Differential invariants of parabolic surfaces and of CR hypersurfaces; Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities; Hartogs’ type extension of holomorphic line bundles; (Non-)invertible circulant matrices

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hypersurfaces; Directed harmonic currents near

non-hyperbolic linearized singularities; Hartogs’ type

extension of holomorphic line bundles; (Non-)invertible

circulant matrices

Zhangchi Chen

To cite this version:

Zhangchi Chen. Differential invariants of parabolic surfaces and of CR hypersurfaces; Directed har-monic currents near non-hyperbolic linearized singularities; Hartogs’ type extension of holomorphic line bundles; (Non-)invertible circulant matrices. Differential Geometry [math.DG]. Université Paris-Saclay, 2021. English. �NNT : 2021UPASM005�. �tel-03179218�

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Thè

se de

doctorat

NNT : 2021UP ASM005

Differential invariants

of parabolic surfaces

and of CR hypersurfaces;

Directed harmonic currents near

non-hyperbolic linearized singularities;

Hartogs’ type extension

of holomorphic line bundles;

(Non-)invertible circulant matrices

Thèse de doctorat de l’université Paris-Saclay

École Doctorale de Mathématiques Hadamard (EDMH) n◦ ₅₇₄

Spécialité de doctorat : Mathématiques fondamentales

Unité de recherche : Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, 91405, Orsay, France Référent : Faculté des sciences d’Orsay

Thèse présentée et soutenue à Paris-Saclay, le 25 Février 2021, par

Zhangchi CHEN

Composition du jury :

Boris KOLEV Président

Directeur de Recherche CNRS, ENS Paris-Saclay

Peter OLVER Rapporteur & Examinateur

Professeur, University of Minnesota

Júlio REBELO Rapporteur & Examinateur

Professeur, Université Toulouse III

Léa BLANC-CENTI Examinatrice

Maître de Conférences, Université de Lille

Evelyne HUBERT Examinatrice

Directrice de Recherche, Inria Méditerranée

Direction de la thèse :

Joël MERKER Directeur de thèse

Professeur, Université Paris-Saclay

Viêt-Anh NGUYÊN Codirecteur de thèse

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3

Acknowledgement

To begin with, I would like to express my sincere gratitude to my supervisor Joël Merker. Since Oct 2015 when I arrived Orsay, we have exchanged 2226 emails. He wrote me recommendation letters for my Master 2, PhD, ATER and postdoctoral applications.

Mathematically, he helped me in all 6 papers in this thesis: We coauthored the first three papers in dif-ferential invariants. In the paper (1) he finished the R2 case, the cylindrical case and the calculation of ex-plicit invariant differential operators. In the paper (2) he proposed the Cartan-Moser bridge and finished the prenormalization. In the paper (3) he calculated the explicit tangent vector fields. Without his help in Maple programming and his insist of explicit calculations, I would not have achieved the final results after >70 pages calculations with expressions having >800 monomials. The paper (5) is a Master 2 thesis directed by him. He put enormous effort into improving the presentation of the paper (4) and the paper (6), and this thesis. The paper (6) was rejected 4 times before publication, but he kept pushing me to resubmit.

Beyond math, we shared a rare common interest: ultra trail running (>100km). He used to be a top level elite runner who finished Ultra Trail du Mont Blanc (UTMB) in 2006 (158km, 8650vm) in 26:58:42, rank 54/2535. We have finished EcoTrail de Paris 80km together in April 2017. It was during our 4-hours training for the race when I came up with the key construction of the paper (5). In August 2019, he and madame Françoise assisted me to finish UTMB (170km, 10000vm) during 43 hours. Ultra trail running gives us energy, perseverance, confidence, patience and motivation to do long-term and non-trivial research. We have shared a lot of joy at the peeks and at the finishing lines.

Next, I would like to give my distinguished acknowledgement to my co-supervisor Viêt-anh Nguyên. He wrote me recommendation letters for my PhD, ATER and postdoctoral applications. The paper (4) is under his direction. In 2017-2018 he came to Orsay every Friday morning to discuss singular holomorphic foliations with me. In January 2019 he invited me to give a talk in Lille. During the week of my visit, he treated me with full hospitality and we exchanged our technics for hyperbolic singularities and non-hyperbolic ones. In January 2020 he invited me to the conference of Complex Dynamics at Luminy in France, where I got to know a lot of interesting topics in this area. He also helped me a lot in improving the presentation of the paper (4) and this thesis, and gave me advise on submitting the paper (4).

Followed by my earnest thanks to my reporters: Peter Olver and Júlio Rebelo. It is my great honor to receive your reports. In the first three papers I frequently used Fels-Olver’s moving frames and recurrence formulas. Peter Olver’s excellent papers built up my perspective of differential invariants, Lie groups and jet spaces.

I would also thank Léa Blanc-Centi, Evelyne Hubert and Boris Kolev for their examinations. I address my special thanks to Boris Kolev for agreeing to be the president of the jury and to sign for the other members who cannot come. I also thanks him for having invited me to talk about the paper (2) at the online workshop of Géometrie Différentielle et Mécanique(GDR-GDM) in November 2020.

The first three papers have received generous financial support from the scientific grant 2018/29/B/ST1/02583 originating from the Polish National Science Center (NCN). In May 2019 and November 2019, I benefited a lot from countless oral exchanges with Paweł Nurowski. During his visit in Orsay, we discussed for 9 hours per week. He explained his deep knowledge of Cartan’s method of equivalence in calculating differential invariants and in production of homogeneous models. He also introduced me the high quality journal Dissertation Mathematicae focused on long papers. I sincerely thank the editor Jerzy Trzeciak for accepting our >100 pages paper (1).

In March 2019, I learned much from Boris Doubrov on geometric structures of homogeneous real hypersur-faces in complex vector surhypersur-faces. I also acknowledge enlightening zoom exchanges with Dennis The and Boris Doubrov.

I thank my coauthors Wei Guo Foo and The Anh Ta in the paper (2). They finished the Cartan’se-structure and theC2 case, and achieved a beautiful differential relation betweenQ0,I0 andV0. I also thank Tung-Yang

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The paper (3) benefited from Micheal Eastwood’s talk on ‘Homogeneous hypersurfaces’ at the Geometry and Differential Equations online seminar. I also thank my friend Zhan Jiang for proving that the polynomial ringC[Fj,k,pF2,0+ 2 F1,1+ F0,2,

q F2

1,1− F2,0F0,2] is not a UFD.

While working on the paper (4), I benefited a lot from short but accurate oral exchanges with Nessim Sibony. I thank Steven George Krantz, editor of the Journal of Geometric Analysis for accepting the paper (5). I thank Kai Wan for giving me the problem of the paper (6) from his research in communication theory at a small party held by Zhichao Shi. I also thank Albrecht Böttcher, senior editor of Linear Algebra and Its Applicationsfor accepting the paper (6).

I have been very lucky to learn from top level professors and to enjoy the excellent working condition in the Mathematics Department of Orsay. In particular, I thank Frédéric Paulin, Stéphane Nonnenmacher and Séverine Simon for their administrative help. Also, I am grateful to the Fondation Mathématique Jacques Hadamard for offering me financial support during my Master and during my Ph.D.

I thank all the professors supporting me to come to France: Shaoyuan Cheng and Youjin Zhang in Tsinghua University granted me the opportunity to exchange to École Normale Supérieure in February 2015. Shaoyuan Cheng wrote me a recommendation letter for the scholarship of the Master 1 program at Orsay. Nicolas Burq admitted me and solved my visa problem.

During my two years of Master, I have benefited from lectures of my teachers including: Sébastien Bouck-som, Frédéric Bourgeois, Jean-Benoît Bost, François Charles, Guy David, Julien Duval, Rémi Leclercq, Joël Merker and Frédéric Paulin. I thank Pierre-Guy Plamondon for supervising my Master 1 thesis on Gröbner basis and Hilbert’s syzygy theorem. I also thank Frédéric Bourgeois for admitting me in the Master 2 program, inviting me to give a popular report on the closing ceremony of Orsay Mathematics Marathon, and writing me recommendation letters for my postdoctoral applications.

I started teaching since September 2018. I thank all my colleagues for helping me to teach better, including: Filipa Caetano, Nicolas Camps, Jacques De Catelan, Guy David, Moritz Egert, Jacek Graczyk, Dominique Hulin, Hoang-Chinh Lu, Joël Merker, Laurent Moonens, Ophélie Rouby, Damien Thomine, Anne Vaugon. I thank Filipa Caetano for writing me recommendation letters for my ATER and postdoctoral applications.

I address my thanks to my thesis brothers Songyan Xie, Dinh Tuan Huynh and Wei Guo Foo and The Anh Ta for inspiring discussions and for constant encouragement, especially to Songyan who invited me twice to visit AMSS in Beijing.

