Modélisation numérique de l'érosion dans les écoulements superficiels

HAL Id: dumas-00645955

https://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-00645955

Submitted on 3 Dec 2011

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Modélisation numérique de l’érosion dans les

écoulements superficiels

Marie Martin

To cite this version:

Marie Martin.

Modélisation numérique de l’érosion dans les écoulements superficiels.

Analyse

numérique [math.NA]. 2009. �dumas-00645955�

Option Cal ul S ientique

Modélisation numérique de l'érosion

dans les é oulements super iels

Auteur : MARTIN Marie

En adrants : O. Cerdan

P. So hala

Jetienstoutd'abordàremer iermontuteurOlivierCerdanpourm'avoirpermisd'ee tuer e

stageauseinduBRGM.Sespré isions,ses onseilsetsasympathieontrendu estageenri hissant.

Mes remer iementsvontégalementàPierreSo halapoursesexpli ations, sessuggestions,sa

pa-tien e etsagentillesse.

Je remer ieégalementmesprofesseursYvesCoudière etChristopheBerthon pourl'intérêt

parti- ulierqu'ilsontportéà estageetpourleurs ontributionsenproposantuns hémaderelaxation.

Ennjeremer ietous euxquiont ontribuéàfairede estageunmomentagréable.Jepensei i

en parti ulierauxmembresduBRGM OlivierBrivoisetEtienneDelvalléeainsiqu'aux membres

du MAPMO, les dis ussions lorsdes réunions METHODE du jeudi matin furent enri hissantes

et détendues. Je suis parti ulièrementre onnaissante àFrédéri Darboux pour les essais

expéri-mentauxmenésàl'INRA.Lemanquedetempsnem'a paspermisd'exploiterlesrésultatsde es

1 Introdu tion 3 1.1 PrésentationduBRGM . . . 3 1.2 Présentationdel'érosion . . . 4 1.2.1 Des riptiondel'érosion . . . 4 1.2.2 Pro essusdel'érosion . . . 5 1.2.3 Fa teursdel'érosion . . . 7

1.2.4 S hémaré apitulatifduproblèmegénéral . . . 8

1.3 EquationsdeSaintVenant . . . 8

1.4 Obje tifsdustage . . . 9

2 Choix des modèlesd'érosion 10 2.1 Modèles ouplésSaintVenant-Exner . . . 10

2.2 Loisdefermetures . . . 12

2.2.1 Loisdetransport . . . 13

2.2.2 Loisd'arra hementetdedépt . . . 14

3 S hémas numériques 17 3.1 Dis rétisationdusystème deSaintVenant. . . 17

3.2 Dis rétisationdel'équationd'Exner . . . 19

3.3 Couplage . . . 19

4 Cas-test 21 4.1 Validationave solutionanalytique . . . 21

4.2 Dunearasée . . . 24

4.3 Formationd'uneravine . . . 29

5 Con lusion 32

A S héma de relaxation 33

B Compléments Bibliographiques 36

1.1 Présentation du BRGM

Le BRGM (Bureau de Re her hesGéologiques et Minières) est l'établissement publi de

ré-féren e dans ledomaine des appli ations des s ien es dela terre pour gérerles ressour eset les

risquesdusolet dusous-sol.Crééen1959, 'estunétablissementPubli àCara tèreIndstrielet

Commer ial(EPIC)pla ésousladoubletutelleduministèredel'Enseignementsupérieuretdela

Re her heet duministère del'E ologie,de l'Energie,duDéveloppementdurableet de

l'Aména-gementduterritoire.Lesdeuxobje tifsmajeursduBRGMsont:

 omprendrelesphénomènesgéologiquesendéveloppantdesméthodologiesetdeste hniques

nouvelles,

 mettreàdispositiondespouvoirspubli sdesoutilsné essairesàlagestiondusol,dusous-sol

etdesressour esnaturels.

LeBRGM apourmissionlare her hes ientique,l'appuiauxpolitiquespubliques,la

oopé-ration internationale.

