Difficultés conceptuelles des étudiants de première année d’université lors de l’acquisition de la notion de limite d’une fonction
1G. ERVYNCK
Université de Louvain, Belgique Résumé
Dans cette communication nous voulons attirer l'attention sur quelques difficultés rencontrées par des étudiants entrant en première année d’université. Ces étudiants ont choisi une spécialisation en mathématique ou physique et ont reçu, au cours de l’enseignement secondaire une initiation a la théorie des fonctions. Ils ont été suivis de près pendant les trois premiers mois de leur séjour à l’université. Les difficultés rencontrées au début du cours d'analyse mathématique, en particulier avec la notion de limite permettent de constater l'existence, chez ces étudiants, d'une image conceptuelle de la notion de fonction qui ne correspond pas entièrement à la définition formelle d'après Dedekind et qui par conséquente entrave considérablement l’introduction de la définition (ε, δ) de la notion de limite. On constate que la image conceptuelle de fonction peut être situé à deux niveaux, au niveau I, le plus élémentaire, l'étudiant identifie une fonction à une courbe ou un graphe, au niveau II, plus évolué, il l’identifie à une formule. Il semble être très difficile de s'affranchir des limitations imposées par cette conception. On peut être même y ajouter un niveau III où, plus généralement, on conçoit qu'une notion mathématique soit convenablement introduite en assemblant judicieusement une chaîne de symboles, procédant par analogie avec une définition rencontrée antérieurement.
§ 1. INTRODUCTION
L’article est en rapport aux difficultés rencontrées dans l’acquisition de quelques concepts de l’analyse mathématique chez les étudiants de 18 ans, au début de l’année scolaire. La population constituée d’un groupe de 52 étudiants, ils avaient choisi une spécialisation en mathématiques ou physique, alors, ils peuvent être considérés comme bien disposés envers le sujet, et aussi ils sont entrés à l’université avec une très bonne réputation comme des bons étudiants de mathématiques à l’école secondaire.
L’observation suivante montre les résultats d’une série d’examens, qu’ont fait ces étudiants pendant les trois premiers mois de leur instruction et d’une série de lectures, sessions de travail (ateliers) et des conversations informelles avec eux.
Pendant les deux ou trois premières années avant son entrée à l’université, l’instruction a inclus une introduction aux idées fondamentales sur l’analyse mathématique, avec l’accent sur les procédures de calcul (représentations de fonctions,
1 Proccedings PME (Psychology of Mathematics Education), Grenoble, France, 1981, pp. 330- 333.
calcul de dérivées et primitives des fonctions et limites). Le développement de ces notions n’a pas été très élaboré.
§ 2. IMAGE CONCEPTUELLE DE LA LIMITE
Dans le développement usuel d’un cours sur la théorie des fonctions de variable réelle, la première notion fondamentale que les étudiants rencontrent est celle de la limite. Pour nous, cela était une bonne occasion pour examiner leurs niveaux réels sur la compréhension mathématique et sur leurs habiletés vers leur pensée abstraite. Ainsi, l’examen est représentatif, et nous allons voir que les résultats le confirme, en introduisant les notions de convergence de suites et séries, topologie et intégrales (avec la confusion courante entre intégrales et fonctions primitives). Tous ces thèmes montrent, l’aussi, l’évolution lente d’une image conceptuelle vers la compréhension de l’idée abstraite.
Le point initial dans l’introduction des limites a pour but d’étudier le comportement d’une fonction dans le voisinage d’un point x0, les étudiants admettent sans problème cette étude comme quelque chose d’utile, en utilisant quelques exemples intéressants, comme les suivants
( )
x xf =1 , ou x
x
sin , ou
x
sin 1 , etc., (x0 = 0)
En développant une intuition correcte de la limite, le but du cours est d’arriver vers une compréhension complète de la définition formelle, dans notre cas :
L
x f
x =
→ 0
lim si et seulement si ∀ε >0,∃δ >0
Tel que, ∀x∈Dom
( )
f , si 0< x−x0 <δ , alors f( )
x −L <ε.Il n’est pas difficile d’obtenir une formulation verbale de l’idée utilisée dans la définition formelle: "si x est proche de x0, alors f(x) est proche de la limite L". Cette verbalisation est communément acceptée. Mais la complication commence quand on veut l’écrire en termes mathématiques : il semble qu’il y a une difficulté pour la comprendre de façon approfondie
- Le sens de "x s’approche à x0"
- L’interconnexion du rôle de ε et δ;
- Le rôle et l’ordre des quantificateurs ∀ et ∃;
- Le cas insignifiant quand x = a et la valeur f(a);
- Le fait que x0 doive être un point de convergence dans le domaine de la fonction.
