Fonction Zéta de Riemann et applications

(1)

REPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNINVERSITÉ MENTOURI-CONSTANTINE FACULTÉ DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES N0 D’ordre :………..

Série :………

MEMOIRE

Présenté pour l’obtention du diplôme de Magister En : Mathématiques

THEME

Fonction Zéta de Riemann et applications

Option :

Système Dynamiques et Topologie Algébrique

Présenté par :

Mr : GUERBOUSSA YASSINE

Devant le jury :

Président :

Rahman Fouad Lazhar M.C : UMC.

Rapporteur :

Zitouni Mohamed

Pr : USTHB. Examinateur : Benkafadar M. N Pr : UMC. Examinateur : Boughaba S M.C : UMC.

(2)

Sommaire :

Introduction ………...2

Chapitre I : Fonctions d’une variable complexe

1. Nombres complexes……….4

2. Fonctions holomorphes - Fonctions méromorphes………..6

3. Fonction Gamma analytique Γ(s)……….9

4. Séries de Dirichlet………10

Chapitre II : Fonction Zéta de Riemann 1. Développement en série et forme d’Euler………14

2. Fonctions Zéta et Fonction Gamma ………15

3. Fonction Zéta et nombres de Bernoulli………16

4. Equation fonctionnelle de la fonction Zéta………..17

Chapitre III : Localisation des zéros de la fonction Zéta 1. Bande critique et ligne critique………20

2. Calcul des premiers zéros de la fonction Zéta……….21

3. Hypothèse de Riemann………22

4. Fonctions 1

ζ

( )

s et

ζ ζ

'

( )

s ………..23

Chapitre VI : Applications de la fonction Zéta de Riemann 1. aux corps de nombres : Fonction Zéta de Dedekind………...26

2. aux formes quadratiques : Fonction Zéta d’Epstein………...33

3. aux Courbes Elliptiques : Séries de Dirichlet-Hasse

L E s

( )

,

………34

Conclusion………39

(3)

Introduction

L’étude des nombres premiers est du domaine de la Théorie Analytique des Nombres. Cette théorie a passionné les scientifiques depuis des siècles. Nous ne considérons ici que les cas particuliers des Séries de nombres.

Euler a montré en 1749 que la série des inverses des nombres premiers est divergente :

∑

p−1 =log log∞. La série des puissances réelles

1 r

n

n−

≥

∑

, r réel ; est transformée en produit eulérien :

(

)

1 1 1 r r n p n− p− − ≥ = −

∑

_∏

,

p

parcourt l’ensemble des nombres premiers. Avec la factorisation 1 2 1 2... s l l l s n = p p p ,

p

i premier,

li

≥ 1.

Bernhard Riemann, dans son mémoire [15] , en 1959 , sur le " nombre des nombres premiers inférieurs à une valeur donnée " a eu l’idée de plonger ces nombres dans le corps des nombres complexes ℂ :

( )

(

)

1 1 1 , . s s n p s n p s it

ζ

− − −

σ

≥ =

∑

=

∏

− = + ∈ℂ

Cette fonction ζ(s) de la variable complexe s est devenue : Fonction Zéta de Riemann.

Riemann a calculé quelques zéros et a conjecturé que tous les zéros non triviaux de

ζ

( )

s se trouvent sur la ligne critique σ = 1

2 du plan complexe.

Cette conjecture a été incluse par Hilbert au Congrès mondial des Mathématiques de Paris en 1900, dans la liste des problèmes de Mathématiques non résolus.

Depuis, dans tous les centres de recherches scientifiques des équipes étudient cette fonction Zéta et ses applications. S’il est prouvé qu’il y a une infinité de zéros sur la ligne critique, il n’est pas prouvé qu’il n’y ait pas de zéros non triviaux ailleurs.

Dans ma thèse il y a 4 chapitres.

Dans le chapitre I j’ai rappelé les propriétés des fonctions d’une variable complexe, de la fonction Gamma Γ(s) et des séries de Dirichlet.

(4)

Le chapitre II est consacré à la fonction Zéta de Riemann, série infinie, produit eulérien, convergence, relations avec la fonction Gamma et les nombres de Bernoulli ; j’ai indiqué les zéros triviaux s= 2n pour les entiers négatifs

n

et des valeurs particulières

ζ

( )

n . Nous avons établi une équation fonctionnelle de

( )

n

ζ

.

Le chapitre III est réservé à la localisation des zéros non triviaux de

ζ

( )

s . Gram et Brendt ont laissé des listes de zéros ; nous avons étudié les fonctions 1

ζ

( )

s

et

ζ ζ

'

( )

s .

Dans le chapitre IV, nous avons examiné quelques applications de la fonction Zéta de Riemann : fonction zéta de Dedekind,

ζ

_K

( )

s liée aux corps de nombres

K, fonction Zéta d’Epstein

(

)

( ) ( ) 2 2 , 0,0 s n m am bmn cn − ≠ + +

∑

pour a b c, , ∈ℝ tels

que : a ≻ 0 et b2 −4ac≺ 0, séries L E s

( )

, de Dirichlet-Hasse de Courbes Elliptiques.

(5)

CHAPITRE I : FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE.

1. Nombres complexes.

Selon Godment (Algèbre - 4éme Ed. Herman-Paris), un nombre d est un carré dans le corps ℝ des nombres réels si et seulement sid ≥0. Il en résulte que l’équation algébrique :

X2 = −1 ,d = −1 (1) N’admet pas de solution réelle.

Elle admet 2 solutions qui ne sont pas réelles et qui sont notées

i

et

−

i

, ce sont des nombres imaginaires = des nombres complexes.

Définition 1.

1) L’unité complexe est le nombre

i

, non réel, de carréi2 = −1. 2) Un nombre complexe est de la forme :

z= +x iy, x et y réels, (2)

3) L’ensemble des nombres complexes est un corps commutatif, ℂ=

{

z= +x iy

}

= +ℝ iℝ . (3)

Citons quelques propriétés des nombres complexes.

Le conjugué de

i

est

−

i

; le conjugué de z = +x iy estz= −x iy, (4) La conjugaison du corps ℂ des nombres complexes est la fonction :

f :ℂ→ℂ de valeur f x iy

(

+

)

= −x iy, (5) La norme d’un nombre complexe z = +x iy est égale à : N z

( )

= z z = x2+ y2 , (6) Un nombre imaginaire pur est égal à :

z=iy, partie réellex =0, (7) L’inverse de z= +x iy est le nombre complexe :

1 ₂ x ₂ i ₂ y ₂

z = x + y − x + y , (8)

Tout nombre complexe z= +x iy admet une représentation géomètrique dans le plan complexe Oxy par un pointP=

( )

x y, :

(6)

Ox est l’axe des réels , Oy est l’axe des imaginaires.

z est l’affixe du point

P

=

( )

x y

,

, l’angle orienté

(

Ox OP

,

)

=

θ

est l’argument de z,

θ

modulo

2 π

; la longueur arithmétique

r

=

OP

est le module de z,

0

(7)

Il en résulte la formule trigonométrique :

z = r

(

cos

θ

+isin

θ

)

, (10) Et la formule de Moivre :

(

cos

θ

+isin

θ

)

n = cos

( )

n

θ

+isin

( )

n

θ

. (11) Définition 2.

