CALCUL DES CHAMBRES D'ÉQUILIBRE DÉVERSANTES AVEC APPORT DE DÉBIT

Septembre t 9 5 7 . — № 4 LA H O U I L L E B L A N C H E 555

C a l c u l d e s c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e d é v e r s a n t e s avec a p p o r t d e d é b i t

C a l c u l a t i o n s f o r s p i l l i n g surge t a n k s w i t h i n c o m i n g f l o w

PAR L. ESCANDE

M E M B R E D E L ' I N S T I T U T , I N G É N I E U R I . E . Ï . ,

D I R E C T E U R D E L ' É C O L E N A T I O N A L E S U P E R I E U R E D ' É L E C T R O T E C H N l Q U E E T D ' H Y D R A U L I Q U E D E T O U L O U S E

/. Calcul approché du volume total déversé sur le seuil d'une cheminée d'équilibre (avec ou sans étranglement) dans le cas où un débit d'apport tombe directement dans la cheminée, en amont du seuil, au-dessus de l'étranglement lorsqu'il y en a un.

Phase préliminaire au déversement - Première hypothèse pour l'étude du déversement - Etude du déversement - Deuxième hypothèse - Compa- raison avec la] méthode graphique - Remarque et conclusion.

II. Même calcul dans le cas où le débit d'ap- port débouche dans la cheminée, au-dessous de l'étranglement éventuel.

Phase préliminaire au déversement - Etude du déversement dans l'hypothèse dyun seuil de lon- gueur infinie et dans celle d'un seuil de lon- gueur finie - Comparaison avec la méthode graphique et conclusions.

I. Approximation of the volume spilt over the sill of a surge tank, with or without restriction, for the case where the incoming flow falls (a) directly into the tank, (b) upstream of the sill and (c) above the restriction, when there is one.

Preliminary phase to spillage - First assump- tion for spillage investigation - Spillage inves- tigation - Second hypothesis - Comparison with the graphical method - Remarks and conclusion.

II. The same calculation for the case where the incoming flow enters the surge lank below a possible restriction.

Preliminary phase to spillage - Spillage inves- tigation based on (a) a sill of infinite length and (b) a sill of finite length - Comparison with the graphical method and conclusions.

C H A P I T R E I

C A S O U L ' A P P O R T D E D É B I T S ' E F F E C T U E A L A P A R T I E S U P É R I E U R E D E L ' O U V R A G E

D a n s u n t r a v a i l a n t é r i e u r ( 1 ) , n o u s a v o n s é t a - bli les f o r m u l e s e t i n d i q u é l a m é t h o d e p e r m e t - t a n t d e c a l c u l e r d i r e c t e m e n t le v o l u m e t o t a l d é - v e r s é s u r le s e u i l d ' u n e c h e m i n é e d ' é q u i l i b r e , c o m p o r t a n t o u n o n u n é t r a n g l e m e n t , à l a s u i t e d ' u n a r r ê t c o m p l e t i n s t a n t a n é d u d é b i t m a x i - m u m Q0 d e s t u r b i n e s .

D a n s l e p r é s e n t c h a p i t r e , n o u s e n v i s a g e o n s le m ê m e p r o b l è m e , d a n s le c a s où u n d é b i t d ' a p - P °rt Q a t o m b e d i r e c t e m e n t d a n s la c h e m i n é e , e n

a m o n t d u s e u i l , a u - d e s s u s d e l ' é t r a n g l e m e n t é v e n t u e l (fig. 1).

P h a s e p r é l i m i n a i r e a u d é v e r s e m e n t Z e t A d é s i g n a n t r e s p e c t i v e m e n t l a c o t e d u p l a n d ' e a u , à l ' i n s t a n t t, e t c e l l e d u s e u i l d u (ï) C.R.A.S., t . 235, p . 338, 1952 et Bulletin de la Société Française des Mécaniciens, n° 5, j u i n 1952.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957047

5 5 6 LA H O U I L L E B L A N C H E № 4. — SEPTEMBRE 1 9 5 7

F i g . 1

d é v e r s o i r , a u - d e s s u s d u n i v e a u s t a t i q u e , le d é - v e r s e m e n t n ' i n t e r v i e n t q u e l o r s q u e Z d é p a s s e A.

J u s q u e - l à , l ' o s c i l l a t i o n i n t é r e s s e u n e c h a m b r e d ' é q u i l i b r e n o n d é v e r s a n t e , p o u r l a q u e l l e la m é - t h o d e g r a p h i q u e p e r m e t d ' é t u d i e r l a m o n t é e , c o m m e n o u s l ' a v o n s m o n t r é ( 1 ) .

L e s é q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s d e s o s c i l l a t i o n s s ' é c r i v e n t , d a n s ce c a s , e n t r e g r a n d e u r s r e l a - t i v e s :

v ( r f / ; A i z ) + z + s / ; +^E' r = 0 w=v IV u

P=p⁰ W²=p⁰ ( y — H > J² J'o " >2= r⁰ (v — w^a)²

g — s ' a y a n t p o u r v a l e u r a b s o l u e l ' u n i t é et p o u r s i g n e c e l u i d e w—v — w^ai

a v e c les n o t a t i o n s s u i v a n t e s :

F W

l o n g u e u r e t s e c t i o n d u c a n a l d ' a m e n é e .

s e c t i o n h o r i z o n t a l e d e la c h a m - b r e d ' é q u i l i b r e .

v i t e s s e d a n s le c a n a l d ' a m e n é e , c o m p t é e p o s i t i v e m e n t q u a n d l ' e a u se d i r i g e v e r s l a c h a m - b r e .

(1) C.R.A.S., L 224, p p . 185, 537, 805; 1947.

La Houille Blanche, j u i l l e t - a o û t et septembre-octobre 1947.

V

W⁰, V⁰, U⁰

v i t e s s e a s c e n s i o n n e l l e d u p l a n d ' e a u d a n s l a c h e m i n é e d ' é q u i - l i b r e .

v a l e u r s d e W , V e t U définies p a r les r e l a t i o n s :

Q o = / W o = F V⁰= F U⁰ T = 2 VLF/<7f p é r i o d e d e s o s c i l l a t i o n s en l ' a b -

s e n c e d e d é v e r s e m e n t , d e p e r - t e s d e c h a r g e , d ' é t r a n g l e m e n t , et d e d é b i t d ' a p p o r t .

Z * = W⁰V L / Y # F a m p l i t u d e d e s o s c i l l a t i o n s d a n s les m ê m e s h y p o t h è s e s , p o u r le d é b i t Q⁰.

P et P⁰

R et R n

W

p e r t e s d e c h a r g e d a n s le c a n a l d ' a m e n é e p o u r les v i t e s s e s r e s - p e c t i v e s W e t W⁰.

p e r t e s d e c h a r g e d a n s l ' é t r a n - g l e m e n t R à l ' i n s t a n t t e t R⁰ l o r s q u e l ' é t r a n g l e m e n t e s t t r a - v e r s é p a r le d é b i t Q⁰.

v i t e s s e définie par* l a r e l a t i o n Q e = f W^a.

V—

Po=

V

V⁰ w= W w „

w „

p= z *

W⁰ J k

z *

z Z^t R

_A_

Z*

i T O n r e m a r q u e q u e , p e n d a n t t o u t e la p h a s e p r é - l i m i n a i r e a u d é v e r s e m e n t , W r e s t e positif, et

l ' o n a e = = e ' ' = + l .

