Concours blanc :

Mathématique ECS 1 5 mai 2018

Concours blanc :

La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.

Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les téléphones portables doivent être rangés.

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre.

Conseils de rédaction.

Tout d’abord, il est inutile de recopier l’énoncé. Il faut éviter tout recours abusif aux symboles logiques : les formules doivent être intégrées à des phrases en français correctement rédigées. On ne mélange jamais les symboles∀, ∃, ⇒, . . .avec des phrases en français : on écrira « quel que soit, il existe, implique,. . . »en toutes lettres ! Rappelez vous que la flèche⇒n’a pas la signification de

« donc »et que le symbole ⇐⇒traduit une équivalence entre deux propositions : dans un simple calcul (simplification, transformation, etc.), son emploi est inutile !

N’oubliez pas aussi qu’il faut

— respecter les notations de l’énoncé

— définir avec précision toute notation utilisée ne figurant pas dans l’énoncé,

— utiliser les mots mathématiques avec leur sens précis : le correcteur n’est pas là pour deviner ce que vous avez voulu écrire. On ne peut juger que ce qui figure sur la copie.

— éviter les ratures, écrire lisiblement, soigner les graphiques (pensez à travailler au brouillon pour esquisser un raisonnement ou faire un calcul afin de ne pas raturer votre copie.) Au cours de la rédaction, ne perdez pas de vue que vous cherchez à convaincre votre lecteur que vous savez résoudre le problème posé, en lui expliquant le plus clairement possible la solution que vous avez trouvée. On évitera de donner une simple liste de résultats et on justifiera soigneusement toute affirmation. On détaillera les articulations du raisonnement ainsi que les calculs. L’évidence est une notion relative ! Il faut expliquer clairement votre démarche en invoquant le cours et en citant les théorèmes. Retenez que

Toute affirmation non justifiée n’a aucune valeur.

Exercice 1.Pour toutn∈N^∗,on pose I_n= Z 1

0

x²ⁿ

1 +xⁿdxet J_n= Z 1

0

x²ⁿ⁻¹ 1 +xⁿdx.

(1) Etablir, pour tout entiern∈N^∗, l’encadrement 0≤In ≤ 1

2n+ 1. Que peut on dire de la convergence de la suite(I_n)?

(2) Etablir, pour tout entiern∈N^∗, l’inégalité :|In−Jn| ≤ 1 2n(2n+ 1). (3) A l’aide du changement de variableu=xⁿ, calculerJn.

(4) Déduire de ce qui précède un équivalent simple deIn.

Exercice 2.On note(e1,e2,e3)la base canonique deR³ etf l’endomorphisme deR³ défini par f(e1) = e1+ e2−e3, f(e2) = 4e1+ e2−2e3, f(e3) = 6e1+ 3e2−4e3.

On notera aussiid l’application linéaire identique deR³.

(1) Soit(x, y, z)un vecteur deR³. Exprimer l’imagef(x, y, z)du vecteur(x, y, z)par l’endo- morphismef en fonction dex, yetz.

(2) Déterminer une base deker(f)ainsi qu’une base deIm(f).

(3) Montrer queker(f)et Im(f)sont supplémentaires dansR³. (4) Exprimerf◦f en fonction def.

(5) En déduire queker(f+ id)⊕ker(f) =R³.

Exercice 3.Dans cet exercice, on pourra utiliser, sans démonstration, la formule de Vandermonde,

K

X

i=0

K i

L J−i

=

K+L J

oùJ, K, Ldésignent des entiers naturels tels que 0≤J ≤K+L.

SoientN etrdeux entiers naturels tels que1≤r < N etb=N−r. Une urne contientN boules parmi lesquellesrsont rouges et les autres blanches.

Dans la suite,nest un entier vérifiant1≤r≤n≤N etb≤n.

(1) On tire successivement et sans remisenboules de l’urne. Quel est l’ensembleΩdes résultats possibles ? Déterminer card(Ω).

(2) Désormais, on suppose que les résultats possibles sont équiprobables. On introduit, pour k∈J1, nK, l’événementA_k : « lak^èmeboule tirée est rouge. »

(a) Calculer la probabilitéP(A_k), pour toutk∈J1, nK. (b) Soit(k, `)∈J1, nK

2 tel quek6=`. Calculer la probabilitéP(Ak∩A`).

(3) On introduit la variable aléatoireSn égale au nombre de boules rouges tirées.

(a) Déterminer l’ensembleSn(Ω)des valeurs prises par la variable aléatoireSn.

(b) Etablir, pour toutk∈S_n(Ω), la probabilitéP(S_n=k). On en donnera une expression faisant intervenir des coefficients binômiaux.

(c) Montrer que l’espérance deSn est donnée parE(Sn) = nr N.

(d) Calculer la variance V(S_n)en fonction de net r. On pourra commencer par calculer E(S_n(S_n−1)).

Exercice 4. Problème.Soientpun entier naturel tel que p≥2, etRp[X]l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal àp(on convient que le polynôme nul est de degré−∞).