1) le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos :

tout polynôme f X

( )

de degré n≥1 de l’anneau ℂ

[ ]

X admet un zéro dansℂ.

2) le corpsℂest la clôture algébrique deℝ.

2. Fonctions holomorphes – fonctions méromorphes. Définition3.

Une fonction d’une variable complexe est une fonction :

f D: ⊂ →ℂ ℂ , D = domaine, de valeur f z

( ) ( )

=u x y, +iu x y

( )

, = +u iv. Alors f z

( )

= −u iv et f z f z

( ) ( )

=u2 +v2. Exemples : Pourz = +x iy. 1) f z

( )

1 u iv z = = + ; alors u ₂ x ₂ x y = + et 2 2 y v x y − = + . 2) f z

( )

= z2 = +u iv ; alors u = x2 − y2 etv =2xy. 3) f z

( )

az b cz d + =

+ , avec cz+ ≠d 0, a,b,c,d réels,

alors :

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 ₂ ₂ ac x y ad bc x acy u cx d c y + + + + = + + et

(

)

(

)

2 ₂ ₂ ad bc y v cx d c y + = + + . Définition 4.

1) Une fonction f D: →ℂ,D⊂ℂ , est continue en un point z₀ de D si elle satisfait :

(8)

(

₀

)

( )

₀

0

lim

h→ f z +h = f z .

2) f est dérivable en un point z₀ de D si elle satisfait :

(

0

) ( )

0 0 lim h f z h f z h → + − =nombre complexe l, Alors l = df dz = f '

( )

z₀ =dérivée de f enz₀.

3) f est dérivable sur le domaine complexe D si elle est dérivable en tout point de D.

Les conditions de dérivabilité d’une fonction f z

( )

sont précisées par la : Proposition 1.

Soit une fonction f D: →ℂ,D⊂ℂ, d’une variable complexe z, f z

( ) ( )

=u x y, +iu x y

( )

, = +u iv.

Alors f z

( )

est dérivable sur D si elle satisfait le système des dérivées partielles : ∂ ∂ = ∂ ∂U x V y et ∂ ∂ = −∂ ∂U y V x.

Preuve :

cf : Lang, serge : complexe analysis, 3e Ed. GTM-103(1985).

□

Exemple :

f z

( )

= z2 = +u iv , u = x2 − y2etv= 2xy. Alors les dérivées partielles sont :

∂ ∂ =U x 2x,∂ ∂ = −U y 2y,∂ ∂ =V x 2y et∂ ∂ =V y 2x. Définition 5.

Les conditions de dérivabilité de f z

( )

= +u iv sont les conditions de Cauchy-Riemann.

Proposition 2.

Soient 2 fonctions dérivables f g D, : →ℂ, D⊂ℂ. 1) la dérivée de la somme est égale à :

(

f + g

)

'= +f ' g' ;

2) la dérivée du produit est égale à :

( )

fg '= f g' + fg' ;

(9)

3) la dérivée du quotient f g, g z

( )

≠ 0 est égale à :

(

f g

) (

'

=

f g

'

−

fg

'

)

g

2 ;

Preuve :

On utilise les formules des dérivées des fonctions réelles. □

Définition 6.

1) un domaine D deℂ est connexe s’il n’est pas réunion de deux ouverts disjoints.

2) un domaine D deℂ est connexe par arcs si 2 points M et l de D peuvent être joints par une ligne continue.

Il y a 2 types de développement en séries infinie de f z

( )

: un développement en série entière et un développement en série de Laurent.

Définition 7.

Une fonction holomorphe en a est une fonction f z

( )

qui admet un

développement en série entière de la forme :

f z

( )

= +a₀ a z₁

(

− + +a

)

... a_n

(

z−a

)

n +... , a_n∈ℂ. Définition 8.

Une fonction méromorphe est une fonction f z

( )

qui admet un développement en série de Laurent de la forme :

f z

( ) ( ) (

= g z z−a

)

n ,n≥1 ; g z

( )

=série entière. a est un pôle de f z

( )

d’ordre n.

Alors :

( )

(

)

( )

_{( )}

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

(

) (

)

1 ... ... ... ! 1 ! ! p n n n n p g a g a g a g a f z z a n n z a p z a + − = + + + + + − + + − − ,

( )

(

)

k k k n f z a z a ≥− =

∑

− , ( )

_{( )}

(

)

! n k k g a a n k + = + ;

(10)

Le coefficient

a

₋₁ est le résidu de la fonction f z

( )

au pôle z =a de f z

( )

. Exemple :

( )

(

)(

)

2 1 1 z f z z z =

− + ; cette fonction admet un pôle simple en z=1 et un

pôle double enz= −1. Les résidus sont égaux à :

a₋₁ =1 4 pour le pôle z =1 et a₋₁= −1 4 pour le pôlez = −1.

3. Fonction Gamma

Γ

( )

s

complexe. Définition 8.

La fonction Γ

( )

s d’une variable complexe s est l’intégrale :

( )

1 0 exp . s s x x dx +∞ − Γ =

_∫

− ,s = + ∈

σ

it ℂ.

Elle satisfait la formule de Weierstrss :

( )

1

( ) (

)

1

( )

1 exp 1 exp n s s−

γ

s s n − s n ≥ Γ = −

∏

− , où 1 1 lim log n n k k n

γ

− =   = _ − _



∑

 est la constante d’Euler.

Cf : Lang.

Proposition 3.

La fonction analytique Γ

( )

s satisfait les propriétés : 1)le résidu deΓ

( )

s en s= −n est égal à

( )

−1 n n! , 2) Γ + = Γ

(

s 1

)

s

( )

s ,

3)Γ + =

(

n 1

)

n!, pourn≥0,

4)Γ

( ) (

s Γ − =1 s

)

π

sin

π

s, (Formule des compléments)

5)

( )

1 21 2

( )

2 2 s s s   −

π

s Γ Γ + = Γ   , (Formule de Duplication)

(11)

CHAPITRE I : FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE. 6)

( ) (

)

{ }

0 1 2 1 2 log 1 2 log 2 x log s s s s dx s x

π

+∞ − Γ = − − + − +

∫

, (Formule de Stirling).

