FORMULES DE DUPLICATION ET d'ADDITION

(1)

x y

o

I J

M M' N

x y

o

I J

M M' N

FORMULES DE DUPLICATION ET d'ADDITION

I) FORMULES D’ADDITION

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O;OI ,OJ . Soit C le cercle trigonométrique de centre O et M, M’ et N 3 points de C tels que :  OI ,OM = a

 OM ,OM ' = b et  OM ,ON =  2 1) a) Déterminer  OI ,OM '=

b) En déduire OM ' en fonction de OI et OJ OM ' = OI + OJ

2) a) Ecrire OM en fonction de OI et OJ OM = OI + OJ

b) Ecrire 

ON en fonction de OI et OJ ON = OI + OJ

c) Ecrire 

OM^ en fonction de OM et ON OM ' = OM + ON

d) En déduire une autre écriture de OM ' en fonction de OI et OJ .

Propriété :

Pour tout les réels a et b on a :

cos ( a + b) = sin ( a + b ) =

cos ( a - b) = sin ( a - b ) =

1) A l'aide des formules d'addition, calculer les valeurs exactes de cos



^7¹²



^{et sin}



⁷¹²^



(2)

x y

o

I J

M K T II) FORMULES DE DUPLICATION :

En utilisant les formules d'addition pour a = x et b = x Propriété:

Pour tout réel x on a :

cos ( 2 x ) = = =

sin ( 2 x ) =

cos ( x ) = = =

sin ( x ) =

Exercice : 2) A l'aide des formules de duplication, calculer les valeurs exactes de cos



^⁸



^{et sin}



^⁸



III) LA FONCTION TANGENTE Définition :

Pour tout x≠ 

2 + 2 k  avec k ∈ ℤ et x≠ −

2 + 2 k  avec k ∈ ℤ tan (x) = sinx

cosx

Rq : tan(x) est l'abscisse de T dans le repère (I ; OK ) avec OK=OJ où T est l'intersection de (OM) et de la tangente à C en I.

Dans un triangle rectangle tan = opp adj .