Concours blanc :

Mathématique ECS 1 28 mai 2018

Concours blanc :

La qualité de la rédaction entrera pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures.

Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Les téléphones portables doivent être rangés.

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre.

Conseils de rédaction.

Tout d’abord, il est inutile de recopier l’énoncé. Il faut éviter tout recours abusif aux symboles logiques : les formules doivent être intégrées à des phrases en français correctement rédigées. On ne mélange jamais les symboles∀, ∃, ⇒, . . .avec des phrases en français : on écrira « quel que soit, il existe, implique,. . . »en toutes lettres ! Rappelez vous que la flèche⇒n’a pas la signification de

« donc »et que le symbole ⇐⇒traduit une équivalence entre deux propositions : dans un simple calcul (simplification, transformation, etc.), son emploi est inutile !

N’oubliez pas aussi qu’il faut

— respecter les notations de l’énoncé

— définir avec précision toute notation utilisée ne figurant pas dans l’énoncé,

— utiliser les mots mathématiques avec leur sens précis : le correcteur n’est pas là pour deviner ce que vous avez voulu écrire. On ne peut juger que ce qui figure sur la copie.

— éviter les ratures, écrire lisiblement, soigner les graphiques (pensez à travailler au brouillon pour esquisser un raisonnement ou faire un calcul afin de ne pas raturer votre copie.) Au cours de la rédaction, ne perdez pas de vue que vous cherchez à convaincre votre lecteur que vous savez résoudre le problème posé, en lui expliquant le plus clairement possible la solution que vous avez trouvée. On évitera de donner une simple liste de résultats et on justifiera soigneusement toute affirmation. On détaillera les articulations du raisonnement ainsi que les calculs. L’évidence est une notion relative ! Il faut expliquer clairement votre démarche en invoquant le cours et en citant les théorèmes. Retenez que

Toute affirmation non justifiée n’a aucune valeur.

Exercice 1.Soitxun réel de l’intervalle[0,1[.

(1) (a) Pour toutn∈Net toutt∈[0, x], simplifier la somme

n

X

k=1

t^k−1.

(b) En déduire que

n

X

k=1

x^k

k =−ln(1−x)− Z x

0

tⁿ 1−tdt (c) Montrer que lim

n→+∞

Z x

0

tⁿ

1−tdt= 0.

(d) En déduire que la série X

k≥1

x^k

k converge et donner sa somme.

(2) (a) En remarquant que 1

n(n+ 1) = 1 n − 1

n+ 1, montrer que la série de terme général xⁿ

n(n+ 1) est convergente.

(b) A l’aide des résultats précédents, déterminer la somme

+∞

X

n=1

xⁿ n(n+ 1)

Exercice 2.

(1) (a) Montrer que l’on définit bien une unique suite(u_n)_n≥1, à termes strictement positifs, en posant : u₁= 1et, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2,

u_n= 1 2n−1

n−1

X

j=1

u_j.

(b) Vérifier que u2= 1

3, puis calculeru3.

(2) Montrer que la série de terme généralun est divergente et donner lim

n→+∞

n

X

j=1

uj.

(3) (a) Etablir, pour tout entiern≥2, la relationu_n+1= 2n 2n+ 1u_n. (b) En déduire que la suite(un)est convergente.

(c) Donner un équivalent deln u_n

un+1

lorsquenest au voisinage de+∞puis déterminer la nature de la série de terme général ln

un

un+1

. (d) En déduire lim

n→+∞ln(un), puis montrer que lim

n→+∞un = 0.

(4) (a) Montrer, pour tout entiern≥2, l’égalitéun= 4ⁿ 4n ²ⁿ_n. (b) En utilisant la question2, déterminer lim

n→+∞nun, puis montrer que : 2n

n

=

(+∞)o(4ⁿ).

(5) En utilisant le résultat de la question3, montrer que : 4ⁿ

n =

(+∞)o 2n

n

(6) Pour toutn∈N^∗, on posepn=

2n n

2²ⁿ. Etablir, pour toutn∈Ntel quen≥2, la relation : 1

p_n = 2n

2n−1 × 1 p_n−1.

(7) Recherche numérique d’un équivalent de ²ⁿ_n .

En vous appuyant sur les instructions Scilab ci-dessous et les résultats produits, conjecturez un équivalent de ²ⁿ_n

.

q=zeros(1,5000);

x1=1:5000;

q(1)=4 ; for j=2:5000 do

q(j)=(2*j)^2*q(j-1)/(2*j-1)^2;

end

plot2d(x1,q);

p=zeros(1,4999);

x2=1:4999;

for j=1:4999 do p(j)=q(j+1)-q(j);

end

plot2d(x2,p);

Les dix dernières composantes du vecteurpsont

3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926 3.1415926

Exercice 3.Soitf l’endomorphisme deR³ défini par

f(x, y, z) = (x+y−z, −x+ 3y−3z, −2x+ 2y−2z).