I thank all my friends near me, including: Jing Bai, Shiyin Bai, Daniel Bezanere, Nicolas Camps, Junyan Cao, Yang Cao, Wenshuang Chen, Xiaolong Chen, Xiaowu Chen, Yurong Chen, Stéphane Da Silva, Yingqi Ding, Jean Douçot, Zhihao Duan, Pinet Emile, Cyril Falcon, Yanbo Fang, Yue Feng, Wei Guo Foo, Isabelle Frappa, Weichen Gao, Louise Gassot, Cédric Giry, Quentin Glavier, Ning Guo, Lucien Hennecart, Julien Heyd, Dangning Hu, Kido Hu, Mi Hu, Shunfeng Hu, Gwenaël Huelou, Dinh Tuan Huynh, Hang Ji, Zhuchao Ji, Biao Jiang, Yiting Jiang, Elio Joseph, Camille Labourie, Yang Lan, Chuan Li, Danyang Li, Huajie Li, Jialun Li, Jiayi Li, Jintian Li, Li Liu, Linyuan Liu, Shinan Liu, Wille Liu, Xiaofang Liu, Yating Liu, Yao Lu, Jordan Mcmahon, Qiuping Mou, Vincent Mou, Dorian Ni, Gabriel Pallier, Yi Pan, Jian Qian, Zicheng Qian, Yichen Qin, Yin Qu, Jiayun Shao, Zhichao Shi, Shen Shu, Yang Song, Yu Su, Changzhen Sun, Ruoci Sun, The Anh Ta, Yisheng Tian, Lucas Vacossin, Kai Wan, Yijun Wan, Hua Wang, Juanyong Wang, Qing Wang, Xiaozong Wang, Zhe Wang, Ning Wen, Ping Wen, Beier Wu, Xiaojun Wu, Zhixiang Wu, Mingchen Xia, Jing Xie, Songyan Xie, Zhixin Xie, Wei Xiong, Ying Xiong, Xiaoqi Xu, Cong Xue, Fan Yang, Lingyi Yang, Ruotao Yang, Lizao Ye, Wei Yu, Yue Yu, Xiechen Zhang, Yeping Zhang, Yugang Zhang, Zhuo Zhang, Zhuoming Zhang, Ruisheng Zhao, Shasha Zhao, Shengyuan Zhao, Huining Zhou, Shuyang Zhou, Hui Zhu, Yuzhe Zhu, Yueying Zhu. I also thank my clubs Running Panda and MAS-Athlétisme.

Finally, I would like to dedicate this thesis to my parents, my grandmother and my girlfriend for their firm confidence, unboundded love and constant support. My grandmother just passed her 90th birthday recently. She always says to me that she is illiterate so she expects me to read more for her. I am glad that this birthday present is finished.

(6)

Résumé (en Français)

La thèse se compose de 6 articles sur 4 sujets: 3 sur les invariants différentiels, 1 sur les courants harmoniques dirigés, 1 sur les fibrés holomorphes en droites et 1 sur les matrices circulantes.

(1) Sur les invariants différentiels des surfaces paraboliques

Nous étudions le problème d’équivalence, sous l’action du groupeSA₃(R), des surfaces analytiques dans R3_{dont le hessien est de rang constant 1.}

Une surface est cylindrique ssi l’invariant relatif d’ordre 3: S≡ 0.

Lorsque S_{6= 0, la surface est conique ssi l’invariant d’ordre 4: W ≡ 0. Les deux invariants X, Y d’ordres} 5, 7 sont générateurs de l’algèbre de tous les invariants différentiels.

Lorsque W 6= 0 6= S, la surface est tangentielle à une courbe avec torsion. Alors W et M d’ordre 5 sont générateurs.

Nous généralisons les formules de récurrence de Fels-Olver pour des branches dégénérées en "poussant en avant" les algèbres de Lie prolongées vers le sous-espace des jets paraboliquesP J_2,1n .

(2) Formes normales pour les hypersurfaces C2,1rigides dansC3

Nous étudions les hypersurfaces rigides 2-non-dégénérées de rang de Levi constant 1 modulo le groupe des biholomorphismes rigides. Par une réduction de type Cartan, Foo, Merker et Ta ont obtenu 3 invariants relatifs: V0,I0 (primaires) etQ0 (dérivé). En coordonnéesz, ζ, w = u + iv, pour une surface graphée {u =

F (z, ζ, ¯z, ¯ζ)_{}, nous établissons la forme normale de Poincaré-Moser} u = zz + 1 2z2ζ +12z2ζ 1_{− ζζ} + X a,b,c,d∈N a+c>3 Ga,b,c,dzaζbzcζd,

avec0 = Ga,b,0,0 = Ga,b,1,0 = Ga,b,2,0 et0 = G3,0,0,1 = Im G3,0,1,1.

Nous calculons les invariants relatifs V0, I0, Q0 en tout point comme les coefficients G0,1,4,0, G0,2,3,0,

Re G3,0,1,1ayant 11, 52, 824 monômes au numérateur. Ceci établit un "pont" entre les théories de Poincaré et

de Cartan.

(3) Surfaces non-dégénérés affinements homogènes dansC3et algèbres d’invariants différentiels Considérons, sous l’action deAff₃(C), une surface complexe dans C3 dont le hessien est de rang 2. En 1999, Eastwood et Ezhov ont obtenu une liste de modèles homogènes en déterminant les champs de vecteurs tangentiels possibles. À partir des formules de récurrence, nous obtenons des conditions nécessaires pour l’homogénéité. En les résolvant, nous organisons tous les modèles homogènes en branches inéquivalentes.

(4) Courants harmoniques dirigés près des singularités linéarisées non hyperboliques Soit(D2,F , {0}) un feuilletage holomorphe singulier du bidisque unité D2définie par

z_∂z∂ + λw_∂w∂

oùλ∈ C∗_{. Ce feuilletage a une singularité linéarisée non dégénérée en 0. Soit}_{T un courant harmonique dirigé}

parF qui ne charge pas les séparatrices (z = 0) et (w = 0). En 2014, Nguyên a prouvé que si 0 est une singularité hyperbolique, i.e.λ /_{∈ R, le nombre de Lelong de T en 0 est nul.}

Dans le cas non hyperboliqueλ_{∈ R}∗, en supposant que l’extension triviale à travers 0 estddc-fermée, nous démontrons que le nombre de Lelong en 0 est:

1) strictement positif siλ > 0; 2) nul siλ∈ Q<0;

3) nul siλ < 0 et si T est invariant sous l’action d’un sous-groupe cofini du groupe de monodromie. (5) Un contre-exemple à l’extension de type Hartogs des fibrés en droites holomorphes

(11)

Considérons un domaineΩ dansCnavec n > 2 et un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que Ω\K soit connexe. Tout fibré holomorphe en droites défini surΩ_{\K se prolonge-t-il à Ω?}

En 2013, Fornæss, Sibony et Wold ont donné une réponse positive en dimensionn > 3, lorsque Ω est pseudoconvexe etK = {ρ 6 c} est sous-niveau d’une fonction d’exhaustion ρ strictement psh. Pour K de forme générale, nous construisons des contre-exemples en toute dimensionn> 2.

(6) Sur la non-singularité des matrices circulantes

En communication et en codage, il était attendu que les matrices circulantes ayantk entrées de 1 et k + 1 entrées de 0 dans la première rangée soient non singulières. Nous avons montré que telles matrices sont toujours non singulières lorsque2k + 1 est soit une puissance d’un nombre premier, soit un produit de deux nombres premiers distincts. Pour tout autre entier2k + 1, nous construisons une matrice circulante singulière. Le plus petit cas singulier apparaît lorsque2k + 1 = 45.

(12)

CONTENTS 11

Abstract (in English)

The thesis consists of 6 papers on 4 topics: 3 on differential invariants, 1 on directed harmonic currents, 1 on holomorphic line bundles and 1 on circulant matrices.

(1) On differential invariants of parabolic surfaces

We study theSA₃(R)-equivalence problem of analytic surfaces in R3whose Hessians have constant rank 1. A surface is a cylinder iff the order 3 relative invariant S≡ 0.

When S6= 0, the surface is a cone iff the order 4 invariant W ≡ 0. Two invariants X, Y of order 5, 7 are generators of the algebra of all differential invariants.

When W6= 0 6= S, the surface is tangential to a non-planar curve. Then W and M of order 5 are generators. We generalize Fels-Olver’s recurrence formulas to degenerate branches by pushing forward the prolonged Lie algebras to the parabolic subjet spaceP J_2,1n .

(2) Normal Forms for Rigid C2,1 Hypersurfaces inC3

We study 2-nondegenerate constant Levi rank 1 rigid hypersurfaces under rigid biholomorphisms. By a Cartan-type reduction, Foo-Merker-Ta obtained 3 relative invariants: V0, I0(primary) andQ0(derived).

