Chapitre III

(1)

Chapitre III

Connectivit´ e, Arbres

espace

(2)

Points d’articulations, Isthmes

D´ efinitions Soit G = (V ,E) un graphe.

Supprimer un sommet : Soit x un sommet de G. G − x est le sous-graphe induit de G obtenu en supprimant x de V . Autrement,

G − x = (V \{x},E\{(x, y) ∈ E \ y ∈ V }).

Supprimer des sommets : Soit U ⊂ V une partie de sommets de G. G − U est le sous-graphe induit de G obtenu en supprimant de V tous les sommets de U.

Autrement, G − U = (V \U, {(x, y) ∈ E \ x, y ∈ / U}).

Supprimer une arˆ ete : Soit e une arˆ ete de G . G − e est le graphe partiel de G obtenu en supprimant e de E. Autrement, G − e = (V ,E − e).

Supprimer des arˆ etes : Soit X ⊂ E une partie d’arˆ etes de G. G − X est le graphe partiel de G obtenu en supprimant de E tous les arˆ etes de X . Autrement, G − X = (V , E − X ). Exemple :

11

3 2 6 5

4 G

11

3 5 2

4 G-6

11

3 2 6 5

4 G-(2,6)

3 5 2

4 G-{1,6}

11

3 2 6 5

4 G-{(1,5),(2,3),(4,3),(2,6)}

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Introduction `a la th´eorie des graphes

(3)

D´ efinitions

Point d’articulation (cutvertex) : Un point d’articulation est un sommet dont la suppression rend le graphe non connexe.

Ensemble d’articulation (vertex-cut) : Un ensemble d’articulation est un ensemble de sommets dont la suppression rend le graphe non connexe.

Isthme ou un pont (bridge) : Un isthme est une arˆ ete dont la suppression rend le graphe non connexe.

Graphe non s´ eparable : Un graphe est dit non s´ eparable s’il ne contient aucun point d’articulation. Exemple : un cycle d’ordre au moins 3.

S´ eparateur : Soit G un graphe. Soit X un ensemble de sommets ou d’arˆ etes.

X s´ epare G ou X est un s´ eparateur de G si G − X est non connexe.

Soient x et y deux sommets de G. X est un (x, y)-s´ eparateur (ou X s´ epare x et y) si dans G − X les deux sommets sont dans deux composantes connexes diff´ erentes.

1

2 3

4

5 6

8

7

9

3, 6 et 7 sont des points d’articulations.(6,7)est un isthme.{3,4,5}ensemble d’articulation

(4)

Points d’articulations, Isthmes

Proposition : Soit G un graphe connexe. Si e = (x,y ) est un isthme alors soit G = K

2

ou soit x ou y est un point d’articulation.

Preuve : La suppression de e= (x,y)rend G non connexe. Soient G₁et G₂deux composantes de G contenant respectivement x et y . Supposons que G6=K₂, alors l’ordre de G₁ou de G₂est supérieur à2. Sans perte de généralité, supposons que|G₁|>2, alors il existe dans G₁un sommet z6=x qui est relié au sommet y par un chemin passant par l’arête e (car G est connexe). Ainsi, la suppression du sommet x disconnecte G.

Proposition : Soit G un graphe connexe. Un sommet x est un point d’articulation si et seulement il existe deux sommets y et z diff´ erents de x tel que tout chemin reliant y et z passe par x .

Preuve :

Si x est un point d’articulation de G alors G−x est non connexe. Ainsi, il existe deux sommets y et z non reli´es par un chemin dans G−x . Comme G est connexe, y et z sont connect´es par un ou des chemins dans G qui passent forcement par x .

Supposons qu’il existe deux sommets y et z tels que tout chemin reliant y `a z passe par un sommet x . Ainsi, dans G−x il n’y a aucun chemin qui connecte y `a z. Par suite, x est un point d’articulation.

Proposition : Tout graphe connexe non trivial contient au moins deux sommets qui ne sont pas des points d’articulations.

Preuve : Soit G un graphe ayant au moins deux sommets. Si|G|=2le résultat est trivial. Soit x et y deux sommets de G tels que d_G(x,y) =diam(G). Nous allons montrer que x et y ne sont pas des points d’articulations de G. Supposons que x est un point d’articulation de G alors G−x est non connexe.|G|>3considérons z un sommet appartenant à une composante qui ne contient pas y . Ainsi, tout chemin reliant y à z dans G passe par x . Par suite, d_G(y,z)>d_G(x,y) =diam(G)contradiction. De même pour le sommet y .