L e s é q u a t i o n s d e s o s c i l l a t i o n s n e s o n t p a s i n - t e g r a b l e s a n a l y t i q u e m e n t , m a i s l a m é t h o d e g r a - p h i q u e c i - d e s s u s r a p p e l é e (1) p e r m e t d e déterj- m i n e r la v a l e u r w^x d e w à l ' i n s t a n t o ù d é b u t e le d é v e r s e m e n t .

O n e n d é d u i t les v a l e u r s Wi—w^x W⁰ et Q¹=fW-^l=w¹ Q⁰ d e la v i t e s s e W i d a n s le c a n a l d ' a m e n é e et d u d é b i t Q^x d é b o u c h a n t d e ce c a n a l d a n s la c h a m b r e d ' é q u i l i b r e à l ' i n s t a n t ou c o m - m e n c e le d é v e r s e m e n t .

P r e m i è r e h y p o t h è s e

f a i t e p o u r l ' é t u d e d u d é v e r s e m e n t Z d e v e n a n t s u p é r i e u r à A, le d é v e r s e m e n t c o m - m e n c e s o u s u n e l a m e d ' a b o r d r a p i d e m e n t c r o i s - s a n t e , p u i s m a x i m u m et e n f i n d é c r o i s s a n t e .

D a n s n o t r e c a l c u l , n o u s r a i s o n n o n s c o m m e si la l o n g u e u r d u s e u i l d é v e r s a n t é t a i t i n f i n i m e n t g r a n d e , la c h a r g e c o m m a n d a n t le d é v e r s e m e n t r e s t a n t p r a t i q u e m e n t n u l l e .

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 L. E S C A N D E

A u t r e m e n t d i t , n o u s s u p p o s o n s q u e Z c o n ­ s e r v e la v a l e u r A p e n d a n t t o u t e la d u r é e d u d é - v e r s e m e n t , et n o u s n e t e n o n s p a s c o m p t e , de ce fait, d e s a c c u m u l a t i o n s p o s i t i v e s ou n é g a t i - ves à l ' i n t é r i e u r de la c h a m b r e .

L e s e r r e u r s p o u v a n t r é s u l t e r d e c e t t e h y p o - t h è s e s o n t f o r c é m e n t d a n s le s e n s de la s é c u - r i t é : n o u s f a i s o n s i n t e r v e n i r , e n eiïet, p e n d a n t t o u t le d é v e r s e m e n t , p o u r le f r e i n a g e de l'eau e n m o u v e m e n t d a n s le c a n a l d ' a m e n é e , u n e c o n - t r e - p r e s s i o n i n f é r i e u r e à la c o n t r e - p r e s s i o n r é e l l e d u fait d e la c h a r g e a u - d e s s u s d u seuil d é v e r s a n t .

E t u d e d u d é v e r s e m e n t

Avec l ' h y p o t h è s e p r é c é d e n t e , les é q u a t i o n s gé- n é r a l e s s ' é c r i v e n t :

L dW

+ A + s ( P + R ) = 0

g dt

P + R = ( P o + R o ) W Y Wⁿ*

Qct=fW + Q a

Q^d d é s i g n a n t le d é b i t d é v e r s a n t à l ' i n s t a n t t.

O n a d o n c l ' é q u a t i o n : L dW 9 dl

avec

d o n t l ' i n t é g r a t i o n d o n n e , e n p r e n a n t c o m m e n o u - velle o r i g i n e d u t e m p s le d é b u t d u d é v e r s e m e n t ,

t a n t q u e W est positif, c ' e s t - à - d i r e t a n t q u e

£ = 1 : t= L

a r c t g W i V X / A — a r c tg W V V A

( 1 )

g VA),

O n e n d é d u i t :

a r c l g W y/ - ^ - = a r c t g W , yj±

et le d é b i t d é v e r s a n t Q '^{( l} :

g VAX L

(2)

. ^A- l + y „ ~ / y ^{x i vT7ff}> l K ( g v ^ // L)

(3) Ce d é b i t e s t é v i d e m m e n t m a x i m u m et égal à :

Qv=rWi + Qa=u>i Q o + Q . W à l ' i n s t a n t z é r o d u d é b u t d u d é v e r s e m e n t , d ' a p r è s

l ' h y p o t h è s e d e b a s e .

L e s r e l a t i o n s (1), (2), (3) s o n t v a l a b l e s j u s q u ' à l ' i n s t a n t 0' o ù W s ' a n n u l e , i n s t a n t d o n n é , d ' a p r è s (1), p a r :

L

„ _ a r c tg W^t V V A (5)

g V A A °

L e v o l u m e d é v e r s é , d e 0 à 0', est d o n n é p a r :

a v = r Q'^{r f} dt

L ' i n t é g r a t i o n , c o m p t e t e n u de la v a l e u r (3) d e Q'^di s'effectue en p o s a n t :

ii = lg \(g V A X / L ) /1

ce q u i d o n n e :

L du el :

g V A X H - " - \ L

r/x y

1 + W - , vTTÂ.n " H-»- '

L ' i n t é g r a t i o n d e c e l l e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e et la s u b s t i t u t i o n à 0' d e sa v a l e u r (5) d o n n e n t f i n a l e m e n t :

- L o g

2 g*

1 -Q«o' (6)

ou :

u " = o ^2 f/X "^{L o}8 ^TH \

g VAA V A A p r è s l ' i n s t a n t 0⁷, W d e v i e n t n é g a t i f et i — — i^{? (}]^c telle s o r t e q u e l ' é q u a t i o n à i n t é g r e r s'écrit :

L d W 9 dt

L ' i n t é g r a t i o n de c e l l e é q u a t i o n à v a r i a b l e s s é - p a r é e s d o n n e , en c o m p t a n t / à p a r t i r de l ' i n s - t a n t 0', p r i s c o m m e n o u v e l l e o r i g i n e d u t e m p s :

L L o g ~ l ± ^ ^ (7)

2 g V A X 1 1

w

O n en d é d u i t :

/ A cZffV'tât/ï'- W = - ~ i / v ^ . î — ^ •

V A ^c;2g\/A*I/H

(8) + 1

v a l e u r é v i d e m m e n t n é g a t i v e , et le débit d é v e r s a n t

(9)

5 5 8 LA H O U I L L E B L A N C H E № 4. — SEPTEMBRE 1 9 5 7

L e f a c t e u r q u i m u l t i p l i e / V A / X é t a n t i n f é - r i e u r à l ' u n i t é , p o u r t o u t e s les v a l e u r s p o s i t i v e s d e t, le d é b i t d é v e r s a n t n e s ' a n n u l e j a m a i s si T o n a :

Q⁰> Q R a v e c Q^r= / y'-A- = / W⁰ yA

>o + R o

e t il t e n d a s y m p t o t i q u e m e n t v e r s l a v a l e u r li- m i t e Q "^Ä :

Q"u=Qo— Q r = Q a — Q o V A / ( P⁰+ R⁰) (10)

e n u n t e m p s i n f i n i .

O n p e u t r e m a r q u e r q u e :

Q r

~

V

r e p r é s e n t e le d é b i t d u c o u r a n t d e r e t o u r q u i , d a n s le r é g i m e p e r m a n e n t final, s ' é t a b l i r a a s y m p - t o t i q u e m e n t d a n s le c a n a l d ' a m e n é e , d é b i t d o n t l ' e x p r e s s i o n s ' o b t i e n t i m m é d i a t e m e n t e n r e m a r - q u a n t q u ' i l s'effectue s o u s l a c h a r g e A.

