Pilotage de stratégies de calcul par décomposition de domaine par des objectifs de précision sur des quantités d’intérêt

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domaine par des objectifs de précision sur des quantités

d’intérêt

Valentine Rey

To cite this version:

Valentine Rey. Pilotage de stratégies de calcul par décomposition de domaine par des objectifs de

précision sur des quantités d’intérêt. Mécanique des solides [physics.class-ph]. Université Paris-Saclay,

2015. Français. �NNT : 2015SACLN018�. �tel-01246413�

THÈSE DE DOCTORAT

DE L'UNIVERSITÉ PARIS-SACLAY,

préparée à l'ÉCOLENORMALE SUPÉRIEUREDE CACHAN

ECOLE DOCTORALE N

˝

579

S ien esmé aniques eténergétiques,matériaux etgéos ien es

Spé ialité

MÉCANIQUE DES SOLIDES

Présentéepar

Valentine Rey

Sujetdelathèse

Pilotage des stratégies de al ul par dé omposition de

domaine par des obje tifs de pré ision sur des quantités

d'intérêt

Présentée etsoutenue à Ca han le11 dé embre 2015 devant lejury omposéde :

Ni olas Moës Professeur,E oleCentrale Nantes Président

AnthonyGravouil Professeur,INSALyon Examinateur

PedroDièz Professeur,Universitépolyte hnique de Catalogne Rapporteur

François-Xavier Roux Professeur,ONERA Rapporteur

Christian Rey Professeur,SAFRANTECH Dire teur dethèse

Pierre Gosselet Chargé dere her he,LMT-Ca han Co-En adrant

LMT-Ca han

Je tiens toutd'abord àremer ierl'ensembledesmembresdemonjuryde thèse.Mes

premiersremer iementsvontà euxquiontdirigéeten adrémestravaux.Mer ià

Chris-tian et Pierre, qui ha un à leur manière, ont su être présents touten melaissant mon

autonomie. Vous m'avez appris un métier que j'aime profondément et avez parti ipé à

monépanouissement s ientiqueetprofessionnel. Ensuite,je tiens à remer ier mes

rap-porteurs,François-XavierRouxetPedroDiez,pour avoir a eptédelireetderapporter

mestravaux.Enn, mer iàNi olasMoëspouravoira eptédeprésider ejuryetà

An-thonyGravouilpouravoiré outémasoutenan e.J'espèreavoirréponduàvosquestions.

J'ai étéen tous as ravie de vousprésentermon travail.

A présent, je tiens à remer ier l'ensemble desgens au laboratoire et/ou du

départe-mentdegéniemé aniquequim'ontpermisdepassertroissuperbesannées. Mespremiers

remer iements vont aux membres de l'équipe erreur :Frisou, Ludo, Eri , OP, François,

pour leur bonne humeur puis plus ré emment Pierre-Eri , Basile, Camille à qui je

sou-haite de prendreautant de plaisir quemoi pendant leur thèse.Re onstruiredes hamps

admissiblesn'est pastoujours tâ he fa ileet e futtrès agréablede sesentir omprise et

épauléedanslesproblématiquesd'estimationd'erreur.Mer iàNi olasquiapartagémon

bureaupendantplusdedeuxansave sabonnehumeuretsonhumour.Mer iégalement

à Manu,PAG, PAB, Peewee, Jean-Lu ,Paul,Rana,Werty,Christine, Frédéri , Fabri e,

Lydia, Cédri età tous eux que j'ai oubliés. Mer i àDanielle pour m'avoir organisé e

magnique pot etpour toujours avoir étélàpour moi.

Mer iauxpersonnesquionta eptéd'assisteràmesrépétitionsdesoutenan eetdont

les onseilsm'ontaidéeàfaireunebelleprestationnale.Mer iàtous euxquisontvenus

m'é outer lejour J (ou en ore le D day (defense day)): Beaupetit, Lele, Ni olas, Sam,

Elena, Fred, Augustinou, Vlad, PAG, Eri (qui est venu de loin), Clémen e, Camille,

John-Eri (qui a immortalisé e moment sur arte mémoire). J'ai été très tou hée par

votre présen e.

Enn, mer i à John-Eri pour avoir tout fait pour que je fasse ma soutenan edans

les meilleures onditions. Plus globalement, mer i de m'avoir a ompagnée dans toute

ette partie de mavie quefut l'ENSetle do torat. Mer ide n'avoir jamais essédeme

Ces travauxdere her heontpourobje tifde ontribueraudéveloppementetà

l'exploitation d'outils devéri ation desproblèmesde mé aniquelinéairesdans

le adre des méthodes de dé omposition de domaine sans re ouvrement. Les

apports de ette thèse sont multiples.

 Nous proposons d'améliorer la qualité des hamps statiquement

admis-sibles né essaires à l'évaluationde l'estimateur par une nouvelle

métho-dologiedere onstru tiondes ontraintesenséquentieletpardes

optimi-sations du al ulde l'intereort en adresous-stru turé.

 Nous démontrons des bornes inférieures etsupérieures de l'erreur

sépa-rantl'erreur algébrique(dueausolveuritératif) del'erreurde

dis rétisa-tion (due àlaméthode desélémentsnis) tant pour une mesureglobale

que pour une quantité d'intérêt. Cette séparation permet la dénition

d'un ritère d'arrêtobje tif pourle solveuritératif.

 Nous exploitonsles informations fourniespar l'estimateur etles espa es

de Krylovgénéréspourmettreen pla eunestratégie auto-adaptative de

al ul onsistant enune haîne derésolution mettant àprot remaillage

adaptatif etre y lage desdire tions dere her he.

Nous mettonsen appli ation lepilotage dusolveurpar un obje tif depré ision

sur desexemplesmé aniquesen deuxdimensions.

Mots- lefs:Méthodedesélémentsnis,véri ation,erreurenrelationde

om-portement, quantité d'intérêt, méthodes de dé omposition de domaine sans

re- ouvrement,FETI, BDD,séparationdessour esd'erreur, remaillage adaptatif,

Table des matières 7

Table des gures 11

Liste des tableaux 15

Liste des Algorithmes 17

Introdu tion 21

I Etat de l'art sur la véri ation et les méthodes de dé omposition de domaine et mise en éviden e des deux sour es d'erreur 25

1 Estimation de l'erreur de dis rétisation 29

1.1 Problème deréféren e etméthode deséléments nis . . . 30

1.1.1 Problème modèle . . . 30

1.1.2 Dis rétisation etrésolution par laméthode desélémentsnis . . . 32

1.1.3 Erreur dedis rétisation . . . 33

1.2 Erreur globale. . . 34

1.2.1 Méthodesbasées surles résidus . . . 34

1.2.2 Méthodesbasées surle lissagedes ontraintes . . . 38

1.2.3 Méthodesbasées surl'erreur en relation de omportement . . . 38

1.2.4 Borne inférieure del'erreur globale . . . 44

1.3 Erreur lo ale . . . 46

1.3.1 Erreur depollution . . . 46

1.3.2 Estimation heuristique . . . 47

1.3.3 Estimation baséesurles extra teursetle problèmeadjoint . . . 47

2 Méthodes de dé omposition de domaine 53 2.1 E riture ontinue . . . 54

2.2 Dis rétisation etrésolution. . . 55

2.3.1 Problèmed'interfa e . . . 58

2.3.2 Résolutiondu problèmed'interfa e . . . 59

2.4 Appro he duale . . . 59

2.4.1 Problèmed'interfa e . . . 59

2.4.2 Résolutiondu problèmed'interfa e . . . 61

2.5 Autres appro hes . . . 61

3 Estimation d'erreur en adre sous-stru turé et sour es d'erreur 65 3.1 Un estimateur parallèle basésurl'erreur en relation de omportement . . 66

3.2 Convergen e rapide del'estimateur . . . 68

3.3 Séparation dessour esd'erreur :unétat deslieux. . . 71

3.3.1 Erreurdue à lagestionde lanon-linéarité . . . 72

3.3.2 Erreursto hastique . . . 74

3.3.3 ErreurPGD . . . 75

3.3.4 Dansle as desméthodesde sous-stru turation . . . 75

3.3.5 Dansle as delaméthode desvolumesnis . . . 76

3.3.6 Commentaires. . . 77

II Contributions à la onstru tion de hamps admissibles 79 4 Une nouvelle méthode de re onstru tion de hamps statiquement ad-missibles en séquentiel 83 4.1 Prin ipes . . . 84

