GROUPE SCOLAIRE SANAA SIMILI MAI /2019

(1)

ةينطولا ةيبرتلا ةرازو

و ينهملا نيوكتلا

ينسحلا يحلل ةيميلقلاا ةيريدملا

GROUPE

SCOLAIRE SANAA SIMILI MAI /2019

4h Durée :

MATHEMATIQUES

2.BAC – S.M .BIOF

Exercice 1 : 7,5 pt

Soit F la fonction définie par :

^0;¹



^1;



x  2

    :

 

^{ln 2}

 

ln ^x ; : 0 ; 0 0

x

et

F x dt si x F

t

 

 

 





 

0,5pt 1) a- Montrer que Fest dérivable sur chacun des intervalles : ^0;¹ ^{; 1;}

 

2

  

 

  0,5pt b-Vérifier que : ^0;¹



^1;



^: ^{'( )}

_

^ln

_

²

_

2 ln ln 2

x

x F x

x x

  

   

    

0,5pt 2) a- Montrer que : ^0;¹



^1;



^:

 

² ¹

2 ln

x

x F x dt

t

 

    



0,5pt b- En déduire : ^0;¹



^1;



^:

 

2 ln(2 ) ln

 

     

x x

x F x

x x

0,5pt 3) a- Montrer que Fest continue à droite en 0 0,5pt b- Etudier la dérivabilité de Fà droite en 0 1pt c- Calculer :

   

lim ; lim

 

x x

F x F x

x et interpréter géométriquement les résultats . 4) Soit u la fonction définie par : ^{ }^t

 

^{0;1 :} ^{u t}

 

^{  }² ²^t ^ln^t

0,75pt a- Montrer que : ^! ^0;¹ ^:

 

⁰

2 u

 ^ ^ 

    , et en déduire le signe de u sur

 

^^;1

0,5pt b- En déduire que : ^;¹ ^:

 

²

2 2 2

x x

x F x dt

 t

 

   



 0,5pt c- Calculer

 

1 2

lim

x

F x

   

0,5pt 5) Montrer que :  t 0 : lnt t 1 , puis calculer :

 

1

lim

x _F x



0,5pt 6) a- Dresser le tableau de variation de F

0,75pt b- Construire la courbe de la fonction Fdans un repère orthonormé



^O^{;i ,} ^j





^{on prend} ^F

 

² ^{1, 9}



Page 1/4

(2)

Exercice 2 : 2,5 pts 1pt 1) Soit f la fonction définie sur



^0,^



^{par :}f x^{( )}ln( ) arctan( )x  x

Pour tout n de , on considère l’équation (_n) : f x( )n

Montrer que l’équation (_n) admet une unique solution x_n dans



^0,^



^.

0,5pt 2) Montrer que :



^{ }n



^: xn ^eⁿ^ , puis en déduire lim

 n

n x



^{ }



^{: ln}^_ ^_^^arctan( ⁾

 

n n n

n x x

e^ , puis en déduire lim



n n n

x e ^ .

 

1

: ln arctan( ) arctan( _ )



 

     

 

n

n n

n

n x x x

x  , puis en déduire

1

lim



 

 

 

n

n n

x

Exercice3 : 3,75 pts

 on considère l’ensemble :



^{, ,}



⁰ ^{/ ( , , )} ³

0 0

   

   

    

   

 

 

c a b

E M a b c c a a b c

c

et On pose :



1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

  

 

 

I ,

0 1 0

0 0 1

0 0 0

 

 

  

 

 

J ,

0 0 1

0 0 0

 

 

  

 

 

K .

0,5pt 1) a- Montrer que



^E^{, , .}^



est un espace vectoriel réel.

0,5pt b- Montrer que



^^{, ,}J K est une base de



. 0,25pt 2) a- Calculer K²

0,5pt b- Montrer que  est une partie stable de



M3

 

;



.

1pt 3) Montrer que



^E^{, ,}^{ }



est un anneau commutatif unitaire non intègre.