Preuve :

cf Lang. □

Calcul de valeurs particulières deΓ

( )

s . Avec la formule 3, nous trouvons :

( ) ( )

1 2 1

Γ = Γ = , Γ

( )

3 = 2 ,Γ

( )

4 =6 ,Γ

( )

5 =24 , Γ

( )

6 =120, etc… Avec la formule 4, nous trouvons :

Γ

( )

1 2 =

π

,

La formule 6 de Stirling est liée au comportement asymptotique de laΓ

( )

s : lim

( )

s 1 2exp

( )

2 1

s s s s

π

−

→∞Γ − = .

Il existe une autre fonctionΓ, algébrique, liée au groupe spécial linéaire

( )

2; SL ℤ des

2 2

×

matricesA a b c d   =    , a, b, c, d∈ℤ, dedet

( )

A =1. Définition 9. (Silverman)

Pour chaque entierN ≥1 le groupeSL

( )

2;ℤ contient les sous groupes : ₀

( )

N A a b SL

( )

2; ,c 0 modN c d     Γ =  = ∈ ≡     ℤ , Γ₁

( )

N =

{

A∈SL

( )

2;ℤ ,c≡0eta ≡ ≡d 1modN

}

,

( )

1 0 mod 0 1 N A   N Γ = ≡      ,

Un sous groupe de congruence deSL

( )

2;ℤ est un sous groupe Γqui contient un

( )

N

Γ pour certain entierN ≥1.

4. Séries de Dirichlet. [1], [3]

(12)

Définition 10.

Une série de Dirichlet est une série infinie :

( )

1 s n f n n− ≥

∑

, s complexe, f = fonction arithmétique f :ℕ∗ →ℂ . Proposition 4.

Si une série de Dirichlet

( )

1

s

n

f n n−

≥

∑

converge pours= s₀ ; alors elle converge uniformément sur tout domaine

σ σ

≥ ₀ et arg

(

s−s₀

)

≤

α π

≺ 2.

Preuve :

cf [1], [3]. □

Pour f n

( )

=1, la série de Dirichlet est la fonction Zéta de Riemann :

( )

1 s n s n

ζ

− ≥ =

∑

,

Cette série converge pourRe

( )

s =

σ

≻1. Soient 2 séries de Dirichlet

( )

1 s n f n n− ≥

∑

et

( )

1 s n g n n− ≥

∑

qui convergent dans le domaine

σ σ

≥ ₀.

Leur produit est précisé par la : Définition 11.

Le produit de 2 séries de Dirichlet

( )

1 s n f n n− ≥

∑

et

( )

1 s n g n n− ≥

∑

est la série de Dirichlet

( ) ( )( )

, 1 s n m f n g m nm − ≥

∑

.

Dans ces séries de Dirichlet f et g sont des fonctions arithmétiques. Ces fonctions sont traitées dans plusieurs ouvrages :

« Introduction to Number Theory » de James .E. SHOCKLEY, « An introduction to The Theory of Numbers » de NIVEN et ZUCKERMAN, etc… Définition 12.

(13)

2) f est multiplicative si f n m

( )

. = f n f m

( ) ( )

pour n et m premiers

entre eux,

3) f est additive si f n

(

+m

)

= f n

( ) ( )

+ f m .

Exemples :

1. la fonction arithmétique d’Euler :

ϕ

( )

n =nombre d’entier d, 1 d≤ ≤n

premiers à n :

( )

( ) 1 , , 1 1 d n d n n

ϕ

≤ ≤ = =

∑

,

Elle prend les valeurs :

( ) ( )

1 2 1

ϕ

=

ϕ

= ,

ϕ

( ) ( )

3 =

ϕ

4 =2,

ϕ

( )

5 = =4

ϕ

( )

10 ,… Elle est multiplicative.

1. fonction

τ

( )

n

=

nombre de diviseurs positifs de n. 2. fonction

σ

( )

n

=

somme des diviseurs positifs de n.

3. fonction

σ

_k

( )

n

=

somme des puissances

d

k des diviseurs positifs de n.

4. fonction de Möbius

µ

( )

n

:

µ

( )

n =0 si n a un facteur carré :n= a n2 ',

µ

( )

1 =1 et

µ

( ) ( )

n = −1 k sin= p p₁ ₂...p_k,

p

_i premiers. Cette fonction est multiplicative ; elle satisfait la relation :

( )

/ 0 d n d

µ

=

∑

, pourn ≻1.

Cette fonction satisfait la formule d’inversion de Möbius :

Si

( )

/ d n

F n =

∑

f d , d parcourt l’ensemble des diviseurs positifs de n, alors

( )

( ) ( )

/ d n

f n =

∑

µ

d F n d .

Dans l’ensemble des fonctions arithmétiques, la théorie introduit l’opération de produit de Dirichlet (ou convolution)

f

∗

g

.

Définition 13.

Le produit de Dirichlet (ou convolution) de 2 fonctions arithmétiques f n

( )

et

( )

(14)

( )

( ) (

)

( ) ( )

/ / d n ab n f g n f d g n d f a g b = ∗ =

∑

=

∑

.

Ce produit est commutatif : f ∗ = ∗g g f .

Etudiant le produit de 2 séries de Dirichlet. Proposition 5.

Soit 2 séries de Dirichlet

( )

1 s n f n n− ≥

∑

et

( )

1 s n g n n− ≥

∑

qui convergent sur le domaine

σ σ

≥ ₀ ; alors leur produit de Dirichlet est égal à :

( ) ( )( )

( )

, 1 1 s s n m n f n g m nm − f g n n− ≥ ≥ = ∗

∑

.

Preuve :

on applique la règle de multiplication de 2 séries. □

Exemple :

La fonction arithmétique de Von Mangoldt : Λ:ℕ∗ →ℂ de valeur

Λ

( )

n =log p sin = pk, puissance d’un nombre premier p. et Λ

( )

n =0 sinon.

Cette fonction satisfait la relation :

( )

/ log d n d n Λ =

∑

,

Elle admet un produit de Dirichlet avec les fonctions arithmétiques : u:ℕ∗ →ℂ , u n

( )

=1,

Λ ∗ =u log. Cette fonction satisfait la relation :

(15)

CHAPITRE II : FONCTION ZETA DE RIEMANN.

Tout entier naturel n admet une factorisation unique, 1 2 1 2 ... t r r r t n= p p p , p_ipremiers. (1) En 1749, Euler a prouvé que la série réelle infinie,

1 1 1 ... 1 ... 2 3 S p p   = + + + +     , p premier, (2)

est divergente : S 1 log log

p

 

= ∞

 

  . (3)

En 1800, Legendre, publie dans « Théorie des Nombres » une formule empirique évaluant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x :

π

( )

x ∼ x/

(

Alogx+B

)

, A et B constantes réelles.

