première STLPH -ds3-trigonométrie-polynôme, bis

DS N°3 1°STLPH MATHEMATIQUES 2008-2009 Exercice 1

Résoudre ^{[0; 2 ]} les équations trigonométriques suivants .on donnera la mesure principale de chaque solution .

1. 2

cos(2 ) cos x  3 

  

  2. ^cos(3x^{) cos( )} ^x

3. ^{2sin 2 3}

x 3

   

 

  Exercice 2

Soit P le polynôme P x( ) 4 x³4x² x 1. 1. (a) Calculer ¹

P2 puis déterminer les constantes a, b et c telles que ^{P x( )}



^{2x1 (}



^{ax2bx c ).}

(b) Résoudre dans _ l’équation ^{p x( ) 0} .

2. En déduire la résolution dans_ , puis dans ^{[0;2 [} de l’équation

4sin ( ) 4sin ( ) sin( ) 1 0³ x  ² x  x  

Placer les points correspondants sur le cercle trigonométrique dessiné en annexe Exercice 3

Soit f la fonction définie pour t par: ^{( ) cos 2}

f t   t6, ^t est en radians 1. Que vaut ^f(0) ? Que vaut

f 12 

 

  ? Que vaut f  3

   ? Que vaut f  4

   ? Que vaut f  6

   ? Que vaut

f  2

   ? Que vaut ^{f( )} ?

2. Soit t un nombre réel. Comparer ^{f t(} ⁾ et ^{f t( )} . Que peut-on en déduire pour f ? 3. Soit f la fonction définie sur _ par f(x)=cos3x

Montrer que f est paire. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative (C) de la fonction f ?

Quelle est sa période ?

Annexe

1

-1 O 1

-1 -1/2 -1/2

1/2

1/2









+



1.

cos(2 ) cos 2 x   3 

 

2 2 2

3 3

2 2 2

3 3

x k x k

k

x k x k

   

   

     

 

 

  

       

 

 



; ,

3 3

S x  k   k avec k 

 

  ; _{[0;2 ]} 2 4

; ; ;

3 3 3 5

S _      

 .

[0;2 ]

cos(3 ) cos( )

3 5

. ;

2 2 2 2 2

3 2 3 2 4 2

2

4 2

2 , ; ; ; ; ;

4 2 4 4 4 4

x x x x k k x x k k x k k

x x k x x k x k

k S k k avec k S

x k

x k ^



        

     

     

 

 

      

    

 

          

             

     

   

  

 

 

   

 

 ^  

  

 

[0;2 ]

2sin 2 3 sin 2 3 sin

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2 2

3 3 ; , 2

2 sin

3 3 2 3 3

; ; ;

2 3 6 3 6

2 2

3 6

x k

x k

x k x k

S k k a

x x x

vec k S

x k x k



  

   

         

 



   

 

    

  

    



       

  

   



      

      

   

 

      

 



 

        

       

   



   

  5

3 ; 6

  

 

 

Exercice 3 ^{( ) cos 2} f t   t6 1. ^{(0) cos 3}

6 2

f  

  

  ; ^{( ) cos cos 0}

12 6 3 2

f     

     

   

^{cos 2 cos 1}

3 3 3

f^{ }   ^   ^   

    ; ^{cos 2 cos cos 2 1}

4 4 6 2 6 3 2

f         

      

       

       

cos 2 cos cos 0

6 6 6 3 6 2

f         

     

       

        ^{cos 2 cos cos 5 3}

2 2 6 6 6 2

f^{ }   ^   ^ ^ ^ ^ ^ 

        .

2. ^{f t T(  ) f t( )}

^{cos 2}

 

^{cos 2 2}

 

^{2 2 2 2 2 2}

6 6 6 6 6 6

t T  t  t T  t   t T  t  

                 

   

   

2T 2  T  par conséquent f est périodique de période T  Exercice 2

P x( ) 4 x³2x²2x1

3. P



^{1/ 2}

 

^{4 1/ 2}



³ ^{2( 1/ 2)2}  ²



^{1/ 2}



  ¹ 1/ 2 1/ 2 1 1 0    donc ^{P( 1/ 2) 0 } .^{x1/ 2} est une solution de l’équation ^{P x( ) 0}

2 3 2 2

3 2 3 2

( ) (2 1)( ) 2 2 2

2 ( 2 ) ( 2 ) 4 2 2 1

P x x ax bx c ax bx cx ax bx c

ax a b x b c x c x x x

         

        

2 4

2 2 2 ,

2 2 2 2 0

2 2

1 1

a a

a b

b a

b c

c c

 

 

  

      

    

   

  



et p x( ) (2 x1)(2x²1)

^{p x( ) 0 } (2x1)(2x² 1) 0 2x 1 0 ou 2x² 1 0 , on a donc ^{S  } ¹₂^; ₂^{2 ;} ₂^{2 }

 

 

c) on pose ^{usin(2 )x} et on a P(sin(2 )) 0x  puis on résout les équations correspondantes à chacune des 3 valeurs trouvées dans la question précédente .

1 5

sin 2 sin 2 sin 2 2 2 2

2 6 6 6 12 12

x   x ^ ^^ x   k ou x   ^  ^ k  x  k ou x  k

    

^{sin 2 2 sin 2 sin 2 2 2 2 5}

2 4 4 4 8 8

x   x ^ ^^ x   k ou x    k    x  k ou x  k

  

^{sin 2 2 sin 2 sin 2 2 2 2 3}

2 4 4 4 8 8

x  x ^{ }  ^ x  k ou x    k   x  k ou x  k

  

_{[0;2 ]} 5 11 17 5 7 13 3 9 11

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

12 12 12 12 8 8 8 8 8 8 8 8

S _             

 

3. f⁽ x) cos( 3 ) cos(3 ) x  x  f x( ) , donc f est une fonction paire . par conséquent la courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

^{2 2} T  3

   , puisque  ^{3 f t T(  ) f t( )}

cos 3(



x T )



cos 3

 

x 3



x T



3x2 3x3T 3x2

2

3 2

T  T 3

    par conséquent f est périodique de période 2 T  3







 











 

1/2 1

-1 1/2

1/2 1

-1/2

-1

x y

O

A M

M₁

M₂

M₃

M₄

M5

M₆ C B

D E

