I Équations du premier degré

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2^ndeISI Outils de calcul chapitre 2 _2009-2010

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS

Table des matières

I Équations du premier degré 1

II Équation produit 1

III Équation quotient 3

IV Résolution graphique d’une équation 3

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I Équations du premier degré

Définition 1

Une équation du premier degré est une équation de la formeax+b= 0 aveca6= 0oùxest l’inconnue.

ax+b= 0⇐⇒x=−b

a donc : S =

−b a

Graphiquement, le nombre −b

a correspond à l’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation y =ax+bavec l’axe des abscisses.

Exemple 1

Résoudre dans Rles équationsE₁: 2x−13 =−3x+ 2et E₂:x−4 = 9x+ 6 + 2x

➔E₁ ⇐⇒ 2x+ 3x= 2 + 13 ➔E₂ ⇐⇒ x−9x−2x= 6 + 4

⇐⇒ 5x= 15 ⇐⇒ −10x= 10

⇐⇒ x= 3 ⇐⇒ x=−1

⇐⇒ S={3}. ⇐⇒ S={−1}.

II Équation produit

Lorsque l’on a affaire à un produit de plusieurs facteurs qui doit être égal à 0, on utilise le théorème important suivant :

http://mathematiques.daval.free.fr -1-

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Théorème 1

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : f(x)×g(x) = 0⇐⇒f(x) = 0 ou g(x) = 0.

Exemple 2

Résoudre dans Rl’équation(x+ 1)(2x+ 4)−(x−7)(x+ 1) = 0

➔(x+ 1)(2x+ 4)−(x−7)(x+ 1) = 0 ⇐⇒ x+ 1)[(2x+ 4)−(x−7)] = 0

⇐⇒ (x+ 1)(x+ 11) = 0

⇐⇒ x+ 1 = 0oux+ 11 = 0

⇐⇒ x=−1 oux=−11

⇐⇒ S={−11;−1}.

Théorème 2

L’équationx²=apossède :

♦ deux solutions si a >0 : S={−√

a;√a} ,

♦ une solution si a= 0 :S={0} ,

♦ aucune solution si a >0 : S =∅.

Démonstration pour a >0 : x² =a ⇐⇒ x²−a= 0

⇐⇒ x²−(√

a)² = 0

⇐⇒ (x−√

a)(x+√ a) = 0

⇐⇒ x−√a= 0 ou x+√a= 0

⇐⇒ x=√

a ou x=−√ a.

Exemple 3

Résoudre dans Rl’équationE: (x+ 2)²−9 = 0de deux manières différentes

➔E ⇐⇒ (x+ 2)²= 9 ou ➔E ⇐⇒ (x+ 2)²−(3)²= 0

⇐⇒ x+ 2 =√

9ou x+ 2 =−√

9 ⇐⇒ (x+ 2 + 3)(x+ 2−3) = 0

⇐⇒ x+ 2 = 3oux+ 2 =−3 ⇐⇒ (x+ 5)(x−1) = 0

⇐⇒ x= 3−2 oux=−3−2 ⇐⇒ x+ 5 = 0oux−1 = 0

⇐⇒ x= 1oux=−5 ⇐⇒ x=−5 oux= 1

⇐⇒ S ={−5; 1}. ⇐⇒ S ={−5; 1}.

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III Équation quotient

Théorème 3

♦ L’équation f(x)

g(x) = 0 est équivalente àg(x)6= 0 etf(x) = 0.

♦ L’équation f(x)

g(x) = h(x)

k(x) est équivalente à g(x)6= 0 et k(x)6= 0 etf(x)×k(x) =g(x)×h(x).

Exemple 4

Résoudre l’équation x−2

−x−1 = 0.

➔ −x−16= 0 et x−2 = 0 soit x6=−1 et x= 2

➔ S={2}.

Exemple 5

Résoudre l’équation 2x+ 1 x = 2x

x+ 4.

➔ x6= 0 et x+ 46= 0 et (2x+ 1)×(x+ 4) =x×(2x),

➔ x6= 0 et x6=−4 et 2x²+ 8x+x+ 4 = 2x²⇐⇒9x+ 4 = 0⇐⇒x=−4 9.

➔ Conclusion :S=

−4 9

IV Résolution graphique d’une équation

Soient f etg deux fonctions de courbes représentatives Cf etCg.

• Les solutions de l’équation f(x) =k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C^f avec la droite horizontale d’équation y=k.

• Les solutions de l’équationf(x) =g(x) sont les abscisses des points d’intersection entre Cf etCg.

Exemple 6

On considère les courbes représentatives C^f et de C^g de deux fonctionsf etg.

Résoudre graphiquement :

➔ f(x) = 0 S={−1; 3}

➔ f(x) = 5 S={−2; 4}

➔ f(x) =−4 S={1}

➔ f(x) =−5 S=∅

➔ f(x) =g(x) S ={0; 3}

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6 Cf

Cg

y = 5

y = 0

y=−4 y=−5