NOM ……… Prénom ………..
DS N°1 MATHEMATIQUES TAUX D’EVOLUTION TERM STGCFE 2008-2009 Rédaction et présentation rentreront en compte dans la notation de la copie.
Exercice 1 - QCM ( 3 points)
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0.5 point. Si le total des points est négatif, il est ramené à 0.Répondre sur votre copie. Aucune justification n’est demandée.
1. Lorsqu’un prix triple, il subit une hausse de
□
400%□
300%□
200%□
32. Lorsqu’un produit subit une hausse de 20%, pour retrouver son prix initial il doit subir une baisse d’environ
□
20%□
16.7%□
25%□
400%3. Lorsqu’un produit subit une hausse de 10%, puis de 20 %, puis de 30%, il a globalement augmenté d’environ
□
1.71%□
60%□
171%□
71.6%4. En un an, un produit subit une baisse de 24%. La baisse mensuelle a été d’environ
□
2 %□
8.8%□
2.26 %□
11.2%Exercice 2 ( 9 points) : Les trois questions sont indépendantes.
1. a. Entre 2000 et 2007, un article a subi une hausse de 15 %.
Quelle a été sa hausse annuelle moyenne (arrondi à 0.01%) ?
b. Sachant qu’en 2007 cet article coûtait 1200€, en supposant que l’évolution se maintienne, quel sera son prix à l’euro prés en 2008 ?
c. Donner aussi une estimation de son prix à l’euro prés en 2006.
2. Un article a subi une hausse de 2% pendant 10 ans.
a. Quelle est, arrondi à 0.1%, la hausse globale ?
b. La 11ème année, il subit finalement une baisse de 5%. Quel est son taux d’évolution moyen annuel sur l’ensemble de ces 11 années ?
c. A l’aide de votre calculatrice, déterminer pendant combien d’année un article doit subir une hausse annuel de 2 % pour augmenter au final de 30%.
3.
a. Entre le 01 janvier 2006 et le 01 janvier 2007, la production d’une entreprise est passée de 150 unités à 220 unités.
Quel est son taux d’évolution globale (à 0.1% prés) ?
b. Le 01 janvier 2007, les entrepreneurs ont cherché à estimer la production au 1er juillet 2007.
Déterminer le taux moyen semestriel entre 2006 et 2007 et conclure.
c. On a finalement constaté que la production du 01 janvier 2007 représentait les 2/3 de celle du 1er juillet 2007. Quelle était cette production (à l’unité prés) ?
Exercice 3 (5 points)
Une PME fournit son chiffre d’affaires (CA), en millier d’Euro, dans le tableau ci-dessous.
1. Compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis au dixième si besoin.
2. Déterminer les taux d’évolution du C.A. entre 2003 et 2004 puis entre 2004 et 2006 (arrondi à 0.1%).
3. Quel est le taux d’évolution annuel moyen entre 2003 et 2006 ?
4. En déduire une estimation du CA en 2007 (à l’euro prés), si cette évolution se poursuit.
Année 2003 2004 2005 2006
C.A 1200 1000 1500
Indice 100 110
Exercice 4- ( 3 points)
Les résultats serons arrondis à 0.01%.
Un gouvernement envisage de baisser un impôt de 30% en cinq ans entre 2001 et 2006.
1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.
Déterminer ce pourcentage de baisse annuel.
2. La première année, cet impôt baisse de 5% ; la deuxième année, la baisse est de 1% et, la troisième année elle est de 3%.
a. Quelle est la baisse en pourcentage de cet impôt au terme de ces premières années.
b. Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider le gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années (arrondir à 0.1%).
3. M. Picsou a payé 2600€ d’impôt en 2006.
a. Quelle somme aurait-il dû payer en 2001 (arrondir à l’euro)?
b. M. Picsou estime que la somme payée en 2006 représente 90% de celle qu’il devra en 2007.
Déterminer cette somme (arrondir à l’euro) ?
SOLUTION Exercice 1 - QCM (4 points)
1. Lorsqu’un prix triple, il subit une hausse de □ 200%
En effet, CM 1 t donc t C M 1 3 1 2 soit 200%.
2. Lorsqu’un produit a subi une hausse de 20%, pour retrouver son prix initial il doit subir une baisse d’environ □ 16.7%
Pour augmenter de 20%, il faut multiplier par 1.2 : donc le coefficient multiplicateur « de retour » est 1
1 0,833 1 0,167
1, 2 . Ainsi le taux est t = c – 1 soit environ 16.7% de baisse.
3. Lorsqu’un produit subit une hausse de 10%, puis de 20 %, puis de 30%, il a globalement augmenté d’environ □ 71.6%
Le coefficient multiplicateur global est CM 1,1 1, 2 1,3 1,716 donc la hausse globale est de 71.6%.
