G´eodynamo & informatique

G´ eodynamo & informatique

Alexandre Fournier

LGIT/Universit´e Joseph-Fourier

Module Applications de l’informatique `a la recherche et au d´eveloppement technologique, ´Ecoles doctorales de Lyon, Lyon, 30 mai 2006

alexandre.fournier@ujf-grenoble.fr

1 Vocabulaire

2 Th´eorie

3 Observations

4 Questions ouvertes

5 Simulations num´eriques

6 L’exp´erience Derviche Tourneur Sodium

Informatique

Definition

Informatique : n.f. et adj. (1962), mot cr´ee par Ph. Dreyfus sur le mod`ele de math´ematique,´electronique, et qui a lui-mˆeme servi de mod`ele pour de nombreux d´eriv´es analogiques (bureautique,robotique, etc.). Le mot d´esigne la science et l’ensemble des techniques automatis´ees relatives aux informations (collecte, mise en m´emoire, utilisation, etc.) et l’activit´e ´economique mettant en jeu cette science et ces techniques. L’informatique est en rapport avec les notions de calcul, de classement, d’ordre (cf. ordinateur), de mise en m´emoire et, avec la gestion automatique des donn´ees, des informations au moyen de logiciels et du mat´eriel appropri´e. (Robert historique de la langue fran¸caise, A. Rey)

Dynamo I

Definition

G´en´eratrice de courant continu. La dynamo d’une bicyclette. (Larousse) Conversion d’´energie m´ecanique en ´energie ´electromagn´etique.

L R z

O

A

piste circulaire ω

i

Force ´electromotrice d’induction : e =

Z A

O

(v∧B)·dl

= ωB

Z a

0

rdr

= Ba² 2 ω.

Moment des forces de Laplace :

dΓ_L= (OM∧dF_L)·ˆe_z= [rˆe_r∧(−iBdrˆe_θ)]·ˆe_z=−iBrdr.

Dynamo II

Equation ´´ electrique :

e=Ri+Ldi dt =Ba²

2 ω.

Equation m´´ ecanique :

Jdω

dt = Γ−Ba² 2 i.

En supposant queB =ki (k constante)

Ri+L^di_dt = Mωi, J^dω_dt = Γ−Mi². (M=ka²/2). Bilan ´energ´etique :

d dt

1

2Jω²+1 2Li²

= Γω−Ri².

Dynamo III

L’´energie m´ecanique fournie au syst`eme contrˆole son comportement.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 1

t i(t)

Γ J= 1 s⁻²

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 1

t i(t)

Γ

J= 10⁻¹s⁻²

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 1

t i(t)

Γ

J= 10⁻²s⁻²

G´ eo I

Athanasius Kichner,Mundus Subterraneus(ca. 1664)

G´ eo II

Lamb & Sington (1998)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

PSfrag replacements

pressure(kbar) density(M g/m³)

P-wave speed(km/s) S-wave speed(km/s)

depth(km) depth(km) Mantle

Outer Core

Inner Core

Dziewonski & Anderson (1981)

Propri´ et´ es physiques du noyau

Viscosit´e dynamiqueηv – transport mol´eculaire de quantit´e de mouvement.

I ηv ≈6 mPa.s (Poirier, 1988) .

I ηv ≈10 mPa.s (Alf`e & Gillan, 1998).

Conductivit´e thermiqueK_T – transport mol´eculaire de chaleur. K_T ≈50 W.m⁻¹.K⁻¹ (Stacey & Anderson, 2001).

Conductivit´e ´electriqueσ. Reli´ee `a la diffusivit´e magn´etique

η= 1 µ₀σ. η≈2 m².s⁻¹(Roberts & Glatzmaier, 2000).

Echelles de temps diffusives pour le noyau : ´

τ mag( ≈ 10000 ans) τ vis et τ tem( > 1 Ma).

Propri´ et´ es physiques du noyau

Viscosit´e dynamiqueηv – transport mol´eculaire de quantit´e de mouvement.

I ηv ≈6 mPa.s (Poirier, 1988) .

I ηv ≈10 mPa.s (Alf`e & Gillan, 1998).

Conductivit´e thermiqueK_T – transport mol´eculaire de chaleur.

K_T ≈50 W.m⁻¹.K⁻¹ (Stacey & Anderson, 2001).