C o m p t e t e n u d e c e t t e r e m a r q u e , si l ' o n a : Q a < f V A / X o u Q^a< Q^{r ( 1 1 )} le d é b i t d é v e r s a n t s ' a n n u l e a u b o u t d ' u n t e m p s fini 6", t o u j o u r s c o m p t é à p a r t i r d e G', t e l q u e :

2 g V A ~ T ^L ° ⁸ / V A / X — Q „

= - L o g S^{R +} S ° (12)

2 g VAX ^S

Qr —Q«

D a n s l ' h y p o t h è s e ( 1 1 ) , le v o l u m e d é v e r s é , a p r è s l ' i n s t a n t 0', e s t d o n n é p a r l ' e x p r e s s i o n : u ^a.— Q " a < f t = Q a 0 " — f V A / X

/-«" (.ZgyÄTt/z, l

e2pyA\t/T. _|__ J

dt (13)

Û "A= Q . E " — / V A / x

Q"a=Q^a0" — fL/gk L o g

t h

(SL^l

C H FST^L R

or :

S O ^ L

e t :

c h 6"

Qr—Qa

1 QR

Vl-(Q„VQr

)

Q.

d ' o ù :

o u : Q"„ =

Qa²

Q E L

2 g V A X

L o g

+ ^ L o ^g ^

2</X

Q R + Q A

Qr—Qa

Q r

(14)

2 gl ° Q ,2

L e v o l u m e d é v e r s é t o t a l e s t :

soit :

2fl-X L o g 1- W ^ X W Q , .2 — Q A2

A ; L Q R²

+ Q A ( 9^/+ 6 " ) (15) ou e n c o r e , e n r e m a r q u a n t q u e :

W j ^â / P⁰+ R⁰ _ f W^{1 =} Çh

QR Q , Qt) QM Q a

w ,

/1

ik ^Log

Q r Q r ' ( Q r² + Q l²) ( Q r²- Q a²) '

+ Q^œ (Ô'+O") ( 1 5 0 a v e c 0 d é s i g n a n t la d u r é e t o t a l e d u d é v e r s e m e n t :

L

O = E ' + O ' " = •

g V A X

a r c t g W¹y/- ^ - + l / 2 L o g ^{Q R + QA}

QR — Q ,

(16) o u

0 =

g V A X

« c t g - £ + 1 / 2 L o g Q i

(160

Q R + Q A

D e u x i è m e h y p o t h è s e

f a i t e p o u r l ' é t u d e d u d é v e r s e m e n t D a n s n o t r e t r a v a i l a n t é r i e u r c o n c e r n a n t les c h a m b r e s s a n s d é b i t d ' a p p o r t , n o u s a v i o n s m o n - t r é q u ' u n e a p p r o x i m a t i o n n e t t e m e n t s u p é r i e u r e p o u v a i t ê t r e o b t e n u e , v i s - à - v i s d e s r é s u l t a t s a u x - q u e l s c o n d u i s a i t l ' h y p o t h è s e d u s e u i l d é v e r s a n t d e l o n g u e u r infinie à l a c o t e A : il suffisait d e r e m p l a c e r , d a n s les f o r m u l e s g é n é r a l e s r e l a t i v e s à l a p h a s e d u d é v e r s e m e n t , o b t e n u e s à p a r t i r d e c e t t e h y p o t h è s e , le t e r m e A p a r le s u i v a n t :

A ' = A + 0 , 5 f t^x (17)

h^t d é s i g n a n t la c h a r g e n é c e s s a i r e p o u r l ' é c o u l e - m e n t , e n r é g i m e p e r m a n e n t , a u - d e s s u s d u d é v e r - soir, d u d é b i t m a x i m u m Q^M.

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 L . E S C A N D E 5 5 9

N o u s a d o p t e r o n s , c o m m e d e u x i è m e h y p o t h è s e , le m ê m e m o d e o p é r a t o i r e p o u r le c a s d e l ' é t u d e a c t u e l l e c o n c e r n a n t u n e c h e m i n é e a v e c d é b i t d ' a p p o r t .

W i et Q^M c o n s e r v a n t l a m ê m e v a l e u r q u e d a n s la p r e m i è r e h y p o t h è s e , t o u t e s les f o r m u l e s é t a - blies p o u r celle-ci s o n t i m m é d i a t e m e n t a p p l i c a - b l e s e n y s u b s t i t u a n t A ' à A.

C o m p a r a i s o n s

a v e c l a m é t h o d e g r a p h i q u e c l a s s i q u e N o u s l e s a v o n s effectuées e n c o n s i d é r a n t p l u - s i e u r s c a s c o r r e s p o n d a n t t o u s a u m ê m e c a n a l d ' a m e n é e , a u m ê m e d é b i t t o t a l Q⁰ e t à u n e m ê m e c h e m i n é e d ' é q u i l i b r e d é v e r s a n t e :

L = 4 . 1 3 8 m \

f = 3 , 4 6 4 m² J L a l o n g u e u r d u d é v e r s o i r Q⁰= 8 m³/ s ( e s t t e l l e q u ' u n d é v e r s e m e n t p⁰= 8 , 5 m ( d e 8 m³/ s c o r r e s p o n d à u n e F = 5 , 5 5 m² \ c h a r g e d e 0,75 m .

A = 3 m J

N o u s a v o n s e n v i s a g é le c a s d ' u n e c h a m b r e or- d i n a i r e , d ' u n e p a r t , e t d ' u n e c h a m b r e à é t r a n - g l e m e n t , d ' a u t r e p a r t , e t n o u s a v o n s c o n s i d é r é les d i v e r s e s v a l e u r s s u i v a n t e s d u d é b i t d ' a p p o r t :

0 m³/ s

T A B L E A U II Q^{f t}= l , 5 m³/ s 1 ^ = 0 m

1,5 m³/ s 3 m³/ s 4,5 m³/ s

p o u r R^o= 0

p o u r R^o= 1 0 m ( 0 m³/ s

Q^a= l , 5 m³/ s ( 3 m³/ s

L e d é b i t d e 4,5 m³/ s c o n d u i t , e n effet, à u n d é v e r s e m e n t p e r m a n e n t ( Q^a> Q^r) p o u r la c h e - m i n é e à é t r a n g l e m e n t , c o n t r a i r e m e n t à ce q u i se p a s s e p o u r l a c h a m b r e o r d i n a i r e .

L e s t a b l e a u x I à V I I d o n n e n t , e n f o n c t i o n de Q^a, p o u r R^o= 0 ( t a b l e a u x I à IV) et p o u r R^o= 1 0 m t a b l e a u x V à V I I ) , c a l c u l é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r

T A B L E A U I

Qa=0m3/s R o - 0 m

MÉTHODE g r a p h .

MÉTHODE ANALYTIQUE MÉTHODE

g r a p h .

H y p o t h è s e A Hypothèse A' v a l e u r

obt.

v a l e u r obt.

e r r e u r en %

v a l e u r obt.

e r r e u r en %

Q^Mm 8 / s .

1

>

1

ô's

1 1

1 1

1 1

1 1

—

6 s 1 8 31 8 3

1 1

1 1

1

1

METHODE MÉTHODE ANALYTIQUE

g r a p h . g r a p h .

H y p o t h è s e A H y p o t h è s e A^/ v a l e u r v a l e u r e r r e u r v a l e u r 1 e r r e u r

obt. obt. en % obt.

