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conditionnelles et indépendance
Les savoir-faire du chapitre
◮ 410.Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
◮ 411.DistinguerPA(B)etPB(A).
◮ 412.Construire et utiliser un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée.
◮ 413.Utiliser la formule des probabilités totales.
◮ 414.Démontrer et utiliser l’indépendance de deux événe- ments.
◮ 415. Représenter et utiliser une répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.
Le calcul mental
1 Calculer sous forme de fraction irréductible :
1)1
2×2
3 =... 3)2
5×3
8 =... 5) 8
15× 1
10 =...
2)1− 5
7=... 4)1−2×2
3 =... 6)1
2+2
9 =...
2 Calculer sous forme décimale :
1)0, 5×0, 3=... 4)1−2×0, 05=...
2)0, 5×0, 25=... 5)0, 01×0, 2=...
3)1−0, 78=... 6)0, 25+0, 375=...
3 Compléter :
1)20 % de 36 = ....
2)35 % de 400 = ....
3)10 % de 26 = ....
4)25 % de 48 =....
4 Donner les solutions des équations suivantes :
1) 2(x+9) =0 S =....
2) 5x+6
2 =x S =....
3) x2+6=0 S =....
4) x(x+1) =0 S =....
5) 1−x2 =0 S =....
6) x2+8x=0 S =....
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1)On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle
est la probabilité de ne pas obtenir un valet ?
2)On lance cinq fois une pièce de monnaie. La sortie
de Pile rapporte 1 point. La sortie de Face ne rap- porte rien. On s’intéresse à la somme des points ob- tenus à l’issue des cinq lancers. Préciser le nombre d’éventualités.
3)On lance deux dés cubiques (un bleu et un rouge)
dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on consi- dère le nombre formé par les deux chiffres obtenus (chiffre du dé bleu puis chiffre du dé rouge). Préci- ser le nombre d’issues.
➤➤➤
410 Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
1)On choisit au hasard un jour de l’année. On considère les événements :
• P: « le jour choisi a été pluvieux » ;
• V: « le jour choisi a été venté » ;
Pour chacune des informations suivantes, indiquer si elle correspond, ou non, à une probabilité conditionnelle, et donner la notation correspondant à cette probabilité.
a)Dans l’année, 40 % des jours sont pluvieux. . . . b)66 % des jours pluvieux sont ventés. . . . c) Parmi les jours non ventés, 22 % sont pluvieux. . . . d)49 % des jours dans l’année n’ont été ni ventés, ni pluvieux. . . .
2)On choisit une personne au hasard dans un groupe constitué de garçons et de filles. On considère les événements
suivants :
F : "la personne choisie est une fille" et S : "la personne choisie pratique un sport en club".
a)Traduire les propositions suivantes en utilisant les notations de probabilités :
• Dans ce groupe il y a 8 % de filles qui font du sport en club. . . .
• Le sport est pratiqué en club pour 40 % des garçons. . . .
• Il y a 32 % des personnes qui font du sport en club. . . .
• Parmi ceux qui pratiquent un sport en club, il y a 25 % de filles. . . .
b)Traduire en langage naturel les égalités suivantes :
• P(G∩S) =0, 24 . . . .
• PS(G) =0, 75 . . . . 411 DistinguerPA(B)etPB(A).
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :
• Sl’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
• Ml’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique et la probabilité que le portique sonne est 0,02192. On admet que :
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale
à 0, 98 ;
• Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est
412 Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
On considère une urne contenant deux boules rouges et cinq boules vertes. On effectue deux tirages successifs au hasard sans remise. On noteRil’événement "on a tiré une boule rouge au i-ième tirage" etVil’événement "on a tiré une boule verte au i-ième tirage".
Construire un arbre pondéré représentant cette situation, puis calculer la probabilité de tirer deux boules de cou- leurs différentes.
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412 Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
Dans une classe de 32 élèves, il y a 15 garçons et 28 demi-pensionnaires. 12 garçons sont demi-pensionnaires.
Construire un tableau des effectifs en fonction de ces deux critères.
On choisit un élève de cette classe au hasard, quelle est la probabilité de choisir une fille sachant qu’elle est demi- pensionnaire.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
412 Utiliser un arbre ou un tableau pour calculer une probabilité.
On considère deux évènementsRetStels queP(R) = 1
4,PR(S) = 5
6 etPR S
= 11 12.
Construire un arbre pondéré avecRetS, puis calculerP(R∩S).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410 Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
411 DistinguerPA(B)etPB(A).
412 Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
Pour ses révisions, un élève utilise des annales de mathématiques. Dans ces annales, 10 % des exercices sont des QCM, 22 % des exercices ont des questions sur les probabilités et 4 % sont des QCM qui ont des questions sur les probabilités.
L’élève choisi au hasard un exercice dans la liste.
On définit les événements suivants :
• Q: « l’exercice choisi est un QCM » ;
• R: « l’exercice choisi a des questions sur des probabilités ».
1)Donner les probabilités indiquées dans l’énoncé.
2)CalculerPQ(R)etPR(Q)et préciser par une phrase à quoi correspondent chacune de ces probabilités.
3)Réaliser un arbre pondéré.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413 Utiliser la formule des probabilités totales.
Compléter l’arbre ci-dessous puis en déduireP(B).
. . . A
0,1 B . . . B
0,64 A
. . . B
On s’intéresse à la clientèle d’un musée. Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’in- terroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :
• 70 % des clients achètent leur billet sur internet ;
• parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35 % choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un
audioguide ;
• parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55 % choisissent une visite avec un audioguide.
On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants :
• A: « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
• B: « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».
1)Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
2)Calculer la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide.
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414 Démontrer et utiliser l’indépendance de deux événements.
Dans un magasin de meubles, il y a 55 % de canapés dont 14 % en cuir, 30 % de fauteuils dont 20 % en cuir et le reste est constitué de poufs dont 42 % en cuir.
Un client se présente et choisit un meuble.
On considère les évènements :
• F: « le meuble choisi est un fauteuil » ;
• C: « le meuble choisi est en cuir ».
Montrer que ces deux évènements sont indépendants.
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415 Représenter et utiliser une répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.
On place 1 boule verte, 1 boule rouge et 2 boules bleues dans l’urne 1 et 3 boules oranges et 2 boules jaunes dans l’urne 2.
On tire une boule dans l’urne 1 puis une boule dans l’urne 2. On admet que ces tirages sont indépendants.
Représenter la situation par un arbre pondéré puis par un tableau à double entrée dont la première ligne contient les résultats de la première épreuve et la première colonne ceux de la deuxième épreuve et les cases intérieures les probabilités associées.
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