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(5)

D´ efinitions

Connectivit´ e ou connexit´ e (connectivity) : La connectivit´ e κ(G) (kappa de G ) d’un graphe G = (V , E) est le nombre minimum de sommets ` a supprimer pour que G devient non connexe ou r´ eduit ` a un sommet.

k-connexe (k-connected) : G est dit k -connexe si κ(G) > k. Si S d´ esigne la famille des s´ eparateurs (des sommets) de G alors G est k-connexe si et seulement si

κ(G ) = min{|X |\X ∈ S} > k

Autrement, si G a au moins k + 1 sommets et aucun ensemble de k − 1 sommets ne le s´ epare.

Remarque :

Pour tout graphe G , on a 0 6 κ(G) 6 n − 1.

κ(G ) = 0 si et seulement si G est non connexe.

κ(G ) = n − 1 si et seulement si G est complet.

κ(G ) = 1 si et seulement si G = K

2

ou G est un graphe ayant des points d’articulations.

κ(G ) > 2 si et seulement si G est un graphe non s´ eparable d’ordre au

moins 3.

(6)

k-connexe, k-arˆ ete-connexe

D´ efinitions

arˆ ete-Connectivit´ e ou arˆ ete-connexit´ e (edge-connectivity) : L’arˆ ete-Connectivit´ e λ(G) d’un graphe G = (V ,E) est le nombre minimum d’arˆ etes ` a supprimer pour que G devient non connexe.

k-arˆ ete-connexe (k-edge-connected) : G est dit k-arˆ ete-connexe si λ(G) > k . Si S d´ esigne la famille des s´ eparateurs (des arˆ etes) de G alors G est

k-arˆ ete-connexe si et seulement si

λ(G ) = min{|X |\X ∈ S} > k

Autrement, si G a au moins 2 sommets et aucun ensemble de k − 1 arˆ etes ne le s´ epare.

Remarque :

Pour tout graphe G , on a 0 6 λ(G ) 6 n − 1.

Le graphe trivial K

1

ne poss` ede pas d’isthme mais on admet que λ(K

1

) = 0.

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(7)

Th´ eor` eme : λ(K

n

) = n − 1.

Preuve :

Si n = 1, on a λ(K

1

) = 0.

Prenons n > 2. Si on supprime toutes les arˆ etes incidentes d’un sommet alors K

n

devient non connexe. Ainsi λ(K

n

) 6 n − 1.

Soit X le s´ eparateur de K

n

tel que λ(K

n

) = |X | et K

n

Si G est non connexe alorsκ(G) =λ(G) =06δ(G).

Si G est complet alorsκ(G) =λ(G) =δ(G) =n−1.

Dans la suite consid´erons G comme ´etant un graphe connexe non complet. G est non complet alors δ(G)6n−2. Soit x un sommet tel que d(x) =δ(G). Remarquons que si on supprime toutes les arˆetes incidentes de x , G devient non connexe. Ainsi,λ(G)6δ(G)6n−2.

Soit X le séparateur (arêtes) de G tel que|X|=λ(G)6n−2et G−X est non connexe. Posons G−X=G₁∪G₂où G₁et G₂sont deux composantes de G−X tels que|G₁|=k>1,

|G₂|=n−k>1et chaque arête de X joint un sommet de G₁à un sommet de G₂. Si chaque sommet de G1est adjacent à tous les sommets de G2alors|X|=k(n−k)et on a (k−1)(n−k−1) =k(n−k)−(n−1)>0. Ceci donneλ(G) =|X|=k(n−k)>n−1.

Contradiction carλ(G)6n−2.

Il existe donc un sommet x de G₁et un autre sommet y de G₂tels que(x,y)∈/E(G). Soit U un sous ensemble de sommets de G construit de la fac¸on suivante :

– Soit(u,v)∈X , si u=x alors v∈U.

– Soit(u,v)∈X , si u6=x avec u∈G₁et v∈G₂alors u∈U.

Remarquons que pour tout sommet u∈U, on a soit(x,u)∈X ou soit(u,v)∈X où v∈G₂avec x,y∈/U. Ainsi, d’une part on a|U|6|X|et d’autre part, la suppression de tous les sommets de U dans G est équivalent à la suppression de toutes les arêtes de X dans G. Ceci rend G non connexe. Par suite, U est un ensemble d’articulation de G. En conclusion on a

κ(G)6|U|6|X|6λ(G)

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(9)

Remarque

L’in´ egalit´ e de l’´ enonc´ e du Th´ eor` eme de Whitney peut ˆ etre strict. En effet dans le

graphe suivant on a κ(G) = 1 < 2 = λ(G ) < 3 = δ(G).