4.1.1 Choixdesin onnueset ontraintes asso iées . . . 84

4.1.2 Eliminationdes arêtesexternes etdénition duse ond membre . . 86

4.1.3 E riturede la onditionde prolongement forteà l'é helle globale . 87 4.1.4 Résolutiondes problèmeslo aux . . . 87

4.2 Implémentation numérique . . . 88

4.2.1 Propriétés de

∆

. . . 88

4.2.2 Etude de

G

. . . 90

4.2.3 Résolutione a e . . . 91

4.2.4 Choixde l'élément dunoyau . . . 93

4.3 Résultats sur lastru ture2 . . . 95

5 Re onstru tion améliorée des inter-eorts 97 5.1 Rappels sur la méthode de re onstru tion d'un hamp statiquement ad-missible en adresous-stru turé . . . 98

5.2 Le as parti ulierdespointsmultiples . . . 100

5.2.1 Retoursurl'opérateur d'assemblagedual. . . 100

5.2.2 Gestiondes pointsmultiples pour l'estimation d'erreur . . . 103

5.3 Appli ation àFETI-DP . . . 106

5.3.2 Re onstru tion parallèle de hamps admissibles et estimation de

l'erreur . . . 109

5.4 Cas d'uneinterfa e interse tant unbord deDiri hlet . . . 111

5.4.1 Mise enéviden e . . . 111

5.4.2 Amélioration proposée . . . 112

5.4.3 Mise en÷uvre . . . 113

III Séparation des sour esd'erreur et dénition du nouveau ritère d'arrêt dans le adre des méthodes de dé omposition de domaine sans re ouvrement : pilotage de la résolution 115 6 Estimation d'erreur globale 119 6.1 Borne supérieurede l'erreur globale. . . 120

6.1.1 Nouvelle borneséparant les ontributions . . . 120

6.1.2 Dénition d'unnouveau ritère d'arrêtdusolveuritératif . . . 122

6.1.3 Exemplesnumériques . . . 122

6.2 Borne inférieure del'erreur globale . . . 124

6.2.1 Borne inférieure del'erreur globale en adresous-stru turé . . . . 125

6.2.2 Constru tion d'unestimateur ontinu en adresous-stru turé . . . 128

6.2.3 Exemplesnumériques . . . 129

7 Estimation d'erreur d'une quantité d'intérêt 135 7.1 Résolution desproblèmes de référen eetadjoint. . . 136

7.1.1 E riture ontinue sous-stru turéeduproblème adjoint . . . 136

7.1.2 E riture dis rètesous-stru turée duproblème adjoint . . . 137

7.1.3 Résolution desproblèmes . . . 137

7.2 Re onstru tiondes hamps admissiblesau oursdesitérations . . . 137

7.3 Nouvelle borneséparant les ontributions . . . 139

7.3.1 En adrement fondamental . . . 139

7.3.2 Propriétés de laquantité

I

HH,1

. . . 140

7.4 Dénition d'unnouveau ritère d'arrêtdusolveur itératif. . . 142

7.5 Exemplesnumériques. . . 143

7.5.1 Stru ture1 . . . 143

7.6 Amélioration de l'estimationd'erreur lo ale àl'aide d'uneborneinférieure 144 7.6.1 Rappelsdu asséquentiel . . . 144

7.6.2 En adresous-stru turé . . . 145

7.6.3 Illustration numérique . . . 147

IV Amélioration de la qualité de la solution et re y lage de

l'infor-mation : pro édure auto-adaptative 149

8.1 Remaillage adaptatif sebasant surune arte d'erreur . . . 154

8.1.1 Leremaillage adaptatif en séquentiel . . . 154

8.1.2 Appli ation au as sous-stru turé . . . 155

8.2 Remaillage lo alpar sous-domaine . . . 156

8.2.1 Motivations . . . 156

8.2.2 Gestionde l'in ompatibilité de dis rétisation . . . 157

8.2.3 Illustrationsnumériques . . . 160

9 Re y lage des dire tions de re her he 165 9.1 Motivations . . . 166

9.2 Réutilisation desdire tionsde re her he . . . 166

9.3 Les méthodes Krylov-augmenté . . . 166

9.4 Mise en ÷uvrepourdes résolutionssu essives . . . 168

9.4.1 Ranement lo al . . . 168

9.4.2 Remaillageadaptatif . . . 170

Con lusion 175

Annexe 179

1.1 Problème deréféren e . . . 30

1.2 Illustration desopérateurs de bords . . . 33

2.1 Exemplesd'opérateurs detra e etd'assemblage(primaux etduaux) . . . 56

3.1 Gamma-shaped stru ture : hargement etsous-stru turation . . . 70

3.2 Gamma-shaped stru ture : estimateurs séquentiel et parallèle pour diérentes taillesdemaillage(h) . . . 70

3.3 Gamma-shapedstru ture:évolutiondel'estimateurparallèleau oursdesitérations 70 3.4 Gamma-shaped stru ture : évolution de la arte d'erreur fournie par l'es-timateur parallèle au oursdesitérations . . . 70

3.5 Lesdeux sour esd'erreur(dis rétisation etalgébrique) . . . 72

4.1 Séparationdesréa tions entredeux élémentsadja ents . . . 86

4.2 Noyau delamatri e

∆

:star-pat hes internes ettrous . . . 89

4.3 Star-pat hes, numérotation des éléments arêtes de bord (b) et arêtes ra-diales(r). . . 91

4.4 Stru turepré-ssurée :estimateurs . . . 96

5.1 Constru tion d'unreprésentant ontinu del'eort . . . 99

5.2 Opérateurs d'assemblage primal . . . 101

5.3 Opérateurs d'assemblage dual lassiques . . . 101

5.4 Opérateurs d'assemblage dualnon redondants . . . 102

5.5 Opérateurs d'assemblage dualnon pon tuels . . . 102

5.6 Stru tureàfortehétérogénéité: hargement(gau he)etsous-stru turation (droite) . . . 103

5.7 Cartes de ontribution à l'erreur après un al ul par dé omposition de domaine (gau he)

θ

DD

“ 0.054233

etaprès un al ul séquentiel (droite)

θ

seq

“ 0.00033852

. . . 104

5.8 Star-pat h re onstituéau point multiple . . . 106

5.9 Cartesde ontributionàl'erreuraprèsun al ulséquentiel(gau he)

θ

seq

“ 0.00033852

etensous-stru turéave optimisationaupointmultiple(droite)