In coordinatesz, ζ, w = u + iv, for a graphed surface u = F (z, ζ, ¯z, ¯ζ) we establish the Poincaré-Moser complete normal form

u = zz + 1 2z2ζ +12z2ζ 1− ζζ + X a,b,c,d∈N a+c>3 Ga,b,c,dzaζbzcζ d ,

with0 = Ga,b,0,0 = Ga,b,1,0 = Ga,b,2,0and0 = G3,0,0,1= Im G3,0,1,1.

We compute relative invariantsV0,I0, Q0 at every point as the coefficientsG0,1,4,0, G0,2,3,0, Re G3,0,1,1

having 11, 52, 824 monomials in their numerators. This constructs a "bridge" between the theories of Poincaré and Cartan.

(3) Affinely homogeneous nondegenerate surfaces inC3and algebras of differential invariants Consider, under the action of Aff₃(C), a complex surface in C3 whose Hessian is of rank 2. In 1999, Eastwood and Ezhov obtained a list of homogeneous models by determining possible tangential vector fields. From the recurrence formulas we obtain necessary conditions for homogeneity. Solving them, we organize all homogeneous models in inequivalent branches.

(4) Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities

Let(_D2_,_{F , {0}) be a singular holomorphic foliation on the unit bidisc D}2_{defined by the linear vector field}

z_∂z∂ + λw_∂w∂

whereλ∈ C∗_{. Such a foliation has a non-degenerate linearized singularity at 0.}

LetT be a harmonic current directed byF which does not give mass to any of the two separatrices (z = 0) and(w = 0). In 2014 Nguyên proved that when 0 is a hyperbolic singularity, i.e. λ /∈ R, the Lelong number of T at 0 vanishes.

For the non-hyperbolic caseλ ∈ R∗_{, assuming that the trivial extension across 0 is}_ddc_{-closed, we show}

that the Lelong number at 0 is: 1) strictly positive ifλ > 0; 2) zero ifλ∈ Q<0;

3) zero ifλ < 0 and if T is invariant under the action of some cofinite subgroup of the monodromy group. (5) A counterexample to Hartogs’ type extension of holomorphic line bundles

Consider a domainΩ inCn withn > 2 and a compact subset K ⊂ Ω such that Ω\K is connected. We address the problem whether a holomorphic line bundle defined onΩ_{\K extends to Ω.}

(13)

In 2013, Fornæss, Sibony and Wold gave a positive answer in dimensionn> 3, when Ω is pseudoconvex andK =_{{ρ 6 c} is a sublevel set of a strongly psh exhaustion function. For K of general shape, we construct} counterexamples in any dimensionn> 2.

(6) On nonsingularity of circulant matrices

In Communication and Coding, it is expected that circulant matrices havingk ones and k + 1 zeros in the first row are nonsingular. We show that such matrices are always nonsingular when2k + 1 is either a power of a prime, or a product of two distinct primes. For any other integer2k + 1 we construct a singular circulant matrix. The smallest singular case appears when2k + 1 = 45.

(14)

Chapter 1 Introduction (en français)

1.1 Sur les invariants différentiels des surfaces paraboliques

Le contenu de cette section est accepté pour être publié dans Dissertationes Mathematicæ.

[1] Chen, Z.; Merker, J.: On differential invariants of parabolic surfaces, to appear in Dissertationes Mathematicæ,arxiv.org/abs/1908.07867/, 105 pages.

Nous sélectionnons deux résultats. Pour plus de résultats et de détails, voir l’introduction du Chapitre 4. Soitu = F (x, y) une surface analytique représentée graphiquement dans_R3 _{dont la Hessienne est de rang}

constant 1. On peut supposer que

FxxFyy− Fxy2 ≡ 0 6= Fxx.

Nous considérons le groupe spécial affine:

SA₃(R) = SL₃(R) n R3,

qui consiste en des transformations linéaires inversibles(x, y, u)_{7−→ (s, t, v) avec des translations:} s = a x + b y + c u + d, t = k x + l y + m u + n, v = p x + q y + r u + s, 1 = a b c k l m p q r , (1.1.1)

préservant le volume et l’orientation. Nous avons

dim SA₃(R) = 3 · 3 − 1 + 3 = 11.

Nous considérons toujours les transformations spéciales affines proches de l’identité, donc on peut voirSA₃(R) comme un groupe de Lie local. Le groupe affine complet sera noté A3(R) =GL3(R) n R3.

Dans l’espace-source(x, y, u), nous considérons la surface S2 _{⊂ R}2

x,y × R1u représentée graphiquement

comme u = F (x, y) avec une série entière convergente F ∈ R{x, y}, et de même, dans l’espace-cible (s, t, v), nous considérons la surface analytique représentée graphiquement commev = G(s, t)

u = ∞ X j=0 ∞ X k=0 Fj,k x j j! yk k!, v = ∞ X l=0 ∞ X m=0 Gl,ms l l! t m m!.

Problème 1.1.2. Déterminer quand deux surfaces données u = F (x, y) et v = G(s, t) sont SA₃ -équivalentes.

(15)

Quand cela a lieu, par une transformation spéciale affine, chaque point x, y, F (x, y) est envoyé sur un point s, t, G(s, t), et une équation fondamentale est satisfaite dansR{x, y}

px + q y + r F (x, y) + s _{≡ G}ax + b y + c F (x, y) + d, k x + l y + m F (x, y) + n.

Problème 1.1.3. Classifier les surfacesu = F (x, y) sous l’actionSA₃(R), en particulier, trouver tous les modèles (localement) homogènes.

Si nous abrégeons

racine := 0 6= Fxx

0 ≡ FxxFyy− Fxy2

= Fxx6= 0 ≡ HF

le diagramme de branchement qui résume tous nos résultats est

P _{≡ 0} C _{≡ 0} S _{≡ 0} 99 //P _{6= 0} 99 //C _{6= 0} root ;; //S _{6= 0} // W _{≡ 0} // %% X _{≡ 0} X _{6= 0} // %% Y _{≡ 0} W _{6= 0} // %% M _{≡ 0} Y _{6= 0} M _{6= 0}

Cet arbre se décompose en3 branches principales, extraites dans trois diagrammes ci-dessous, juste avant les énoncés de3 théorèmes associés.

Dans la première branche du haut, S et P sont invariants relatifs [35], c’est-à-dire multipliés par un facteur non nul sous l’action du groupeSA₃(R)

S := FxxFxxy− FxyFxxx F2 xx , P := 1 3 − 5 F2 xxx+ 3 FxxFxxxx F2 xx , tandis que C est un invariant différentiel

C := _√1 3 9 F2 xxFxxxxx− 45 FxxFxxxFxxxx+ 40 Fxxx3 ± 3 FxxFxxxx∓ 5 Fxxx2 3/2 .

Dans la seconde branche du milieu, W est un invariant différentiel, mais il est supposé disparaître identique-ment, donc il est trivial, et de plus, X et Y sont des invariants différentiels d’ordre5 et 7. Leurs expressions explicites se trouvent dans le Chapitre 4.

Dans la troisième, dernière, branche inférieure, W est un invariant différentiel non trivial

W := F

2

xxFxxxy− FxxFxyFxxxx+ 2 FxyFxxx2 − 2 FxxFxxxFxxy

(Fxx)2 FxxFxxy− FxyFxxx2/3

(16)

1.1. SUR LES INVARIANTS DIFFÉRENTIELS DES SURFACES PARABOLIQUES 15

et M est aussi un invariant différentiel d’ordre 5, dont l’expression explicite assez longue se trouve dans le Chapitre 4.

La branche principale (la plus importante) est:

Fxx 6= 0 ≡ HF //S 6= 0 $$ W _{6= 0} // %% M _{≡ 0} M _{6= 0.}

Théorème 1.1.4. Dand la branche principaleS _{6= 0, W 6= 0:}

(1) Il existe un seul invariant différentiel M, d’ordre5, différentiellement indépendant de W; (2) Chaque surfaceS2 ⊂ R3_est_SA

3-équivalent à u = x₂2 +x2₂y + F3,1 x3y 6 + x2_y2 2 + F5,0 x5 120+ 6 F3,1 x3y2 12 + x2_y3 2 + + X j+k>6 Fj,kxjyk, avec: F3,1 = valeur de W à l’origine, F5,0 = valeur de M à l’origine;

(3) Toute autre surfacev = G(s, t) dans la même branche mise sous la forme

v = s₂2 + s2₂t+ G3,1 s3t 6 + s2_t2 2 + G5,0 s5 120+ 6 G3,1 s3t2 12 + s2_t3 2 + + X l+m>6 Gl,msltm,

estSA₃-équivalente àu = F (x, y) ci-dessus si et seulement si tous les coefficients de Taylor (indépendants) dans l’espace des jets parabolique se correspondent

G3,1 = F3,1, G5,0 = F5,0, Gl,0 = Fl,0 (l> 6),

Gl,1 = Fl,1 (l> 5).