4. Un produit en un an une baisse de 24%. La baisse mensuelle a été d’environ
Si t désigne le taux d’évolution mensuel : (1tM)120, 76 1 tM (0,76)1/12
tM (0, 76)1/121 0,9774 1 0,0226. Soit une baisse mensuelle de 2,26%
Exercice 2 (10 points)
1a. Entre 2000 et 2007 il y a 8 années donc 7 hausses. Avec comme le coefficient multiplicateur global est donné par c = 1.15, on a l’équation
(1tM)71,15 1 tM (1,15)1/ 7tM (1,15)1/ 71 1,0202 1 0,0202 .: le produit a augmenté en moyenne de 2.02% par année.
1b. Si l’évolution annuelle de 2.02% se maintient, le prix en 2008 sera d’environ P1200 1,0202 1224€. 1c. Entre 2006 et 2007, l’évolution moyenne était donc de 2.02%. Le prix en 2006 était d’environ
1200 ' 1,0202
P 1167€
2a. La hausse globale est d’environ (1,02)10 1 1, 2189 1 0, 219 , soit 21,9%.
2b. La 11ème année, il subit finalement une baisse de 5% donc le coefficient multiplicateur est donné par CM (1,02)100,95 .
Le taux d’évolution moyen annuel T sur l’ensemble de ces 11 années vérifie donc
(1tM)11(1,02)100,95 1 tM
(1,02)100,95
1/11tM
(1,02)100,95
1/111 1,0134 1 0,0134 soit en moyenne, 1.34% de hausse annuelle.2c. On cherche le plus petit n tel que (1,02)n1,3. la calculatrice donne n = 14 comme première valeur.
Ainsi un article doit subir une hausse annuel de 2 % pendant au moins 14 ans pour augmenter au final d’au moins 30%.
3a. Entre le 01 janvier 2006 et le 01 janvier 2007, la production d’une entreprise est passée de 50 unités à 220 unités. Son taux d’évolution globale est220 50 170 1700
100 100 3, 4
50 50 5
soit 340% de hausse.
3b.
Le 01 janvier 2007, les entrepreneurs ont cherché à estimer la production au 1er juillet 2007.
Un semestre étant composé de 6 mois, il y a deux semestres dans une année. Le taux moyen semestriel entre 2006 et 2007 est donc :
(1tM)21, 467 1 tM (1, 467)1/ 2tM (1, 467)1/ 21 1, 2111 1 0, 2111 soit 21.1% .
Vu que la production du 01 janvier 2006 était de 150 unités, on peut estimer qu’un semestre plus tard elle sera de 220 1, 211 266 soit environ 266 unités.
3c. La production P du 01 janvier 2007 représentait en fait les 2/3 de celle du 1er juillet 2007 (P’) donc
2 ' ' 3 3 220
3 2 2
P P P P 330 unités Exercice 3 .
Une PME fournit son chiffre d’affaires (CA), en millier d’Euro, dans le tableau ci-dessous.
1. A l’aide de produit en croix, on obtient :
Année 2003 2004 2005 2006
C.A 1200 1000 1500 1320
Indice 100 83,3 125 110
2. Entre 2003 et 2004, le taux d’évolution est donné par T = 83.3 – 100 soit environ 16.7% de baisse.
Entre 2004 et 2006, il est de 1320 1000 0,32 1000
, soit 32% de hausse.
3. Entre 2003 et 2006, la hausse globale est de 110 – 100 = 10%.
Le taux moyen est donc donné par
(1tM)31,1 1 tM (1,1)1/ 3 tM (1,1)1/ 31 1,0323 1 0,0323 , soit 3.2% de hausse annuelle moyenne.
4. Si cette évolution se poursuit, le CA l’année suivante sera environ de 1320 1, 0323 1362€. Exercice 4
1. Soit t, le pourcentage de baisse annuel cherché. On a(1t)50,7 t (0,7)15 1 6,89%
Soit 6,89 % de baisse annuelle .
2. La première année, cet impôt baisse de 5% ; la deuxième année, la baisse est de 1% et, la troisième année elle est de 3%.
a. La baisse en pourcentage de cet impôt au terme de ces premières années est donnée par T 0.950.990.97 1 8.77%.
b. Le pourcentage t cherché vérifie : 0,95 0,99 0,97 (1 t)2 0, 7
0,7 1/ 2
1 0,124 0,95 0,99 0,97
t
.soit une baisse de 12,40%
3. Mr . Picsou a payé 2600€ d’impôt en 2006.
a. Soit S la somme payée en 2001 2600 0,7 2600
S S 0,7 3714€
b. Soit S’ la somme qu’il doit payer en 2007 : 90 2600
2600 ' '
100 S S 0,9
2889€.