θ

DDoptim

“ 0.00046157

107

5.11 Poutrere tangulaire: artesde ontributionsàl'erreur(séquentielet sous-stru turé) . . . 112

5.12 Interfa einterse tant une onditiondeDiri hlet:an iennere onstru tion du représentant ontinu . . . 112

5.13 Interfa e interse tant une ondition de Diri hlet :nouvelle re onstru tion du représentant ontinu . . . 113

5.14 Poutrere tangulaire: artesde ontributionsàl'erreur(séquentielet sous-stru turé ave optimisation) . . . 114

6.1 Stru ture 1 :évolutiondesestimateurs au ours desitérations . . . 124

6.2 Stru ture 1: onvergen e desestimateurs etséparationdessour es d'erreur124

6.3 Stru ture 2: onvergen e desestimateurs etséparationdessour es d'erreur132

6.4 Stru ture 2 : onvergen e de ladistributionspatiale de l'erreur de dis ré-tisation . . . 132

6.5 Stru ture1:évolutiondelaborneinférieurede l'erreur al uléeà onver-gen e en fon tiondu pashdu maillage . . . 133

6.6 Stru ture 1 :diérentessous-stru turations . . . 133

6.7 Stru ture1 :séparation dessour esd'erreurdanslesbornessupérieureet inférieure . . . 134

6.8 Stru ture1:évolutiondesdeuxbornesinférieuresetdel'erreur exa teau ours desitérations . . . 134

7.1 Stru ture 1 :estimateurs d'erreur ave séparationdessour es . . . 143

8.1 Stru ture 2 :évolutiondumaillage au ours duremaillage adaptatif . . . 156

8.2 Ranement lo aldusous-domaine 1 . . . 157

8.3 Stru ture 1 :remaillage hiérar hique sur lesous-domaine entral . . . 162

8.4 Inuen e dela distan e

d

. . . 163

8.5 Stru ture2: ontributions dessous-domainesàl'erreurpourlesproblèmes dire t etadjoint . . . 164

9.1 Stru ture 2 : évolution des résidus après ranement du sous-domaine 6 ave ou sansre y lage . . . 169

9.2 Stru ture 2 : évolution des résidus après ranement du sous-domaine 6 ave ou sansre y lage . . . 170

9.3 Stru ture2:évolutiondesrésidusaprèsremaillage adaptatifave ousans re y lage . . . 171

9.4 Stru ture 1 :dé omposition en9 sous-domaines . . . 179

9.5 Amplitude delasolutionendépla ement(problèmedire t àgau heetadjointà droite) . . . 179

9.6 Chargementduproblèmedire t(bleu)etadjoint(orange)etdé omposition. . . 180

9.7 ContraintesdeVonMises pourleproblèmedire t(gau he)etadjoint(droite). . . . 181

9.8 Amplitude delasolutionendépla ementduproblèmeadjoint(etzoom) . . . . 182

9.9

h

9.10

h

2

2

. . . 182 9.11

h

2

3

. . . 182

1.1 Synthèse desméthodesdesrésidusimpli ites . . . 37

4.1 Stru ture2:estimateurspourdiérentesméthodesdere onstru tionde hamps (EET,Flux-free,STARFLEET) . . . 96

5.1 Stru tureave fortehétérogénéité :paramètres . . . 104

5.2 Poutre re tangulaire :estimateurs parallèle etséquentiel . . . 111

5.3 Poutre re tangulaire :estimateurs. . . 113

6.1 Stru ture1 :paramètres . . . 123

6.2 Stru ture2 :paramètres . . . 125

6.3 Stru ture1 :paramètres . . . 130

6.4 Stru ture 1 : bornes supérieures et inférieures relatives pour diérentes sous-stru turations . . . 130

6.5 Stru ture1 :paramètres . . . 130

7.1 Stru ture1 :paramètres . . . 143

7.2 Stru ture1 :estimateurs d'erreurlo ale en séquentieletenparallèle . . . 143

7.3 Stru ture2 :paramètres . . . 147

7.4 Stru ture2 :en adrementsde laquantité d'intérêt ave ousans exploita-tiondes bornes inférieuresdeserreursglobales . . . 147

8.1 Stru ture2 :paramètres . . . 155

8.2 Stru ture2:performan esduremaillageuniformeetduremaillageadaptatif156 8.3 Stru ture1 :paramètres . . . 162

8.4 Stru ture1 : omparaison entreles trois as,

I

ex

“ 2, 916

. . . 163

8.5 Stru ture2 :paramètres . . . 164

8.6 Stru ture2 :performan es du remaillage lo al . . . 164

9.1 Stru ture2 :paramètres . . . 169

1 BDD . . . 60

2 FETI . . . 61

3 BDD : onstru tion des hampséquilibrés . . . 69

4 FETI : onstru tion des hamps équilibrés. . . 71

5 FETI-DP . . . 109

6 Solveurdedé ompositionde domaineave ritèred'arrêt adaptéàl'erreur de dis rétisationglobale . . . 123

7 BDD-blo .In onnue d'interfa e

U

“ ru, ˜us

. . . 138

8 FETI-blo .In onnued'interfa e

Λ

“ rλ, ˜

λ

s

. . . 139

9 Solveurdedé ompositionde domaineave ritèred'arrêt adaptéàl'erreur de dis rétisationlo ale. . . 142

10 BDD-blo ave in ompatibilité. In onnue d'interfa e

U

“ ru, ˜us

. . . 159

11 FETI-blo ave in ompatibilité. In onnue d'interfa e

Λ

“ rλ, ˜

λ

s

. . . 161

12 BDD ave ontraintes optionnelles

C

. . . 167

Dans lesindustries de onstru tion mé anique,les outilsnumériquessont deplus en

plusprésentsau seindesbureaux d'étude.Devenus indispensables, ils a ompagnent les

ingénieursdanslesphasesde on eptionetdedimensionnement.Depuisquelquesannées,

esoutilstendentmêmeàrempla erlesdémar hesexpérimentales.Eneet,enallongeant

letempsde on eption,lavalidationparlesessaiss'avèretrèsonéreuseetdi ileàmettre

en ÷uvre, notamment sur les stru tures de grande taille pour lesquelles les te hniques

d'instrumentation lassiques sont parfois inenvisageables. Sans éliminer omplètement

la phase expérimentale qui sera toujours le seul lien ave le réel, les industriels tendent

à adopter le virtual testing, 'est-à-dire l'utilisation des simulations numériques pour

rempla er ertains essais.

De la modélisation de la physique observée dé oulent des équations aux dérivées

partielles dont la solution est la réponse de la stru ture onsidérée aux solli itations

extérieures. Malheureusement, à l'ex eption de rares as simples, la solution de telles

équations n'est pas a essible et des méthodes d'approximation sont alors employées

pour pouvoir fournir dessolutions appro hées dont la pertinen e doitêtre relativisée.

L'adoption massive du virtual testing par les industriels ne peut se faire que si la

simulation et les al uls sont maîtrisés. De plus, es-derniers doivent répondre aux

be-soinsdesingénieursquis'intéressentàdesstru tures omplexes(assemblagedeplusieurs

piè esparexemple)dontle omportement estdé ritpar desloisd'évolutionquipeuvent

être fortement nonlinéaires. Ces stru turespeuvent également êtresoumisesà des

solli- itations sophistiquéessurdesé hellesde temps très ourtesou trèslongues. Il estdon

essentielqueles her heursrépondentà esenjeuxenfournissantdesoutilsdesimulation

permettant de traiter desproblèmes omplexes de grande taille tout en garantissant la

qualité durésultat fourni.

Depuis lesannée1970, lavéri ation,dont l'obje tifest lamaîtrisede laqualité des

al uls numériques, a onnu de nombreux développements. Aujourd'hui, des outils

éla-borésete a essont disponiblespour ritiquerl'approximation issued'unesimulation.

Lavéri ationfournit,entreautres,desinformationssurl'erreur ommise lorsdel'étape

de dis rétisation (né essaire pour le passage d'une équation ontinue à une formulation

dis rète, equiestle asdanslaméthodedesélémentsnispar exemple).Ainsi,l'erreur

de dis rétisation peut être estimée tant au niveau global (sur l'ensemble de la

stru -ture) qu'au niveau lo al (zone d'intérêt pour l'ingénieur) et e pour une large gamme

de problèmes. Dans les problèmes de mé aniques, les prin ipaux estimateurs d'erreur

sont eux qui se mettent en ÷uvre après la résolution; ils sont alors dits a posteriori.

Lesestimateurssont lassésen trois atégories : euxquiexploitentladéfautd'équilibre

de la solution appro hée, eux qui proposent de lisser lasolution appro hée et eux qui

exploitent l'erreur en relation de omportement. Pour des estimations d'erreurs lo ales

(surdesquantitésd'intérêt) esontsurlesextra teursetladénitiond'unproblème

ad-jointquesebasentlaplupartdesdéveloppements.Cesappro hespermettentdemettreà

protles outilsdéveloppéspour l'estimationd'erreur globale.Bien sûr, l'obtention d'un

en adrement de l'erreurde dis rétisationsurune quantité d'intérêt aun oûtet tousles

estimateurs présents dans la littérature ne sont pas équivalents. En eet, la qualité, la

onvient de prendre en ompte pour bien hoisirlaméthode d'estimation de l'erreur.

Lesméthodesd'approximation onduisentà onstruiredessystèmesd'équationssous

forme matri ielle que l'on doit ensuite résoudre. Lorsque es problèmes sont de grande

taille, l'utilisation d'un unique ÷ur n'est pas susante même en prenant en ompte

l'essorin royable de la apa ité des ordinateurs. Néanmoins, l'ar hite ture parallèle ou

le regroupement en lusters des ma hines permet de réer des super- al ulateurs aux

performan esétourdissantes(plusieursmilliersdemilliardsd'opérationsparse ondepour

les plus puissants d'entre eux). An de proter pleinement des apa ité de es

super- al ulateurs,lastratégiederésolutiondoitêtreadaptéeàl'ar hite turedu luster.Ainsi,

la ommuni ation entre pro esseurs étant une opération lente, l'algorithme, pour être

e a e, doitentre autres limiter le nombre d'é hanges entre pro esseurs. Lesméthodes

de dé omposition de domaine sont des outils robustes pour la résolution de système

de grande taille.Plus parti ulièrement, les méthodes sansre ouvrement de type

S hur-Krylov ont les propriétés d'extensibilité numérique attenduespour leur exploitation sur

des gros al ulateurs. De plus, les é hanges né essaires se font uniquement entre

sous-domaines voisins et font intervenir des quantités relativement petites (de la taille de

l'interfa eentresous-domaines). Enn,lessolveursitératifsasso iés(solveursdeKrylov)

ont ététrès étudiésetsont maîtrisés.

