Fonctions affines et linéaires.
I.Fonctions linéaires.
1.
Forme algébrique.La forme algébrique d’une fonction linéaire est : f x : ax où a est un nombre fixé.
f x ( ) ax
Exemple :
f x : 3 x est une fonction linéaire ( a = 3 ).
g x : 2 x 1 n’est pas une fonction linéaire.
h x : x ² 4 n’est pas une fonction linéaire.
2. Tableau de valeurs.
Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité ; pour calculer l’image d’un nombre on le multiplie toujours par le même nombre : le coefficient a
Exemple :
On considère la fonction linéaire suivante : f x : 3 x Remplissons son tableau de valeurs :
x -1 -2 -4 0 1 2 3 4 5
f(x) -3 -6 -12 0 3 6 9 12 15
On remarque que pour « passer » d’une ligne à l’autre on multiplie
toujours par le même nombre : le coefficient a.
3. Représentation graphique.
La représentation graphique d’une fonction linéaire f x : ax est une droite passant par l’origine.
Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite car c’est lui qui donne la direction de la droite.
Exemple :
On considère la fonction linéaire suivante : f x : 3 x
et utilisons le tableau des valeurs au dessus pour représenter la fonction f.
II. Fonctions affines.
1.
Forme algébrique.La forme algébrique d’une fonction affine est :
f x : ax b où a et b sont des nombres fixés.
f x ( ) ax b
Exemple :
f x : 2 x 4 est une fonction affine avec : a=2 et b= -4.
g x : 3 5 x est une fonction affine avec : a=5 et b= -3.
Remarque :
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où b=0.
2. Proportionnalité des accroissements.
Propriété :
Soit f une fonction affine définie par une expression de la forme f(x) = ax + b (où a et b sont des nombres relatifs). Si on note yA et yB les images respectives par f de deux nombres différents xA et xB , alors :
= = a .
Application : (détermination de l’équation d’une droite)
1/ Déterminer l’expression d’une fonction affine f sachant que f(1) = 2 et que f(3) = – 4.
La fonction f étant affine, son expression est de la forme f(x) = ..., et on cherche à déterminer la valeur des nombres ... et ... .
On sait que : ... = = = = ... .
Donc l’expression de f est de la forme f(x) = ..., et il reste à déterminer la valeur du nombre ... .
L’image du nombre ... par f est ..., on doit donc avoir ... = ... . On en déduit que ... = ... = ... .
Finalement, l’expression cherchée pour f est : f(x) = ... .
2/ Déterminer l’équation de la droite (D) passant par les points A(– 2 ; 3) et B(2 ; – 5).
L’équation de la droite (D) est de la forme : ... .
Le coefficient directeur vaut : ... = = = ... .L’équation est de la forme : ...
Pour déterminer ensuite l’ordonnée à l’origine, on traduit l’appartenance d’un des deux points à la droite :
...(... ; ...) (D) donc ... = ... . On en déduit que : ... = ... = ... .
Finalement l’équation cherchée pour la droite (D) est : ... . xB - xA
yB - yA
xA xB
yA = f(xA) = axA + b yB = f(xB) = axB + b
1
a
y = ax + b
A
B
Les accroissements en ordonnées sont proportionnels aux accroissements en abscisses.
Le coefficient de proportionnalité des accroissements est le coefficient directeur de la droite : le nombre a.
