 163 111 11 119 x 36 169 (C) carré d'un nombre de la grille 259 564 321 16 111² = (I1)²

(D) carré 399 560 121 19 989²

(E) pdc = carré > 0 4 638 4.6.3.8 = 576 = 24²

carré 5 329 73²

(F) anagramme de (f), sdc = puissance 82 954 130 (f) = 23 405 198, Sdc = 32 = 2⁵

(G) sdc = carré 793 779 106 sdc = 49 = 7²

(H) pdc = carré > 0 677 268 339 pdc = 2 286 144 = 1512² (I) nombre premier, pdc < 10 16 111 premier, pdc = 6

séquence 321

(a) carré 142 348 761 11 931²

(b) puissance de sa sdc 205 962 976 Sdc = 46, (b) = 46⁵ (c) cube d'un nombre de la grille 329 939 371 691³ = (i2)³

(d) carré 615 585 721 24 811²

(e) pdc = 2^p x 3^q 3 666 Pdc = 648 = 2³ . 3⁴

carré 4 761 69²

(f) tous les chiffres sont différents 23 405 198

(g) Contient deux chiffres distincts 113 133 133 des 1 et des 3 (h) puissance de sa sdc 612 220 032 Sdc = 18, (h) = 18⁷ (i) nombre premier, pdc < 10 11 119 premier, pdc = 9

carré lu de bas en haut 691 196 = 14²