Lare her he s ientique sedéploiedanstroisdomaines:

 la onnaissan egéologique,la ompréhensionparl'observationetlamodélisationdes

pro es-susliésausoletausous-sol,

 lesdéveloppementsauservi edespolitiquespubliques,

 lestransferts versl'industrie.

L'appui aux politiques publiques regroupe l'ensemble des a tions d'expertise, de surveillan e

et d'études menées en soutien des politiques publiques. Cette mission s'exprime en inq types

d'a tions : l'observationdusolet du sous-sol,la apitalisationet ladiusion de la onnaissan e,

lesétudesméthodologiques,lafournitured'uneexpertisepubliqueindépendanteetlaformationet

letransfertdesavoir.

Pourla oopérationinternationale, leBRGM apporte sonsavoir-faireet sonexpertise en

par-ti ulierpourlesinfrastru turesgéologiques,la artographie,lesrisquesnaturels,lesressour es

minéralesetleseauxsouterraines.LeBRGMpour ettemissionaplusieursaxesd'intervention:la

ontributionàlapolitiquede oopérationfrançaise,l'appuiauxpolitiquesdel'Unioneuropéenne,

de la Banque Mondiale et des autres a teurs multilatéraux, le soutien aux politiques publiques

des États, lesprestations auxentreprisesdans les domainesdel'environnement, desmines et de

l'énergieet laparti ipationauxtravauxd'instan esgéologiquesinternationales.

Les étudesau seindu BRGM se répartissent selonles dix domainesthématiques suivant : la

géologie, les ressour es minérales, la géothermie, l'eau, l'après-mine, les sites et sols pollués et

la gestiondes dé hets,les systèmes d'information,lesrisques naturels,lesto kagegéologique du

𝐶𝑂

2

etlamétrologie.J'aiee tuémonstagedansleservi eRNSC(RisquesNaturelsetSto kage du

𝐶𝑂

2

) dont le but est d'anti iper et de prévenir es risques : séismes, éruptions vol aniques, impa ts des hangements limatiques, eondrements, glissements de terrain, érosion et/ou

sub-mersion tières, retraits-gonementsdesargiles, impa tsliés austo kagedu

𝐶𝑂

2

. Pour étudier les mé anismesde esaléasgéologiques, il est onçu et mis enoeuvre plusieursoutils: systèmes

de surveillan e, modèlesprédi tifs, artographiesdes aléas, basesde données, outilsd'évaluation

des risques.L'une des missions est de fourniraux dé ideurs des moyensde diagnosti et d'aide

à la dé isionpour l'aménagement des zones urbaines et du littoral, sur la base d'évaluations de

1.2.1 Des riptionde l'érosion

Le ruissellementet l'érosion dessols posent de multiples problèmes en termes de risques

na-turels ( oulées boueuses), de préservation de laqualité des eaux (potabilité) et des é osystèmes

aquatiques (turbidité, pollutions himiques) et de onservation des ressour esagronomiques

(di-minutiondes épaisseursde sol,pertesen nutriments).Danslapratique,il n'est pasenvisageable

de supprimertouslesélémentsàl'origineduruissellement.Ainsi,lesstratégiesdelutte ontre le

ruissellementetl'érosions'atta hentàinter epterlestransfertsàl'intérieurdesbassinsversantsen

faisantparexemplealternerlessurfa esruisselantesetlessurfa esinltranteslelongdes hemins

d'é oulement. Ces propositions d'aménagement né essitent une bonne onnaissan edes hemins

d'é oulement. Au sein d'un bassin versant plusieurs éléments ontrlentles dire tions de

trans-fert : la topographie, lessillons agri olesau sein des par elles, leslimites depar elles, les fossés

et leréseauhydrographique.S'ilest lairque leréseaud'é oulementrésulte del'intera tionentre

es diérentspro essus d'é hellesspatiales très diérentes, les modalités d'intera tion restenten

grande partieàexploreretpermettrontdemieux prédireleruissellementet l'érosion.