Conductivit´e ´electriqueσ. Reli´ee `a la diffusivit´e magn´etique

η= 1 µ₀σ. η≈2 m².s⁻¹(Roberts & Glatzmaier, 2000).

Echelles de temps diffusives pour le noyau : ´

τ mag( ≈ 10000 ans) τ vis et τ tem( > 1 Ma).

Propri´ et´ es physiques du noyau

Viscosit´e dynamiqueηv – transport mol´eculaire de quantit´e de mouvement.

I ηv ≈6 mPa.s (Poirier, 1988) .

I ηv ≈10 mPa.s (Alf`e & Gillan, 1998).

Conductivit´e thermiqueK_T – transport mol´eculaire de chaleur.

K_T ≈50 W.m⁻¹.K⁻¹ (Stacey & Anderson, 2001).

Conductivit´e ´electriqueσ.

Reli´ee `a la diffusivit´e magn´etique

η= 1 µ₀σ. η≈2 m².s⁻¹(Roberts & Glatzmaier, 2000).

Echelles de temps diffusives pour le noyau : ´

τ mag( ≈ 10000 ans) τ vis et τ tem( > 1 Ma).

Propri´ et´ es physiques du noyau

Viscosit´e dynamiqueηv – transport mol´eculaire de quantit´e de mouvement.

I ηv ≈6 mPa.s (Poirier, 1988) .

I ηv ≈10 mPa.s (Alf`e & Gillan, 1998).

Conductivit´e thermiqueK_T – transport mol´eculaire de chaleur.

K_T ≈50 W.m⁻¹.K⁻¹ (Stacey & Anderson, 2001).

Conductivit´e ´electriqueσ.

Reli´ee `a la diffusivit´e magn´etique

η= 1 µ₀σ. η≈2 m².s⁻¹(Roberts & Glatzmaier, 2000).

Echelles de temps diffusives pour le noyau : ´

τ mag( ≈ 10000 ans) τ vis et τ tem( > 1 Ma).

La g´ eodynamo

Th´ eorie dynamo : chronologie subjective

Cowling ’s antidynamo theorem

1600 1839 1919 1934 1946 1958 1994

William Gilbert’s Terrella

Carl Friedrich Gauss

Sir Joseph Larmor’s hypothesis

1949 Bullard

W.Elsasser G. Backus A.Herzenberg

Kinematic dynamos

Direct numerical integration G.Glatzmaier P. Roberts

Larmor (1919), Cowling (1933), Bullard & Gellman (1954), Backus (1958), Glatzmaier & Roberts (1995).

La dynamo cin´ ematique I

La vitessevest impos´ee.

Equation de l’induction´

∂B

∂t =Rm∇×(v∧B) +∇²B.

Rmest le nombre de Reynolds magn´etique Rm=U L

η , avec

U : ´echelle de vitesse.

L: ´echelle de longueur

η : diffusivit´e magn´etique. ([η] =L²T⁻¹)).

Interpr´etation deRm:

Rm= L²/η L/U = τvis

τadv .

L:

v est aliment´e par la convection thermo-chimique (refroidissement) (e.g.

Gubbins & Roberts, 1987).

Autre source possible : in-

stabilit´es fluides dues `a la pr´ecession de l’axe de rotation deL

(Malkus, 1968).

ωd

23.5^o

β

Torque

♁

Equator

Ecliptic Plane Pole of Ecliptic

$

ω_p

NOT TO SCALE

Ingr´ edients d’une dynamo : Effets α et ω

α ω

Hollerbach (1996)

Dudley-James s2t2

v=U ∇×t₂⁰ˆer+∇×∇×s₂⁰ˆer

, = 0,14.Dudley & James (1989)

u_φ ψ_m

N

N

N

N

N

N

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

Rm

non-dimensionalgrowthrate

Limites de l’approche cin´ ematique

Pas de r´etroaction du champ magn´etique sur l’´ecoulement.

Hollerbach (1996) Pas de disparit´e d’´echelle entrev etB.

Approche magn´ etohydrodynamique

Equation de l’induction + lois de conservation.´

∇·v = 0,

Ro(∂tv+v·∇v) + 2ˆez∧v = −∇P+E∇²v

+ qRaΘˆer+ (∇∧B)∧B,

∂_tΘ +v·∇Θ = q∇²Θ,

∂tB = ∇∧(v∧B) +∇²B,

∇·B = 0.