4) Pour tout a de , on pose 1 ² ( , ,1)

  _a a 2a et G 



_a ^{/ a}



On considère l’application : f : G telle que



^{ }x



f x^{( )}^{ }x

0,5pt a- Montrer que f est un isomorphisme de



^,^



^dans



^G,



^.

0,25pt b- En déduire que la structure de



^G^,^



^.

0,25pt c- Déterminer_a^¹ , la matrice inverse de la matriceM . _a

Page 2/4

(3)

Exercice 4 : 3,25 pts ( les parties A et B sont indépendantes )

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormé direct



^{O u v .}^{; ;}



Partie A :

1) On considère dans , l’équation :

 

^: ^² ^{4 cos} ³ ⁴ ⁴ ² ⁰

4

 

    

i i

E z z e e

 

 où ^^



^{0; 2}^



0,25pt a-Vérifier que le discriminent de l’équation

 

^{E est}

2

4 3

4 sin 4

  

     iei

 

. b- Soient z et z₁ ₂ les solutions de l’équation

 

^{E .}

0,5pt Ecrire z et z₁ ₂ sous forme exponentielle.

0, 5pt c- Montrer que :



1

 

2



2

3 3

 

    

OM OM    avec M et M₁ ₂ les points d’affixes

z et z₁ ₂ respectivement . Partie B :

Soient M et  les points d’affixes respectives : z et z .

^

 

^b est l’image du point par la rotation R de centre O et d’angle 2

 ^^{ }

 

^z est l’image du point ^

 

b par la translation T de vecteur uv 0,5pt 1) Déterminer ben fonction de zet vérifier que z i z 1 i

2) On considère la transformation f qui transforme un point ^{M z en}

 

^M ^'

 

^{z tel}^'

que : z'i z 1 i

0,5pt a- Montrer que l’ensemble des points invariants par f est la droite (D)de vecteur directeur w(1,1).

0,5pt b- Calculer 1

 



z z

i , puis déduire que   w .

0,25pt c- Montrer que le milieu du segment



^^



appartient à la droite (D). 0,25pt d- En déduire la nature de la transformation f

Exercice 5 : 3 pts Partie A :

0,25pt 1) Montrer que si k est un nombre premier positif tel que

⁵

^k

^ ²

^k

^ ⁰   ^k

^{, alors}^k^³^.

0,25pt 2) En déduire que si k est un nombre premier supérieur strictement que 3, alors les nombres k et

5

^k

 2

^k sont premiers entre eux.

Page 3/4

(4)

Partie B :

Soient p et q deux nombres premiers positifs tels que :

3 p q et

 ⁵

^p

^ ²

^p

 ⁵

^q

^ ²

^q

 ^ ⁰ ^{ } ^pq

1) On suppose dans cette question que p3. 0,25 a-Montrer que :

^{39 5} 

^q

^ ²

^q

 ^ ⁰ ^{ } ^q

0,25pt b- En déduire que q13 (on pourra utiliser la question 2 de la partie A) 2) On suppose dans cette question quep3.

0,75pt a-vérifier que p5 , puis montrer que :

⁵

^q

^ ²

^q

^ ⁰   ^p

et que :

⁵

^p^¹

^ ²

^p^¹

^ ⁰   ^p

b- Soit d le plus petit entier naturel non nul tel que :

⁵

^d

^ ²

^d

^ ⁰   ^p

Soit n ^tel que

⁵

ⁿ

^ ²

ⁿ

^ ⁰   ^p

, et r le reste de la division euclidienne de n par d.

0,25pt Montrer que :

⁵

^r

^ ²

^r

^ ⁰   ^p

0,25pt c-Montrer que d est un diviseur commun de q et p-1.

0,25pt d- En déduire qued 1.

3) Déduire de ce qui précède les nombres premiers positifs p et q tels que : 0,5pt 3 p q et

 ⁵

^p

^ ²

^p

 ⁵

^q

^ ²

^q

 ^ ⁰ ^{ } ^pq

Page 4/4