On note (e₁, e₂, e₃) la base canonique de R³ et on rappelle que pour un endomorphisme h ∈ L(R³), la notationh² désigneh◦het la notationh³ désigneh◦h◦h.

(1) Déterminer les vecteurs f²(e1), f²(e2), f²(e3), puis les vecteurs f³(e1), f³(e2), f³(e3).

En déduire une relation simple entre les endomorphismesf²et f³. (2) (a) Déterminer une base deker(f).

(b) Déterminer une base deIm(f).

(c) Les sous-espaces vectorielsker(f)et Im(f)sont-ils supplémentaires dansR³?

(3) Déterminer trois vecteursv1= (x, y, 1), v2= (p, q, 0)et v3= (1, r, s)tels que f(v1) =~0, f(v2) =v1et f(v3) = 2v3.

(4) Montrer queker(f²)⊕ker(f−2id) =R³.

(5) On souhaite montrer qu’il n’existe pas d’endomorphismeg∈L(R³)tel queg²=f. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe un tel endomorphismeg.

(a) Montrer queker(g) = ker(f), puis queIm(g) = Im(f).

(b) Montrer queg◦f =f◦g.

(c) Etudier les vecteursg(v1)etg²(v2)pour mettre en évidence une contradiction.

Exercice 4.Un mobile se promène sur un axe d’origine0en sautant sur les points à coordonnées entières. Au départ, le mobile est à l’origine (point d’abscisse 0). Le mobile se déplace selon la règle suivante : s’il est sur le point d’abscissek à l’instant n, alors, à l’instant(n+ 1) il sera sur le point d’abscisse(k+ 1)avec la probabilité k+ 1

k+ 2 ou sur le point d’abscisse0avec la probabilité 1

k+ 2.

Pour tout entier n de N, on note Xn l’abscisse de ce point à l’instant n et on a donc X0 = 0.

On admet que, pour toutndeN, Xn est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,T, P)et on poseun=P(Xn= 0).

1. Etude de la variable Xn. (1) Vérifier queX1(Ω) ={0,1}puis donner la loi deX1.

(2) Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, X_n(Ω) ={0,1, . . . , n}.

(3) (a) Montrer que : ∀n∈N^∗,∀k∈ {1, . . . , n}, P(Xn=k) = k

k+ 1P(Xn−1=k−1).

(b) En déduire que : ∀n∈N,∀k∈ {0,1, . . . , n}, P(Xn =k) = 1

k+ 1u_n−k. (c) Justifier la relation

n

X

k=0

P(Xn =k) = 1, puis montrer que :

∀n∈N,

n

X

j=0

uj

n−j+ 1 = 1

(d) Retrouver ainsi les valeurs deu0et u1 puis détermineru2et u3.

(4) (a) En remarquant que la relation obtenue à la question 3.apeut s’écrire sous la forme (k+ 1)P(Xn=k) =kP(Xn=k−1), montrer que :

∀n∈N^∗, E(Xn)−E(X_n−1) =un.

(b) En déduire, pour tout entier naturelnnon nul,E(Xn)sous forme d’une somme mettant en jeu certains termes de la suite(un).

(c) Pour tout entier naturelnnon nul, donner la valeur de

n−1

X

j=0

u_j

n−j et vérifier que :

un+

n−1

X

j=0

uj

n−j+ 1 = 1

Déduire de ces deux résultats que : un=

n−1

X

j=0

uj

(n−j)(n−j+ 1) .

(d) Montrer que, pour toutndeN^∗, un ≥ 1

n+ 1. En déduire la limite lim

n→+∞E(Xn).

2. Etude du premier retour à l’origine.

On note T l’instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l’origine (sans compter son positionnement au départ) et on admet queT est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur (Ω,T, P). On convient que T prend la valeur0 si le mobile ne revient jamais enO. Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont0,0,1,2,0,0,1, alors on aT = 1. Si les abscisses successives sont :1,2,3,0,0,1, alors on aT = 4.

(1) (a) Pour tout kde N^∗, exprimer l’événement[T =k] en fonction d’événements mettant en jeu certaines des variablesXi.

(b) Montrer que : ∀k∈N^∗, P(T =k) = 1 k(k+ 1) .

(c) Déterminer la probabilitéP(T = 0), puis interpréter ce résultat.

(2) La variableT admet-t-elle une espérance ?