En 1849, Gauss montre que la densité des nombres premiers p≤ x est équivalent à1 log x.

Vers 1859, dans son fameux mémoire « UBER DIE ANZAHL DER PRIMAZAHLEN UNTERHALB EINER GEGEBENEN GRŐSSE », Bernhard RIEMANN consacre 8 pages « Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une valeur donnée ».

La contribution décisive de Riemann est dans la méthode, c’est lui qui le premier considère la fonction

( )

1 s n s n

ζ

− ≥

=

∑

comme une fonction analytique d’une variable complexe s.

1. Développement en série et forme d’Euler. La fonction Zéta de Riemann est la fonction complexe,

( )

1 s n s n

ζ

− ≥ =

∑

, s = + ∈

σ

it ℂ (1) Cette série converge absolument sur le demi-plan

σ

= Re

( )

s ≻1. Posons :

( )

2 1 lim N s N n s n

ζ

− →∞ = = +

∑

, (2) La fonction f x

( )

= x−s admet des dérivées d’ordrek ≥1, f( )k

( ) ( ) (

x = −1 k s s+1 ...

) (

s+ −k 1

)

x− −s k, (3)

(16)

( )

(

)

(

) (

)

(

1

)

2 1 1 1 lim{ 1 1 ... 2 1 2 ! N _k s s r s r N r B s x dx N s s s r N r

ζ

− − − − + →∞ ₌ = +

_∫

+ − −

∑

+ + − −

(

) (

)

(

[ ]

)

1 1 1 ... 1 } ! N s k k s s s k B x x x dx k − + − + + −

_∫

− , (4)

où les B_k sont les polynômes de Bernoulli et [x] = partie entière du nombre réel x.

En passant à la limite, (4) devient :

( )

(

) (

)

2 1 1 1 ... 2 1 2 ! k r r B s s s s r s r

ζ

= = + + + + − −

∑

(

) (

)

(

[ ]

)

1 1 1 ... 1 ! s k k s s s k B x x x dx k ∞ − + − + + −

_∫

− , (5)

Cette intégrale converge sur le demi plan

σ

≻1 k− , (6)

Il en résulte que

ζ

( )

s est une fonction méromorphe avec un pôle simple en

1 s

=

. (7) La fonction

ζ

( )

s admet une forme de produit d’Euler,

( )

(

)

1 1 1 s s n p s n p

ζ

− − − ≥ =

∑

=

∏

− , pour

σ

≻1, (8) (8) implique les formules,

( )

1 log 1 ms p m s mp

ζ

≥ =

∑∑

, p premiers, (9)

( )

1 1 ' log ms s p m n s p p n n

ζ ζ

− ≥ ≥ = −

∑∑

=

∑

Λ , (10) où Λ

( )

n = fonction arithmétique de Von Mangoldt.

2. Fonction Zéta et fonction Gamma.

Selon [20] il existe une autre représentation de

ζ

( )

s liée à la fonctionΓ

( )

s , définition 8, chapitre I.

En inversant l’ordre de sommation et d’intégration dans :

( )

1

( )

0 exp s s s n x nx dx +∞ − − Γ =

_∫

− , (1)

(17)

Nous obtenons la forme :

( )

1 0 1 1 s x x s dx s e

ζ

= +∞ − Γ

∫

− , pour

σ

≻1, (2) et

( )

(

)

1 1 2 1 s z C s z s dz i e

ζ

π

− − Γ − = −

∫

(3) sur un contour convenable C d’intégration.

La fonction

ζ

( )

s est une fonction méromorphe qui admet une seule singularité : un pôle

s

=

1

de résidu égal à 1.

3. Fonction Zéta et nombres de Bernoulli.

Les nombres de Bernoulli sont les coefficients B_mdans le développement en série infinie : 1 1 1 ! m m t m t t B e − = +

∑

_≥ m . (1)

Une méthode de calcul des B_m utilise le : Théorème 1.

Les nombres de Bernoulli satisfont la relation de récurrence : 1 1 1 0 m k k m B k − =   +   =  

∑

, m≥ 2,

(

!

)

! ! m _m k k m k   =   −   .

Preuve :

Borevich-Théorie des Nombres.

□

Nous obtenons les nombres B_m de Bernoulli : 1 1 2 B = − ; ₂ 1 6 B = ; ₄ 1 30 B = − ; ₆ 1 42 B = ; ₈ ₄ 1 30 B = B = − ; ₁₀ 5 66 B = ; 12 691 2730 B = − ; ₁₄ 7 6 B = ; ₁₆ 3617 510 B = − , etc… Théorème 2.

1) tous les nombres de BernoulliB₂_m₊₁ , m ≻0, sont nuls ; 2) les nombres de Bernoulli B₄_m₊₂ sont positifs ;

(18)

3) les nombres de Bernoulli B_4m sont négatifs.

Preuve :

Borevich-Théorie des Nombres. □ La relation (1) devient,

( )

2 2 1 1 1 2 2 ! m m t m t t t B e − = − +

∑

_≥ m .

Théorème 3. (Von STAUD)

Soit un nombre premier

p

, un nombre impaire 2m et les nombres de BernoulliB_2m. Alors

1) Si

p

−

1

ne divise pas2m, alors B_2m est

p

−

entier : il ne contient pas

p

au dénominateur ;

2) Si

p

−

1

divise pas2m, alorspB₂_m ≡ −1mod p.

Les nombres de Bernoulli sont liés à la fonction Zéta

ζ

( )

s par le Théorème 4.

Soit la fonction

ζ

( )

s et les nombresB_2m , alors :

( )

2 2 2 2 2. 2 ! m m B i m m

π

ζ

= − .