Il est bien connu que les surfaces paraboliques coïncident avec les surfaces développables. En normal-isant les repères mobiles du groupe SA3(R) des surfaces paraboliques et en utilisant le formalisme de Cartan,

Guggenheimer a obtenu des branches dégénérées de cylindres et de cônes dans [43, p. 295]. Son travail peut être ré-exprimé en termes d’invariants différentiels explicites.

Théorème 1.1.5. Une surface parabolique est un cylindre si et seulement si S _{≡ 0; un cône si et seulement} siS _{6= 0 et W ≡ 0; une surface tangentielle (tangentes à une courbe d’espace) si et seulement si S 6= 0 et} W_{6= 0.}

(17)

Figure 1.1: Un cylindre, un cône et une surface tangentielle

1.2 Formes normales pour les hypersurfaces C

_2,1

rigides M

5

_{⊂ C}

3

La moitié de cette section [pas l’article intégral] est publiée dans le Taiwanese Journal of Mathematics.

[2] Chen, Z.; Foo, W.; Merker, J.; Ta T.: Normal Forms for Rigid C2,1HypersurfacesM5 ⊂ C3,Taiwanese J. Math. -1(-1), (2021), 1–32,DOI : 10.11650/tjm/200903,arxiv : 1912.01655.

La seconde moitié, en particulier la section 5.8, est soumise à Confluentes Mathematici.

Nous sélectionnons un résultat principal. Pour plus de résultats et de détails, voir l’introduction du chapitre 5.

Nous commençons par une hypersurface analytique rigideM5 _{⊂ C}3_z,ζ,w=u+ivreprésentée graphiquement sous la forme:

u = Re(w) = F (z, ζ, z, ζ).

Le rang de Levi constant1 signifie, éventuellement après une transformation linéaire enC2 z,ζ, que: Fzz 6= 0 ≡ Fzz Fζz F_zζ F_ζζ =: Levi(F ), (1.2.1)

et2-non-dégénérée signifie que:

0 6= Fzz Fzz F_zzζ F_zzζ . (1.2.2)

On écrit C2,1pour l’ensemble de ces hypersurfaces.

Inspiré d’Alexander Isaev, nous étudions les biholomorphismes rigides:

(z, ζ, w) _7−→ f (z, ζ), g(z, ζ), ρ w + h(z, ζ) =: (z0, ζ0, w0). Le modèle de Gaussier-Merker u = zz + 1 2z2ζ +12z2ζ 1_{− ζζ}

a un groupe d’automorphismes rigides de dimension7. Par une réduction de type Cartan à une{e}-structure, Foo-Merker-Ta ont obtenu 3 invariants relatifs d’ordre 5: V0, I0 (primaire) et Q0(dérivé).

Par une normalisation de type Poincaré-Moser de la série de Taylor deF (z, ζ, ¯z, ¯ζ) nous avons prouvé Théorème 1.2.3. Chaque hypersurfaceM5 ∈ C2,1 est équivalente, par un biholomorphisme local rigide, à

une hypersurface Cω rigideM05 _{⊂ C}03 qui, en supprimant les primes pour les coordonnées cibles, est une perturbation du modèle de Gaussier-Merker:

u = zz + 1 2z2ζ +12z2ζ 1− ζζ + X a,b,c,d∈N a+c>3 Ga,b,c,dzaζbzcζ d ,

(18)

1.3. SURFACES AFFINEMENTS HOMOGÈNES 17

avec un reste simplifiéG qui:

(1) est normalisé pour être unOz,z(3);

(2) satisfait aux conditions de prénormalisationG = Oz(3) + O_ζ(1) et G = Oz(3) + Oζ(1):

Ga,b,0,0 = 0 = G0,0,c,d,

Ga,b,1,0 = 0 = G1,0,c,d,

Ga,b,2,0 = 0 = G2,0,c,d;

(3) satisfait aux conditions de normalisation sporadiques:

G3,0,0,1 = 0 = G0,1,3,0,

ImG_3,0,1,1 = 0 = ImG_1,1,3,0.

De plus, deux de ces hypersurfacesCω rigidesM5 ⊂ C3 _et_M05_{⊂ C}03_{, toutes deux ramenées à de telles}

formes normales, sont rigidement biholomorphiquement équivalentes si et seulement s’il existe deux constantes ρ_{∈ R}∗₊,ϕ_{∈ R, telles que pour tout a, b, c, d:}

Ga,b,c,d = G0a,b,c,dρ

a+c−2

2 eiϕ(a+2b−c−2d).

De plus, les invariants relatifs explicites V0, I0et Q0sont calculés égaux àG0,1,4,0,G0,2,3,0 etRe G3,0,1,1

ayant 11, 52, 824 monômes dans leurs numérateurs.

1.3 Surfaces non-dégénérés affinements homogènes dans

C

3

et algèbres

d’invariants différentiels

Le contenu de cette section est soumis à Differential Geometry and its Applications.

[3] Chen, Z.; Merker, J.: Affine Homogeneous Surfaces with Hessian rank 2 and Algebras of Differential Invariants,arxiv.org/abs/2010.02873/, 20 pages.

Nous sélectionnons un résultat. Pour plus de résultats et de détails, voir l’introduction du Chapitre 6. Considérons une surface locale holomorpheS2_dans_C3

x,y,ureprésentée graphiquement comme

(1.3.1) u = F (x, y) = X j+k>0 Fj,k xj j! yk k!.

En utilisant les translations deAff₃(C), nous pouvons supposer F (0, 0) = 0, donc j +k > 1. Le déterminant de la Hessienne

FxxFxy

Fyx Fyy

est un invariant relatif du groupeGL₃(C), et nous supposons qu’il ne s’annule jamais. Après des transformations élémentaires deGL₃(C), on peut prénormaliser u = F comme

u = x y + G3,0 x3 6 + G0,3 y3 6 + X j+k>4 Gj,k xj j! yk k!,

où tous lesGj,k = Gj,k(F•,•) s’expriment en termes de Fl,m avec l + m 6 j + k. Sur un ordinateur, nous

stockons ces (longues) expressions.

Le stabilisateur d’une telle forme prénormale consiste en des bi-dilatations(x, y, u) 7−→ µx, λy, µλu, avecλ, µ∈ C∗_{, et de l’échange}_x_{←→ y. Par conséquent, G}

3,0etG0,3, et même tous les coefficients d’ordre

supérieurGj,k, sont des invariants relatifs1.

1

Nous aimerions mentionner que le produit G3,0G0,3est un multiple non nul de l’invariant de Pick, dont l’annulation identique

(19)

Admettant le principe de Lie selon lequel tout invariant (relatif) peut être supposé soit≡ 0 soit 6= 0 après restriction à un sous-ensemble ouvert,G3,0etG0,3créent3 branches, modulo x←→ y.

B1: G3,06= 0 et G0,36= 0.

B2: G3,06= 0 et G0,3≡ 0.

B3: G3,0≡ 0 et G0,3≡ 0.

En abrégeant ‘racine’ pour désigner l’hypothèse de rang de la Hessienne2, F2

1,1 − F2,0F0,2 6= 0, voici le

diagramme de branchement complet.

G3,06= 0 6= G0,3 G4,06= 0 G3,1 6= 0 racine B1 99 B2 // B3 %% G3,06= 0 ≡ G0,3 B2·1 99 B2·2 //_G_4,0_{≡ 0} B2·2·1 :: B2·2·2 //_G_3,1 _{≡ 0} G3,0≡ 0 ≡ G0,3 B3·1 // B3·2 %% G2,26= 0 G2,2≡ 0

Dans cet arbre, deux surfaces atterrissant dans l’un des six terminaux différents de branches sont toujours A(3)-inéquivalentes.

Théorème 1.3.2. Dans la première brancheB1oùG3,0(F•,•)6= 0 6= G0,3(F•,•), les assertions suivantes sont

vraies.

(1) L’équation graphique se normalise comme

u = x y + x 3 6 + y3 6 + X j+k>4 Ij,k(F•,•) xj j! yk k!,

où tous lesIj,k sont invariants différentiels, modulo l’échangex←→ y et le groupe discret

G0 :=x0 = ωjx, y0= ω−jy, u0 = u| j = 0, 1, 2

oùω := e2πi/3, une racine cubique de l’unité.

(2) L’algèbre des invariants différentiels est générée parI4,0,I3,1,I1,3,I0,4et toutes leurs dérivées invariantes

Dα1

x Dyα2(•), avec α1, α2 ∈ N. En particulier, I2,2peut être résolu

I2,2 = 8₉I4,0I0,4− 1₉I1,3I3,1+2₉I4,0I3,1−₃₆1 DxI3,1+₃₆1 DyI4,0.