J

Q^Mm³/ s . | 7 , 7 5 7 , 7 8 1 0 , 3 8 7 7 , 7 8 1 0 , 3 8 7 ô's | 1 6 1 1 7 7 , 8 j 1 0 , 4 2 1 6 2 , 6

1

6" s | 5 9 6 3 , 1

1

| 7 0 0 7 7 4 , 8 1 0 , 7 7 1 3 , 6 1 , 9 4

T A B L E A U I I I

Q^a= 3 m V s ⁰ m

METHODE MÉTHODE ANALYTIQUE

g r a p h . g r a p h .

H y p o t h è s e A H y p o t h è s e À⁷ v a l e u r v a l e u r e r r e u r v a l e u r e r r e u r

obt. obt. en % obt. en %

Q^Mm V s . ^{7 , 8 3 | 7 , 8 8} 0 , 6 3 8 | 7 , 8 8 | 0 , 6 3 8 ÇKs 1 3 5 | 1 3 5 | 1 5 4 1 5 4 1 4 , 0 81 4 , 0 8

1 1

1 1

1 1

i i

1

T A B L E A U I V Q^{t t}-4,5m3/s R^o = 0ra

MÉTHODE g r a p h .

MÉTHODE ANALYTIQUE MÉTHODE

g r a p h .

H y p o t h è s e A H y p o t h è s e A' v a l e u r

obt.

v a l e u r obt.

e r r e u r en %

v a l e u r obt.

j e r r e u r j en % Q M ^ / S . 1 ⁷>⁹! 7 , 9 2 7 1 0 , 3 4 2 7 , 9 2 7 0 , 3 4 2 6' s ! 1 0 2 ¡ 1 2 0 , 3 ! 1 0 2 ¡ 1 2 0 , 3 1 7 , 9 5 1 1 0 8 , 8 1 7 , 9 5 1 1 0 8 , 8 6 , 6 6 6 , 6 6 e^r' s

1 1

1 1

5 6 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

T A B L E A U V

Q^{( l} = 0 m « / s R⁰= 1 0 m

MÉTHODE MÉTHODE ANALYTIQUE

g r a p h . g r a p h .

H y p o t h è s e A H y p o t h è s e A' v a l e u r v a l e u r e r r e u r valeur e r r e u r

obt. obt. en % obt. en %

Q^Mm 8 / s . i 6,97 7,02 ¹ 0,72 7,02 0,72 r s | 1 4 0 | 1 4 0 149,3 149,3 11 6,65 138 6,65 138 — 1 , 4 3 — 1 , 4 3 ô" s 11 o o 0 0 1 o o

Os | 140 | 140 149,3 149,3 11 6,05 138 6,05 138 — 1,43 — 1,43 1 3 4 4 370 1 7,6 350 ' 1,75

T A B L E A U VI

Q^a = l,5 m V s 10 m

MÉTHODE MÉTHODE ANALYTIQUE

g r a p h . g r a p h .

H y p o t h è s e A H y p o t h è s e A' v a l e u r valeur e r r e u r voleur e r r e u r

o b t obt. en % obt. en %

Q^Mm V s . | 7,47' 7,49, 1 0,268 1 7,49( 0,268 ô^l/ s 130 | 130 | 140,7 1 8,24 140,7 1 8,24 129,8 | — 0,144 129,8 | — 0,144 ô " s . . . | 63 66 1 4,76 58,06 — 7,84

6 s 1 193 206,7 1 7,1 187,86 — 2,66

£ï^d m^{: ï}. . . . I 528 573 1 8,52 531,8 | 0,72

T A B L E A U V I I

Q^a= = 3 m 3 / s R⁰= 1 0 m MÉTHODE

g r a p h .

MÉTHODE ANALYTIQUE MÉTHODE

g r a p h .

H y p o t h è s e A H y p o t h è s e A' v a l e u r

obt.

v a l e u r obt.

e r r e u r en %

val eur obt.

e r r e u r en % Q^Mm V s . 1 7 , 7 5 7 , 7 7 7 1 0 , 3 5 7 , 7 7 7 0 , 3 5 0' s 1 1 4 1 1 1 4 1 1 2 7 , 7 1 2 7 , 7 1 21 2 i i 1 1 7 , 2 J 1 1 7 , 2 J 2 , 8 2 , 8 0" s ¡ 1 9 7 ¡ 1 9 7 2 1 9 2 1 9 1 1 1 , 1 6 1 6 9 , 31 1 1 , 1 6 1 6 9 , 3 i i — 1 4 — 1 4 0 s ! 3 1 1 3 4 6 , 7 1 1 1 , 4 8 2 8 6 , 5 — 7 , 8 8 Q , n v > . . . . 1 7 6 4 8 5 6 ! 1 2 , 0 3 7 7 4 , 7 1,4

l a m é t h o d e g r a p h i q u e c l a s s i q u e , p u i s p a r la p r e - m i è r e m é t h o d e a n a l y t i q u e a p p r o c h é e e x p o s é e d a n s c e t t e é t u d e ( h y p o t h è s e A) e t enfin e n t e n a n t

c o m p t e d e la s u b s t i t u t i o n d e A⁷ à A ( h y p o t h è s e AO, les t r o i s v a l e u r s à c o m p a r e r :

— d u d é b i t m a x i m u m Q^M;

— d u v o l u m e t o t a l d é v e r s é O^d;

— d e la d u r é e 8' r e l a t i v e a u d é v e r s e m e n t a v e c W > 0 ;

— d e la d u r é e 0" r e l a t i v e a u d é v e r s e m e n t a v e c W < 0 ;

— d e l a d u r é e 6 = 0 ' + 0 " r e l a t i v e a u d é v e r s e m e n t t o t a l ,

a i n s i q u e les e r r e u r s r e l a t i v e s c o r r e s p o n d a n t à la c o m p a r a i s o n d e s r é s u l t a t s o b t e n u s a u m o y e n d e T u n e ou l ' a u t r e d e s m é t h o d e s a n a l y t i q u e s a p p r o c h é e s , a u x v a l e u r s f o u r n i e s p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e c l a s s i q u e .

P o u r les f i g u r e s , c o n v e n o n s d ' a p p e l e r , p a r e x e m p l e Û</^G, û<*^A, Q "^{v V}, les v o l u m e s Q^Â c a l c u - lés p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e (Q^do)> P^AR *^a P^{r e}~ m i ô r e m é t h o d e e x p o s é e d a n s la p r é s e n t e é t u d e (Qrf^A) et p a r la m é t h o d e i n d i q u é e e n s e c o n d l i e u et s u b s t i t u a n t A ' et A ( Q *^A0 ; a d o p t o n s u n e c o n - v e n t i o n a n a l o g u e p o u r 0^^(;, 0*^A, 0"^A-, e t c .