L'érosionest unensemble dephénomènes qui façonnent lereliefterrestre et dontlesfa teurs

sont le limat, la topographie, la physique et la himie de la surfa e,la ouverture végétale, la

naturede esvégétaux,l'histoirete toniqueetennl'a tiondel'homme.Ilexiste inqtypes

d'éro-sion:l'érosionhydraulique(gure5)estengendréeparleruissellementd'eaudûàlapluie,l'érosion

gla iaire (gure 1)provientdu mouvementdes gla iers,l'érosion éolienne (gure 2) façonne par

exemplelesdunes desdésertsgrâ eautransport dusableparlevent,l'érosion marine (gure3)

s'exer e sur les littoraux par l'a tion des vagues, des ourants et de la houle et enn l'érosion

anthropique (gure 4) résulte del'a tion de l'hommesur lerelief. Ce dernier typed'érosion

pro-vientdes ultures,desdiérentes onstru tionset delamodi ationdumilieunatureltellequela

déforestationoule ontrledes oursd'eau.

Figure1Chaînedemontagnessuisse Figure2DuneroseauNiger

dubassin versant(gures5et6). L'érosiondésignedésormaisl'érosion hydrauliquequi onstitue

unfa teurderisquesnaturels ommelemontrelesgures7et 8.

Figure5Par elleagri ole

Figure 6Bassin versant

Figure 7Couléedeboue enBelgique

Figure8RavineobservéeenNormandie

L'érosionagitàdiérentsrythmes suivantqu'ellesoit faible ouforte.Une faible érosionpeut

sur destempstrèslongslisserdesmontagnes, reuserdesvallées.Alorsqu'uneforte érosionpeut

transformer un paysage de façon quasi instantanée ou au moins très rapidement ave des

phé-nomènes naturels violents tel qu'une avalan he, des oulées de boues ou un tsunami. L'érosion

omportetroisphasesétroitementliées:l'arra hementoudéta hement,letransportdessédiments

et ledépt. Lesparagraphessuivantprésententles prin ipesdebase del'érosion hydrauliqueen

dénissantnotammentlestrois phases itéespré édemmentet lesparamètresqui inuentsur es

phases.

1.2.2 Pro essusde l'érosion

Ondénitdans ettese tionlesparamètresetlespro essusdel'érosionetnotammentsestrois

phases ara téristiques.

∙

Le déta hementdes sédiments

Ledéta hement ou l'arra hement dessédimentspeutêtreprovoquéparlagouttede pluievia

l'eet splash, leruissellement,levent, lahouleoulesoutilsde labours.I i nousnous intéressons

audéta hementparruissellementetpareetsplash.

Onpeutd'oresetdéjàremarquerquegénéralementledéta hementestspatiallisé.Sionprend

parexempleun oursd'eau,surl'amontl'arra hementseraprin ipalementlefaitdel'eetsplash

alors queplusenavalil seraprovoquéparl'é oulementdel'eau.Cettespatialisationdel'érosion

vient de la hauteur d'eau. En eet, pour que la pluie érode le sol il faut que la hauteur d'eau

paragraphesonexpliquenotamment es deuxtypesd'arra hement.

L'arra hement par leruissellement vientdufaitquelemouvementduuideentraîne les

sédi-mentsdufond.En eet,leruissellementreprésenteledépla ementdel'eauàlasurfa edusol.Il

dépend notammentdeplusieursfa teurs quisontlafor e tra tri e,l'érodibilitédusol,l'érosivité

duuide,latailledessédiments.Ilseproduit lorsquel'eausurunepentenes'inltrepas

omplè-tementdanslesoloun'estpasinter eptéepardesobsta lesnaturels.Leruissellementestsouvent

a rusil'inltrationest diminuéeparla ompa tion,laformationd'une roûteoulegel.