(3) L’espace de modules de tous les modèles homogènes possibles est décrit, dans l’espace des coefficients I4,0, I3,1, I2,2, I1,3, I0,4 ∈ C5, par la variété algébrique complexe de dimension2 définie par

(E1) 0 = 8 I0,4I4,0− I1,3I3,1+ 2 I3,1I4,0− 9 I2,2,

(E2) 0 = 2 I0,4I1,3+ 8 I0,4I4,0− I1,3I3,1− 9 I2,2,

(E3) 0 = 4 I0,4I3,1− I1,3I2,2− 4 I2,2I4,0+ 2 I3,12 + 9 I1,3+ 18 I4,0,

(20)

1.4. COURANTS HARMONIQUES DIRIGÉS 19

Précisément, il existe une relation bijective entre lesA(3)-classes d’équivalence de surfaces homogènes S2 _{⊂ C}3 dans la branche B1 et les points I4,0, I3,1, I2,2, I1,3, I0,4

∈ C5 satisfaisant(E1), (E2), (E3), (E4), modulo l’échange x _{↔ y et G}0. Dans le Chapitre 6, nous résolvons ces équations et récupérons, sans

chevauchement, les modèlesN 1, N 2, N 3, N 4 de [29].

Il est élémentaire de vérifier que tout champ de vecteurs affine tangent à la surface est une combinaison linéaire des deux champs de vecteurs indépendants

e1 := 1−1₂I2,2u +1₄u−1₃I1,3x−2₃I4,0x ∂x+ −1₂I3,1u−2₃I1,3y−1₃I4,0y− 1₂x ∂y

+ − I1,3u− I4,0u + y ∂u,

e2 := −1₂I1,3u−1₂y−2₃I3,1x−1₃I0,4x ∂x+ 1− 1₂I2,2u + 1₄u− 1₃I3,1y−2₃I0,4y ∂y

+ _{− I}0,4u− I3,1u + x ∂u.

De plus, en calculant le crochet de Lie[e1, e2] et en soustrayant les combinaisons linéaires appropriées de e1

ete2pour obtenir un champ de vecteurs s’annulant à l’origine, cette paire de champs de vecteurs constitue une

Algèbre de Lie de dimension2 avec le crochet de Lie défini de manière unique: [e1, e2] = −2₃I3,1−1₃I0,4 e1+ 1₃I4,0+2₃I1,3 e2,

si et seulement siles équations(E1), (E2), (E3), (E4) sont valables. Les autres branches seront discutées au Chapitre 6.

1.4 Courants harmoniques dirigés près des singularités linéarisées non

hyper-boliques

Le contenu de cette section est soumis à Ergodic Theory and Dynamical Systems.

[4] Chen, Z.: Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities,arxiv.org/abs/2011.05909/, 24 pages.

Les propriétés dynamiques des feuilletages holomorphes ont récemment attiré une grande attention [75]. Voyons l’un des récents résultats intéressants.

Théorème 1.4.1 (Dinh-Nguyên-Sibony [23]). SoitF un feuilletage holomorphe dans une surface kählérienne compacte(X, ω) avec seulement des singularités hyperboliques. Supposons queF n’admet aucun courant positif fermé dirigé. Alors il existe un unique courant positifddc-ferméT de masse 1 dirigé parF .

La première version pourX =_P2_{est établie par Fornæss-Sibony [39]. En suite, Dinh et Sibony ont prouvé}

une ergodicité unique pour les feuilletages dansP2avec une courbe invariante [24]. Donc, on peut s’attendre à décrire les propriétés de récurrence des feuilles en étudiant la répartition de la densité des courants harmoniques dirigés. On a le résultat suivant sur les feuilles.

Théorème 1.4.2 (Fornæss-Sibony [39]). Soit(X,F , E) un feuilletage hyperbolique sur une surface complexe compacteX avec l’ensemble des singularités E. On suppose que

1. il n’y a pas de courbe analytique invariante;

2. toutes les singularités sont hyperboliques;

3. il n’y a pas d’application holomorphe non constanteC → X telle que hors E l’image de C soit locale-ment contenue dans une feuille.

(21)

Une manière pratique de mesurer la densité des courants harmoniques est d’utiliser la notion de nombre de Lelong introduite par Skoda [100]. En effet, le Théorème 7.1.2 ci-dessus est équivalent à l’affirmation que le nombre Lelong de T soit nul partout en dehors de E. Le même résultat reste valable aux singularités hyperboliques.

Théorème 1.4.3 (Nguyên [73]). Soit(D2_,_{F , {0}) un feuilletage holomorphe sur le bidisque unité D}2 _défini

par le champ de vecteurs linéaire Z(z, w) = z_∂z∂ + λ w_∂w∂ , avec λ ∈ C\R, c’est-à-dire 0 est une singu-larité hyperbolique. Soit T un courant harmonique dirigé parF qui ne donne de masse à aucune des deux séparatrices(z = 0) et (w = 0). Alors, le nombre de Lelong de T en 0 est nul.

Nguyên a prouvé que le nombre de Lelong de tout courant harmonique dirigé qui ne donne aucune masse aux hyperplans invariants, est nul aux singularités faiblement hyperboliques dansCn[75]. Ensuite, il applique ce résultat pour prouver l’existence d’exposants de Lyapunov pour des feuilletages holomorphes singuliers sur des surfaces projectives compactes [74]. Ce résultat est optimal, voir [25]. Le problème de la distribution de masse serait achevé une fois que les comportements des courants harmoniques proches des singularités non hyperboliques et proches des singularités dégénérées seraient compris.

L’article présent [18] répond (en partie) au problème dans le cas d’une singularité non-hyperbolique linéaris-able.

Théorème 1.4.4. Soit(D2,F , {0}) un feuilletage holomorphe sur le bidisque unité D2défini par le champ de vecteurs linéaireZ(z, w) = z_∂z∂ + λ w_∂w∂ , avecλ∈ R∗_{. Soit}_{T un courant harmonique dirigé par}_{F qui ne}

donne de masse à aucune des deux séparatrices(z = 0) et (w = 0). Supposons que l’extension triviale ˜T de T en 0 soit ddc_{-fermée. Alors le nombre de Lelong de}_{T en 0}

• est strictement positif si λ > 0, • est nul si λ ∈ Q<0.

Pour le feuilletage concerné(D2,F , {0}), une feuille locale Pα, avec α ∈ C∗, peut être paramétrée par

(z, w) = (e−v+iu, α e−λv+iλu). Le groupe de monodromie autour de la singularité est généré par (z, w) _7→ (z, e2πiλ_{w). C’est un groupe cyclique d’ordre fini quand λ}_{∈ Q}∗_{, d’ordre infini quand}_{λ /}_{∈ Q.}

Nous sommes maintenant prêts à introduire la notion de courant périodique, un outil essentiel de cet article. Un courant harmonique dirigéT est appelé périodique s’il est invariant sous un sous-groupe cofini du groupe de monodromie, c’est-à-dire sous l’action de(z, w) _{7→ (z, e}2kπiλ_{w) pour un entie k} _{∈ Z}

>0. Observons que

siλ ∈ Q∗ _{alors tout courant harmonique dirigé est périodique. Mais quand}_{λ /}_{∈ Q}∗_{, la périodicité est une}

hypothèse non triviale.

Théorème 1.4.5. En utilisant la même notation que ci-dessus, le nombre de Lelong de courantsT en la singu-larité est0 lorsque λ < 0 et le courant est périodique.

La question suivante reste ouverte: le nombre de Lelong d’un courant non-périodiqueT est-il toujours strictement positif lorsqueλ < 0 est irrationnel?

Il est à noter qu’en complément de l’ergodicité unique dans l’esprit du Théorème 1.4.1, il existe une autre no-tion d’ergodicité pour les feuilletages au sens de Hudai-Verenov et Il’yashenko. Plus précisément, le théorème suivant est principalement dû à Il’yashenko.

Pour chaqued> 2, on note Fd(C2) l’espace des feuilletagesF ∈ Fd(CP2) qui sont tangents à une droite projective, disons la droite à l’infiniL_∞.

Théorème 1.4.6 (Il’yashenko). Pour toutd > 2, il existe un ensemble Ad ⊂ Fd₍_C2_{) ayant une mesure de}

Lebesgue totale telle que tout feuilletageF ∈ Ada un nombre fini de singularités et satisfait: • Minimalité: chaque feuille (à l’exception de la droite invariante à l’infini) est dense en C2_;

(22)

1.5. EXTENSION DE TYPE HARTOGS 21

• Rigidité: si F0 _{∈ F}d₍_C2_{) est conjugué à} _{F par un homéomorphisme Φ : CP}2 _{→ CP}2 _{proche de}

l’identité, alorsF et F0sont également conjugués par une transformation affine.

Loray et Rebelo [64] prouvent le même résultat pour un sous-ensemble ouvert non vide de l’espace de tous les feuilletages holomorphes singuliers avec un degré donnéd> 2 sur CPk_{pour toute dimension}_k_{> 2. Leur}

preuve repose sur l’étude de certains pseudo-groupes générés par les groupes d’holonomie de plusieurs feuilles (voir par exemple [91]).

1.5 Un contre-exemple à l’extension de type Hartogs des fibrés en droites

holo-morphes

Le contenu de cette section est publié dans le Journal of Geometric Analysis.