1 0 0 0

Ï.5 4 , 5

FIG. 2

R0 ^ 0

Qn m5/s

4 . 5

FIG. 4

N o u s a v o n s r e p r é s e n t é , e n f o n c t i o n de Qa : - les c o u r b e s d o n n a n t les v a l e u r s de 0"⁰> Q<*^A,

Q*^A', s u r l a figure 2 p o u r R^o= 0 , et s u r la figure 6 p o u r R⁰= 1 0 m ;

7 5 0 h

5 0 0 h

Fit;, fi

Q A " I3/ S

— les c o u r b e s d o n n a n t les v a l e u r s de 0'^{( î}, û'^A, ô '^v et de e"⁰, 0"^A, 0"^A., s u r l a figure 3 p o u r R^o= 0 et s u r la figure 7 p o u r R⁰= 1 0 m ;

7

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 - L . E S C A N D E 5 6 í

F i o . :¡ _{F I G .} 5

5 6 2 LA H O U I L L E B L A N C H E № 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

F I G . 7

- l e s c o u r b e s d o n n a n t les v a l e u r s d e 0^G, 0'^A, 0'^A. s u r la figure 4 p o u r R^o= 0 et s u r l a f i g u r e 8 p o u r R^o= 1 0 ra;

- les c o u r b e s d o n n a n t les v a l e u r s d e QKGJ QMA>

QMA» ^{su r} la f i g u r e 5 p o u r R^o= 0 et s u r l a fi­

g u r e 9 p o u r R⁰= 1 0 m .

R e m a r q u e

L e s c o m p a r a i s o n s p r é c é d e n t e s p e r m e t t e n t d e se r e n d r e c o m p t e d u d e g r é d ' a p p r o x i m a t i o n q u e l ' o n o b t i e n t e n n é g l i g e a n t , d a n s le c a l c u l , les v a r i a t i o n s d e l a c h a r g e a u - d e s s u s d u d é v e r s o i r et e n c o n s i d é r a n t u n e c o n t r e - p r e s s i o n m o y e n n e c o n s t a n t e .

N o u s a v o n s v o u l u n o u s r e n d r e c o m p t e é g a l e - m e n t d e s d e g r é s d e p r é c i s i o n c o m p a r é s d u c a l - c u l a n a l y t i q u e et d e l a m é t h o d e g r a p h i q u e , e n n o u s p l a ç a n t d a n s le c a s d ' u n s e u i l d e l o n g u e u r i n f i n i e p o u r l e q u e l o n a / ^ = 0 et p o u r l e q u e l , p a r c o n s é q u e n t , le c a r a c t è r e a p p r o x i m a t i f d e l a m é - t h o d e a n a l y t i q u e d i s p a r a î t .

D a n s ce b u t , n o u s a v o n s , à p a r t i r d e s m ê m e s d o n n é e s n u m é r i q u e s q u e c i - d e s s u s , e n n o u s l i m i t a n t a u c a s d e R⁰= 0 et e n c o n s i d é r a n t s u c - c e s s i v e m e n t les q u a t r e d é b i t s d ' a p p o r t :

Qa=

0 m³/ s 1,5 m³/ s 3 m³/ s 4,5 m³/ s

a v e c A = 3 m

effectue les c o n s t r u c t i o n s g r a p h i q u e s c o r r e s p o n - d a n t e s .

F I G . 8

Qm m3/ s

Qm A' Q^mA

Qm G ^Qm

R0 = iOr

1.5 4,5

Fin. ⁹

L e s t a b l e a u x V I I I à X I d o n n e n t , e n f o n c t i o n d e Q^ai c a l c u l é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r l a m é t h o d e g r a p h i q u e , p u i s p a r l a m é t h o d e a n a l y t i q u e , les d e u x v a l e u r s à c o m p a r e r :

— d u d é b i t m a x i m u m Q^M,

— d u v o l u m e t o t a l d é v e r s é O^{f 7},

— d e la d u r é e 0' d u d é v e r s e m e n t a v e c W > 0 ,

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — № 4 L . E S C A N D E 5 6 3

T A B L E A U VIII

= O m s / s R^o= 0 m

MÉTHODE Ecart

en % g r a p h i q u e a n a l y t i q u e

Ecart en %

Q^Mm V s 7,65 7,61 — 0,52

ô ' s 194 191,6 — 1,23

Q"s . . . . | 1 1

o s 194 191,6 — 1,23

Û * m⁸ 581,6

1

T A B L E A U IX Q0= l , 5 m » / s R^o= 0 m

T A B L E A U X

Q^a= 3 m s / s R⁰= 0 m

MÉTHODE E c a r t

en % g r a p h i q u e a n a l y t i q u e

E c a r t en %

Q^Mm * / s 7,78 7,78 0

0' s 175 175 177,8 177,8 ; 1,6 ; 1,6

e "^s 64,8 64,8 63,1 63,1 — 2,6 — 2,6 ô s 239,8 239,8 240,9 240,9 ¹¹ 0,46 0,46

Q 7 m³. . . 760 1 774,8 ¡ 1,95

d ^{i l A} 760 1 774,8 ¡ 1,95

MÉTHODE E c a r t

en % g r a p h i q u e a n a l y t i q u e

E c a r t en %

Q^Mm V s 7,85 7,88 0,38

V s 151.5 151.5 154 1,65 1,65

0 " s 143,5 143,5 143,8 143,8 0,21 0,21

Os 295 295 297,8 297,8 0,95 0,95

Q ⁷ m³ 977 1 988,7 1,2

<i^±Ll 977 1 988,7 1,2

T A B L E A U X I Q8= 4 , 5 m » / s l l^o = 0 i n

MÉTHODE Ecart

a n a l y t i q u e en % g r a p h i q u e a n a l y t i q u e

Q M ^ V S 7,93 1 7,93 0

s 1 119 1 120,3 1,09

Ô"s ¡ 340 1 349 2,65

Os ¹ 459 ! 469,3 2,25

I 1238 1 1255 1,37

— de la d u r é e 0" d u d é v e r s e m e n t a v e c W < 0 ,

— d e l a d u r é e Q = 0^/+ 0 " d u d é v e r s e m e n t t o t a l a i n s i q u e les e r r e u r s r e l a t i v e s c o r r e s p o n d a n t e s :

QM

Q:

MG

C o n c l u s i o n

C o m m e o n le voit, la m é t h o d e a n a l y t i q u e b a s é e s u r l ' h y p o t h è s e A c o n d u i t à d e s d i v e r g e n c e s a p p r é c i a b l e s . Au c o n t r a i r e , les é c a r t s c o r r e s p o n - d a n t à l ' e m p l o i d e la m é t h o d e a n a l y t i q u e r e p o - s a n t s u r l ' h y p o t h è s e A' d e m e u r e n t t o u j o u r s t r è s f a i b l e s , et, d e p l u s , e n ce q u i c o n c e r n e l ' é l é m e n t e s s e n t i e l , c ' e s t - à - d i r e le v o l u m e d é v e r s é CL^D9 ils s o n t d a n s le s e n s d e la s é c u r i t é .

O n p e u t d o n c c o n c l u r e e n f a v e u r d e la m é - t h o d e a n a l y t i q u e b a s é e s u r l ' h y p o t h è s e A⁷, d ' u n e p r é c i s i o n c o m p a r a b l e à celle d e la m é t h o d e g r a - p h i q u e c l a s s i q u e et d ' u n e m p l o i p l u s s i m p l e et p l u s r a p i d e .

P a r a i l l e u r s , les c o m p a r a i s o n s effectuées e n t r e la m é t h o d e a n a l y t i q u e et l a m é t h o d e g r a p h i - q u e , d a n s le c a s d u s e u i l d e l o n g u e u r infinie p o u r l e q u e l la m é t h o d e a n a l y t i q u e d e v i e n t r i g o u - r e u s e , m o n t r e n t q u e les r é s u l t a i s o b t e n u s p r é - s e n t e n t le m ê m e c a r a c t è r e d e p r é c i s i o n .

