TS : DM3
Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on peut la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue. David Hilbert en 1900
I
On considère la suite (zn) à termes complexes définie parz0=1+i et, pour tout entier natureln, par
zn+1=zn+ |zn|
3 .
Pour tout entier natureln, on pose :zn=an+ibn, oùan est la partie réelle deznetbnest la partie imaginaire dezn. Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an) et (bn).
Partie A
1. Donnera0etb0.
2. Calculerz1, puis en déduire quea1=1+p 2 3 et b1=1
3.
3. On considère l’algorithme suivant : Variables :AetBdes nombres réels
K etNdes nombres entiers Initialisation : Affecter àAla valeur 1
Affecter àBla valeur 1 Traitement :
Entrer la valeur de N PourK variant de 1 àN
Affecter àAla valeur A+p A2+B2 3 Affecter àBla valeurB FinPour 3
Afficher A
(a) On exécute cet algorithme en saisissant
N = 2. Recopier et compléter le tableau ci- dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10−4près).
K A B
1 2
(b) Pour un nombreNdonné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice?
Partie B
1. Pour tout entier natureln, exprimerzn+1en fonction deanetbn.
En déduire l’expression dean+1en fonction deanet bn, et l’expression debn+1en fonction deanetbn.
2. Quelle est la nature de la suite (bn) ? En déduire l’ex- pression debnen fonction den, et déterminer la li- mite de (bn).
3. (a) On rappelle que pour tous nombres complexes zetz′:
¯
¯z+z′¯
¯É |z| +¯
¯z′¯
¯ (inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier natureln,
|zn+1| É2|zn| 3 .
(b) Pour tout entier natureln, on poseun= |zn|. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,
unÉ µ2
3
¶np 2.
En déduire que la suite (un) converge vers une limite que l’on déterminera.
(c) Montrer que, pour tout entier natureln,
|an| Éun. En déduire que la suite (an) converge vers une limite que l’on déterminera.
II
On considère une suite arithmético-géométrique (un) définie par son premier termeu0 et la relation de récur- renceun+1=aun+b oùa etb sont des réels non nuls et a6=1.
1. Soit f la fonctionx7→ax+b. Déterminer son point fixe, c’est-à-dire la solutionβde l’équationf(x)=x.
2. Puisqueβest le point fixe def, on a :β=aβ+b. On définit alors une suite auxiliaire (vn) par
vn=un−βpour toutn∈N.
Montrer que (vn) est géométrique de raison a. On précisera son premier terme en fonction deu0. 3. En déduire l’expression devnen fonction den, puis
celle deunen fonction den.
4. Application: soit la suite (un) définie par
u0=4 un+1=1
5un−3 .
Donner l’expression deunen fonction den.
5. Cette suite est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite?
Page 1/2
III
On considère la fonctionf définie sur ]− ∞;−4]∪[0 ;+∞[ par
f(x)=p
x2+4x−2x.
On appelleC la courbe représentative def dans un repère orthogonal³
O;−→i ;−→j´ .
1. (a) Déterminer les limites en−∞et en+∞ de la fonctionx7→x2+4x.
(b) En déduire les limites en−∞ et en+∞ de la fonctionx7→p
x2+4x.
2. Déterminer la limite de f en−∞.
3. (a) Peut-on raisonner comme à la question 2. pour déterminer la limite def en+∞?
(b) À l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite def en+∞.
(c) Justifier que, pour tout réel positif, f(x)=x
Ãr 1+4
x−2
! .
(d) En déduire la limite def en+∞; comparer avec la conjecture faite à la calculatrice.
IV
On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.
À l’instant 0, la puce est en A.
Pour tout entier natureln:
• si à l’instantn la puce est en A, alors à l’instant (n+1), elle est :
soit en B avec une probabilité égale à1 3; soit en C avec une probabilité égale à2
3.
• si à l’instantn la puce est en B, alors à l’instant (n+1), elle est :
soit en C, soit en A de façon équiprobable
• si à l’instantnla puce est en C, alors elle y reste.
On note An(respectivementBn,Cn) l’évènement « à l’ins- tantnla puce est en A »(respectivement en B, en C).
On notean(respectivementbn,cn) la probabilité de l’évè- nementAn, (respectivementBn,Cn).
On a donc :a0=1, b0=c0=0.
Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.
1. Calculer ak, bk etck pour k entier naturel tel que 1ÉkÉ3.
2. (a) Montrer que, pour tout entier natureln, an+ bn+cn=1 et
an+1 = 1 2bn
bn+1 = =1 3an
(b) Montrer que, pour tout entier natureln,an+2= 1
6an.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel
p,
a2p=
Ã1 6
!p
et a2p+1=0 b2p=0 et b2p+1=1 3
Ã1 6
!p .
3. Montrer que lim
n→+∞an=0.
On admet que lim
n→+∞bn=0. Quelle est la limite decn
lorsquentend vers+∞? V
On considère la courbeC d’équationy=ex, tracée ci- dessous.
−1
−2 1 2 3 4
1 2
−1
−2
−3
−4
−5
0 1 2 3 4
0 1 2
Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d’équationy=mx.
1. Dans cette question, on choisitm=e.
Démontrer que la droiteDe, d’équation y =ex, est tangente à la courbeC en son point d’abscisse 1.
2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel stric- tement positifm, le nombre de points d’intersection de la courbeC et de la droiteDm.
3. Démontrer cette conjecture.
Page 2/2