[5] Chen, Z.: A counterexample to Hartogs’ type extension of holomorphic line bundles. J. Geom. Anal. 28 (2018), no. 3, 2624–2643,DOI : 10.1007/s12220-017-9923-z,arxiv : 1705.10572.

Considérons un domaineΩ dansCnavec n > 2 et un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que Ω\K soit connexe. NotonsO le faisceau des fonctions holomorphes. Rappelons le théorème d’extension de Hartogs pour les fonctions holomorphes

Théorème 1.5.1. [Hartogs] L’application de restriction

H0(Ω,O) → H0(Ω_{\K, O)} is bijective.

NotonsO∗ le faisceau des fonctions holomorphes inversibles. Il est naturel de poser

Question 1.5.1. Étant donné un fibré en droites holomorpheL sur Ω_{\K, existe-t-il un fibré en droites} holo-morphe eL sur Ω tel que eL|Ω ∼= L? De manière équivalente, l’application de restriction

H1 Ω\K, O∗ −→ H1 _Ω,_O∗ (1.5.2)

est-elle surjective? Si oui, est-elle bijective?

En 2013, Fornæss, Sibony et Wold ont donné une réponse positive [40] sous certaines hypothèses géométriques.

Théorème 1.5.3. [Fornæss-Sibony-Wold 2013] SoitΩ _{⊂ C}n _(n _{> 3)}_{un domaine pseudoconvexe avec une}

fonction d’exhaustion strictement plurisubharmonique (psh) ρ de classe C∞. Donc pour chaque a ∈ R, l’ensemble de sous-niveauKa:= ρ−1(−∞, a] est compact dans Ω. Alors, chaque fibré en droites holomorphe

surΩ_\Kas’étend àΩ. L’extension est unique modulo un isomorphisme.

Une autre motivation réside dans l’existence d’hypersurfaces Levi-plates dans P2. S’il était possible d’étendre les racines de faisceaux linéaires en dimension 2, une stratégie d’Ohsawa [46] donnerait l’inexistence d’hypersurfaces Levi-plates analytiques réelles dans P2. Mais ce n’est pas vrai à cause du contre-exemple d’Ivashokovich dansC2[46] oùK n’est pas relativement compact.

De plus, si nous supprimons l’hypothèse d’exhaustion psh deK et ne demandons que Ω\K soit connexe comme dans le théorème d’extension de Hartogs, alors les contre-exemples peuvent être explicitement constru-its dans n’importe quelle dimensionn> 2 dans mon article [13].

DansCn(n> 2), pour 0 < < n, nous introduisons le domaine: G := z ∈ Cn:

n

X

j=1

(23)

qui contient le tore standardn-dimensionnel totalement réel: Tn ₌ _|z

1| = · · · = |zn| = 1 ∼= (S1)n.

Pour 0 < _{n petit, G} apparaîtra comme un mince tube de Grauert autour de Tn. Ce tube est borné,

strictement pseudoconvexe et admet des fibrés en droites holomorphes non-triviaux puisqueH1_(G

) ∼= Z(

n 2)

est non trivial. Nous allons vérifier que le domaineGest relativement compact dans la boule:

Ω := B 2√n e√

centrée à l’origine et de rayon2√n e√_{. Aussi, nous prendrons une petite boule ouverte}_p_{⊂ U}

p ⊂ Cncentrée

au point:

p := e√/n, . . . , e√/n

∈ ∂G,

pénétrant la frontière∂Gεà travers un petit trou enp.

zoom p G K = ∂G\Up Ω = B(2√ne√₎ Bp

Le résultat principal est

Théorème 1.5.4. [Chen 2018] Avec le compact comme frontière pénétrée

K := ∂GUp,

l’ensemble ouvert Ω\K est connexe, et il existe un fibré en droites holomorphe (non trivial) Lcex sur Ω\K

ayant la propriété qu’il n’existeaucun fibré en droites holomorphe eL sur Ω avec Lcex = eL

Ω\K. Ici, ‘cex’

signifie ‘contre-exemple’.

L’idée clé est de recoller un fibré en droites non trivialLntsurU = G avec un fibré en droites trivialLtriv

en dehors de la limite pénétrée(Ω_{\U) ∪ U}ppour obtenirLcex. Il ne peut pas être étendu à la bouleΩ où tous

les fibrés en droites holomorphes sont triviaux.

On pourrait restreindre le fibré en droitesLcexsur certains domaines plus petits en dehors d’un ensemble de

sous-niveau d’une fonction strictement psh et l’étendre par la méthode FSW, mais ce n’est pas l’extension de Lcexpuisque le théorème d’unicité pour les fonctions holomorphes ne se généralise pas aux fibrés en droites.

1.6 Sur la non-singularité des matrices circulantes

Le contenu de cette section est publié dans Linear Algebra and its Applications.

[6] Chen, Z.: On nonsingularity of circulant matrices, Linear Algebra Appl. 612 (2021), 162–176, DOI : 10.1016/j.laa.2020.12.010,

arxiv.org/abs/1810.09893/.

(24)

1.6. SUR LA NON-SINGULARITÉ DES MATRICES CIRCULANTES 23

Dans ce domaine de la science appliquée, les ingénieurs veulent traduire des signaux en multipliant une matrice circulante unitale

C(a0, . . . , an−1) :=      a0 a1 · · · an−1 an−1 a0 · · · an−2 .. . ... . .. ... a1 a2 · · · a0      ,

oùa0, . . . , an−1∈ {0, 1}. Ils s’attendent à ce qu’une telle matrice soit inversible.

La matrice singulière triviale apparaît lorsque la matrice est récurrente, c’est-à-dire que la séquence a0, . . . , anest une répétition d’une sous-séquence. Si r|n et aj = aj0 chaque fois quej ≡ j0 (modr) alors

C(a0, . . . , an−1) a la même rangé que C(a0, . . . , ar−1), donc singuliére.

Pour exclure les contre-exemples triviaux, les ingénieurs ont besoin den = 2k + 1 et il y a exactement k uns etk + 1 zéros. Cependant, il y a encore des matrices singulières construites dans mon article [14].

Théorème 1.6.1. [Chen 2018] Ces matrices sont toujours non singulières si

• 2k + 1 = pe_{pour certains nombre premier}_p_{> 3, ou}

• 2k + 1 = p q pour 2 nombres premiers distincts avec 3 6 p < q.

Pour les autres tailles, c’est-à-dire2k + 1 = p q r où 36 p < q sont deux nombres premiers distincts et r > 3 est un entier impair, nous pouvons toujours construire des matrices singulières.

Le premier exemple singulier apparaît lorsque(p, q, r) = (3, 5, 3), i.e. 2k + 1 = 45. Par exemple si E22:={0, 9, 18, 27, 36, 3, 12, 21, 30, 39, 1, 16, 31, 2, 17, 32, 4, 19, 34, 5, 20, 35}.

et siaj = 1 pour j∈ E22etaj = 0 pour j /∈ E22, alorsC(a0, ..., a44) est singulière.

La possibilité que de telles matrices soient singulières est plutôt faible, inférieure à10−4lorsque2k + 1 = 45. Et quand 2k + 1 < 45 toutes les matrices sont inversibles. Mon résultat est satisfaisant pour les ingénieurs puisqu’il leur assure d’utiliser de petites matrices dans les applications [97, Theorem 13, Remark 5].

En 1956, en étudiant le rang minimum des matrices circulantes, Ingleton [45] a construit le pont entre la décomposition de la fonction caractéristiquef (x) :=

n−1

P

j=0

ajxj par polynômes cyclotomiques et le rang des

matrices circulantes. Dans la démonstration du théorème principal, une version légèrement plus forte de sa décomposition concernant les matrices unitales et le théorème chinois est utilisée.

(25)

(26)

Chapter 2 General introduction

2.1 On differential invariants of parabolic surfaces

The content of this section is accepted to be published in Dissertationes Mathematicæ.

[1] Chen, Z.; Merker, J.: On differential invariants of parabolic surfaces, to appear in Dissertationes Mathematicæ,arxiv.org/abs/1908.07867/, 105 pages.

We are selecting two results. For more results and details, see the introduction of Chapter 4.

Letu = F (x, y) be a graphed analytic surface inR3_{whose Hessian has constant rank 1. We may assume}

that

FxxFyy− Fxy2 ≡ 0 6= Fxx.

We consider the special affine group:

SA₃(R) = SL₃(R) n R3,

which consists of invertible linear transformations(x, y, u)_{7−→ (s, t, v) coupled with translations:} s = a x + b y + c u + d, t = k x + l y + m u + n, v = p x + q y + r u + s, 1 = a b c k l m p q r , (2.1.1)

preserving volume and orientation. We have

dim SA₃(R) = 3 · 3 − 1 + 3 = 11.

We will always consider special affine transformations not far from the identity, hence we may viewSA₃(R) as a local Lie group. The full affine group will be denoted A3(R) =GL3(R) n R3.