Notretravails'ins ritdansla ontinuitédelaréexion ommen éedans[110℄etdans la lignée des travaux portant sur la véri ation dans le as de al uls intensifs [115℄. Danslestravaux[110℄,unepro édured'estimationd'erreuren adresous-stru turéaété développée. Cettepro édure :

 permetd'obtenir uneestimation d'erreur à haqueitération dusolveur

 estentièrement parallèleets'in lutnaturellement danslesprin ipauxalgorithmes

dedé ompositionde domaine

Les premiers résultats montrent une rapide onvergen e de l'estimateur au ours des

itérations de l'algorithme de dé omposition de domaine, e qui indique que seules les

premières itérations sont e a es. Se pose alors la question suivante : omment éviter

lesitérationsquinefontpasdiminuerleniveau d'erreur?autrement dit: omment

dé-nirun ritèred'arrêtdu solveurqui n'entraîne pasdesur-résolution?Malheureusement,

l'évaluation de l'estimation de l'erreur à haque itération, qui donnerait une réponse à

ette question,entraîneraitun oûtprohibitif.Plus globalement, nouspouvons nous

in-terroger sur les stratégies à adopter pour onduire e a ement un al ul parallèle sur

unproblèmedemé aniquetoutenfournissantuneinformation surlaqualitédurésultat

obtenu.Nostravauxtentent derépondreà esquestionsen suivanttroisaxes.

Première-ment, desaméliorations quant à lare onstru tion des hamps admissibles né essaires à

l'évaluationde l'estimateuront étéproposéesdans un adreséquentieletdansun adre

sous-stru turé. Deuxièmement, une nouvelle majoration de la distan e entre le hamp

solutionexa t etle hamp al uléséparant l'erreur dueau solveuritératif de l'erreur de

dis rétisation a étédémontrée.Cette séparation est é rite pour une estimation d'erreur

globaleetuneestimationd'erreurlo ale.Ellepermetdepiloterlesolveurparl'erreur de

dis rétisation.Troisièmement,dansle asderésolutionssu essivesenvued'atteindreun

ont été développées et mises en ÷uvre sur des exemples issus de la mé anique.

L'en-semble des développements logi iels a été ee tué au sein d'un ode de al ulparallèle

sous O tave.

Nostravauxs'organisentdon autourdequatreaxesquisontdéveloppésdansquatre

parties.

La premièrepartie apour obje tifdesituerpré isément le ontextes ientiquedans

lequel se situent nos travaux. Pour ela, dans un premier temps, nous présentons le

problème de référen e d'élasti ité linéaire. Puis, un état de l'art sur les méthodes de

véri ation est brossé : nous dénissons tout d'abord l'erreur de dis rétisation et

pré-sentonslesprin ipalesméthodespermettantd'estimer ette erreurtantau niveau global

que lo al. Ensuite, nous dressons un état de l'art sur les méthodes de dé omposition

de domaine sans re ouvrement : nous présentons la sous-stru turation et l'é riture du

problèmed'interfa e.Nousdétaillonsles résolutionsdansle asdesappro hesprimaleet

dualeetprésentonsaussid'autrestypesd'appro hes.Enn, nousrésumonslapro édure

d'estimationd'erreurenparallèlepourlesdé ompositiondedomaineproposéedans[111℄. A partirdes résultats, nousillustrons lané essité d'équilibrerles deux niveaux d'erreur

intervenant dans la résolution. Nous faisons également une brève revue des méthodes

employées pour sépareret omparer lessour esd'erreur.

La deuxième partie présente desaméliorations pouvantêtre apportées àl'estimation

d'erreur en séquentiel et en adre sous-stru turé. Premièrement, nous présentons une

nouvelle méthodedere onstru tion de hampsstatiquementadmissibles.Cetteméthode

permet une étude de la pertinen e de la ondition de prolongement forte, hypothèse à

la base d'une autre te hnique de re onstru tion de hamps statiquement admissibles.

Puis, nous détaillonsdeux améliorations pour l'obtention de réa tions équilibréesentre

sous-domaines. Enparti ulier, noussoulignons lerle despointsmultiples et des points

situés sur un ontour de Diri hlet, où une optimisation est possible, e qui laisse la

pla eàune meilleuree a ité del'estimateur. Cetraitementspé iqueestappliquésur

l'algorithme FETI-DP pour lequel nous proposons une méthode de re onstru tion des

hampsadmissiblesné essairesàl'évaluationdel'estimateur. Ainsi,touslesrésultatsde

la partie suivante pourront s'appliquer également aux algorithmes FETI-DP et BDDC.

Noussignalonsque ettepartie,traitantd'aspe tste hniquesetpointus,peutêtreévitée

dans un premier temps. Elle n'est pas né essaire à la ompréhension de la suite du

manus rit. Le le teur s'intéressant aux ontributions proposées pour la onstru tion de

hamps admissiblespourra revenir sur ette partie àla nde sale turedu manus rit.

La troisième partie onstitue le ÷ur de nos travaux. Elle onsiste en l'énon é du

théorème fondamental de séparation des deux sour es d'erreur (erreur de dis rétisation

et erreur algébrique) dans la majoration de l'erreur vraie, tant pour une estimation de

l'erreur globale que de l'erreur lo ale. Le théorème est démontré et des résultats sur

des stru ture en deux dimensions illustrent lapertinen e de la séparation. Un nouveau

ritère d'arrêt du solveuritératif est alors déni :nous pilotonsle al ulpar l'erreur de

dis rétisation. Nous présentons également omment il est possible d'obtenir une borne

inférieuredel'erreurdedis rétisationglobaleàtraversunepro édureparallèlené essitant

Laquatrièmepartietraiteduremaillageetdesa élérationsdeKrylovdansle asde

résolutions su essives du problème linéaire en vue d'obtenir un niveau d'erreur donné.

Nous examinons deux te hniques de remaillage dont l'une entraîne l'apparition de

dis- rétisationsin ompatiblesauxinterfa e etmontrons ommentlesmettreen÷uvre.Puis,

nousrappelons les prin ipes de re y lage des espa es de Krylov générés etl'appliquons

surdesexemples.

Enn,dansla on lusion,nousfaisonslebilandesapportsde ettethèseenrappelant

lesprin ipauxrésultatsobtenus etdonnonslesdire tionspouvantfairel'objetdefutures

explorations.

La quasitotalité des illustrations numériques de ette thèse ont pour support deux

Etat de l'art sur la véri ation et les

méthodes de dé omposition de

domaine et mise en éviden e des

Dans ettepremièrepartie,nousdé rivonsl'environnementdanslequelvonts'insérer

les travaux de ette thèse. Dans le premier hapitre, nous faisons un état de l'art

as-sez général desméthodes permettant d'estimerl'erreur de dis rétisation provenant d'un

al ulélémentsnis.Puis,dansledeuxième hapitre,nousprésentonslesprin ipales

mé-thodesde dé omposition dedomaine sans re ouvrement.Ces deuxpremiers pointsnous

permettent d'aborder ensuite, dansun troisième hapitre, la problématique de

l'estima-tion d'erreur en adre sous-stru turé :nous dé rivons la pro édure proposée dans [111℄ et mettons en éviden e la faiblesse du ritère d'arrêt du solveur itératif généralement

hoisi.Nousaboutissons naturellement àlané essitéd'identier etde séparerleserreurs

intervenant dans la résolution an d'améliorer e ritère. Enn, nous dressons un état

deslieuxdesstratégiesretenuesdanslarésolutiondeproblèmesmé aniquespourséparer

Estimation de l'erreur de

dis rétisation

Dans e hapitre, nous présentons le problème de référen e onsidéré

dans ettethèseainsiquelaméthodedesélémentsnis.Nousdonnons

ensuite la dénition de l'erreur de dis rétisation et faisons un état de

l'artsurles méthodesd'estimation de ette erreur a priori ou a

poste-riori.Dansl'ensemblede e hapitre,larésolutionduproblèmeélément

Figure 1.1 Problèmede référen e

1.1 Problème de référen e et méthode des éléments nis

Nousnousplaçons dansle adredelamé aniquedesmilieux ontinusetleproblème

deréféren e estun problèmestatiqued'élasti ité linéaire.