L'eetsplash est provoquéparlapluie.Iljoueunrle importantdansles pro essus

hydrolo-giquesetérosifs.L'impa tdesgouttesdepluieapoureetdebriserlesagrégats(sortedemotteou

de tasde sédiments)et dedisperser lesparti ulesdusol.Cet arra hementdépla e desparti ules

desolquipeuventreformerdenouveauxagrégats.Lesparti ulesainsidé omposéessontdéta hées

et éje tées par l'impa t des gouttesde pluie. Cet eet alieu prin ipalement lorsque la hauteur

d'eauestfaible arilfautquelesgouttesd'eauatteignentlesol.Ildépenddeplusieursfa teurset

notammentdesgouttesdepluie,del'érosivitédel'eau,delatailledessédimentsetdeleursfa ultés

àsedisperser 'est-à-direl'érodibilitédusol.Ildépend aussidel'intensité delapluie 'est-à-dire

quedespluiesplusfortes,dissipantplusd'énergie,serontné essairespourdépla erlesplusgrosses

parti ules desol.

Figure9impa td'unegouttedepluie Figure10l'érosionparl'eet splash

∙

Le transport des sédiments

Laplupart desmodèlesde des riptionet dequanti ationde l'érosiondessolsparl'eausont

issus de l'hydraulique uviale. On peut néanmoins noter que l'eet splash lors de l'impa t des

gouttes de pluies déta heles sédimentsmais les transporteégalement. Nousnous intéressonsi i

au transport dessédiments parruissellement.Dans des onditionsdefaibles pentes et defaibles

vitessesduuide,ondiéren iedeuxmodesdetransportsolidesuivantlatailledesparti ules:le

harriagepourlessédimentsdetaillesimportantesetlasupensionpourlesnesparti ulesdesol.

Dansuntransport par harriage, l'eetdesfor eshydrodynamiques exer éesparl'é oulement

setraduit surlesparti ules sédimentairesparunmouvementderoulement,oude glissementsur

le fonddu ours d'eau,ouen ore desaltation, 'est-à-direde su essionde petits sauts au ours

desquels les parti ules se séparent du lit durantde très ourtes périodes. Dans un transport par

suspension,lesparti ulesnespeuventêtremaintenuesdansle orpsdel'é oulementsurdelongues

distan es, sansreprendre onta tave lelit,notammentsousl'eetdes u tuationsverti alesde

lavitesse.Laséparationentre harriageetsuspensiondépenddelatailledesparti ules,maisaussi

∙

Le dépt des sédiments

Ledéptdessédiments onsisteàla hutedessédimentsquiontétéentraînésparl'é oulement

etquiretombentpourfaireànouveaupartiedusol.Enréalité,ilestplusdi iledeprédireledépt

desmatériauxtransportésparun oursd'eauquel'arra hementdulit.Néanmoins,lepro essusde

déptàunimpa ttoutaussiimportantsurlatopographiedusol.Eneet,lesolérodé,déposéau

basdes pentes, peutempê herouretarderl'émergen edelasemen e, enterrerlesjeunes pousses

et né essiterundeuxième semis dansles endroitsae tés. Lessédiments peuvent sedéposersur

lespropriétésenavaleto asionnerdesdommagesauxroutes[AWM

+

89℄.

1.2.3 Fa teurs de l'érosion

Onindiquei iplusieursfa teursquipeuventinuen erl'érosion:lafor etra tri e,l'érositivité

del'eau,l'érodibilitédusoletla ohésivitédesmatériauxle omposant.

La for e tra tri e est unparamètre de hoix dans l'étude dutransport du fond,elle s'exer e

surlefondparallèlementàlalignede hargedelarivièredufaitdelapousséehydrostatique.Elle

représente lafor e émiseparl'é oulementsur lefond.La for etra tri e ritique,

𝜏

𝐶

, est lafor e seuil demiseenmouvementdessédiments.

L'érodibilité traduit la apa ité de la résistan e d'un sol fa e à l'érosion. Elle dépend de la

nature du sol, de la longueur de la pente et de la densité du ouvert végétal. Ee tivement, le

risqued'érosionaugmentelorsquelesoln'aqu'unfaible ouvertvégétalouderésidus.Lesrésidus

etlavégétationprotègentlesoldel'impa tdesgouttesdepluieetdel'é laboussement,ilstendent

àralentirlavitessedel'eauderuissellementet permettentunemeilleureinltration.