In the source space (x, y, u), we consider surfaces S2 _{⊂ R}2_x,y _{× R}1_u graphed asu = F (x, y) with convergent power seriesF _{∈ R{x, y}, and similarly, in the target space (s, t, v), we consider graphed analytic} surfacesv = G(s, t) u = ∞ X j=0 ∞ X k=0 Fj,k x j j! yk k!, v = ∞ X l=0 ∞ X m=0 Gl,ms l l! t m m!.

Problem 2.1.2. Determine when two given surfacesu = F (x, y) and v = G(s, t) areSA₃-equivalent.

(27)

When this holds, by a special affine transformation, every point x, y, F (x, y) is mapped to a point s, t, G(s, t), and a fundamental equation holds in_{R{x, y}}

px + q y + r F (x, y) + s _{≡ G}ax + b y + c F (x, y) + d, k x + l y + m F (x, y) + n.

Problem 2.1.3. Classify surfacesu = F (x, y) under theSA₃(R) action, especially, find all (locally) homo-geneous models.

Our results, at first, if we abbreviate

root := 0 6= Fxx

0 _{≡ F}xxFyy− Fxy2

= Fxx 6= 0 ≡ HF

the branching diagram which summarizes everything is

P _{≡ 0} C _{≡ 0} S _{≡ 0} 99 //P _{6= 0} 99 //C _{6= 0} root ;; //S _{6= 0} // W _{≡ 0} // %% X _{≡ 0} X _{6= 0} // %% Y _{≡ 0} W _{6= 0} // %% M _{≡ 0} Y _{6= 0} M _{6= 0}

This tree decomposes in3 main branches, extracted in three diagrams below, just before the statements of 3 associated theorems.

In the first, top branch, S and P are relative invariants [35], i.e. are multiplied by a non-zero factor under a SA₃(R) action S := FxxFxxy− FxyFxxx F2 xx , P := 1 3 − 5 Fxxx2 + 3 FxxFxxxx F2 xx , while C is a differential invariant

C := √1 3

9 F_xx2 Fxxxxx− 45 FxxFxxxFxxxx+ 40 Fxxx3

± 3 FxxFxxxx∓ 5 Fxxx2

3/2 .

In the second, middle branch, W is a differential invariant, but it is assumed to vanish identically, hence it is trivial, and further, X and Y are differential invariants of order5 and 7. Their explicit expressions are in Chapter 4.

In the third, last, bottom branch, W is a nontrivial differential invariant

W := F

2

xxFxxxy− FxxFxyFxxxx+ 2 FxyFxxx2 − 2 FxxFxxxFxxy

(Fxx)2 FxxFxxy− FxyFxxx2/3

(28)

2.2. NORMAL FORMS FOR RIGID C2,1HYPERSURFACESM5 ⊂ C3 27

and M is also a differential invariant of order5, whose rather long explicit expression is in Chapter 4. In the main (thickest) branch

Fxx 6= 0 ≡ HF //S 6= 0 $$ W _{6= 0} // %% M _{≡ 0} M _{6= 0.}

Theorem 2.1.4. Within the main branchS _{6= 0, W 6= 0:}

(1) There is a single differential invariant M, of order5, differentiably independent of W; (2) Every surfaceS2 _{⊂ R}3isSA₃-equivalent to

u = x₂2 +x2₂y + F3,1 x3_y 6 + x2_y2 2 + F5,0 x5 120+ 6 F3,1 x3_y2 12 + x2_y3 2 + + X j+k>6 Fj,kxjyk, with:

F3,1 = value of W at the origin,

F5,0 = value of M at the origin;

(3) Any other surfacev = G(s, t) within the same branch similarly put into the form v = s₂2 + s2₂t+ G3,1 s 3_t 6 + s2_t2 2 + G5,0 s5 120+ 6 G3,1 s3t2 12 + s2_t3 2 + + X l+m>6 Gl,msltm,

isSA₃-equivalent tou = F (x, y) above if and only if all (independent) Taylor coefficients in the parabolic jet space match

G3,1 = F3,1, G5,0 = F5,0, Gl,0 = Fl,0 (l> 6),

Gl,1 = Fl,1 (l> 5).

It is well known that parabolic surfaces coincide with developable surfaces. While normalizing the SA3(

R)-moving frames of parabolic surfaces using Cartan’s formalism, Guggenheimer obtained degenerate branches of cylinders and cones in [43, p. 295]. His work can be re-expressed in terms of explicit differential invariants.

Theorem 2.1.1. A parabolic surface is a cylinder if and only if S_{≡ 0; a cone if and only if S 6= 0 and W ≡ 0;} a tangential surface (tangents of a space curve) if and only ifS_{6= 0 and W 6= 0.}

2.2 Normal forms for rigid C

_2,1

hypersurfaces M

5

_{⊂ C}

3

One half of this section [not paper] is published in The Taiwanese Journal of Mathematics.

[2] Chen, Z.; Foo, W.; Merker, J.; Ta T.: Normal Forms for Rigid C2,1HypersurfacesM5⊂ C3, Taiwanese J. Math. -1(-1), (2021), 1–32,DOI : 10.11650/tjm/200903,arxiv : 1912.01655.

(29)

Figure 2.1: A cylinder, a cone and a tangential surface

We are selecting one main result. For more results and details, see the introduction of Chapter 5. Start with a rigid analytic hypersurfaceM5 _{⊂ C}3

z,ζ,w=u+ivgraphed as:

u = Re(w) = F (z, ζ, z, ζ). Constant Levi rank1 means, possibly after a linear transformation in_C2

z,ζ, that: Fzz 6= 0 ≡ Fzz Fζz F_zζ F_ζζ =: Levi(F ), (2.2.1)

while2-nondegeneracy means that:

0 6= Fzz Fzz F_zzζ F_zzζ . (2.2.2)

We write C2,1for the set of such hypersurfaces.

Inspired by Alexander Isaev, we study rigid biholomorphisms:

(z, ζ, w) 7−→ f (z, ζ), g(z, ζ), ρ w + h(z, ζ)

=: (z0, ζ0, w0). The Gaussier-Merker model

u = zz +

1

2z2ζ +12z2ζ

1_{− ζζ}

has7-dimensional rigid automorphisms group. By a Cartan-type reduction to {e}-structure, Foo-Merker-Ta obtained 3 relative invariants of order 5: V0, I0(primary) and Q0(derived).

By a Poincaré-Moser type normaliztion of the Taylor series ofF (z, ζ, ¯z, ¯ζ) we proved

Theorem 2.2.3. Every hypersurface M5 ∈ C2,1 is equivalent, through a local rigid biholomorphism, to a

rigid Cω hypersurface M05 ⊂ C03 _{which, dropping primes for target coordinates, is a perturbation of the}

Gaussier-Merker model: u = zz + 1 2z2ζ +12z2ζ 1_{− ζζ} + X a,b,c,d∈N a+c>3 Ga,b,c,dzaζbzcζd,

with a simplified remainderG which: (1) is normalized to be anOz,z(3);

(2) satisfies the prenormalization conditionsG = Oz(3) + O_ζ(1) and G = Oz(3) + Oζ(1):

Ga,b,0,0 = 0 = G0,0,c,d,

Ga,b,1,0 = 0 = G1,0,c,d,

(30)

2.3. AFFINELY HOMOGENEOUS SURFACES 29

(3) satisfies in addition the sporadic normalization conditions:

G3,0,0,1 = 0 = G0,1,3,0,

ImG_3,0,1,1 = 0 = ImG_1,1,3,0.

Furthermore, two such rigidCωhypersurfacesM5_{⊂ C}3_and_M05_{⊂ C}03_{, both brought into such a normal}

form, are rigidly biholomorphically equivalent if and only if there exist two constantsρ ∈ R∗

+, ϕ ∈ R, such

that for alla, b, c, d:

Ga,b,c,d = G0a,b,c,dρ

a+c−2

2 eiϕ(a+2b−c−2d).

Moreover, the explicit relative invariants V0, I0, and Q0 are calculated equal to G0,1,4,0, G0,2,3,0 and

Re G3,0,1,1having 11, 52, 824 monomials in their numerators.

2.3 Affinely homogeneous surfaces with Hessian rank 2 and algebras of

dif-ferential invariants

The content of this section is submitted to Differential Geometry and its Applications.

[3] Chen, Z.; Merker, J.: Affine Homogeneous Surfaces with Hessian rank 2 and Algebras of Differential Invariants,arxiv.org/abs/2010.02873/, 20 pages.

We are selecting one result. For more results and details, see the introduction of Chapter 6. Consider a holomorphic local surfaceS2inC3_x,y,ugraphed as

(2.3.1) u = F (x, y) = X j+k>0 Fj,k xj j! yk k!.