1.1.1 Problème modèle

Considéronsunestru tureo upantunouvert

Ω

Ă R

d

(voirgure1.1),où

d

désignela dimensiondel'espa e.Nousfaisonsl'hypothèsequelastru turesubituneévolution

quasi-statique et isotherme vériant l'hypothèse des petites perturbations. Le omportement

estsupposéélastiqueetlinéaireetest ara tériséparletenseurdeHooke

H

.Lastru ture estsoumise auxsolli itationssuivantes:

 unedensité d'eortvolumique

f

sur

Ω

 unedensité surfa ed'eort

g

surlapartie

B

g

dubord

BΩ

 undépla ement imposé

u

d

sur lapartie

Bu

du bord

BΩ

,ave

mes

pBu

Ω

q ‰ 0

L

2

pΩq

désigne l'espa e desfon tions de arré intégrable sur

Ω

et

H

1

pΩq

désigne l'espa e desfon tionsde arréintégrable dontla dérivée estde arré intégrable.

Notons

u

le hamp de dépla ement in onnu,

ε

puq

la partie symétrique du gradient de

u

,

σ

letenseur des ontraintes deCau hy.

Le problème mé anique onsisteà trouverun hampde dépla ement

u

etun hamp de ontrainte

σ

vériant :

 Leséquations d'admissibilité:

u

_{“ ud}

sur

BΩ

č

BuΩ

et

ε

puq “

1

2

pgradpuq ` grad

T

puqq

sur

Ω

(1.1)

 Leséquations d'équilibre :

div

_{pσq ` f “ 0}

sur

Ω

et

σn

“ g

sur

Bg

Ω

(1.2)  La relationde omportement :

σ

_{“ H : ε puq}

sur

Ω

(1.3)

Le tenseur de Hooke dénissant une forme bilinéaire symétrique positive et oer ive,la

solution de e problème existe etestunique.Elle est notée

puex

, σ

ex

q

. Nous introduisonsalors deux espa esanesetune forme positive :

 Espa e des hamps inématiquement admissibles

CA

_{pΩq “}

!

u

_P

`

H

1

pΩq

˘d

_{, u}

“ ud

sur

BΩ

č

Bu

Ω

)

(1.4)

etnousnotons

CA

0

l'espa e ve toriel asso ié:

CA

0

_{pΩq “}

!

u

_P

`

H

1

_pΩq

˘d

_{, u}

_{“ 0}

sur

BΩ

č

B

uΩ

)

(1.5)

 Espa e des hamps statiquement admissible

SA

_{pΩq “}

#

τ

_P

`

L

2

_pΩq

˘d

ˆd

sym

;

_{@v P CA}

0

_pΩq,

ż

Ω

τ : ε

_{pvq dΩ “}

ż

Ω

f

_{¨ vdΩ `}

ż

B

g

Ω Ş

BΩ

g

_{¨ vdS}

+

(1.6)

 L'erreur enrelation de omportement [71℄

e

CR

Ω

pu, σq “ }σ ´ H : ε puq }

_H´1,Ω

(1.7) ave

}x}

H´1,Ω

“

dż

Ω

`

x : H

´1

_{: x}

˘

_dΩ

Le problème mé anique (1.1,1.2,1.3) posésur

Ω

peut êtrereformulé : Trouver

`

u, σ

˘

_{P CApΩq ˆ SApΩq}

telque

e

CR

Ω

pu, σq “ 0

(1.8) Cetteformulationest équivalenteà lapré édente.

Enn, unetroisième formulationfaisant intervenir desformeslinéaires s'é rit :

Trouver

u

P CApΩq

telque

@v P CA

0

pΩq

,

a

pu, vq “ Lpvq

(1.9) où

a

_{pu, vq “}

ż

Ω

ε

_{puq : H : ε pvq dΩ}

(1.10)

estune forme bilinéaire symétrique ontinue et oer ive et

L

_{pvq “}

ż

Ω

f

_{¨ vdΩ `}

ż

B

g

Ω

Ş

BΩ

g

_{¨ vdS}

(1.11)

1.1.2 Dis rétisation et résolution par la méthode des éléments nis

Lasolutionexa tede eséquationsn'est onnuequepourquelquesproblèmessimples.

Enmé anique, laméthode derésolution appro hée laplus utiliséeest sansau un doute

la méthode des éléments nis en dépla ement, qui a été développée dans la deuxième

moitiédu vingtième siè le[23,142,9℄.

An d'obtenirune approximationde lasolution, elle- iest her hée dansun espa e

de dimension nie

CAH

pΩq

.Lastru ture est dis rétisée àl'aide d'unmaillagenoté

ΩH

. Dans la suite, nous supposons que le maillage re ouvre parfaitement

Ω

. A e maillage sont asso iées des fon tions de forme ontinues qui sont des polynmes de degré p sur

haque élément etqui forment une basede

CAH

pΩq

. Le problème élémentsnis s'é ritalors :

Trouver

u

H

P CA

H

pΩq

tel que

@vH

P CA

0

H

pΩq

ż

Ω

ε

_pvH

_{q : H : ε puH}

_{q dΩ “}

ż

Ω

f

_{¨ vH}

dΩ

_`

ż

B

g

Ω

g

_{¨ vH}

dS

(1.12)

Endé omposantledépla ement

u

H

surlabasedesfon tionsdeforme

u

H

“ φ

H

u

,le problèmeseramène à larésolution du systèmelinéaire suivant :

ˆ

K

rr

K

rd

Kdr

Kdd

˙ ˆ

u

r

ud

˙

“

ˆ

f

r

fd

˙

`

ˆ

0

λd

˙

(1.13)

où

K

estlamatri ederigiditésymétriquedénieetpositiveet

f

estleve teurdeseorts généralisés. L'indi e

d

représente les degrés de libertés situés là où des onditions de Diri hlet ont étéimposées etl'indi e

r

représente lereste desdegrésde liberté.

λ

d

estle ve teur desréa tions nodales :

λ

T

_d

_“

ż

Ω

σ

_H

: ε

´

φ

H d

¯

dΩ

_´

ż

Ω

f

_{¨ φ}

H d

dΩ

´

ż

B

g

Ω

g

_{¨ φ}

H d

dS

(1.14) où

φ

H d

estlamatri e desfon tionsde forme restreintes auxn÷uds situéssur

B

u

Ω

. A ondition que

ΩH

oïn ide ave

Ω

et que le degré des fon tions de forme soit susamment élevé pour représenter le dépla ement imposé ( e qui est supposé i i), le

hamp de dépla ement obtenu vérie

u

H

P CA

H

pΩq Ă CApΩq

. En revan he, dans la majorité des as,

σ

H

R SApΩq

et la solution obtenue n'est don pas la solution exa te. Lefait que

σ

H

R SApΩq

traduitquelasolution élémentsnisne respe tepasl'équilibre. Eneet,il peutyavoir :

 non-véri ation de la ondition auxlimitesen eort sur

Bg

Ω

 nonvéri ation de l'équilibre interne

 non-véri ation de l'équilibre entre deuxélémentsvoisins

Danslasuite,nousnotons

T

l'ensembledesélémentsde

ΩH

,

E

l'ensembledesarêteset

V

l'ensembledessommets (ou n÷uds).Introduisonségalement l'opérateur

B

quiextrait les arêtes du bord d'un groupe d'éléments et les extrémités d'un groupe d'arêtes. La

notation

P

pXq

désigne l'ensembledessous-ensembles de

X

.La notation

B

´1

pour désigner l'opérationqui à un sommet asso ie les arêtes qui ysont reliées et à une

arête asso ie leséléments dontelle fait partie.

P

_{pT q}

_{ÝÑ P pEq}

B

_{ÝÑ P pVq}

B

(1.15) Enparti ulier,pourunn÷udN,lesélémentsdans

˜

B

´2

_N

formentlestar-pat h asso ié.

La gure1.2 illustre esopérateurspour des assimples.