Nombres sans dimension : E = ν

ωd² ≤10⁻¹², q=κ

η ≤10⁻⁵, Ra= g0αβd²

ωκ , Ro= u

ωL ≤10⁻⁶.

Approche magn´ etohydrodynamique

Equation de l’induction + lois de conservation.´

∇·v = 0,

Ro(∂tv+v·∇v) + 2ˆez∧v = −∇P+E∇²v

+ qRaΘˆer+ (∇∧B)∧B,

∂_tΘ +v·∇Θ = q∇²Θ,

∂tB = ∇∧(v∧B) +∇²B,

∇·B = 0.

Nombres sans dimension : E = ν

ωd² ≤10⁻¹², q=κ

η ≤10⁻⁵, Ra= g0αβd²

ωκ , Ro= u

ωL ≤10⁻⁶.

Approche magn´ etohydrodynamique

Equation de l’induction + lois de conservation.´

∇·v = 0,

Ro(∂tv+v·∇v) + 2ˆez∧v = −∇P+E∇²v

+ qRaΘˆer+ (∇∧B)∧B,

∂_tΘ +v·∇Θ = q∇²Θ,

∂tB = ∇∧(v∧B) +∇²B,

∇·B = 0.

Nombres sans dimension : E = ν

ωd² ≤10⁻¹², q=κ

η ≤10⁻⁵, Ra= g0αβd²

ωκ , Ro= u

ωL ≤10⁻⁶.

Approche magn´ etohydrodynamique

Equation de l’induction + lois de conservation.´

∇·v = 0,

Ro(∂tv+v·∇v) + 2ˆez∧v = −∇P+E∇²v

+ qRaΘˆer+ (∇∧B)∧B,

∂_tΘ +v·∇Θ = q∇²Θ,

∂tB = ∇∧(v∧B) +∇²B,

∇·B = 0.

Nombres sans dimension : E = ν

ωd² ≤10⁻¹², q=κ

η ≤10⁻⁵, Ra=g0αβd²

ωκ , Ro= u

ωL ≤10⁻⁶.

El´ ´ ements magn´ etiques

M•

Nord

Est

bas

X

Y

Z

B D H

I Trois composantesX,Y,Z.

Intensit´eF (kBk),

inclinaison I, d´eclinaisonD.

Le syst` eme magn´ etique terrestre

(NASA)

Description du champ I

Les harmoniques sph´eriques

C.F. Gauss

On peut ´ecrireB~ =−∇V~ mag `a la surface de la Terre.

(Attention ! Ce n’est pas vrai dans une r´egion qui contient des sources du champ magn´etique).

Dans une telle r´egionVmag est solution de l’´equation de Laplace.

∇²Vmag = 0.

Les harmoniques sph´eriques On les noteY_l^m(θ, φ).

Y_l^m(θ, φ) =P_l^m(cosθ) expimφ.

l : degr´e harmonique.

m: ordre angulaire. (m<l)

Exemple

Exemple :

champF

=

1 ×Y₁⁰ +

1 ×Y₂² +

1×Y₇⁶ +

1×Y₁₄² On ´ecrit dans ce cas

F(θ, φ) =Y₁⁰(θ, φ) +Y₂²(θ, φ) +Y₇⁶(θ, φ) +Y₁₄²(θ, φ).

Les coefficients deF sur la base sont ici ´egaux `a 1 (pour ces harmoniques) o`u `a 0 (pour toutes les autres), c’est un hasard.

Si le degr´e harmoniquel augmente, l’´echelle spatiale associ´ee diminue. On peut faire tendrel(etm) vers l’infini en th´eorie. En pratique, on tronque

` almax.

Quandl= 1, on parle de termes dipolaires.

Quandl= 2, on parle de termes quadrupolaires, etc.

Exemple

Exemple :

champF

=

1 ×Y₁⁰ +

1 ×Y₂² +

1×Y₇⁶ +

1×Y₁₄² On ´ecrit dans ce cas

F(θ, φ) =Y₁⁰(θ, φ) +Y₂²(θ, φ) +Y₇⁶(θ, φ) +Y₁₄²(θ, φ).