C H A P I T R E I I

C A S O U L ' A P P O R T D E D É B I T S ' E F F E C T U E A U - D E S S O U S D E L ' É T R A N G L E M E N T

D a n s le c h a p i t r e p r é c é d e n t , n o u s a v o n s e x p o s é u n e m é t h o d e a n a l y t i q u e p o u r le c a l c u l a p p r o c h é des c h a m b r e s d ' é q u i l i b r e d é v e r s a n t e s d a n s les- q u e l l e s u n d é b i t d ' a p p o r t a r r i v e à la p a r t i e s u -

p é r i e u r e d e l ' o u v r a g e , o u , d e façon p l u s p r é c i s e , a u - d e s s u s d e l ' é t r a n g l e m e n t d a n s le c a s où la c h a m b r e c o m p o r t e u n t e l d i s p o s i t i f .

N o u s e x p o s o n s m a i n t e n a n t les r é s u l t a t s q u e

5 6 4 L A H O U I L L E B L A N C H E № 4 . — SEPTEMBRE 1 9 5 7

n o u s a v o n s o b t e n u s , e n c o l l a b o r a t i o n a v e c M. D i a i i n a s , d a n s l ' é t u d e d u m ê m e p r o b l è m e l o r s - q u e le d é b i t d ' a p p o r t d é b o u c h e d a n s la c h a m b r e , a u - d e s s o u s d e l ' é t r a n g l e m e n t (fig. 1 0 ) .

F i o . 1 0

P h a s e p r é l i m i n a i r e a u d é v e r s e m e n t L e s n o t a t i o n s r e s t a n t les m ê m e s q u ' a u c h a p i - t r e I, les é q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s d e s o s c i l l a - t i o n s s ' é c r i v e n t d a n s ce c a s e n t r e g r a n d e u r s r e l a - t i v e s :

v (du/dz)-\-z^J\-ep-{-e^/r=0

w=v w^a

p=pⁱ⁾w^p⁰{u — w^a)²

s et s' a y a n t p o u r v a l e u r a b s o l u e l ' u n i t é e t p o u r s i g n e c e l u i d e w p o u r s, c e l u i d e v p o u r s'.

O n r e m a r q u e q u e , p e n d a n t t o u t e l a p h a s e p r é - l i m i n a i r e a u d é v e r s e m e n t , W et V r e s t e n t p o s i - t i f s et Ton a :

s= e ' = + l

L e s é q u a t i o n s d e s o s c i l l a t i o n s n e s o n t p a s INTE- g r a b l e s a n a l y t i q u e m e n t , m a i s la m é t h o d e g r a p h i - q u e d é j à r a p p e l é e (1) p e r m e t d e d é t e r m i n e r la v a l e u r w^x d e w à l ' i n s t a n t où d é b u t e le d é v e r - s e m e n t .

O n e n d é d u i t les v a l e u r s W¹= n ;¹ W⁰ et Q i = / W i = M 7 ! Q⁰ d e l a v i t e s s e d a n s le c a n a l d ' a m e n é e et d u d é b i t Q^t d é b o u c h a n t d e ce c a n a l d a n s l a c h a m b r e d ' é q u i l i b r e à l ' i n s t a n t o ù c o m - m e n c e le d é v e r s e m e n t .

E t u d e d u d é v e r s e m e n t d a n s l ' h y p o t h è s e d ' u n s e u i l d e l o n g u e u r i n f i n i e

D a n s l ' h y p o t h è s e d ' u n s e u i l d é v e r s a n t d e l o n - g u e u r infinie, l e s é q u a t i o n s g é n é r a l e s s ' é c r i v e n t :

L rfW

g dt - A + e P + ^£' R = 0 Q * = Q c + Qa p

' Q o² Q o²

dt

Qd e t Q^c d é s i g n a n t le d é b i t d é v e r s a n t et le d é b i t d u c a n a l d ' a m e n é e à l ' i n s t a n t t.

A u d é b u t , e e t s' s o n t p o s i t i f s : e' le r e s t e r a j u s - q u ' à la fin d u d é v e r s e m e n t t a n d i s q u e £ d e v i e n - d r a n é g a t i f u n p e u a v a n t l a fin d e celui-ci q u a n d W c h a n g e r a d e s i g n e .

O n a d o n c l ' é q u a t i o n :

d o n t o n t i r e :

L Q «² dQ^e

gf ( P o + R o ) Q ,²+ 2 R⁰Q e Q^c+ A Q⁰^ + - R⁰ Q⁰* L ' i n t é g r a l e d e c e t t e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e d o n n e , e n p r e n a n t c o m m e o r i g i n e d u t e m p s le d é b u t d u d é v e r s e m e n t :

f = T ' a r c tg

a v e c :

( P n + R o ) Q i + R p Q q

a r c t g

V A⁷

(Po + R n ) j c + RnQq-

V A '

(18)

A ^ = ( P⁰+ R o ) A Q⁰^ + P⁰R⁰Q / et T ' = gf V A '

— A ' é t a n t le d i s c r i m i n a n t t o u j o u r s n é g a t i f d u t r i n ô m e d é n o m i n a t e u r d e l ' e x p r e s s i o n i n t é g r é e .

O n e n d é d u i t :

B V A '

- a i c t * ^ - — (1.))

c l le d é b i t d é v e r s a n t Q '^s :

V A ' ( P p + R n ) Q i + R q Q . — V A ' tg (t/T) Po + Ro V T + f ( P o + R o ) Q l + R o Q a ] t g ( i / T )

Po

(1) Loc. cit., p. 2, note 1.

+

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — N^W 4 L . K S C À N D E — — 5 6 5

Ce d é b i t e s t é v i d e m m e n t m a x i m u m et égal à :

Q^M= Q i + Q . ( 2 D

à l ' i n s t a n t z é r o d u d é b u t d u d é v e r s e m e n t , d ' a p r è s l ' h y p o t h è s e d e b a s e , r e l a t i v e a u seuil.

L e s r e l a t i o n s ( 1 8 ) , ( 1 9 ) , ( 2 0 ) s o n t v a l a b l e s j u s - q u ' à l ' i n s t a n t 8' o ù Q^c s ' a n n u l e , i n s t a n t d o n n é , d ' a p r è s ( 1 8 ) p a r :

Q ' = T '

ou :

, ( P « + R⁰) Q I + R O Q * I ROQN a r c t a ^:~^{J L J}— - ^ ^j — — a r c t g —

B V A⁷ V A⁷" .

0 ' = T ' a r c t e ( P⁰+ Rⁿ) Q^t V A - A ' + ^ R o Q^a

( 2 2 )

( 2 2 0

e n p o s a n t :

» . = ( P o + R o ) QL + R()QA

L e v o l u m e d é v e r s é , d e 0 à 0', est d o n n é p a r : Vadt

L ' i n t é g r a t i o n , c o m p t e t e n u d e la v a l e u r ( 2 0 ) de Q'^di s'effectue e n p o s a n t :

a = t g I/T ce q u i d o n n e :

DT=T DU l + iï²

et, e n a p p e l a n t rì l a v a l e u r d e U à l ' i n s t a n t G' :

et 1 R O + P O

L Q o l ^{L o} ^ ^ ± ^ ^{= ) +} p^oQ„ , gf W A ' D + N '²)

(23) W , Q^c et e d e v i e n n e n t n é g a t i f s , a p r è s l ' i n s t a n t 0', et l ' é q u a t i o n à i n t é g r e r s'écrit, p e n d a n t t o u t e la d u r é e d u d é v e r s e m e n t :

L d Q Q* ( Q^c+ Q „ )² _ ⁰

Q O² on e n t i r e

_ L Q «²

T r o i s s o l u l i o n s s o n t p o s s i b l e s selon q u e A " e s t positif, n é g a t i f ou n u l .

