Polynésie – juin 2007
E
XERCICE1 8 points
Explications du QCM de la page 3
• Ajouter 1,5 %, c’est multiplier par 1+ 1,4
100=1,015.
De 2003 à 2008, il y a 5 ans ; ajouter 1,5 % par an pendant 5 ans, c’est multiplier par 1,0155. Or 5200×1,0155≈5601,88 ;réponse B.
• Le plus simple est de procéder par élimination.
Entre le 1erjanvier 2004 et le 1erjanvier 2009, il y a 5 ans ; 5×14400=72000 donc on peut éliminer les réponses B et D qui sont trop éloignées de cette somme.
On ajoute chaque année 150(donc le salaire annuel se termine toujours par un 0, donc la somme des 5 salaires également ; on peut éliminer la réponse A.
La bonne réponse est laréponse C.
• Si deux événementsAetBsont incompatibles, cela veut dire, par définition, quep(A∩B)=0.
Réponse D.
• D’après le tableau de variations def : lim
x→+∞f(x)=2 ;réponse A.
• De même :f′(2)=0 ;réponse C.
• SiF(x)=5 3x3−3
2x2+x+1, alorsF′(x)=5
3×3x2−3
2×2x+1=5x2−3x+1=f(x) ;réponse B.
• ln(2x+3)=0 ⇐⇒ln(2x+3)=ln 1⇐⇒2x+3=1⇐⇒ 2x= −2 ⇐⇒x= −1 ;réponse A.
• ¡ eu(x)¢′
=U′(x) eu(x)doncf′(x)=2 e2x+1;réponse D.
E
XERCICE2 12 points
Partie A
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du chiffre d’affaires de cette centrale de réservation en milliers d’euros entre 2001 et 2005.
Année 2001 2002 2003 2004 2005
Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5
Chiffre d’affairesyi 125 138 165 200 250
Source : l’Observatoire du Comité Départemental du Tourisme du Jura.
2. On posezi=lnyi.
On complète le tableau suivant en arrondissant les résultats à 10−2près :
Année 2001 2002 2003 2004 2005
Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5
zi=lnyi 4,83 4,93 5,11 5,3 5,52
3. On représente le nuage de pointsNi(xi;zi) dans un repère orthogonal ; voir page 5.
4. On admet que la droiteDd’équationz=0,179x+4,613 constitue un bon ajustement affine du nuage de pointsNi.
Six=0,z=4,613 et six=7,z=5,866. On place ces points pour tracer la droiteD(voir page 5).
5. Le responsable de la centrale de réservation Loisirs Accueil Jura pense que la tendance décrite par la droiteDse confirmera dans les années à venir.
Le chiffre d’affaires prévisible en 2007 est déterminé en prenantx=7 ; on trouve alorsz=5,866 ce qui signifie lny=5,866 doncy=e5,866≈352,8.
Le chiffre d’affaires prévisible pour 2007 est donc d’environ 353 milliers d’euros.
Partie B
Le but de cette partie est d’étudier la fonctionf : x7−→100 e0,18xsur l’intervalle[0 ; 8]. 1. On sait que¡
eu(x)¢′
=u′(x) eu(x)doncf′(x)=100×0,18 e0,18x=18 e0,18x.
Quel que soit le réelx, on sait que ex>0 doncf′(x)>0 quel que soitxde[0 ; 8]. 2. f(0)=100 e0=100 etf(8)=100 e0,18×8≈422,1
On dresse le tableau de variations def sur[0 ; 8]:
x 0 8
f′(x) +++
≈422,1 f(x)
100
3. On complète le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs à 10−1près.
x 0 1 2 4 6 8
f(x) 100 119,7 143,3 205,4 294,5 422,1
4. On trace sur l’annexe 2 page 4 la courbe représentative def sur[0 ; 8].
5. L’année 2007 correspond au rangx=7 donc le chiffre d’affaires en 2007 est donné par f(7)≈352,54.
Le chiffre d’affaire prévisible pour 2007 est de 353 milliers d’euros.
Polynésie 2 juin 2007
Annexe 1
QCM
A B C D
Un restaurateur sert 5 200 couverts lors de l’année 2003, il estime que ce nombre va progresser de 1,5 % tous les ans. Le nombre de couverts prévisible pour l’année 2008 sera donc (à l’unité près) :
10 459 5 602 5 590 4 822
Un employé de restauration est embauché au 1erjanvier 2004 avec un salaire annuel de 14 400(. Chaque année, son salaire an- nuel augmente de 150(au 1erjanvier. La somme de tous les salaires perçus entre le 1erjanvier 2004 et le 1erjanvier 2009 s’élève donc à
73 875( 2 160 000( 73 500( 15 150(
SoientAetBdeux évènements incompa-
tibles avecp(A)=0,25 etp(B)=0,6 alors : p(A∪B)=0,35 p(A∪B)=0,75 p(A∩B)=1 p(A∩B)=0
On donne le tableau de variations de la fonctionf :
x 0 2 +∞
f′(x) − 0 +
f(x) 1
−1
2
x→+∞lim f(x)=2 lim x→+∞f(x)=
+∞
x→+∞lim f(x)=
−∞
x→+∞lim f(x)= −3
f est strictement croissante sur
[0 ;+∞[
f est strictement décroissante
[2 ;+∞[
f′(2)=0 f(x)=0
Une primitive de la fonctionf définie par
f(x)=5x2−3x+1 est F(x)=
5 3x3−3
2x+1
F(x)= 53x3−3
2x2+x+1 F(x)= 5 3x3−3
2x2+6x
F(x)= 5x3−x2+x La solution de l’équation
ln(2x+3)=0 est : x= −1 x=e−3
2 x= −3
2 x= −2
La dérivée de la fonction f définie par
f(x)=e2x+1est : f′(x)=e2 f′(x)=1
2e2x+1 f′(x)= (2x+1)e2x+1
f′(x)=2e2x+1
Annexe 2
100 150 200 250 300 350 400
0 1 2 3 4 5 6 7 8
rang de l’année chiffre d’affaires (milliers d’euros)
×
×
×
×
×
Polynésie 4 juin 2007
Exercice 2 – partie A
4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 7 x
z
×
×
×
×
×
D
b b