Les coefficients deF sur la base sont ici ´egaux `a 1 (pour ces harmoniques) o`u `a 0 (pour toutes les autres), c’est un hasard.

Si le degr´e harmoniquel augmente, l’´echelle spatiale associ´ee diminue. On peut faire tendrel(etm) vers l’infini en th´eorie. En pratique, on tronque

` almax.

Quandl= 1, on parle de termes dipolaires.

Quandl= 2, on parle de termes quadrupolaires, etc.

Exemple

Exemple :

champF

=

1 ×Y₁⁰ +

1×Y₂² +

1×Y₇⁶ +

1×Y₁₄² On ´ecrit dans ce cas

F(θ, φ) =Y₁⁰(θ, φ) +Y₂²(θ, φ) +Y₇⁶(θ, φ) +Y₁₄²(θ, φ).

Les coefficients deF sur la base sont ici ´egaux `a 1 (pour ces harmoniques) o`u `a 0 (pour toutes les autres), c’est un hasard.

Si le degr´e harmoniquel augmente, l’´echelle spatiale associ´ee diminue. On peut faire tendrel(etm) vers l’infini en th´eorie. En pratique, on tronque

` almax.

Quandl= 1, on parle de termes dipolaires.

Quandl= 2, on parle de termes quadrupolaires, etc.

Exemple

Exemple :

champF

=

1 ×Y₁⁰ +

1×Y₂² +

1×Y₇⁶ +

1×Y₁₄² On ´ecrit dans ce cas

F(θ, φ) =Y₁⁰(θ, φ) +Y₂²(θ, φ) +Y₇⁶(θ, φ) +Y₁₄²(θ, φ).

Les coefficients deF sur la base sont ici ´egaux `a 1 (pour ces harmoniques) o`u `a 0 (pour toutes les autres), c’est un hasard.

Si le degr´e harmoniquel augmente, l’´echelle spatiale associ´ee diminue. On peut faire tendrel(etm) vers l’infini en th´eorie. En pratique, on tronque

` almax.

Quandl= 1, on parle de termes dipolaires.

Quandl= 2, on parle de termes quadrupolaires, etc.

Exemple

Exemple :

champF

=

1 ×Y₁⁰ +

1×Y₂² +

1×Y₇⁶ +

1×Y₁₄² On ´ecrit dans ce cas

F(θ, φ) =Y₁⁰(θ, φ) +Y₂²(θ, φ) +Y₇⁶(θ, φ) +Y₁₄²(θ, φ).

Les coefficients deF sur la base sont ici ´egaux `a 1 (pour ces harmoniques) o`u `a 0 (pour toutes les autres), c’est un hasard.

Si le degr´e harmoniquel augmente, l’´echelle spatiale associ´ee diminue.

On peut faire tendrel(etm) vers l’infini en th´eorie. En pratique, on tronque

` almax.

Quandl= 1, on parle de termes dipolaires.

Quandl= 2, on parle de termes quadrupolaires, etc.

Sources du champ

Grˆace `a l’analyse deVmag `a la surface de la Terre en harmoniques sph´eriquesY_l^m:

Vmag(r, θ, φ) =R^L

∞

X

l=0

"

R^L r

^{l+1 l} X

m=0

(g_l^mcos(mφ) +h^m_l sin(mφ))P_l^m(cosθ)

+ r

R^L l l

X

m=0

(q^m_l cos(mφ) +s_l^msin(mφ))P_l^m(cosθ)

#

S´eparation des sources externes et internes. NB :

I Sources externes : sources situ´ees `ar>R^L.

I Sources internes : sources situ´ees `ar<R^L.

99% du champ est d’origine interne (cr´e´e quelque part sous nos pieds). C’est le champ magn´etique terrestre principal.

Spectre de la composante interne de B.

1 2 4 6 8 10 121314 16 18 20 22 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PSfragreplacements

nT

Champ du noyau

Champ crustal

km

Donn´ ees r´ ecentes : observatoires + satellites I

http://www.intermagnet.org 2Hz

Apport de l’informatique (// sismologie) : bases de donn´ees accessibles `a tous.

International Geomagnetic Reference Field (IGRF), World Magnetic Model (WMM).