(10)

k-connexe, k-arˆ ete-connexe

Le th´ eor` eme suivant pr´ esente un exemple de classe de graphe o` u on a κ(G) = λ(G ).

Th´ eor` eme : Pour tout graphe cubique G, on a κ(G) = λ(G).

Preuve : Soit G un graphe cubique. D’après le Théorème de Whitney on aκ(G)6λ(G)63.

Siκ(G) =0alors G est non connexe par suiteκ(G) =λ(G) =0.

Siκ(G) =3alorsκ(G) =λ(G) =3.

Siκ(G) =1alors il existe un sommet x un point d’articulation dans G tel que G−x est non connexe et comme deg(x) =3, il existe une composante de G−x qui contient un et un seul voisin y de x . D’o`u l’arˆete(x,y)est un isthme de G. Par suiteκ(G) =λ(G) =1.

Siκ(G) =2alors il existe un ensemble d’articulation U={x,y}tel que G−U est non connexe. Soient G₁et G₂deux composantes de G−U.

– Si(x,y)∈E(G)alors x (resp. y ) possède un et un seul voisin x⁰(resp. y⁰) dans G1. Il est clair que X={(x,x⁰),(y,y⁰)}est un séparateur de G. D’oùκ(G) =λ(G) =2.

– Si(x,y)∈/E(G)alors soit x (resp. y ) possède un et un seul voisin x⁰(resp. y⁰) dans G1et deux voisins dans G₂et dans ce cas l’ensemble X={(x,x⁰),(y,y⁰)}est un séparateur de G. Soit x possède un et un seul voisin x⁰dans G₁et deux voisins dans G₂et y possède deux voisins dans G₁et un seul voisin y⁰dans G₂. Dans ce cas l’ensemble X={(x,x⁰),(y,y⁰)}est un séparateur de G. D’oùκ(G) =λ(G) =2.

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(11)

Th´ eor` eme de Menger

D´ efinition : Deux chemins sont ind´ ependants s’ils n’ont aucun sommet en commun ` a part leurs extr´ emit´ es.

Th´ eor` eme (Menger, 1927) : Soit G un graphe.

Soient x et y deux sommets non adjacents de G. La taille minimum d’un sous ensemble de sommets s´ eparant x et y est ´ egale au nombre maximum de chemins deux

` a deux ind´ ependants joignant x et y .

Preuve : a faire en devoir.

Corollaire (Menger, 1927) : Soit k > 2. Un graphe G est k-connexe (pour les sommets) si et seulement si toute paire de sommets distincts de G est connect´ ee par au moins k chemins ind´ ependants.

Preuve : a faire en devoir.

Remarque : Il existe l’analogue du r´ esultat ´ enonc´ es dans le Th´ eor` eme et le Corollaire

de Menger en termes d’arˆ etes.

(12)

Arbres

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(13)

Th´ eor` eme : Une arˆ ete e d’un graphe G est un isthme si et seulement si e n’appartient

` a aucun cycle de G.

Preuve : Si e est un isthme dans G alors G−e est non connexe. Il existe donc deux sommets x et y qui ne sont pas connectés dans G−x mais connectés dans G. Ainsi, si e= (s,d)appartient à un cycle alors x et y restent connectés même si on supprime e. Contradiction. Réciproquement, supposons que e n’est pas un isthme alors G−e est connexe donc les deux sommets extrémités de e sont connectées par un chemin P dans G−e. Par suite l’union de e et de P dans G forme un cycle G contenant e. Contradiction.

Remarque : D’apr` es ce th´ eor` eme, il est possible d’avoir un graphe connexe dont toutes les arˆ etes sont des isthmes. Cette propri´ et´ e est v´ erifi´ ee par une classe de graphe la plus ´ etudi´ e et la plus connue dans la th´ eorie des graphe qui sont les arbres. A noter

´ egalement que les arbres sont des graphes tr` es populaires et tr` es utilis´ es en combinatoire, en algorithmiques et en informatique.

D´ efinition :

Un arbre est un graphe connexe sans cycle.

Une forˆ et est un graphe dont chaque composante connexe est un arbre.

Autrement dit, c’est un graphe sans cycle.

Exemples particuliers :

Chemins,

Etoiles, ´

Chenilles.

(14)

Arbres

Arbre et une forˆ et

chemin, ´ etoile et une chenille

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(15)

Th´ eor` eme : Un graphe G est un arbre si et seulement si tout couple de sommets est connect´ e par un chemin et un seul.

Preuve : Si G est un arbre alors G est connexe et tout couple de sommets est connect´e par au moins un chemin.