L'érosivité orrespond à l'agressivité de l'eau sur la surfa e du sol. On parle d'érosivité

es-sentiellement pour l'eet splash.L'agressivitédes pluies dépend prin ipalement deleurs énergies

inétiques,quirésultentelles-mêmedeladistribution dudiamètredesgoutteset deleursvitesses

d'impa ts.Cesgrandeurssontétroitement orréléesàl'intensitédelapré ipitation.L'inuen edu

fa teur limatiquesur l'érosionhydrique neseréduit ependantpasuniquementàl'énergie

iné-tiquedespré ipitations,puisqueleurshistoriques onditionnentl'humiditédusolquipeutmodier

onsidérablementlespertesenterreso asionnéesparune averse[SMM07℄.

La ohésivité est la propriété quepossède une matière à onserversa stabilité parle jeu des

for es intérieures. Ainsi, des matériaux ohésifs sont aptes àse lier entre eux et à rester stable

Le s hémaré apitulatif de lagure 12regroupeles intera tionsentre lesdiérentspro essus

intervenant dans l'érosion. Les è hes en pointillés orrespondent aux phénomènes non pris en

ompte dans etteétude.

Pluie E oulement Erosion Géométrie Inltration Frottements Erodibilité (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

Figure12Intera tionsdespro essusàl'originedel'érosion.

Lapluie agit surl'é oulement(1)par unterme sour edansSaintVenantet sur l'érosion(2)

via l'eetsplash.Lesparamètresdefrottementetd'inltration(3)inuen entl'é oulementquiest

plusou moinsinuen é parlaprésen edela phasesolide(4). Le(5) est l'a tiondel'é oulement

sur la phase solide. Le (6) représente l'inuen e du paramètre d'érodibilité du matériau sur le

transportsolide,l'arra hementetle dépt. L'érosion hange lagéométrie (8) equi entraîneune

modi ationdel'é oulement(7)et unemodi ationdelaquantité dematériauxtransportés(9).

Parfois ettetransformationdanslagéométrie hangeletypedematériauérodé equiprovoqueune

modi ationdesparamètresdefrottementetd'inltration(10)ainsiquel'érodibilitédumatériau

(11). Ces pro essus dépendent de la nature des ou hesde sédiments qui onstituent le fondde

l'é oulementet deladuréeduphénomèneétudié.

1.3 Equations de SaintVenant

Leséquationsde SaintVenant,ouéquations eneaux peu profondes(shallowwaterequations

en anglais), publiées en 1871 sont d'unegrande importan e enhydraulique maritime et uviale.

EllessontobtenuesàpartirdeséquationsdeNavier-Stokesquenousrappelons:

⎧

⎨

⎩

𝑑𝑖𝑣(𝑢) = 0,

∂𝑢

∂𝑡

+ 𝑢 ⋅ ∇𝑢 = −

1

𝜌

∇𝑝 +

1

𝜌

𝑑𝑖𝑣(𝜎) + 𝑔 + 𝐹,

oùlesin onnuessontlapression

𝑝

etlavitesse

𝑢

.LepassagedusystèmedeNavierStokesà eluide SaintVenantné essite deshypothèses,des approximationset des règlesde al ul.Toutd'abord

lorsque la pente du fond est faible (typiquement moins de

10%

), il est pertinent de négliger la vitesse verti aledevant les omposanteshorizontales.Ensuite leséquationsde SaintVenantsont

obtenuesensupposantquelapressionesthydrostatiqueetenee tuantunemoyenne,enutilisant

⎧

⎨

⎩

∂

𝑡

ℎ + 𝑑𝑖𝑣(𝑞) = 𝑃 − 𝐼,

∂

𝑡

𝑞 + 𝑑𝑖𝑣

( 𝑞

2

ℎ

)

+ 𝑔ℎ∇ℎ = −𝑔ℎ (∇𝑧

𝑓

+ 𝑆

𝑓

) ,

oùlesin onnuessontlahauteurd'eau

ℎ

etledébit

𝑞

.Lestermessour essontl'intensitédelapluie

𝑃

,l'inltration

𝐼

,lesfrottements

𝑆

𝑓

et latopographie

𝑧

𝑓

.