US/UK World Magnetic Model -- Epoch 2005.0 Main Field Total Intensity (F)

Map Date : 2005.0 Units : nanoTesla Contour Interval : 1000 nanoTesla Map Projection : Mercator

180°

180°

210°

210°

240°

240°

270°

270°

300°

300°

330°

330°

0°

0°

30°

30°

60°

60°

90°

90°

120°

120°

150°

150°

180°

180°

-60° -60°

-30° -30°

0° 0°

30° 30°

60° 60°

25000

25000 25000 25000

30000

30000

30000

30000 30000

30000 30000

30000

35000 35000

35000

35000

35000

35000

35000

35000 35000

35000 35000 35000

40000 40000 40000

40000 40000 40000 40000

40000

40000 40000

40000 40000

45000 45000

45000

45000 45000

45000 45000

45000 45000

45000 45000

45000

50000 50000

50000 50000

50000 50000

50000 50000

50000

50000

50000 50000

55000

55000 55000

55000 55000

55000 55000

55000 55000

55000

60000

60000

60000 60000 60000

65000

65000

US/UK World Magnetic Model -- Epoch 2005.0 Main Field Declination (D)

Map Date : 2005.0

Units (Declination) : degrees (Red contours positive (east), blue negative (west)) Contour Interval : 2 degrees

Map Projection : Mercator 180°

180°

210°

210°

240°

240°

270°

270°

300°

300°

330°

330°

0°

0°

30°

30°

60°

60°

90°

90°

120°

120°

150°

150°

180°

180°

-60° -60°

-30° -30°

0° 0°

30° 30°

60° 60°

-160-150 -140 -130 -120 -110 -100

-100

-90 -90

-80 -80

-80 -70

-70 -70

-70 -60

-60 -60

-60

-60 -50

-50 -50

-50

-50

-50

-40

-40 -40

-40

-40

-40

-40 -40

-30

-30 -30

-30 -30

-30

-30

-30 -30

-30

-20

-20 -20 -20

-20 -20

-20

-20 -20

-20

-20

-20

-20

-20 -20

-20 -20 -20 -20

-10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10

-10 -10 -10 -10 -10 -10 -10

-10 -10 -10

-10 -10

-10

-10 -10

-10

10 10 10 10 10 10

10

10

10 10

10 10

10 10 10

1010

10

10 10

101010

20 20 20 20 20 20

20 20

20 20

20

20

20 20 20

30 30 30 30

30 30

40 40 40

40 40

50

50 50

50

60

60 60

70 70 80

80 90

90 100110 120130 150140 160 0

0 0 0

0

00

0 0

0 0 0

0 0

0 000

00

0 0

0 0 0

000

US/UK World Magnetic Model -- Epoch 2005.0 Main Field Inclination (I)

Map Date : 2005.0

Units (Inclination) : degrees (Red contours positive (down), blue negative (up)) Contour Interval : 2 degrees

Map Projection : Mercator 180°

180°

210°

210°

240°

240°

270°

270°

300°

300°

330°

330°

0°

0°

30°

30°

60°

60°

90°

90°

120°

120°

150°

150°

180°

180°

-60° -60°

-30° -30°

0° 0°

30° 30°

60° 60°

-80

-80 -60 -60 -60

-60

-60 -60

-60 -60

-60 -60

-40 -40

-40 -40

-40 -40

-40

-20 -20 -20

-20

-20 -20

-20

20 20 20 20

20 20

20

40 40 40

40

40 40

40

60 60

60 60

60 60

60

80 80

80 80

0 0 0

0

0 0

0

D´ emo ?

Programmes directement utilisables : une d´emo ?

Satellites I

Missions r´ecentes: missions Magsat (1980) / Ørsted (1999-2004) / Champ (2000-) / SAC-C + Swarm `a venir (lancement en 4/2010) (ESA).