CAS № 1 : A " > 0 :

Ce c a s , q u i s e r a t o u j o u r s r é a l i s é , d ' a p r è s ( 2 5 ) , si P⁰ e s t s u p é r i e u r o u égal à R⁰, c o n d i t i o n suffi- s a n t e n i a i s n o n n é c e s s a i r e , c o r r e s p o n d à :

(P„ — R . 0 A Q „ 2 + P⁰R⁰Q^A= > 0 ou :

Q »²>

Po ^{( 2 6 )}

D a n s ce c a s , l ' i n t é g r a t i o n d e ( 2 4 ) c o n d u i t , e n p r e n a n t c o m m e n o u v e l l e o r i g i n e d u t e m p s l ' i n s - t a n t 0', à l ' e x p r e s s i o n :

t= T

L O T fi[q+ ( R P — P O ) q/î 0 Ro— p0) Q,/| ^{( 2 7 )} avec :

T ' ^{L Q UA} gf V j A " | on en d é d u i t

CL= V A ' ' + R⁰Q „ , p = V A " ~ - R„Q„

,;2 (/T' Q ^C = _ ( A Q⁰- + R⁰Q^{T T 2}) • et le d é b i t d é v e r s a n t Q "^d :

Q V = Q « m = Q « — ( A Q^{0 a}+ R⁰Q «²)

( 2 8 )

Ì l/T

( 2 9 ) Q "^d n e p e u t q u e d é c r o î t r e , et il est d ' a i l l e u r s facile, e n f o r m a n t la d é r i v é e d e Q"^d p a r r a p p o r t a u t e m p s , d e vérifier q u e celle-ci est n é g a t i v e .

L a v a l e u r i n i t i a l e d e Q"^d é t a n t p o s i t i v e , le d é b i t d é v e r s a n t n e p e u t s ' a n n u l e r si, q u a n d / t e n d v e r s l'infini, l a l i m i t e Q"^{r f}, d e Q "^{f /} est p o s i - tive, c ' e s t - à - d i r e si l ' o n a :

Q"

Q 'di — P„Q„ - - VA"

P⁰ — R « ^{> O} ou, en r e m p l a ç a n t à" p a r s a v a l e u r

M & i ^{> a}

( 3 0 )

( 3 1 )

gf * ( R⁰" P O ) Q C²+ 2 R⁰Q A Q O + A Q O²+ R O Q A² ( 2 4 ) L e s e c o n d m e m b r e e s t u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e et le d i s c r i m i n a n t A " d u t r i n ô m e c o n s t i t u a n t le d é n o m i n a t e u r a p o u r v a l e u r :

A " = ( P⁰ — R⁰) A Q o²+ P⁰R o Q *² ( 2 5 )

Cette c o n d i t i o n ])eut ê t r e o b t e n u e d i r e c t e m e n t , en r e m a r q u a n t q u ' e n l ' a b s e n c e d e d é v e r s e m e n t , d a n s le r é g i m e p e r m a n e n t i i n a l , le d é b i t d ' a p - p o r t Q^a t r a v e r s e le c a n a l d ' a m e n é e d o n s le s e n s négatif, e n c r é a n t u n e p e r l e d e c h a r g e P⁰( Q^A/ Q⁰)² f o r c é m e n t i n f é r i e u r e à A p u i s q u e , s a n s cela, le

5 6 6 — L A H O U I L L E B L A N C H E — № 4. — SEPTEMBRE 1 9 5 7

p l a n d ' e a u , d a n s l a c h a m b r e , s e r a i t p l u s h a u t q u e le s e u i l d u d é v e r s o i r et il y a u r a i t d é v e r - s e m e n t .

O n p e u t é g a l e m e n t r e m a r q u e r q u e le d é b i t d é - v e r s a n t l i m i t e et le d é b i t l i m i t e c o r r e s p o n d a n t Q^ri d a n s le c a n a l d ' a m e n é e :

Qci— — CQa — Q"DÙ vérifient la r e l a t i o n :

P o Q²h

Qo³ = A + R^C Qo²

(32) q u i e x p r i m e l'égalité de d e u x e x p r e s s i o n s diffé- r e n t e s de la p r e s s i o n s o u s l ' é t r a n g l e m e n t , d a n s le r é g i m e p e r m a n e n t final.

E x a m i n o n s m a i n t e n a n t l ' h y p o t h è s e i n v e r s e , celle o ù le d é v e r s e m e n t c e s s e , a u b o u t d ' u n t e m p s 0", c o m p t é à p a r t i r d e 0' p r i s c o m m e o r i g i n e , et o ù l ' o n a, d ' a p r è s ce q u i p r é c è d e :

( 3 3 )

E n a n n u l a n t le s e c o n d m e m b r e de (12), on obtient :

L o g , AQ„; + Q. V ^ J ⁽³⁴⁾

2 , AQo² — Qo. V A "

L e v o l u m e déversé, p e n d a n t 0", a pour valeur

J 0

di

E n r e m p l a ç a n t Q"^{r f} p a r s o n e x p r e s s i o n (29) et e n f a i s a n t le c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e c l a s s i q u e :

C

2t/T

dt =

o n o b t i e n t u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e d o n t l ' i n t é g r a - tion c o n d u i t à l ' e x p r e s s i o n finale :

Po ™ H o ( V A " + P o Q J 0 " + i ^ £ L o g •P«Q«

d é j à m i s e e n é v i d e n c e p o u r le n o n - d é v e r s e m e n t d a n s le r é g i m e p e r m a n e n t final.

L e c a s d e A " < 0 , q u e n o u s é t u d i o n s a c t u e l l e - m e n t , c o r r e s p o n d d o n c à :

Q « 2 < ( . i - ^ A Q « 2

( 3 7 )

L'intégration de (24) c o n d u i t alors, en pre- n a n t c o m m e n o u v e l l e origine du t e m p s l'ins- t a n t 6', à l'expression :

t=T

V A " — R⁰Q^a (35) Cas № 2 : A " < 0 :

R e m a r q u o n s , tout d'abord, q u e la c o n d i t i o n A"^0 p e u t s'écrire :

( P⁰ — R⁰) A Q⁰H - P⁰R o Q „²< 0

ce qui exige P⁰< R⁰ et peut encore se m e t t r e s o u s la forme :

Qo²

Po (l

Ro ^{( 3 6 )} Cette c o n d i t i o n e n t r a î n e a fortiori la sui- vante :

v!o"

( 3 3 )

'^{are t}g - R o Q s - _ arc tg ^ + ^ ~ ^ Q.