Preuve

: avec le développement de la cotangente,

cot ₂2 1 iz iz z z zi e π

π

=

π

+ − 2 2 2 1 2 1 n z z n ≥ = + −

∑

. □

4. Equation fonctionnelle de la fonction Zéta. Considérons la fonction eulérienne :

( )

s exp

( )

x x dx. s 1

+∞

−

(19)

et la formule de la fonction Zéta précédente :

( )

(

) (

)

3 2 1 1 1 ... 2 1 2 ! r r B s s s s r s r

ζ

= = + + + + − −

∑

(

)(

)

₃

(

[ ]

)

3 1 1 1 2 6 s s s s B x x x dx ∞ − + − + +

_∫

− , (2)

On utilise le développement des polynômes de Bernoulli :

(

[ ]

)

( ) (

)

(

)

(

)

2 1 2 1 1 sin 2 1 2 2 1 ! 2 k k k n nx B x x k n

π

− − ≥ − = − −

∑

,

k ≻

1

, (3) On utilise l’intégrale :

( )

1

( )

0 sin sin 2 s s x x dx

π

s ∞ − ₌ _Γ

∫

, (4)

Les formules (2), (3), et (4) impliquent la relation :

( ) ( )

2 2 1

(

1

)

sin

(

1

)

2 s s s s

π

s

ζ

π

−

ζ

= Γ − − , (5)

C’est l’équation fonctionnelle de Riemann de

ζ

( )

s . Appliquons la formule de duplication de Legendre :

( )

1 21 2

( )

2 2 s s s   −

π

s Γ Γ + = Γ   , (6)

Transformons (6) avec le changement2s→ −1 s :

1 1 2

(

1

)

2 2 s s s s

π

−     Γ  Γ − = Γ −     , (7)

Appliquons (7) à l’équation fonctionnelle de Riemann : 2

( )

( )1 2 1

(

1

)

2 2 s s s s s s

π

− _Γ 

ζ

₌

π

− _Γ − 

ζ

₋         , (8) Posons :

( )

2

( )

2 s s F s =

π

− Γ _{ }

ζ

s   , (9)

Cette fonction F s

( )

satisfait la relation :

F s

( )

= F

(

1−s

)

,s= + ∈

σ

it ℂ, (10)

(20)

Dans (9), les pôles s= − − −2, 4, 6,..., 2 ,...− k de 2

s

 

Γ 

 sont neutralisés par les

zéros triviaux de

ζ

( )

s . Pours=0,

( )

0 1

2

ζ

= − .

Il en résulte que la fonction F s

( )

de (9) est une fonction méromorphe qui admet des pôles du 1ér ordre en s=0 ets=1.

(21)

CHAPITRE III : LOCALISATION DES ZEROS.

La fonction Zéta admet des zéros triviaux déterminés précédemment : s= − − −2, 4, 6,..., 2 ,...− k

Il faut trouver les zéros s= +

σ

it pour

σ

≻0. 1. Bande critique et ligne critique.

Nous commençons par déterminer le domaine du plan complexe qui peut contenir les zéros non triviaux de

ζ

( )

s .

Le produit eulérien :

( )

(

1 s

)

1 p s p

ζ

₌

∏

₋ − − , p premier, (1) entraîne

ζ

( )

s ≠0 dans le demi-planRe

( )

s =

σ

≻1,

Dans le demi-planRe

( )

s =

σ

≺0, l’équation fonctionnelle de

ζ

( )

s implique

( )

s 0

ζ

= pour les zéros triviaux de

ζ

( )

s . Il en résulte le

Théorème 1.

Les zéros non triviaux de

ζ

( )

s , s’ils existent, se trouvent dans le domaine0≤ Re

( )

s ≤1.

□

D’après l’équation fonctionnelle F s

( )

de

ζ

( )

s , si

ρ

est un zéro de

ζ

( )

s , alors

1 −

ρ

est aussi un zéro, non trivial. La relation

ζ

( )

s =

ζ

( )

s implique : Corollaire.

Les zéros non triviaux de

ζ

( )

s sont symétrique par rapport à l’axe

σ

= Re

( )

s =1 2.

□

Définition 1.

1) la bande critique associée à la fonction Zéta de Riemann est le domaine0≺Re

( )

s ≺1.

2) La ligne critique relative à la fonction Zéta de Riemann est la droite d’équation

σ

=1 2 du plan complexe.

Pour montrer qu’il n’y a pas de zéros sur la droite s= +1 it nous utilisons la relation :

(22)

3 4 cos+ x+cos 2x= 2 1 cos

(

+ x

)

2 ≥0 (1) Si s= +1 it₀ est un zéro de

ζ

( )

s , la formule d’Euler implique :

( )

(

)

1

, 1 1

exp log 1 exp exp

ms s s n p p m n p s p c n m

ζ

− − − − ≥ ≥     _ _ =  − =  = _ _   

∑

 

∑



∑

, (2)

avec

c

_n

=

m

−1 si

n

=

p

m, p premier, et

c

_n

=

0

sinon. On en déduit la valeur,

(

)

1 1

exp Re _n s exp _n cos

n n it c n c n σ t

ζ σ

− − ≥ ≥      + =   =       

∑



∑

, (3) Il en résulte,

( )

(

) (

)

(

)

3 4 0 0 0 0 1

2 exp _n 3 4 cos cos 2

n it i t c n σ t t

ζ σ ζ σ

ζ σ

− ≥   + + = _ + + _ 

∑

 , (4)

Cela implique la relation :

( ) (

) (

)

3 4 0 0

2

0

1 it

i t

e

ζ σ ζ σ

+

ζ σ

+

≥

=

, (5) Il en résulte la relation :

(

) ( )

(

)

3

(

) (

)

4

(

) (

)

1 0 0 1 it 1 i t2 1

σ

−

ζ σ

+

σ

−

ζ σ

+ ≥

σ

− − , (6) Lorsque

σ

→1+, le membre à gauche de (4) tend vers un nombre fini

(

ζ

' 1

(

+it₀

)

4

ζ

(

1+i t2 ₀

)

, mais le deuxième membre tend vers l’infini, ce qui contredit l’hypothèse s = +1 it₀ est un zéro de la fonction

ζ

( )

s .

Nous avons montré que la fonction Zéta n’admet pas de zéros

ρ

= +

1 it

et pas de zéros

ρ

=

it

. (7)

2. Calcul des premiers zéros de la fonction Zéta.

Les premières informations numériques sur les zéros sur la ligne critique 1 2

σ

= ont été fournies par Gram en 1903. Gram a utilisé la formule développée :

(

)

1 2

(

)

(

)

1 2

1 2 cos log sin log

k n

t k t k i t k n

ζ

− −

≤

+ =

∑

− − ×

(23)

(

1 3 1 2 5

)

( )

2 1 1 2 ... 2 4 n nti ti A B A A B C t iS t T n + +   + + + + = +     (1) avecT = +t2 1 4, ₁ 4 4₂ 3.4 T ti A n − − = , ₂ 16 8₂ 5.6 T ti A n − − = ,… (2)

(

)(

)

2 2 4 4 2 1 2 2 k T k kti A k k n − − = + + ,

k

=

3, 4,...

(3)

Gram a commencé par le calcul des 10 premiers zéros

ρ

_k

=

1 2

+

i

γ

_k.

γ

₁

=

14,1347...

,

γ

₂

=

21,0220...

,

γ

₃

=

25,0108...

γ

₄

=

30, 4248...

,

γ

₅

=

32,9350...

,

γ

₆

=

37,5861...

γ

₇

=

40,9187...

,

γ

₈

=

43,3270...

,

γ

₉

=

48,0051...