Using translations ofAff₃(C), we may assume F (0, 0) = 0, so j +k > 1. The Hessian determinant F_FxxFxy

yx Fyy

is aGL₃(C)-relative invariant, and we assume it is nowhere vanishing. After elementaryGL₃(C) transformations, we can prenormalizeu = F to u = x y + G3,0 x3 6 + G0,3 y3 6 + X j+k>4 Gj,k xj j! yk k!,

where all theGj,k = Gj,k(F•,•) express in terms of the Fl,m withl + m 6 j + k. On a computer, we store

these (long) expressions.

The stabilizer of such a prenormal form consists of bi-dilations(x, y, u) 7−→ µx, λy, µλu, with λ, µ ∈ C∗_{, and of the swap}_x _{←→ y. Consequently, G}

3,0 andG0,3, and even all the higher order Gj,k, are relative

invariants1.

Admitting Lie’s principle that any (relative) invariant can be assumed either_{≡ 0 or 6= 0 after restriction to} some open subset,G3,0andG0,3create3 branches, up to x←→ y.

B1: G3,06= 0 and G0,3 6= 0.

B2: G3,06= 0 and G0,3 ≡ 0.

B3: G3,0≡ 0 and G0,3 ≡ 0.

1

We would like to mention that the product G3,0G0,3 is a nonzero multiple of the so-called Pick invariant, whose identical

(31)

Abbreviating ‘root’ to denote the Hessian rank2 assumption F_1,12 − F2,0F0,2 6= 0, here is the complete

branching diagram to which the next five statements will refer.

G3,06= 0 6= G0,3 G4,06= 0 G3,1 6= 0 root B1 99 B2 // B3 %% G3,06= 0 ≡ G0,3 B2·1 99 B2·2 //_G_4,0_{≡ 0} B2·2·1 :: B2·2·2 //_G_3,1 _{≡ 0} G3,0≡ 0 ≡ G0,3 B3·1 // B3·2 %% G2,26= 0 G2,2≡ 0

In this tree, any two surfaces landing in one of the six different terminal branches are alwaysA(3)-inequivalent. Theorem 2.3.1. In the first branchB1 whereG3,0(F•,•)6= 0 6= G0,3(F•,•), the following hold.

(1) The graphed equation normalizes as

u = x y + x 3 6 + y3 6 + X j+k>4 Ij,k(F•,•) xj j! yk k!, where allIj,kare differential invariants, up to the swapx←→ y and a discrete group

G0 :=x0 = ωjx, y0= ω−jy, u0 = u| j = 0, 1, 2

whereω := e2πi/3_{, a cube root of unity.}

(2) The algebra of differential invariants is generated byI4,0,I3,1,I1,3,I0,4and all their invariant derivatives

Dα1

x Dyα2(•), with α1, α2 ∈ N. In particular, I2,2can be solved

I2,2 = 8₉I4,0I0,4− 1₉I1,3I3,1+2₉I4,0I3,1−₃₆1 DxI3,1+₃₆1 DyI4,0.

(3) The moduli space of all possible homogeneous models is described, in the space of coefficients I4,0, I3,1, I2,2, I1,3, I0,4 ∈ C5, by the complex algebraic variety of dimension2 defined by

(E1) 0 = 8 I0,4I4,0− I1,3I3,1+ 2 I3,1I4,0− 9 I2,2,

(E2) 0 = 2 I0,4I1,3+ 8 I0,4I4,0− I1,3I3,1− 9 I2,2,

(E3) 0 = 4 I0,4I3,1− I1,3I2,2− 4 I2,2I4,0+ 2 I3,12 + 9 I1,3+ 18 I4,0,

(E4) 0 = 4 I0,4I2,2− 2 I1,32 − 4 I1,3I4,0+ I2,2I3,1− 18 I0,4− 9 I3,1.

Precisely, there is a one-to-one correspondence betweenA(3)-equivalence classes of homogeneous surfaces S2 _{⊂ C}3_{in branch}_B

1 and points I4,0, I3,1, I2,2, I1,3, I0,4 ∈ C5satisfying(E1), (E2), (E3), (E4), modulo

the swap andG0. In Chapter 6„ we resolve these equations and reobtain, without overlap, modelsN 1, N 2, N 3,

(32)

2.4. DIRECTED HARMONIC CURRENTS 31

It is elementary to verify that any affine vector field which is tangent to the surface is a linear combination of the two independent ones

e1 := 1−1₂I2,2u +1₄u−1₃I1,3x−2₃I4,0x ∂x+ −1₂I3,1u−2₃I1,3y−1₃I4,0y− 1₂x ∂y

+ − I1,3u− I4,0u + y ∂u,

e2 := −1₂I1,3u−1₂y−2₃I3,1x−1₃I0,4x ∂x+ 1− 1₂I2,2u + 1₄u− 1₃I3,1y−2₃I0,4y ∂y

+ _{− I}0,4u− I3,1u + x ∂u.

Moreover, computing the Lie bracket[e1, e2] and subtracting appropriate linear combinations of e1 ande2 to

get a vector field vanishing at the origin, this pair of vector fields does constitute a2D Lie algebra with the uniquely defined Lie bracket:

[e1, e2] = −2₃I3,1−1₃I0,4 e1+ 1₃I4,0+2₃I1,3 e2,

if and only ifequations(E1), (E2), (E3), (E4) hold. The other branches will be discussed in Chapter 6.

2.4 Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities

The content of this section is submitted to Ergodic Theory and Dynamical Systems.

[4] Chen, Z.: Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities,arxiv.org/abs/2011.05909/, 24 pages.

The dynamical properties of holomorphic foliations have drawn great attention recently [75]. Let us see one of the recent interesting results.

Theorem 2.4.1 (Dinh-Nguyên-Sibony [23]). LetF be a holomorphic foliation with only hyperbolic singulari-ties in a compact Kähler surface(X, ω). Assume thatF admits no directed positive closed current. Then there exists a unique positiveddc-closed currentT of mass 1 directed byF .

The first version was stated forX = P2 and proved by Fornæss-Sibony [39]. Later Dinh-Sibony proved unique ergodicity for foliations inP2 with an invariant curve [24]. So one may expect to describe recurrence properties of leaves by studying the density distribution of directed harmonic currents. One has the following the result about leaves.

Theorem 2.4.2 (Fornæss-Sibony [39]). Let(X,F , E) be a hyperbolic foliation on a compact complex surface X with singular set E. Assume that

1. there is no invariant analytic curve;

2. all the singularities are hyperbolic;

3. there is no non-constant holomorphic mapC → X such that out of E the image of C is locally contained in a leaf.

Then every harmonic currentT directed byF gives no mass to each single leaf.

A practical way to measure the density of harmonic currents is to use the notion of Lelong number intro-duced by Skoda [100]. Indeed Theorem 7.1.2 above is equivalent to the statement that the Lelong number ofT vanishes everywhere outsideE. Another result holds near hyperbolic singularities.

Theorem 2.4.3 (Nguyên [73]). Let(D2,F , {0}) be a holomorphic foliation on the unit bidisc D2defined by the linear vector fieldZ(z, w) = z _∂z∂ + λ w_∂w∂ , where λ _{∈ C\R, that is to say, 0 is a hyperbolic singularity.} LetT be a harmonic current directed byF which does not give mass to any of the two separatrices (z = 0) and(w = 0). Then the Lelong number of T at 0 vanishes.

Differential invariants of parabolic surfaces and of CR hypersurfaces; Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities; Hartogs’ type extension of holomorphic line bundles; (Non-)invertible circulant matrices

HAL Id: tel-03179218

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03179218

hypersurfaces; Directed harmonic currents near

non-hyperbolic linearized singularities; Hartogs’ type

extension of holomorphic line bundles; (Non-)invertible

circulant matrices

Zhangchi Chen

To cite this version:

Thè

se de

doctorat

Differential invariants

of parabolic surfaces

and of CR hypersurfaces;

Directed harmonic currents near

non-hyperbolic linearized singularities;

Hartogs’ type extension

of holomorphic line bundles;

(Non-)invertible circulant matrices

Zhangchi CHEN

Acknowledgement

Contents

Résumé (en Français)

Abstract (in English)

Chapter 1

Introduction (en français)

1.1

Sur les invariants différentiels des surfaces paraboliques

1.2

Formes normales pour les hypersurfaces C

rigides M

⊂ C

1.3

Surfaces non-dégénérés affinements homogènes dans

C

et algèbres

d’invariants différentiels

1.4

Courants harmoniques dirigés près des singularités linéarisées non

hyper-boliques

1.5

Un contre-exemple à l’extension de type Hartogs des fibrés en droites

holo-morphes

1.6

Sur la non-singularité des matrices circulantes

Chapter 2

General introduction

2.1

On differential invariants of parabolic surfaces

2.2

Normal forms for rigid C

hypersurfaces M

⊂ C

2.3

Affinely homogeneous surfaces with Hessian rank 2 and algebras of

dif-ferential invariants

2.4

Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities

_{⊂ C}

_{⊂ C}