' V — - A " V — A " '

Q

On e n d é d u i t :

_ V ^ Â⁷⁷ . R„Q„ — y — y ⁷ tg (t/T")

( 3 8 )

R o V — A " + R⁰Q^a tg (t/T") RoQ»

RoPo

( 3 9 )

et le débit d é v e r s a n t

Q"«.=Q^C + QA= V ^ F RⁿQ„ - - V — A" tg (t/T) R⁰ — P⁰ V ^ ^ + R o Q . tg (t/T")

P | )

Q"

s'annule à l'instant 0", c o m p t é à partir de 0' :

L e v o l u m e d é v e r s é û "^d, p e n d a n t la d u r é e 0", est :

ro**

dt

Eu faisant le c h a n g e m e n t do variable tg -n

o n obtient u n e fraction r a t i o n n e l l e d o n t l'inté- gration fournit la valeur de £i"^d :

Q"d=

Ro — P o

P⁰Q * V — A "

Cas n" 3 : A " = 0 :

ar . / V — A " . Q „

•c tg ( — - — — - — ^

b V A Q^{0 2} (42)

Ce cas c o n s t i t u e la limite entre les d e u x pré- c é d e n t s et il correspond à :

SEPTEMBRE 1 9 5 7 . — NW 4 L. E S C A N D E 5 6 7

A Q o2 (43)

C o m m e n o u s l ' a v o n s d é j à i n d i q u é ( r e l a t i o n s 36 et 3 3 ) , il n ' y a p a s , d a n s ce c a s , d e d é v e r s e m e n t d a n s le r é g i m e p e r m a n e n t final.

L e s f o r m u l e s c o r r e s p o n d a n t à ce c a s p e u v e n t ê t r e o b t e n u e s à p a r t i r d e s p r é c é d e n t e s , e n p a s - s a n t à l a l i m i t e p o u r A " = 0 , c o m m e n o u s n o u s e n s o m m e s a s s u r é s .

L e s c a l c u l s s o n t , t o u t e f o i s , a s s e z l a b o r i e u x et il e s t b e a u c o u p p l u s s i m p l e d e t r a i t e r d i r e c t e - m e n t le p r o b l è m e .

E n i n t é g r a n t l ' é q u a t i o n (24) d a n s ce c a s où le d i s c r i m i n a n t d u t r i n ô m e d é n o m i n a t e u r (A") e s t n u l , o n o b t i e n t :

L Q o2

gf

Q0= —

i

Q * " = Q « — 0 " =

R o Q « + ( R⁰ — P o ) Q c R o Q a

L Q o2+ R o Q a £ / i

R o — P o ' L Q0 2+ R o Q . f l t f f R o — P o

1

L Q o² R o — P n

gf

9Ï 1

. R o — P o

RoPo L o g

QA

P o R o ]

(44)

(45.)

(46)

(47)

(48)

E x t e n s i o n d e s f o r m u l e s p r é c é d e n t e s a u c a s d ' u n s e u i l d é v e r s a n t d e l o n g u e u r finie N o u s a v o n s m o n t r é a u c h a p i t r e I q u ' o n p o u - vait, a v e c u n e e x c e l l e n t e a p p r o x i m a t i o n , p a s s e r d e s f o r m u l e s c o n c e r n a n t le s e u i l d é v e r s a n t d e l o n g u e u r i n f i n i e à l a c o t e A à celles q u ' i l c o n v e - n a i t d ' a p p l i q u e r p o u r u n s e u i l de m ê m e c o t e m a i s d e l o n g u e u r finie.

d é s i g n a n t l a c h a r g e n é c e s s a i r e p o u r l ' é c o u - l e m e n t , e n r é g i m e p e r m a n e n t , a u - d e s s u s d u d é - v e r s o i r , d u d é b i t m a x i m u m Q^M, n o u s a v o n s v u q u ' i l suffit d e r e m p l a c e r , d a n s les f o r m u l e s g é n é - r a l e s é t a b l i e s p o u r le d é v e r s e m e n t a u - d e s s u s d u seuil d e l o n g u e u r infinie, le t e r m e A p a r le t e r m e A ' défini c o m m e s u i t :

À ' = À + 0 , 5

A' r e p r é s e n t e s e n s i b l e m e n t la v a l e u r m o y e n n e de la c o n t r e - p r e s s i o n d u e à la p e s a n t e u r p e n d a n t le d é v e r s e m e n t .

Il c o n v i e n t d ' o b s e r v e r , e n effet, q u e d a n s t o u - tes ces f o r m u l e s g é n é r a l e s , e x c e p t i o n faite p o u r la c o n d i t i o n (33), le t e r m e A n ' i n t e r v i e n t q u e p o u r c a r a c t é r i s e r l a c o n t r e - p r e s s i o n d u e à la cote du p l a n d ' e a u d a n s la c h a m b r e .

Au c o n t r a i r e , d a n s la c o n d i t i o n (33), A r e p r é -

s e n t e e f f e c t i v e m e n t la c o t e d u seuil d u d é v e r s o i r , c o n s i d é r é e c o m m e p o s i t i o n d u p l a n d ' e a u à p a r - tir d e l a q u e l l e c o m m e n c e le d é v e r s e m e n t : c'est p o u r q u o i , p o u r c e t t e c o n d i t i o n et p o u r elle s e u l e , A d o i t ê t r e c o n s e r v é et n e d o i t p a s ê t r e r e m - p l a c é p a r A'.

P o u r la m ê m e r a i s o n , le c a l c u l d e Q⁽, a n t é - r i e u r a u d é b u t d u d é v e r s e m e n t , n e c h a n g e p a s et fait t o u j o u r s i n t e r v e n i r A.

C o n c l u s i o n d e l ' é t u d e t h é o r i q u e

R é s u m o n s les r é s u l t a t s o b t e n u s p o u r l ' é t u d e d u v o l u m e d é v e r s é à l a s u i t e d ' u n e m a n œ u v r e d e f e r m e t u r e c o m p l è t e i n s t a n t a n é e i n t é r e s s a n t le d é b i t m a x i m u m Q⁰ d e s t u r b i n e s .

E n p r e m i e r lieu, p a r l a m é t h o d e g r a p h i q u e q u e n o u s a v o n s i n d i q u é e (1), o n d é t e r m i n e l a v a - l e u r d u d é b i t Q^x q u i d é b o u c h e d a n s l a c h a m b r e d ' é q u i l i b r e à l ' i n s t a n t o ù le p l a n d ' e a u a t t e i n t la c o t e A d u seuil d u d é v e r s o i r .

E n s e c o n d lieu, o n é t u d i e la p h a s e d u d é v e r - s e m e n t .

Si Ton a :

P o # V > A (31) u n d é v e r s e m e n t s u b s i s t e d a n s le r é g i m e p e r m a - n e n t final, et le v o l u m e d é v e r s é e s t infini.

Si, a u c o n t r a i r e , o n a

p Q><>~ ^ \

(33) le d é v e r s e m e n t e s t l i m i t é .

D a n s c e t t e d e r n i è r e h y p o t h è s e , t r o i s c a s s o n t à e n v i s a g e r s e l o n les v a l e u r s r e l a t i v e s d u c a r r é d u d é b i t d ' a p p o r t Q^A2 et d e l ' e x p r e s s i o n E définie p a r :

1 ₍₄₉₎

a u x q u e l l e s c o r r e s p o n d e n t d e s e x p r e s s i o n s diffé- r e n t e s d e la d u r é e t o t a l e 0 = G ' + 0 " d u d é v e r s e - m e n t et d u v o l u m e total d é v e r s é Q '^d- J - Q "^d.

R e m a r q u o n s q u e 0' et Q '^d d e m e u r e n t les m ê - m e s d a n s les t r o i s cas et s o n t d o n n é s p a r :

0 ' = T ' a r c ig (P^{f t}+R»)Qi V A⁷ a'+iiRoQ«

a v e c

A ' = ( Pfl+ R o ) A Q0H ~ ~ P o l W

( î ) Loc. cit., p . 2 , n o t e 1 .