γ

₁₀

=

49,7738...

Zéros suivants,

γ

₁₁

=

50,8...

,

γ

₁₂

=

56, 4...

,

γ

₁₃

=

59, 4...

γ

₁₄

=

61,0...

,

γ

₁₅

=

65,0...

Backlun a démontré l’existence de 79 zéros dans l’intervalle0≺ ≺t 200. Hutchinson a calculé les zéros jusqu’à

t

=

300

.

Brent Richard P (Math of Comput. 33 (1979), 1361-1372) a publié les zéros

1 2

k

i

k

ρ

=

+

γ

pourk ≤75000.

Actuellement les méthodes modernes basées sur les logiciels de mathématiques permettent de calculer un nombre considérable de zéros

ρ

=

1 2 it

+

.

3. Hypothèse de Riemann. Riemann a conjecturé la

Conjecture de Riemann :

tous les zéros non triviaux de la fonction

ζ

( )

s

sont sur la ligne critique

σ

=1 2

.

Cette conjecture a été vérifiée par le calcul de millions de zéros ; mais on ne connaît pas de démonstration de cette conjecture.

(24)

4. Fonctions

1 ζ

( )

s

et

ζ ζ

'

( )

s

. Ces fonctions sont étudiées avec la forme :

( )

(

)

1 1 1 s s n p s n p

ζ

− − − ≥ =

∑

=

∏

− , pour s= +

σ

it, (1) Alors on en déduit,

( )

(

)

( )

1 1 1 s s n p s p n n

ζ

−

µ

− ≥ =

∏

− =

∑

,

µ

=

fonction de Möbius (2)

µ

( )

1 =1 ,

µ

( )

a b2 =0,

µ

(

p₁...p_t

) ( )

= −1 t (3) Il en résulte la relation,

( )

2 1 1 1 1 2 n p p n n s p σ σ σ

ζ σ

µ

ζ

ζ σ

− − − ≥  ₋  ≤ =  ₋ =  

∑

∏

, (4) Calcul du logarithme.

(

( )

)

( )

1 1 1 log log ms s p m n n s mp n n

ζ

≥ ≥ Λ =

∑∑

=

∑

, (5) Fonction

ζ ζ

'

( )

s

.

( )

1 1

( )

' log ms s p m n s p n s p n

ζ

≥ ≥ Λ = −

∑∑

= −

∑

, (6)

La conjecture de Riemann influe sur d’autres hypothèses de mathématique : Théorème 2. (Mertens)

Si la conjecture de Riemann est vraie, alors M x

( )

=O x

( )

1 2

où

( )

(

)

2 3 2 1 2 iT s n x _iT x M x n ds O x T i s s

µ

π

ζ

+ ≤ ₋ =

∑

=

_∫

+

où T = nombre réel positif.

(25)

Théorème 3. (Cramer et Landau)

Si l’hypothèse de Mertens est vraie, alors tous les zéros de la fonction

( )

s

ζ

sont simples.

□

Riemann a conjecturé que le nombre N T

( )

de zéros non triviaux

ρ β γ

= +

i

de partie imaginaire 0≤ ≤

γ

T, est égal à :

( )

log

(

log

)

2 2 2 T T T N T O T

π

= − + .

Cette formule a été prouvée par Von Mangoldt.

Théorème de Titchmarsh relatif au carré de

ζ

(

1 2 it+

)

.

Soit

(

)

(

)

( )

1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 n it it n it n

ζ

− − + + ≥ − + = −

∑

. Alors :

(

)

2

(

)

( )

0 1 2 log 1 log 2 2 T it dt T T T O Tϕ ε

ζ

₊ ₌ _{− +}

π

₋

ϕ

₊ +

∫

Pour

ϕ

=1 3. □ Théorème 4. [7]

Soit une fonction arithmétique multiplicative f n

( )

. Alors sa fonction génératrice est égale à :

( )

1 s n F s f n n− ≥ =

∑

, (1)

( )

0 k ks k p f p p− ≥   =   

∑



∏

(2)

lorsque la série (1) est convergente.

□

Exemples.

1) la fonction génératrice de la fonction arithmétique de Möbius est égale à :

( )

(

)

1 1 s s n p F s

µ

n n− p− ≥ =

∑

=

∏

− .

(26)

2) la fonction génératrice de la fonction arithmétique

ϕ

( )

n d’Euler est égale

à :

( )

₁ 1 1 1 s s s n p p F s n n p

ϕ

− − − ≥ − = = −

∑

∏

.

(27)

CHAPITRE IV : APPLICATIONS DE LA FONCTION ZETA DE RIEMANN.

La fonction Zéta de Riemann admet plusieurs applications.

Nous considérons dans la suite des applications aux corps de nombres, aux formes quadratiques et aux Courbes Elliptiques.

1. Fonction Zéta de Dedekind

ζ

_K

( )

s

.

La fonction Zéta de Riemann a été étendue aux corps de nombres algébriques par Dedekind (1831-1916).

Nous commençons par quelques points de la théorie des corps de nombres. Définition 1.

1) un corps de nombres algébriques est une extension algébrique du corps

ℚ

des nombres rationnels engendré par un nombreθ, racine d’un polynôme irréductible f X

( )

=Xn +a X₁ n−1+ +... a_n de l’anneau ℚ

[ ]

X ,

θnon rationnel.

2) ce nombreθ est l’élément primitif du corpsK =ℚ

( )

θ .

3) Le corpsK =ℚ

( )

θ est galoisien s’il contient les n racines simples

θ

₁ ,

θ

₂ ,…,

θ

_n de f X

( )

.

4) Le polynôme f X

( )

est le polynôme minimal deθ. Exemples.

1) f X

( )

= X2 −10admet 2 zéros :

θ

₁ = 10 etθ₂ = − 10 ; le corps K =ℚ

( )

θ₁ contientθ₂, il est donc galoisien.

2) f X

( )

= X4 +10X2 +39 admet 4 zéros θ_i = ± 3± 10; le corpsK =ℚ

( )

θ₁ contient les autres zéros, il est donc galoisien.

3) f X

( )

= X3 −5admet 3 zéros : θ₁= 3 5, θ₂ = j3 5 etθ₃ = j2 3 5, où

j

est une racine cubique de 1 : j3 =1 , 1+ +j j2 =0, donc le corps K =ℚ

( )

θ₁ n’est pas galoisien.

Les trois éléments primitifs

θ

_i admettent le même polynôme minimal, f

( )

θ₁ = f

( )

θ₂ = f

( )

θ₃ =0.

(28)

Définition 2.

Soit un corps K =ℚ

( )

θ galoisien, de polynôme minimal : f X

( ) (

= X −θ₁

)(

X −θ₂

)

...