Mod`eles plus fins de variation s´eculaire. CHAOS (Olsen et al., 2006): ∂tB

Satellites II

US/UK World Magnetic Model -- Epoch 2005.0 Annual Change Total Intensity (F)•

Map Date : 2005.0

Units : nanoTesla/year (Red contours positive change, blue negative change) Contour Interval : 5 nanoTesla/year

Map Projection : Mercator 180°

180°

210°

210°

240°

240°

270°

270°

300°

300°

330°

330°

0°

0°

30°

30°

60°

60°

90°

90°

120°

120°

150°

150°

180°

180°

-60° -60°

-30° -30°

0° 0°

30° 30°

60° 60°

-120

-120 -100

-100 -100 -100

-80

-80

-80 -80

-80

-80 -80

-80

-60

-60 -60

-60

-60

-60

-60

-60

-60 -60 -60 -40

-40

-40 -40

-40 -40 -40

-40

-40

-40

-40

-20 -20

-20 -20

-20 -20

-20

-20

-20

-20 -20

-20

-20

-20 20 20

20

20

20 20 20 20 20

20 20

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40

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40 40 40 40

40

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60

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0 0

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0 0

0

0

Satellites III

Naissance d’une communaut´e g´eomagn´etique dans son ensemble http://www.sciences.univ-nantes.fr/geol/Swarm/1stmeeting.html

Variabilit´ e du signal g´ eomagn´ etique principal

PSfrag replacements

10⁻⁵ 10⁻² 10⁻¹ 1 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

Filtrepasse-bas:lemanteau

Secousses

variation s´eculaire

Dur´ee d’une inversion

Cretaceous superchron

ondes sonores ondes inertielles

1 jour τad

τ_M

Ondes de torsion

τ (ans)

Inversions du champ magn´ etique terrestre

L’inclinaison peut varier brutalement dans une carotte. Inversion du champ magn´etique terrestre. Ph´enom`ene observ´eGLOBALEMENTdans les enregistrements.

Glatzmaier & Roberts (1995) Dur´ee d’une inversionO(10) kyr.

Donn´ ee pal´ eomagn´ etiques I

Ble plus ancien enregistr´e : 3 Ma.

Fonctionnement de la g´eodynamo aux ´echelles de temps g´eologiques.

Hypoth`ese du dipole axial centr´e .

Fondement de la th´eorie de la tectonique des plaques (196x).

Heirtzler (1968) Backus et al. (1996)

Donn´ ee pal´ eomagn´ etiques II

Fr´equence des inversions dans la pass´e

D’apr`es Merrill et al. (1996).

Variation s´ eculaire : de l’ann´ ee ` a quelques si` ecles

Position du pˆole g´eomagn´etique

-80˚

-80˚

-60˚

-60˚

-40˚

-40˚

-20˚

-20˚

75˚ 75˚

80˚ 80˚

85˚ ₁₆₀₀ 85˚

1630

1660

1690

1720 1750

1780

1840 1810

1870

1990

G. L´egaut (LGIT)

Variations de l’intensit´e du dipˆole :

Backus et al. (1996)

Variation s´ eculaire et mouvements ` a la surface du noyau

Approximation du flux gel´e + hypoth`ese quasi-g´eostrophique.

Eymin (2004) ;→: 37km / an.

Secousses g´ eomagn´ etiques (geomagnetic jerks)

dD/dt

?

PSfrag replacements

10⁻⁵ 10⁻² 10⁻¹1 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

Filtrepasse-bas:lemanteau

Secousses

variation s´eculaire

Dur´ee d’une inversion

Cretaceous superchron

ondes sonores ondes inertielles

1 jour τad

τ_M

Ondes de torsion

τ(ans)

M´ecanisme(s) contrˆolant la variation s´eculaire.

Couplage noyau-manteau

Inversions : m´ecanisme, fr´equence.

Simulations num´ eriques I

Principe : Discr´etisation en espace et en temps des lois de conservation (masse, quantit´e de mouvement, ´energie) et des ´equations de Maxwell (approximation MHD). Un mod`ele peut ˆetre repr´esent´e par un vecteurX.

X˙ =f(X,t).

Adimensionnement, f d´epend de nombres sans dimension. En discr´etisant tⁿ=n∆t,

Xⁿ⁺¹=Xⁿ+ ∆tf Xⁿ,Xⁿ⁺¹,tⁿ,tⁿ⁺¹ .

Id´ee du volume : 8 champs scalaires `a ´evaluer sur 50 points de grille dans chaque direction de l’espace : 10⁶valeurs.

Nombres d’iterations : si ∆t = 2 semaines, pour 10⁵ans : 10⁵×25 = 2,5 millions d’iterations.

→Calcul intensif (high performance computing).

Mise en pratique :

En espace : harmoniques sph´eriques et/ou m´ethodes de grille (diff´erences finies, ´el´ements finis, volumes finis, ´el´ements spectraux).