Partie 1

Cette partie est consacrée à l’étude d’une famille de polynômes deR[X].

On poseQ0= 1et pourk∈N^∗,

Qk = 1 k!

k−1

Y

j=0

(X−j) = X(X−1). . .(X−k+ 1)

k! .

Ainsi,

Q1=X, Q2=X(X−1)

2! , Q3=X(X−1)(X−2) 3! ,etc.

(1) Montrer que la famille(Q0, Q1, . . . , Qm)est une famille libre deRm[X].

(2) Montrer que pour tout entierm∈Z, le nombreQk(m)est un entier relatif.

(3) On souhaite prouver que pour tout entierm, la famille (Q0, Q1, . . . , Qm)est une famille génératrice deRm[X]. On procède par récurrence surm.

Pourm= 1, le résultat est clair puisque

R1[X] =Vect(1, X) =Vect(Q0, Q1)

(a) SoitP=aX²+bX+cun polynôme deR2[X]. ExprimerP comme combinaison linéaire deQ0, Q1, Q2 et en déduire que(Q0, Q1, Q2)est une famille génératrice deR2[X].

(b) Soitm ∈N. On suppose que(Q0, Q1, . . . , Qm)est une famille génératrice de R^m[X].

On considère la famille (Q₀, Q₁, . . . , Q_m, Q_m+1) et un polynôme P =

m+1

X

j=0

a_jX^j de R^m+1[X].

Montrer qu’il existe un réelc(à préciser) tel que P−cQ_m+1∈Rm[X]et conclure.

Partie 2

On note T l’application de R^p[X] dans lui-même qui, à tout polynôme P de R^p[X], associe le polynômeT(P)défini par

T(P) =P(X+ 1)

et∆l’application deRp[X]dans lui-même qui, à tout polynômeP deRp[X], associe le polynôme

∆P défini par

∆P(X) =P(X+ 1)−P(X).

L’application identité deRp[X] sera notéeI.

(1) (a) Vérifier que∆ est une application linéaire.

(b) Quel est le noyau de∆?

(c) Déterminer le degré de ∆P en fonction de celui deP, pour toutP deRp[X].

(2) On définit pour tout entiern∈Nl’application∆ⁿ par

∆⁰=I et ∀n∈N^∗, ∆ⁿ= ∆◦∆ⁿ⁻¹. (a) Vérifier que pour toutk∈J1, pK, ∆(Q_k) =Q_k−1

(b) En déduire l’imageIm(∆)de∆.

(c) Montrer que tout polynôme P deRp[X]se décompose sous la forme :

P=

p

X

k=0

α_kQ_k avec α_k= (∆^kP)(0)

Partie 3

(1) Montrer queT est un automorphisme deRp[X]et donner l’automorphisme réciproque de T.

(2) En remarquant que∆ =T−I, prouver que , pour toutP deRp[X],

∆ⁿP(X) =

n

X

k=0

n k

(−1)^n−kP(X+k).

(3) Démontrer que, pour toutP deRp[X], les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (A) Les coordonnées deP dans la base(Qk)_0≤k≤p sont dansZ.

(B) Pour toutkdeZ,P(k)∈Z.

On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et d’une pièce truquée telle que la probabilité d’apparition de « pile » soit égale àp , p∈]0; 1[.

On pourra noterq= 1−p.

SoitN un entier naturel non nul fixé.

On effectueN lancers du dé ; sinest le nombre de « 6 » obtenus, on lance alorsnfois la pièce.

On définit trois variables aléatoiresX, Y, Z de la manière suivante :

— Z indique le nombre de « 6 » obtenus aux lancers du dé,

— X indique le nombre de « piles » obtenus aux lancers de la pièce,

— Y indique le nombre de « faces » obtenues aux lancers de la pièce.

Ainsi,X+Y =Z et, siZ prend la valeur 0, alorsX etY prennent la valeur 0.

(1) Reconnaitre la loi deZ, puis donner son espérance et sa variance.

(2) Pour k∈ N, n∈N, déterminer la probabilité conditionnelle P_[Z=n](X =k). On distin- guera les cas :k≤net k > n.

(3) Montrer, pour tout couple d’entiers naturels(k, n), les égalités suivantes :

— si0≤k≤n≤N alors

P([X=k]∩[Z =n]) = n

k N

n

·p^k(1−p)^n−k 5

6

N−n1 6

ⁿ ,

— sin > N ouk > nalors

P([X=k]∩[Z =n]) = 0.

(4) Calculer la probabilitéP(X = 0)

(5) Montrer pour tout couple d’entiers naturels(k, n)tel que 0≤k≤n≤N,l’égalité : n

k N

n

= N

k

N−k n−k

En déduire la probabilitéP(X =k).

(5) Quelles sont les lois des variables aléatoiresX et Y?

(6) Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes lorsque pour tout i ∈J0, nK et toutj∈J0, nK:

P([X =i]∩[Y =j]) =P([X =i])P([Y =j]).

Les variables aléatoiresX etY sont-elles indépendantes ?