(

X −θ_n

)

,

θ

_i non rationnel.

Alors le groupe de Galois du corpsK =ℚ

( )

θ est le groupe G =Gal K

(

/ℚ qui

)

permute les n zéros

θ

₁,

θ

₂ ,…,

θ

_n :

G=

{

σ₁ =Id,σ₂,...,σ_n

}

, σ θ₁

( )

₁ =θ₁, σ θ₂

( )

₁ =θ₂,…,σ θ_n

( )

₁ =θ_n. C’est un groupe fini d’élément neutre σ₁= Id et d’ordre n.

Les images σ_t

( )

K du corps K sont des corps réels ou complexes. Il en résulte la relation :

n

= +

r

₁

2 r

₂ ,

r

₁ conjugués réels

σ

₁

( )

K

,…,

( )

1 r

K

σ

, et

2 r

₂ conjugués complexes

( )

1 1 r

K

σ

₊ ,…,

( )

1 2 r r

K

σ

₊ et leurs

r

₂ conjugués para+ → + = −ib a ib a ib.

Nous nous intéresserons à 2 types de corps de nombres : Les corps quadratiques et les corps cyclotomiques.

Corps quadratiques d’après Weiss (Théorie Algébrique des Nombres).

Un corps quadratique est un corpsK =ℚ

( )

m , où m est un entier rationnel sans facteur carré.

K est réel sim ≻0 ; alors

r

₁

=

2

,

r

₂

=

0

et

n

=

2

. K est complexe si m ≺0; alors

r

₁

=

0

,

r

₂

=

1

et

n

=

2

. Le groupe de Galois estG=

{

Id,σ

}

, il opère sur K : σ

(

a+b m

)

= −a b m, pour tout ,a b∈ℚ .

L’anneau des entiers de K est un anneau commutatif A K

( )

de base :

e

₁

=

1

,

e

₂

=

m

si

m

≡

2,3 mod 4,

e

₁

=

1

, ₂

1

2 m

e

=

+

si

m

≡

1 mod 4. Il en résulte le discriminant de K :

(29)

CHAPITRE IV : APPLICATIONS DE LA FONCTION ZETA DE RIEMANN. 2 1 4 1 m D m m = = − si

m

≡

2,3 mod 4, et 2 1 1 2 1 1 2 m D m m + = = − si

m

≡

1 mod 4.

L’anneauA K des entiers de K est un anneau de Dedekind. Il contient des

( )

idéaux premiers et des idéaux composés. La décomposition d’un idéal de cet anneau dépend du symbole de Legendre d’un nombre premier p∈ℕ et d’un nombre a∈ℤ .

Définition 3.

Soit un entier a∈ℤ est un nombre premier impair p∈ℕ ; le symbole de Legendre associé a p       est égal à : a 1 p   = +  

  si a est un carré modulo p ; a 1

p

 

= −

 

  si a n’est un carré modulo p ; a 0

p

 

=

 

  si a est divisible par p. Exemples. Pourp =37. 2 2 2 2 5 6 10 20 37 37 37 37         = = =                 ;

il y a 18 carrés modulo 37, ce sont les entiers : 1, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 21, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34 ; donc 5 8 13 20 1 37 37 37 37         = = = = −                 ;

Ce symbole de Legendre satisfait la relation :

(30)

CHAPITRE IV : APPLICATIONS DE LA FONCTION ZETA DE RIEMANN. 2 1 a p   =     , 2 a b b p p     =      

  pour tous entiersa b, ∈ℤ. Loi de réciprocité quadratique :

q p

( )

1 (p 1)( )q 1 4 p q − −     = = −    

    pour p et q premiers impaires. Exemples : 3 11

( )

1 2 10 4 1 11 3 ×     = = − = −         , 5 13

( )

1 4 12 4 1 13 5 ×     = = − = +         .

Le symbole de Legendre pourp =2.

1 2 a   = +     si

a

≡

1 mod 8 et 2 1 a   = −     si

a

≡

5 mod 8.

Chaque nombre premier p∈ℕ implique un idéal pA K dans l’anneau

( )

A K .

( )

La décomposition de cet idéal est précisé par le

Théorème 1.

Soit un corps quadratiqueK =ℚ

( )

m , m entier sans facteur carré ; soit un nombre premier p∈ℕ et l’idéal pA K qu’il engendre, alors :

( )

1) pA K

( )

=P P_{1 2}, P_i idéaux premiers deA K

( )

, conjugués, de même normeN P

( )

₁ =N P

( )

₂ = p, si p premier à m et m 1 p   = +     .

2) pA K

( )

=P2, P= idéal premier de normeN P

( )

= p, si p divise m. 3) pA K

( )

=P, P= idéal premier de normeN P

( )

= p2, si m 1

p

 

= −

 

  .

Preuve :

Weiss- Algebraic Numbers Theory. □

(31)

Définition 4.

1) un nombre premier impair p est décomposé dans K =ℚ

( )

m sipA K

( )

=P P_{1 2},

2) un nombre premier impair p est ramifié dans K sipA K

( )

=P2, 3) un nombre premier impair est inerte dans K sipA K

( )

=P. Théorème 2.

Soit un corps quadratiqueK =ℚ

( )

m , m entier sans facteur carré, de discriminant D. Alors :

1) si

m

≡

1 mod 8 ,2 A K

( )

=P P_{1 2} , P₁=

(

2,1+ m 2

)

et P₂ =

(

2,1− m 2

)

idéaux premiers distincts deA K

( )

.

2) si

m

≡

5 mod 8, 2A K

( )

= =P idéal premier deA K

( )

.

Preuve :

Weiss. □

Nous ne traiterons pas le chapitre relatif aux idéaux équivalents et aux classes d’idéaux d’un corps K, ces notions débordent le cadre de notre étude.

La fonction Zéta de Dedekind d’un corps quadratique K est égale à la fonction de la variable complexe

s

:

( )

(

( )

)

1 / 1 s K P p p premier s N P ζ − −

=

∏ ∏

− , où P=idéal premier de K. (1) L’existence de 3 types de décomposition des idéaux pA K

( )

implique la décomposition de (1) en produit :

ζ_K

( )

s =S S S₁ ₂ ₃ ; (2) Contribution à ζ_K

( )

s des idéaux p ramifiés : ₁

(

1 2s

)

1

p ramifiés

S =

∏

− p− − ; (3) Contribution à ζ_K

( )

s des idéaux p décomposés : ₂

(

1 s

)

2

p décomposés

S =

∏

− p− − ; (4) Contribution à ζ_K

( )

s des idéaux p inertes :

(32)

CHAPITRE IV : APPLICATIONS DE LA FONCTION ZETA DE RIEMANN. ₃

(

1 2s

)

1 p inertes S =

∏

− p− − . (5)

Cas des corps cyclotomiques. Définition 5.