En temps : diff´erences finies (explicite, implicite, mixte).

Un rapide tour num´ erique des mod` eles actuels I

D´ecomposition devetBen champs polo¨ıdal-toro¨ıdal.

D´eveloppement horizontal en harmoniques sph´eriques En rayon

• Polynˆomes de Tchebytchev (Glatzmaier, 1984).

• Diff´erences finies (Dormy et al., 1998; Kuang & Bloxham, 1999).

Avantages ;−) : Beaucoup

1 Faible dispersion num´erique.

2 Pas de probl`eme au pˆole.

3 B: raccord naturel `a un champ potentiel ext´erieur.

D´efauts :−( :

1 Calcul pseudo-spectral des termes non-lin´eaires. Coˆut de la transform´ee de Legendre (M²contreMlogMpour FFT).

2 Base globale : parall´elisation pas naturelle.

3 G´eom´etrie sph´erique uniquement (pr´ecession).

Caract´eristiques des mod`eles actuels (Dormy et al., 2000):

Inversions.

Morphologie deB.

D´erive vers l’Ouest.

mod`ele

donn´ees Kuang & Bloxham (1997)

Transition vers des m´ ethodes locales

Ces dix derni`eres ann´ees, on a beaucoup appris sur le fonctionnement de la g´eodynamo et la dynamique du noyau grˆace aux mod`eles num´eriques reposant sur les harmoniques sph´eriques.

On cherche maintenant `a d´evelopper des mod`eles permettant des temps d’int´egration plus longs,

de r´eduire E,

de n’ˆetre pas restreint `a une g´eom´etrie sph´erique pure.

Effort international pour d´evelopper des mod`eles reposant sur des bases locales (parall´elisation) :

´el´ements finis (Matsui & Okuda, 2003),

´el´ements spectraux (Fournier et al., 2004, 2005; Fournier, 2006).

volumes finis (Harder & Hansen, 2005).

La m´ ethode des ´ el´ ements spectraux

Id´ee: combiner la flexibilit´e g´eom´etrique de la m´ethode des ´el´ements finis et la pr´ecision des m´ethodes spectrales (Maday & Patera, 1989).

Bases locales de polynˆomes de haut degr´e (7−14).

Propri´et´es:

Convergence spectrale.

Faible dispersion num´erique.

G´eom´etrie tensoris´ee.

D´ecomposition de domaine naturelle.

El´ ´ ements spectraux et g´ eophysique

Dynamique de l’atmosph`ere et de l’oc´ean – ´Equation en eau peu profonde.

Taylor et al. (1997); Levin et al. (2000); Giraldo (2001)

Douglas et al. (2003)

Alexandre Fournier (LGIT/Universit´e Joseph-Fourier) G´eodynamo & informatique 30/05/06 46 / 76

Sismologie globale et r´egionale – l’´equation d’onde.

Komatitsch & Vilotte (1998); Komatitsch & Tromp (1999); Chaljub (2000);

Komatitsch et al. (2002); Chaljub et al. (2003)

Vector function = Uvec Cubed Sphere U_X from -0.0081 to 0.0040

Consid´ erations pratiques

http://bladerunner.princeton.edu Avec ce type d’approche, les calculs se font sur

des fermes de PC op´er´es par Linux, en utilisant MPI (Gropp et al., 1999).

←Le futur du calcul haute-performance acces- sible `a tous !

Application au noyau

Maillage d’une coquille sph´erique.

Approche hybride Fourier–´el´ements spec- traux

Hyp : domaine `a sym´etrie de r´evolution (sph`ere, sph´ero¨ıde).

Coordonn´ees cylindriques (s, φ,z).

D´eveloppement en s´eries de Fourier enφ.

SEM parall`ele appliqu´ee aux pbs m´eridionaux.

Calcul de la pression : splitting alg´ebrique (consistant).

Solveurs elliptiques multi-niveaux (≈

multigrille) .

Outils

Langages : f77,f90, c.

Biblioth`eques (http://www.netlib.org)

BLAS, LAPACK (Produit matrice-vecteur, matrice-matrice, factorisation, inversion).

FFTW (Fastest Fourier Transform in the West) (MIT) http://www.fftw.org.

OPENMP - shared memory.

MPI (Message Passing Interface) - distributed memory.

