TSI 1 TD Lycée Les Lombards
TD . . .
Puissance de matrices : Méthodes de calcul et applications
On noteAn la matriceA×A×. . . A
| {z }
nfois
. Définition.
Exercice 1.
SoitA=
1 1 0 1
.
1. CalculezA2,A3,A4. 2. Que constatez-vous ?
3. Conjecturez l’expression deAn en fonction den.
4. Démontrer votre conjecture par récurrence surn.
On conjecture l’expression deAn en fonction denpuis on démontre le résultat par récurrence surn.
Méthode 1.
Exercice 2. Application.
DéterminerAn pour les matricesAsuivantes :
A=
2 0 0 2
, A=
1 1 0 2
, A=
a b 0 a
, A=
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
Exercice 3.
Soit la matriceA=
2 0 0 2 2 0 0 1 2
et soitN=A−2I
1. CalculerN2 etN3.
2. En déduireNn pour toutn∈N. 3. En déduireAn pour toutn∈N.
SoitM ∈ MN(K). On dit queM estnilpotente s’il existeq∈Ntelle queMq = 0n. On dit queM est nilpotente d’ordre psiNp= 0 maisNp−16= 0.
Définition.
Exercice 4.
1. Une exemple de matrice nilpotente : montrer que la matriceN =
1 −1 1 −1
est nilpotente et déterminer son ordre de nilpotence.
2. Intéret des matrices nilpotentes. Si A ∈ Mn(K) et que A s’écrit sous la forme : A = D+N avec D diagonale et N nilpotente d’ordre pet que l’on aDN =N D, déterminer à l’aide du binôme de Newton, An pour toutn∈N.
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SiAs’écritA=D+N avecD diagonale etN nilpotente et queDetN commutent, on calculeAnen utilisant la formule du binôme de Newton.
Méthode 2.
Exercice 5. Application.
SoientA=
1 2 6 0 1 2 0 0 1
etB =
3 1 0 0 3 2 0 0 3
. DéterminerAn etBn pour toutn∈N.
Exercice 6. Retour sur les matrices en Python.
1. Créer deux matricesAet B carrées d’ordre 3 (après avoir importé le modulenumpy).
Comparer les résultats des instructionsA*Betdot(A,B).
2. Ecrire une fonctionpuiss_mat(A,n)qui prend en argument une matriceA et un entier naturelnet qui renvoieAn.
3. Tester votre fonction sur les matrices de l’exercice précédent pour plusieurs valeurs den.
Exercice 7.
Par la méthode de votre choix, calculerAn dans chacun des cas suivants : A=
0 −1
1 0
A=
1 0 1 0 0 0 1 0 1
A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A=
1 1 0 0 1 1 0 0 1
Exercice 8. Application.
On considère les suites (an),(bn) et (cn) définies sur Npar la donnée dea0, b0et c0∈Ret
∀n∈N
an+1= 2an
bn+1= 2an+ 2bn
cn+1=bn+ 2cn
Donner les expressions de an, bn etcn en fonction dea0, b0, c0et de n.
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