Par ailleurs, supposons qu’il existe un couple de sommets(x,y)connecté par deux chemins différents, dans se cas G contient un cycle, ce qui est impossible. Réciproquement, si G est un graphe dans lequel tout couple de sommets est connecté par un chemin et un seul. Alors, d’une part, G est connexe et d’autre part, G ne peut pas contenir un cycle, autrement il y aura au moins deux sommets connectés par deux chemins.

Corollaire : Un arbre d’ordre n > 2 admet au moins deux sommets pendants (ou feuilles). Dans un arbre, en appelant sommets pendant ou feuille un sommet qui n’est adjacent qu’` a un seul sommet.

Preuve : Le précédent théorème permet de remarquer que tous les sommets d’un arbre de degré au moins deux sont des points d’articulations. Toutefois, on sait qu’un graphe connexe non trivial contient au moins deux sommets qui ne sont pas des points d’articulations. D’où le corollaire.

(16)

Arbres

Th´ eor` eme : Si G est un arbre d’ordre n et de taille m alors m = n − 1.

Preuve : Soit G un arbre d’ordre n et de taille m. G est donc un graphe connexe sans cycle. Ainsi, d’une part, G est connexe implique que m>n−1(Voir proposition dans chapitre 2) et d’autre part, G est acyclique (sans cycle) implique m6n−1(Voir TD2 exercice 7). D’o`u le r´esultat.

Corollaire : Si G est une forˆ et d’ordre n, de taille m et poss` ede k composantes alors m = n − k.

Proposition : Si G est un arbre d’ordre n > 3 ayant n

i

sommets de degr´ e i alors n

1

= 2 + n

3

+ 2n

4

+ · · · + (∆(G ) − 2)n

∆(G)

Preuve :

i=2 (i−2)n_i.

Remarque : La r´ eciproque du pr´ ec´ edent th´ eor` eme n’est pas toujours vrais.

Autrement, Si G est un graphe d’ordre n et de taille m tel que m = n − 1 n’implique pas que G est un arbre. Proposer un contre exemple.

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(17)

Pour que la r´ eciproque du pr´ ec´ edent th´ eor` eme soit vraie, il faut ajouter plus d’hypoth` eses. Ainsi,

Th´ eor` eme : Soit G un graphe d’ordre n et de taille m. Si G est sans cycle et m = n − 1 alors G est un arbre.

Preuve : Il reste à montrer que G est connexe. Supposons le contraire. Soient G₁, G₂,..., G_kk>1composantes connexes de G où chaque composante G_iest d’ordre n_iet de taille m_i. Par ailleurs, chaque composante G_iest un arbre c-à-d G est une forêt de k composantes. Par suite, m=n−k=n−1. D’o`u, k=1c-à-d G est connexe.

Th´ eor` eme : Soit G un graphe d’ordre n et de taille m. Si G est connexe et m = n − 1 alors G est un arbre.

Preuve : Supposons le contraire c-`a-d G est graphe connexe d’ordre n, de taille m et m=n−1tel que G n’est pas un arbre. Alors G est contient au moins un cycle. Soit G⁰le graphe partiel de G obtenu en supprimant une arˆete de chaque cycle de G. Le graphe G⁰est donc un arbre (sans cycle et connexe) d’ordre n et de taille m⁰<m.

D’o`u m>m⁰=n−1. Contradiction.

Corollaire : Si G est un graphe d’ordre n et de taille m. Alors les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

G connexe et G est sans cycle, G connexe et m = n − 1, G est sans cycle et m = n − 1,

Preuve : Application immédiate des précédentes théorèmes.

(18)

Arbre couvrant d’un graphe

D´ efinition :

Un arbre couvrant d’un graphe G est le sous graphe partiel de G obtenu en supprimant tous les cycles dans G.

Autrement dit, un arbre couvrant d’un graphe G = (V ,E) est l’arbre construit ` a partir des arˆ etes de G et contient tous les sommets de G.

Th´ eor` eme : Un graphe G admet un arbre couvrant si et seulement si G est connexe.

Preuve : Si G admet un arbre couvrant alors G est connexe. Réciproquement, supposons que G est connexe et soitC(G)l’ensemble des sous graphes partiels et connexes de G.C(G)est non vide car G est un sous graphe partiel de lui même. Soit H un sous graphe partiel connexe de G minimal pour le nombre d’arêtes. Si H contient un cycle C et e une arête de C alors H−e est connexe et sous graphe partiel de G. Ceci contredit la minimalité de H. Ainsi, H est un sous graphe partiel connexe sans cycle de G c-à-d H est un arbre couvrant de G.