I MPICH (Los Alamos)

I LAMMPI

I A venir : OPENMPI (routines globales optimis´` ees) http://www.open-mpi.org.

Simulations : bilan

Simulation la plus proche deL

`a ce jour : Takahashi et al. (2005).

E = 4.10⁻⁶. Plusieurs semaines sur 512 noeuds du Earth simulator (1 noeud:8 processeurs).

www.es.jamstec.go.jp/esc/eng/

Post-traitement des simulations I

R´eduire la dimensionalit´e : grandeurs int´egrales, spectres.

Visualisation 3D.http://www.paraview.org

Post-traitement des simulations II

Convection en rotation :

DTS

Enjeux scientifiques

DTS

L

Leff

ES

PARODY (FD- Yl^m)

0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0. 1 2 3 4 5 6

−logE

−logPm

QG : Schaeffer & Cardin (2006)

DTS

Enjeux scientifiques

Dynamo exp´erimentale `a vocation g´eophysique.

Rm≤ O(30)

Dynamos exp´erimentales ayant fonctionn´e : Riga et Karlsruhe.

Stieglitz & M¨uller (2001). Voir aussi Gailitis et al. (2001)

Compl´ement pour l’´etude de la variation s´eculaire. . 0,05 s(DTS) = 40 000 yr(M

).

Principe :

Taylor–Couette MHD sph´erique

ω + ∆ ω ω

b a

Γ

R´ealisation O(300) k€(´etude, etc.).

Equations DTS ´

Ro∂tv+Ro(v·∇v) + 2ˆez×v = −∇P+E∇²v+EHa²

Rm (∇×B)×B,(1)

∇·v = 0, (2)

∂tA = −∇V + 1

Rm∇²A+v×B, (3)

∇·A = 0, (4)

(B = ∇×A) (5)

where

Ro= U

Lω, E= ν

ωL², Ha= BL pµ₀ρ^fνη are the Rossby, Ekman, and Hartmann numbers, respectively.

YMCA

La sph` ere

Nataf et al. (2006)

Apport de l’informatique I

2 ordinateurs : un de surveillance + un de commande. Interfa¸cage `a l’aide de Labview. Budget informatique'5% du budget total.

Passage d’une branche ` a une autre :

Arrˆ et : spin down.

+ Traitement de la masse de donn´ees g´en´er´ees (cf. plus loin).

Alexandre Fournier (LGIT/Universit´e Joseph-Fourier) G´eodynamo & informatique 30/05/06 62 / 76

Donn´ ees acquises et control´ ees en temps r´ eel

Traitement des donn´ees

P, Γ,ω,B, ∆V.

Echantillonnage : 1´ −2 kHz. Filtre RC passe-bas,f_c = 500 Hz avant la carte d’acquisition.

+ v´elocim´etrie Doppler (vitesse radiale ou azimutale selon l’angle de tir).

Un ‘run’ : quelques heures d’enregistrements→plusieurs Gigaoctets de donn´ees.

Traitement et analyse : matlab/scilab. Grande masse de donn´ees : calculateur de l’observatoire (16 Go de m´emoire vive sur certains noeuds).

http://www.obs.ujf-grenoble.fr/SCCI/

Mesure du potentiel ´ electrique (Denys Schmitt) I

1 Signal brut. M´ediane 3 points.

Mesure du potentiel ´ electrique (Denys Schmitt) II

2 PSD (densit´e spectrale) : module de la transform´ee de Fourier

Mesure du potentiel ´ electrique (Denys Schmitt) III

3 La mˆeme moyenn´ee par tranche de 2Hz.

V´ elocim´ etrie Doppler (Daniel Brito) I

Principe : Brito et al. (2001).

file2 BRUT

Time in seconds

Distance to the probe in mm

0 50 100 150 200 250 300

50 100 150 200 250 300 350

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

V´ elocim´ etrie Doppler (Daniel Brito) II

file2 PDF BRUT

Velocity (mm/s)

Distance to the probe in mm

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

50 100 150 200 250 300 350

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Etat moyen - Instabilit´ ´ es / Ondes I

Ha= 10,E = 1 Ha= 10,E = 10⁻² Ha= 10,E = 10⁻⁴

Etat moyen - Instabilit´ ´ es / Ondes II

(Thierry Alboussi`ere). Ondes d’Alfv`en ?

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