Le ne corps cyclotomique est le corps K =ℚ

( )

z_n engendré par une racine primitive ne de l’unité : z_n cos 2 isin 2 n n π π     =  +      , (1) Le polynôme minimal de z_n est le néme polynôme cyclotomique. Ces polynômes sont construits avec le polynôme f X

( )

= Xn −1,

( )

/ 1 n d d n X − =

∏

f X

.

(2)

Il en résulte :

( )

1 1 2 ... 1 1 p p p p X f X X X X X − − − = = + + + +

− , pour tout nombre 1

er

p

, (3)

( )

(

)

( ) / 1 n n d n d n f X =

∏

X − µ ; (4) Théorème 3.

Le ne corps cyclotomique K =ℚ

( )

z_n est une extension abélienne de degré

ϕ

( )

n

du corps

ℚ

,

ϕ

= fonction arithmétique d’Euler

Son groupe de galois est abélien d’ordre φ(n). □

Théorème 4.

La décomposition des idéaux premiers pℤ dans le ne corps cyclotomiqueK =ℚ

( )

z_n ,

n

=

p n

2 ₀ ,

n

₀ premier à

p

.

1) Ramification de

p

.

pA K

( )

=( ...p₁ p_g)e avec e=φ

( )

p2 , pf ≡1modn₀, fg =φ

( )

n₀ . Et

P

_i= idéaux premiers conjugués de normeNP_i = pf .

2) Décomposition des nombres premiers

q

qui ne divisent pas

n

.

(33)

qA K

( )

= p₁...p_g avecqf ≡1modn , fg =φ

( )

n etNP_i = pf .

□

La fonction Zéta de Dédekind du corps K_n est égale à :

( )

(

( )

)

1 / 1 n s K P p p premier s N P ζ ₌ ₋ − −

∏ ∏

(

1 fs

)

1 p p− − =

∏

− . Exemple : Le 15e corps cyclotomique : n = 1 5 = ×3 5. Il y a 2 nombres premiers ramifiés : p =3,5.

Pour

p

=

3

, fg =4 ; 3f ≡1mod 5implique f =4 et g =1 . donc 3A K

( )

=P2 avecN P

( )

=34.

Pour

p

=

5

, fg =2 ; 5f ≡1mod 3 implique f =2 et g =1 . donc 5A K

( )

=P2 avecN P

( )

=52 .

Calcul des contributions

S

₁,

S

₂,

S

₃,

S

₄ à ζ_K

( )

s .

S₁ = −

(

3 1−8s

)

−1 ₂

(

)

8 1mod15 1 s p S p− − ≡ =

∏

− ₃

(

2

)

4 4,11,14 mod15 1 s p S p− − ≡ =

∏

− ₄

(

4

)

2 2,7,8,13mod15 1 s p S p− − ≡ =

∏

− .

Nous en déduisons la fonction ζ_K

( )

s de Dedekind du 15ecorps cyclotomique ζ_K

( )

s =S S S S₁ ₂ ₃ ₄ .

Cette fonction converge dans le domaineRe

( )

s >1.

(34)

Théorème 4.

Soit K un corps de nombres.

1) la fonction Zéta de Dedekind ζ_K

( )

s admet un prolongement méromorphe sur

ℂ

, avec un pôle simple en s=1 de résidu:

(

) ( )

( )

2 1 1 2 2 lim 1 r r K K K s K K h R s s D π ζ ω → − = .

où

n

= +

r

₁

2 r

₂ ,

r

₁ conjugués réels et

2r

₂ conjugués complexes σ

( )

K ,

K

h =nombre de classes d’idéaux de K, R_K = régulateur deK, D_K = discriminant de Ket ω_K= nombre de racines de l’unité contenues dansK.

2) la fonction Zéta de Dedekind ζ_K

( )

s vérifie l'équation fonctionnelle: ξ_K

( )

s =ξ_K

(

1−s

)

. Avec

( )

(

( ) ( )

)

( )

1 2 ₂ 2 2 2 r r s s s K K K s s s D s ξ _{= Γ}  π−  π − _Γ ζ         . □

2. Fonction Zéta de formes quadratiques . Soit une forme quadratique entière :

q x y

( )

, =ax2 +bxy+cy2.

Alors sa fonction Zéta associée est égale à :

( )

( ) , , , 0 , s; q x y q x y s q x y ζ − ∈ ≠ =

∑

(

)

( ) 1 / , 1 s ; p q x y p− − =

∏

− Exemple. q x y

( )

, =2x2 −3xy+ y2; Alors :

( )

1 2 s 4 s 6 s 13 s ..., q s ζ _{= +} − ₊ − ₊ − ₊ − ₊

(35)

Signalons la contribution de P.T.Bateman (Urbana, Illinois) et E.Grosswald (Philadelphia) à l’étude de la fonction Zéta d’Epstein :

( )

1

(

2 2

)

2

s

Z s =

∑

am +bmn+cn − pourRe

( )

s ≻ . 1

Polynôme f x y

( )

, =aX2 +bXY +cY2∈ℝ

[ ]

x y a, , ≻0,b2 −4ac≺ . 0 Cela implique que

f m n

(

,

)

=am2 +bmn+cn2 est une forme quadratique définie positive.

3. Séries de Dirichlet-Hasse des Courbes Elliptiques

Commençons par quelques éléments de la Théorie des Courbes Elliptiques : D’après l’ouvrage de référence [18], une Courbe Elliptique est une cubique de Weierstrass d’équation spécifique :

E y: 2 +a xy₁ +a y₃ = +x3 a x₂ 2 +a x₄ + ∈a₆ K x y

[ ]

, (1) où

K

est un corps global, local ou fini.

Elle possède des invariants :

b₂ =a₁2 +4a₂ ; b₄ =a a_{1 3} +2a₄ ; b₆ =a₃2 +4a₆ , c₄ =b₂2 −24b₄ ; Un discriminant : ∆

( )

E =9b b b_{2 4 6} −8b₄3 −27b₆2 −b b₂2 ₈ avec 4b₈ =b b_{2 6}−b₄2, Un invariant modulaire

( )

3 4 c j E E = ∆ , etc.

Il y a 4 types de cubiques de Weierstrass :

a) cubique singulière avec un nœud pour ∆

( )

E =0 etc₄ ≠ 0,

b) cubique singulière avec un point de rebroussement pour∆

( )

E = =c₄ 0, c) Courbe Elliptique formée d’une seule branche pour∆

( )

E ≺0,

d) Courbe Elliptique formée d’une branche fermée finie et d’une branche ouverte infinie si∆

( )

E ≻ . 0

Fonction Zéta de Riemann et applications

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