Le passage auxéquationsde SaintVenantsupposeégalementl'imperméabilité dufond qui n'est

pas respe tée dans notre as ar on souhaite prendre en ompte la pluie et l'inltration, e qui

ajoutele terme

− (𝑃 − 𝐼)

𝑞

ℎ

2

dans l'équation de onservation de laquantité de mouvements. Ce terme n'est quasimentjamais pris en ompte, nous l'omettons don également dans lesmodèles

présentés.

1.4 Obje tifs du stage

L'érosionestunpro essus omplexefaisantintervenirdenombreuxfa teursetmettantenjeu

plusieurs paramètres. Avant de hoisir un modèle une étude bibliographique sur les diérentes

façons demodéliserl'érosions'avèrené essaire.

Le développement de méthodes numériques pré ises, stables et robustes est primordial pour

disposer de logi iels apables de représenter orre tement la physique. En eet, le système des

équations de SaintVenant estun problèmehyperboliqueappro hé pardenombreusesméthodes

numériques omme lesvolumesnis, less hémas derelaxationet les méthodesde Galerkin

Dis- ontinus. Des travaux pré édents au BRGM ont permis la onstitution d'un ode, implémenté

par Delestre [DCJD08℄ [DJ09℄ nommé FULLSWOF, utilisantla méthode des volumes nisave

re onstru tion hydrostatiqueproposéeparAudusse [Aud04℄ et unux numérique àl'ordre2.Ce

odeprend en omptela pluie,l'inltrationet lesfrottements. Lese ond obje tif de estage est

depoursuivreledéveloppementde e odeenintégrantleseetsdel'érosion.

Ainsi,lase tion2présentelesmodèlesquenousavonsidentiésetdesloisdefermetures

né es-sairesauxmodèles.Lapartiesuivante de e rapportprésente lesdiérentes méthodesnumériques

utiliséespourrésoudrelesystème deSaintVenant, ainsique ellepourl'équation liéeàl'érosion

et enn le ouplage qui les relie. Ce rapport se poursuit par la présentation de as-test qui ont

Cette deuxième partie synthétise les travaux bibliographiques ee tués dans le adre de e

stage. Nous présentons d'abord le modèle ouplé que nous proposons de résoudre ainsi que ses

variantes possiblesqui peuvent prendre en ompte la on entration des sédiments (en résolvant

une équationsupplémentaire),l'inuen edessédimentssur lesé oulementsàforte on entration

sédimentaire ainsi que les eets de la turbulen e. Nous détaillons ensuite les lois de fermetures

né essairesàlarésolution del'équationd'Exner.

2.1 Modèles ouplés SaintVenant - Exner

La modélisation de l'érosion repose sur l'équation d'Exner qui traduit la onservation de la

massedessédiments:

(1 − 𝜙)∂

𝑡

𝑧

𝑓

+ 𝑑𝑖𝑣(𝑞

𝑒

) = 0,

où

𝑧

𝑓

est lahauteur du fond,

𝜙

représente laporositédu sol qui est la fra tion de vide dans le sol et

𝑞

𝑒

désigne ledébit sédimentaire. Cetteéquation modélisel'évolutiondu fondet peut être naturellement ouplée aux équations de SaintVenant. En eet, l'érosion inuen e l'é oulement

super iel par le terme sour e topographique

∇𝑧

𝑓

tandis que l'é oulement super iel intervient dans l'érosion parla détermination dudébit de sédimentsqui dépend dela hauteurd'eau et/ou