Figure 1.2Illustration desopérateursde bords

1.1.3 Erreur de dis rétisation

Le ouple

puH

, σ

H

q

obtenun'étantpaslasolutionexa te,nousdénissons l'erreurde dis rétisation ommel'é artentrele hampissudu al ulélémentsnisetle hamp

solu-tion.Ainsi

e

discr

“ uex

´uH

estle hampasso iéà etteerreuret

ediscr

“ }ε pediscrq }

H´1,Ω

sanorme.Unepropriétéremarquabledu hamp

e

discr

estqu'ilestorthogonalàtout élé-ment de

CAH

pΩq

.Il s'agitde lapropriétéd'orthogonalité de Galerkin :

@vH

P CA

H

pΩq,

ż

Ω

ε

_{pediscrq : H : ε pvH}

_{q dΩ “ 0}

(1.16)

Démonstration. Le problèmeétant linéaire, nouspouvons é rire

@vH

P CA

H

pΩq,

ż

Ω

ε

_{pediscrq : H : ε pvH}

_{q dΩ “}

ż

Ω

ε

_{puexq : H : ε pvH}

_{q dΩ ´}

ż

Ω

ε

_puH

_{q : H : ε pvH}

_{q dΩ}

(1.17)

Enutilisant les propriétés du hampsolution exa t

u

ex

et du hamps élémentsnis

u

H

, nousobtenons :

@vH

P CAH

pΩq

,

ż

Ω

ε

_{pediscrq : H : ε pvH}

_{q dΩ “}

ż

Ω

f

_{¨ vH}

dΩ

ż

B

g

Ω

g

_{¨ vH}

dS

´

˜ż

Ω

f

_{¨ vH}

dΩ

_`

ż

B

g

Ω

g

_{¨ vH}

dS

¸

“ 0

(1.18)

Une première analyse sur l'erreur de dis rétisation peut être faite avant même de

mener un al uléléments nis. En eet,le résultat suivant, basé sur la onvergen e de

laméthode deséléments nis, permet dedonnerune estimation del'erreur a priori :

e

discr

ď Ch

q

(1.19) où

h

est le plus grand diamètre des éléments du maillage.

C

désigne une onstante indépendante de

h

.

q

un réelpositifégalaudegré pdesfon tionsdeforme hoisies pour larésolution éléments nis si le problème est régulier et égal au minimum entre l'ordre

de la singularité du problème et p, si le problème est singulier. Malheureusement, la

onstante Cest généralement impossible à déterminer si bienque e résultat ne permet

pas une estimation de l'erreur de dis rétisation mais donne uniquement une indi ation

surlavitessede onvergen e de l'approximation.

1.2 Erreur globale

And'estimerl'erreurdedis rétisation,desappro hesaposteriori ( 'est-à-diremises

en pla e après larésolution éléments nis) ont étédéveloppées. Ces méthodes ont pour

obje tif de fournir une estimation de l'erreur de dis rétisation via un estimateur

d'er-reur.La qualitéde l'estimateurestdonnée par lerapportde l'erreur estiméesurl'erreur

de dis rétisation exa te. Plus e quotient est pro he de 1,plus l'estimation est pré ise.

L'estimateur est dit garanti si e quotient est supérieur ou égal à 1. En eet, dans e

as,l'estimationfournieestobligatoirement unemajorationdel'erreur dedis rétisation.

Dansle as ontraire, leterme d'indi ateurd'erreurestpréféré à elui d'estimateur.

En-n,l'estimateurestdit onsistantsil'e a itéde elui- itendvers1lorsquehtendvers

0.Dans ettesous-partie,nousdressonsunétatdel'artnonexhaustifdesméthodes

d'es-timationd'erreurdedis rétisationpourlesproblèmesdemé aniquepouvantserapporter

auproblème modèle.

1.2.1 Méthodes basées sur les résidus

Cesméthodesontétéintroduitesinitialementdans[6,5℄etexploitentledéfaut d'équi-libredelasolution élémentsnispour proposerune estimationde l'erreur de

dis rétisa-tion. Ellessebasent surl'équationdesrésidus :

@v P CA

0

pΩq, apediscr

, v

_{q “ Lpvq ´ apuH}

, v

_{q “ RH}

_pvq

(1.20) où

R

H

est appelé opérateur des résidus qui est une fon tionnelle linéaire dépendant de lasolutionélémentsnis

u

H

.Nousdistinguonsdeuxfamillesdeméthodes:lesméthodes des résidus expli ites et les méthodes des résidus impli ites. Dans la première famille,

l'équationdesrésidusestexploitéedire tementtandisquedanslase onde,desrésolutions

de problèmes lo auxsont né essaires.

1.2.1.1 Méthode des résidus expli ites

Un premier développement en dimension 1 a été proposé dans [7℄, l'extension en dimension 2estréaliséedans[4℄.Dans etteméthode,lerésidu estdé omposéen ontri-butions élémentaires àl'aide d'uneintégration par partie :

RH

_{pvq “}

ÿ

T

PT

ż

T

r

_T

vdT

_´

ÿ

γ

PE

ż

γ

r

_γ

vdγ

(1.21) où

r

_T

_{“ divσ}

_H

_{` f}

(1.22)

rend ompte du déséquilibreintérieuret

r

_γ

_“

$

’

’

&

’

’

%

σ

_H

|T

n

T

` σ

H

|T 1

n

_T

1

sur

γ

P BT X BT

1

σ

H

|T

n

T

´ g

sur

γ

P BT X B

gΩ

0

sur

γ

P BT X B

uΩ

(1.23)

où

γ

estl'arête ommune à

T

et

T

1

.Ainsi

r

γ

rend omptedu déséquilibresurlesarêtes. La majoration donnéepar l'estimateurest lasuivante :

e

discr

ď Cr

ÿ

T

_PT

pmespT qq

2

krT

k

2

_`

ÿ

γ

_PE

mes

_pγqkr

γ

k

2

s

(1.24)

oùlesnormesutiliséessontlesnormes

L

2

.Elleestdémontrée enintroduisant l'opérateur

deproje tion

ΠH

quiprojettetout hampde

CA

0

dans

CA

0

H

etenutilisantl'orthogonalité deGalerkin,lesinégalitédeCau hy-S hwarz, Poin arréetKorn.Malheureusement, ette

estimation fait intervenir une onstante C très di ile à évaluer, voire in onnue. En

pratique,le hoix

C

“ 1

est ee tuémais 'estau prix d'uneperte du ara tère garanti de l'estimateuretd'unefaiblee a ité (la onstante étant surrestimée si hoisie égaleà

1).

Il est à noter qu'un estimateur basé sur les résidus, reprenant une partie des idées

pré édentes,aétéré emment développédans[55℄.SebasantsurlathéoriedeKondratiev (théorie derégularité)[70℄,les majorationssu essivesaboutissant àl'estimateur nefont plus intervenir de onstantes in onnues. Il en résulte un estimateur simple à mettre en

1.2.1.2 Méthode des résidus impli ites

Puisquené essitantdesrésolutionsdeproblèmes lo aux, esméthodessontplus

oû-teusesqueles pré édentes. Néanmoins, ellespermettent l'obtention d'une estimation de

l'erreur de meilleure qualité. Le prin ipe est d'é rire l'équation des résidus sur un

sup-port lo al qui peut être soit un star-pat h d'éléments (on parle de Subdomain Residual

Methods) soit un élément (on parle alors de Element Residual Methods). Lesproblèmes

lo auxobtenus sontgénéralement malposés etplusieurs solutionsontétéproposées an

delesrégulariser. Ande présenterde manièresynthétique lesdiérentesméthodes

pré-sentesdans lalittérature nousregroupons lesréféren es dansle tableau àdouble entrée

1.2.1.2.Le le teur urieuxdesdétailsde este hniquespourrasereporterauxréféren es indiquéesdansletableau.Deuxméthodesde etableau permettantlare onstru tion de

hamps statiquement admissibles(Element Equilibration Te hnique et Flux-free) seront

globale

Supportproblèmes lo aux Pat h d'éléments Elément Moyenrégularisation

Conditions limites Diri hlet

homo-gène

[6℄ [30℄

Conditionslimites Neumann [131℄[132℄ Equilibrated Residual Methods : Element Equilibration Te hnique [80℄

Flux-splitting [2℄ Hybrid-ux [106℄ Partition de l'unitédes fon tionsde

forme

Flux-free[107℄

Espa e régularisant [28℄[1℄

1.2.2 Méthodes basées sur le lissage des ontraintes

Cettefamilledeméthodesfournitunindi ateurdel'erreur dedis rétisation.Le

prin- ipe estde onstruire un hampde ontraintes optimisé,notépar lasuite

σ

opt

issu d'un lissage du hamp de ontraintes éléments nis

σ

H

. Alors, une indi ation de l'erreur de dis rétisationest fourniepar :

}σ

_ex

´ σ

_H

}

_H´1,Ω

» }σ

_opt

´ σ

_H

}

_H´1,Ω

(1.25)

Distinguonsdeuxtypesde re onstru tion. Danslapremière méthode[143℄, le hampde ontraintesest her hé ommeunedé ompositionsurlesNfon tionsdeforme

pϕiqi

PV

du maillage

σ

opt

“

ř

i

_PV

σ

opt

i

φ

i

.Les oe ients

σ

i

opt

peuventêtreobtenusdedeuxmanières:  Enminimisant l'é art entre le hampéléments nis etle hamplissé ausens des

moindres arrés sur toute la stru ture. Cela onduit à résoudre un système de

taille

N

ˆ N

.