En regardant de plus près ces problèmes, on s’aperçoit que l’usage des représentations graphiques peut aider à surpasser la difficulté inhérente au passage de l’image conceptuelle vers la définition formelle. La plupart des étudiants sont ancrés dans le graphe: il n’y a pas de difficultés si on est capable de représenter la fonction totalement, c’est-à-dire, avec toutes ses particularités, sur une feuille de papier. Mais si une aide visuelle convenable manque, alors les difficultés arrivent encore une fois: Près de 50 % des étudiants ont été incapables de faire un commentaire sur l’absence de la limite pour x → 0 de la fonction
( )
= x x
f 1
sin , quelques-uns ont même été incapables de décrire correctement le comportement de cette fonction. Et bien, les choses sont devenues encore plus compliquées avec les fonctions telles que
( )
= x x x
f 1
sin ou
( )
sin1 1−
= x x x
f .
Alors, cette remarque nous donne une explication du fait que les étudiants ne reconnaissent pas la nature commune de la limite d’une fonction, de la limite d’une suite et de celle d’une série (c’est dommage que les suites soient rarement traitées dans les manuels avec l’utilisation de graphes).
Justement, proche de l’idée de courbe d’un graphe nous trouvons celle de formule laquelle implique un pas vers l’abstraction: l’identification d’une fonction par sa formule.
Ceci est fortement encouragé dans les manuels par beaucoup d’exercices. Si la fonction est décrit par une formule, la machinerie complète de théorèmes et règles (l’Hôpital, par exemple), rend le calcul des limites beaucoup plus facile. Quelques étudiants vont devenir maîtres dans ce domaine.
§ 3. INTERPRÉTATION
Le comportement des étudiants de premier degré face à l’introduction des limites est une illustration typique de la formation d’une image conceptuelle d’une idée mathématique (Tall et Vinner, 1980). Nous pouvons dire qu’un concept primitif (niveau I) peut consister en l’assimilation visuelle intuitive d’une fonction associée à une courbe ou
graphe. Parce que tous les étudiants se sont familiarisés avec les méthodes des coordonnées, cette image conceptuelle peut facilement être remplacée pour une autre (niveau II) où la formule est utilisée comme une substitution d’une fonction. L’idée mathématique approfondie ne se développe pas chez beaucoup d’étudiants. Ils assimilent la fonction comme des ordinateurs (= formule) qui donnent les valeurs de f(x) pour la variable x et qui sont reliés à un outil pour tracer de graphes. Dans des circonstances comme celle-ci, il est très difficile d’expliquer la vraie signification de la définition en termes de (ε, δ), parce que la définition moderne due à Dedekind d’une fonction leur manque et c’est l’idée « statique » postérieure, laquelle fournira à la limite sa complète signification. Naturellement, la définition au sens de Dedekind est introduite au premier niveau de l’école secondaire dans le contexte de la théorie des ensembles, mais beaucoup d’enseignants ne l’aiment pas et ils l’abandonnent presque immédiatement quand ils commencent à enseigner la théorie des fonctions. Cependant, nous devons admettre que la visualisation donnée par les diagrammes de Venn, n’est pas appropriée pour remplacer l’usage des graphes. Mais, la vieille vue “dynamique” des fonctions est à l’origine de beaucoup de complications dans l’explication de la limite et dans ce cas là il faut travailler beaucoup plus pour corriger les conceptions erronées. Même la terminologie usuelle n’est pas très efficace (c.a.d. x "s’approche à" x0).
L’(imagerie) auto suffisance d’une formule a une si grande puissance qu’elle va entraîner la formation d’une image conceptuelle de niveau III, laquelle va plus loin que le domaine de limites, celui-là d’auto consistance d’une chaîne des symboles. En quelques mots, nous pouvons la décrire comme ça: Si nous assemblons une collection de symboles mathématiques dans un ordre correctement choisi l’ordre est fréquemment une copie d’une certaine formule déjà utilisée auparavant, cette juxtaposition va acquérir par elle- même une signification et il faut que nous la découvrions en utilisant l’un ou l’autre idée clé (d’habitude pour quelque chose déjà bien su). Alors, la condition rigoureuse en mathématiques d’une définition non-contradictoire est bien dépassée.
Exemples d’images conceptuelles sont (1) l’utilisation du symbole ∞ : ∞ + ∞ et
∞ × ∞ ont une signification, mais 0 × ∞ n’en a pas, "ce n’est pas défini" (mais pourquoi?
Et pourquoi 0 × ∞ = 0 dans la théorie de la mesure?); (2) dans le calcul intégral: Une
)
fonction donnée f, vous écrivez le signe d’intégration avant la fonction, et dx après, résultant la chaîne et celle-ci est l’intégrale de f (mais qu’est-ce qu’on peut dire de l’intégration de f ?); (3) dans la théorie de la convergence de séries: par un ensemble dénombrable de nombres
(
, vous écrivez et pour le fait même de l’écrire, il doit y avoir un nombre appelé la somme de la série (sans faire un appel aux notions élémentaires de convergence).∫
∑
∞=0 n
∫
f dxN n
xn; ∈ xn
Références
TALL D. and VINNER S. Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to limits and continuity. Mathematics Education Research Centre, Warwich University, March 1980.