 En al ulant lamoyenne des ontraintes éléments nissur

B

˜

´2

_i

.

Dans la se onde méthode [144, 145, 146℄, la propriété de super onvegen e de ertains points du maillage est exploitée. Il s'agit alors de her her, sur haque star-pat h du

maillage, une fon tion polynomiale qui minimise l'é art au sens des moindres arrés

ave lasolutionélémentsnis en utilisant lespoints desuper onvergen e ommepoints

d'é hantillonnage. En ee tuant une moyenne surl'ensemble desstar-pat hes, nous

al- ulonsle oe ient

σ

i

opt

sur haquen÷udietle hamplissés'é rit

σopt

“

ř

i

PV

σ

i

opt

φi

.De nombreuses variantes ont été proposées autour de es méthodes. Fa ilement

implémen-tables, e sont les méthodes données dans la plupart des ode de al uls industriels.

Néanmoins, la perte du ara tère garantie de l'estimation (un indi ateur peut donner

uneborneinférieureousupérieuredel'erreurvraie)faitde esindi ateursdesoutilstrop

pauvrespour laquali ation d'unrésultat éléments nis.

1.2.3 Méthodes basées sur l'erreur en relation de omportement

Pour un ouple (

u

ˆ

,

σ

ˆ

) dont les hamps sont respe tivement inématiquement et statiquement admissibles, il est possible mesurer l'erreur ommise grâ e à l'erreur en

relation de omportement. La notion d'erreur en relation de omportement se base sur

la onsidération que l'équationdu omportement est lamoins abledes troiséquations

dénissantleproblèmedemé anique(lesdeuxautresétantl'admissibilité inématiqueet

l'équilibre).Cettemesuredel'erreur asso iéeauthéorèmedePrager-Synge [116℄estàla based'unefamilled'estimateursd'erreuraposteriori.Cesestimateursontététrèsétudiés

etrépondent auxquestionsposées par lavéri ation dansdes adres divers. Citons[85℄ pourl'élasti itélinéaire,[25℄pourl'extensionentroisdimensions,[82℄pourdesproblèmes d'évolution,[24,99,83,77,76℄pourdesproblèmesnon-linéaires( omportementplastique ou élasto-vis o-plastique), [92℄ pour des problèmes de onta t, [18℄ pour les problèmes sto hastiques.

Le théorème dePrager-Synge s'é rit :

~uex

´ ˆu~

2

Ω

` }σ

_ex

´ ˆσ}

_H´1,Ω

2

“ eCR

Ω

pˆu, ˆσq

2

ave

~x~

ω

“

dż

ω

`

ε

_{pxq : H : ε pxq}

˘

dΩ

Ainsi, sil'ondisposed'un ouplede hamps respe tivement inématiquement et

sta-tiquement admissibles, une majoration de l'erreur de dis rétisationde laforme

e

discr

ď e

CR

Ω

pˆu, ˆσq

(1.27) estobtenue.Le hampdedépla ementissudelarésolutionélémentsnisétant

inémati-quement admissible, il est possible de faire le hoix

u

ˆ

“ uH

. En revan he, puisque la solution éléments nis n'est pas la solution exa te, il est né essaire de re onstruire un

hampde ontraintes statiquement admissible. C'est là lepoint entral des estimateurs

baséssurl'erreurenrelationde omportement.Lare onstru tionde hampstatiquement

admissible est un enjeu à deux titres.Tout d'abord, il s'agit d'unpoint te hnique pour

lesquelleslesméthodesdisponiblesdanslalittératuresont omplexes. D'autrepart, 'est

de la qualité de e hamp que dépend la qualité de l'estimateur. Nous présentons les

méthodes permettant de re onstruire un hamp statiquement admissible à partir de la

solution éléments nis. A l'ex eption de l'appro he en ontrainte, nous omparerons les

performan esdeste hniquesdere onstru tionde hampsstatiquementadmissiblesdans

le hapitre 4,à l'o asiondelaprésentation de laméthodeque nousavons développée.

1.2.3.1 Appro he en ontrainte

Unepremièreméthodepermettantd'obtenirun hampde ontraintestatiquement

ad-missible onsisteàee tuerunerésolutionélémentsnisave uneappro heen ontrainte

duproblème deréféren e.Cette résolutionfournit un hampde ontraintestatiquement

admissibleetun hampdedépla ement dis ontinu.Ellené essitela onstru tion de

nou-veaux types d'éléments en eort. Citons [67, 65, 66℄ dans lesquels sont développés de tels éléments pour l'estimation d'erreur par analyse duale. Le développement est lourd

et omplexe mais permet de fournir des bornes garanties de l'erreur ommise grâ e à

l'erreur en relation de omportement.

1.2.3.2 Flux-free te hnique

Cette te hnique,introduitedans[107℄pour l'estimation d'erreursurunproblème de mé anique linéaire, apour point de départl'équation desrésidus:

@v P CA

0

pΩq

a

_pediscr

, v

_{q “ Lpvq ´ apuH}

, v

_{q “ R}

H

pvq

(1.28)

danslaquellenousutilisonslapropriétéde partition del'unité desfon tions deforme et

lalinéaritédes opérateurs

a

et

R

and'obtenir :

@v P CA

0

pΩq,

ÿ

N

PV

a

_pφ

N

_H

e

_discr

, v

_{q “}

ÿ

N

PV

RH

_pφ

N

_H

v

_q

(1.29)

Cela mènedon àun ensembledeproblèmes lo aux ha un posésurlestar-pat h

˜

B

´2

_N

(le supportde lafon tionde forme

φ

N

Trouver

e

N

P CA

0

p˜B

´2

N

_q

telque

@v P CA

0

p˜B

´2

N

_q

a

_pe

N

, v

_{q “ RH}

_pφ

N

_H

v

_q

(1.30)

An que e problème soit bien posé, il onvient de vérier que le se ond membre est

bien orthogonal au noyau de l'opérateur

a

, 'est-à-dire que pour tout mode rigide

u

s

P

CA

0

p˜B

´2

_N

_q

,

RH

_pφ

N

_H

u

_{sq “ 0}

(1.31) Cette ondition est généralement vériée à l'ex eption desrotations dans le as de

pro-blème ve toriel ave un degréd'interpolationdesfon tion de formeéléments niségal à

1.Pour pallier ettenon-véri ation,leproje teur

ΠH

quiprojettesurl'espa e

CA

0

H

pΩq

estintroduit etleproblèmelo alsurlestar-pat h estréé rit :

Trouver

e

N

P CA

0

p˜B

´2

N

_q

telque

@v P CA

0

p˜B

´2

N

_q

a

_pe

N

, v

_{q “ R}

H

pφ

N

H

pv ´ Π

H

v

qq

(1.32)

Alors,quel quesoit

u

s

P CA

0

p˜B

´2

_N

_q

,nousavons

R

H

pφ

N

H

pus

´ ΠH

u

sqq “ 0

. Leproblèmeestensuiterésolusurunespa e

CA

0

hp˜B

´2

_N

_q

plusri he que

CA

0

H

p˜B

´2

N

q

(fon tionsdeformededegréplusélevéoumaillagede

˜

B

´2

_N

etrésolutionparlesméthode

desélémentsnis).

L'évaluationduse ondmembrepeutêtre ompliquéedufaitquel'argumentdurésidu

n'appartient généralement pasàl'espa eélémentsnis.Dans[107℄,lesauteurssuggèrent d'utiliser le proje teur

Πh

sur l'espa e

CA

0

h

et de al uler

RH

pΠ

hφ

N

H

v

q

. En eet, en remarquant que :

@v P CA

0

h

R

H

pvq “ RH

pΠh

v

q “ RH

pΠh

ÿ

N

_PV

φ

N

_H

v

_{q “}

ÿ

N

_PV

R

H

pΠh

pφ

N

H

v

qq

(1.33)

onsimpliel'évaluationdutermepuisquel'onpeutle al ulerenfaisantleproduitterme

àterme de valeursnodales de

φ

N

H

par les valeursnodales de

v

.

Remarque1.1. L'astu epré édenteestégalementvalabledansle asoùl'ondoitutiliser

leproje teur , 'est-à-dire dans le al ul de

R

H

pφ

N

H

pv ´ ΠH

v

qq

.

Dans [26℄ sur un problème d'élasti ité et dans [108℄ pour l'équation de Poisson, les problèmeslo auxsontrésolusparuneappro heduale(réalisableenpratiquesile

harge-mentvolumique n'estpastrop omplexe). Dans[100℄,lapropriétédepartitiondenullité vériéeparlesdérivéesdesfon tionsdeformeestexploitée equipermetdesystématiser

larésolution desproblèmes lo aux.

Enn, le hampstatiquement admissible estre onstruit delafaçon suivante:

ˆ

σ

|E

“ pHε puH

qq

|E

` pHε

˜

p

ÿ

N

PV

e

N

_q

¸

q

|E

(1.34)

1.2.3.3 Element Equilibration Te hnique (EET)

Cette te hnique aété présentéedans [80℄pour lapremière fois.La présentation que nousfaisonsest assez originale etinspiréede larevisitation ee tuéedans le hapitre 4. La te hnique onsisteà her herun hampde ontrainte

σ

ˆ

vériant larelation suivante, appelée ondition de prolongement forte :

@T P T , @v P CAH

pΩq,

ż

T

pˆσ ´ σ

H

q : ε pvq dΩ “ 0

(1.35)

Nous imposons don que le hampre onstruit développe le même travail que le hamp

σ

_H

issu du al ulélément ni.

La re onstru tion d'un hamp statiquement admissible sedé ompose alors en deux

étapes:

 Danslapremièreétape,pour haquearête,un hampd'inter-eort

F

ˆ

Γ

satisfaisant

l'équilibre entre élément (prin ipe d'a tionréa tion) et la onditionde

prolonge-ment forte estdéterminé.

 Danslase ondeétape, esinter-eortssontutilisés omme onditiondeNeumann

pour la résolution d'unproblème lo alpar élément. Le hamp global obtenu est

alors statiquement admissible puisqueleséquations d'équilibre sont respe tées.

Sur haque arête

Γ

,ilfaut don onstruire destra tions

ˆ

F

Γ

satisfaisant la ondition de prolongement forte.

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

ˆ

σ

_T

_{¨ n}

Γ

_{“ δ}

Γ

_T

F

ˆ

Γ

,

_{@T P T , @Γ P BT}

ˆ

F

Γ

_{“ g}

sur

Bg

Ω

H

0

_“

ż

T

pˆσ

T

´ σ

H

q : ε pvq dΩ, @v P CA

H

,

(1.36) Le oe ient

δ

Γ

T

“ ˘1

est utilisé pour assurer le prin ipe d'a tion-réa tion de deux éléments voisins

#

@Γ P BΩ

H

, T

“ B

´1

Γ, δ

T

Γ

“ 1

@Γ P EzBΩ

H

,

tT, T

1

u “ B

´1

Γ, δ

T

Γ

` δ

Γ

T

1

“ 0

(1.37)

Puisque lesmouvementsde orpsrigidesappartiennentà l'espa e

CAH

pΩq

,la ondi-tion de prolongement forte implique l'équilibre des éléments vis-à-vis des orps rigides.

L'alternative de Fredholmest vériée et

σ

ˆ

est biendéni.

Endéveloppantla onditiondeprolongementetenutilisantl'équilibreélémentsnis:

@T P T ,

ÿ

Γ

_PBT

δ

_T

Γ

ż

Γ

ˆ

F

Γ

_{¨ vdΓ “}

ż

T

pσ

H

: ε

_{pvq ´ f ¨ vqdΩ “:}

R

˝

T

pvq

(1.38)

Dans la version originale de la EET [80℄, haque tra tion

F

ˆ

Γ

est supposée linéaire.

L'équation 1.38estalorstestéesur haquefon tionde formeanquel'évaluationsoit li-mitéeàleursupport.Cenesontdon plusdestra tionssurlesarêtesquisontre her hées

maisdestravaux. Leve teur

W

ˆ

Γ

N

estdénipar :

ˆ

W

Γ

_N

_“

ż

Γ

˜

ˆ

F

Γ

_{¨ ex}

φ

N

_H

ˆ

F

Γ

_{¨ ey}

φ

N

_H

¸

dΓ

(1.39)

La ondition deprolongement forteseréé rit ommeun ensemblede systèmesde petite

tailledé ouplés.

Pour haque n÷udN

$

’

’

’

&

’

’

’

%

@T P ˜B

´2

N,

soit

BT X B

´1

_N

_{“ tΓ}

_{1, Γ2}

_u,

δ

Γ

1

T

W

ˆ

Γ

1

N

` δ

Γ

2

T

W

ˆ

Γ

2

N

“

¨

˝

˝

R

T

pφ

N

H

e

xq

˝

RT

_pφ

N

_H

e

_y

_q

˛

‚

(1.40)

Lesystème i-dessusnefaitintervenirquelesin onnues

p ˆ

W

Γ

_i

N

q

i

asso iéesaun÷udN. Chaque dire tion de l'espa e peut être traitée indépendamment. La nature du système

dépend de lapositiondu n÷ud:

 Pour les n÷udssitués sur

B

gΩ

,lesystèmepossède uneunique solution

 Pourlesn÷udsinternesousituéssur

B

uΩ

,lesystème i-dessusestsous-déterminé. Une ontraintesupplémentaireestdon introduite.Un hoixpeutêtrede

minimi-serladistan e

D

N

entreletravail de lasolutionéléments niset elui du hamp statiquement admissible vis-à-vis delafon tion de forme

φN

:

D

N

“

ÿ

Γ

_PB

´1

_N

ˆż

Γ

p ˆ

F

Γ

_{´ F}

_H

Γ

_qφN

dS

˙

2

(1.41) où

F

Γ

H

désigne letravail le long de l'arête par lasolution élément nivis-à-vis de la fon tion deforme

φ

N

:

F

Γ

_H

_“

ÿ

T

_PB

´1

Γ

θ

_T

Γ

_pσ

H T

¨ n

Γ

T

q

W

_H

Γ

_pφ

_H

_{q “}

ÿ

T

_PB

´1

Γ

ż

Γ

θ

_T

Γ

_pσ

H T

¨ n

Γ

T

q ¨ φ

_H

dS

(1.42)

Une fois es systèmes résolus, ilfaut al uler les tra tions à partir des travaux

W

ˆ

Γ

N

. Enfaisant l'hypothèse que lestra tions sedé omposent surl'espa e éléments nis, ilne

reste alors qu'àinverser desmatri esde masse:

ˆ

F

Γ

_{“ ˆ}

F

Γ

_l

φ

_H

l

_{` ˆ}

F

Γ

_r

φ

r

_H

et

ˆş

Γ

φ

l

H

¨ φ

l

H

dS

ş

Γ

φ

r

H

¨ φ

l

H

dS

ş

Γ

φ

r

H

¨ φ

l

H

dS

ş

Γ

φ

r

H

¨ φ

r

H

dS

˙ ˜ ˆ

_F

Γ

l

ˆ

F

Γ

_r

¸

“

˜

ˆ

W

Γ

_l

ˆ

W

Γ

_r

¸

(1.43)

Une fois les tra tions

p ˆ

F

Γ

q

déterminées, elles- i sont appliquées omme onditions de Neumann pour haque élément. Pour des as simples de hargement volumique, le