delavitessedel'é oulement.Lesystème oupléquenousétudionss'é rit

⎧









⎨









⎩

∂

𝑡

ℎ + 𝑑𝑖𝑣(𝑞) = 𝑃 − 𝐼

sur

Ω × [0, 𝑇 ],

∂

𝑡

𝑞 + 𝑑𝑖𝑣

𝑞

2

ℎ

+ 𝑔ℎ∇ℎ = −𝑔ℎ (∇𝑧

𝑓

+ 𝑆

𝑓

)

sur

Ω × [0, 𝑇 ],

(1 − 𝜙)∂

𝑡

𝑧

𝑓

+ 𝑑𝑖𝑣(𝑞

𝑒

(𝑞, ℎ)) = 0

sur

Ω × [0, 𝑇 ],

où

Ω

représente la surfa e du fond. Ce sytème doit être omplété par des onditions initiales et aux limites qui seront pré iséespour haque as test. Une loisupplémentaire reliant le débit

sédimentaireestné essairepourfermerlemodèle.Cetypedeloiestprésentédansleparagraphe2.2.

Il est possible de diéren ier le transport par harriage

𝑞

𝑐

dutransport en suspension

𝑞

𝑠

. Cette modélisation bi ou he né essite la résolution d'une équation supplémentaire pour onnaître la

on entrationdessédimentsdansl'é oulement.Lesystèmed'équationss'é ritalors

⎧

















⎨

















⎩

∂

𝑡

ℎ + 𝑑𝑖𝑣(𝑞) = 𝑃 − 𝐼

sur

Ω × [0, 𝑇 ],

∂

𝑡

𝑞 + 𝑑𝑖𝑣

𝑞

2

ℎ

+ 𝑔ℎ∇ℎ = −𝑔ℎ (∇𝑧

𝑓

+ 𝑆

𝑓

)

sur

Ω × [0, 𝑇 ],

(1 − 𝜙)∂

𝑡

𝑧

𝑓

+ 𝑑𝑖𝑣(𝑞

𝑐

+ 𝑞

𝑠

(𝑐)) = 0

sur

Ω × [0, 𝑇 ],

∂

𝑡

𝑐 + 𝑑𝑖𝑣(𝑈 𝑐) =

1

ℎ

(𝐴 − 𝐷)

sur

Ω × [0, 𝑇 ].

où

𝑐

est la on entration sédimentaire moyenne du uide,

𝐴

et

𝐷

représentent respe tivement l'arra hementetledépt quisemanifestententrela ou hedesédimentsetl'é oulement.Comme

pourledébittotal

𝑞

𝑒

,lesdébits

𝑞

𝑐

et

𝑞

𝑠

ainsiquelesquantités

𝐴

et

𝐷

dépendentdes ara téristiques physiquesdusol(érodibilitéet ohésionparexemple) etdesvariableshydrodynamiques(hauteur

et vitesse).Quelques-unesde esloissontprésentéesdanslapartiedédiéeauxloisdefermetures.

Lesgures13et14illustrentlesdeuxmodèlesdé ritspré édemment.Lese ondmodèlesuppose

que les é hanges de sédiments ne s'ee tuent pas dire tement entre le fond et l'é oulement; la

Pluie

𝑃

Inltration

𝐼

ℎ

𝑧

𝑓

𝑞

𝑒

Frottemen ts

𝑆

𝑓

Figure 13ModèleSaintVenant-Exner

Pluie

𝑃

Inltration

𝐼

ℎ

𝑧

𝑓

𝐴 𝐷

𝑞

𝑐

𝑞

𝑠

Frottemen ts

𝑆

𝑓

Figure14ModèleSaintVenant-Exnerbi ou he

Nousavonssupposéque lessédimentsn'inuençaientpasdire tementl'é oulement, equi est

valablesila on entrationvolumiquedessédimentsdansleuideestinférieureà

10%

(Graf[Gra99℄). Cette hypothèse justiel'absen e de termes sour es dans les équations de SaintVenant omme

euxproposésparSimpsonetCastelltort [SC06℄pourla onservationdelamasse:

𝐴 − 𝐷

1 − 𝜙

,

et pourla onservationdelaquantitédemouvements:

𝜖Δ(ℎ𝑈 ) −

(𝜌

𝑠

_2𝜌

− 𝜌

𝑒

)

𝑔ℎ

2

∇𝑐 −

(𝜌

0

− 𝜌)(𝐴 − 𝐷)𝑈

𝜌(1 − 𝜙)

,

où

𝜖

estle oe ientdevis ositéturbulente,

𝜌

𝑠

et

𝜌

𝑒

sontrespe tivementladensitédessédiments et de l'eau,

𝜌

est la densitédu uide omposé dessédiments et de l'eau(

𝜌 = 𝜌

𝑒

(1 − 𝑐)

,

𝑐

est la on entration) et

𝜌

0

est la densité du fond saturé en sédiments (

𝜌

0

= 𝜌

𝑒

𝜙 + 𝜌

𝑠

(1 − 𝜙)

). Cette hypothèseselonlaquellel'eetdessédimentsestfaiblesurl'é oulementsous-entendaussil'égalité

entrelavitessedel'é oulementet elledessédimentsdansl'équationde on entration.Villaretet

Hervouet [VH06℄utilisentun hamp onve teurdiérentdelavitessedel'é oulement:

𝑈

𝑐𝑜𝑛𝑣

def

=

∫

𝑧

𝑠

𝑧

𝑓

𝑢𝑐𝑑𝑧

∫

𝑧

𝑠

𝑧

𝑓

𝑐𝑑𝑧

.

deRousesurles on entrations.Nousavonségalementomislestermesreprésentantleseetsdela

turbulen equipeuventêtreprisen ompteauniveaudel'é oulementparleterme

𝑑𝑖𝑣(𝛾

𝑡

∇𝑢)

dans l'équationdela onservationdelaquantitédemouvementsetauniveaudutransportdesédiments

par le terme

𝑑𝑖𝑣(𝛾

𝑡

∇𝑐)

dans l'équation de on entration. Ilest lair que l'é oulement peut être représentéparunmodèlediérent.Eneet,ilestpossibled'utiliserunmodèleplussimple omme

l'onde inématique (Laneet al[LSS℄) ouplus omplet ommeleséquationsde NavierStokes, e

qui fûtfaitparBen

𝑒

ˇ

setal[BTHB06℄.Danslemodèlebi ou he,onpeutdistinguerl'arra hement parleruissellementdel'arra hementparl'eetsplash ommelefaitNord[Nor06℄. Onpeutnoter

égalementl'existen edemodèlesatypiques omme eluiutilisépar Abd-el-MaleketHelal[eMH09℄

qui ajouteuneéquationdetransportdelatempérature(and'étudierlela MariutenEgypte).

Le tableau, non exhaustif, suivant ré apitulele travailbibliographiqeee tué : pour haque

mo-dèlesontindiquéslenomdesauteurs,lestermessour eséventuellementajoutésetlaréféren ede

l'arti le.

modèle Auteurs terme(s)sour e(s) REF

supplémentaires

F.BenkhaldounS.SahmimM.Seaïd * [BSS℄

M.J.Castrodiazetal [CDFNF08℄ B.Dewalsetal [DEA

+

08℄ SV L. S hippaS. Pavan [SP09℄ + P.K.Stansbyet al

𝑑𝑖𝑣(𝛾

𝑡

∇𝑢)

[SHA

+

09℄

Exner P. Roos S.Huls herH.DeVriend [RHdV08℄

X.LiuB.J.Landry M.H. Gar ia * [LLG08℄

D. M.KellyN. Dodd * [KD09℄

O.Devau helleetal [DJLZ08℄

J.Bennett

𝑑𝑖𝑣(𝛾

𝑡

∇𝑐)

[Ben74℄

S.FagherazziT.Sun [FS03℄

SV D. Prit hardA.J.Hogg [PH03℄

+ P.Gomi,P. Sergent,B.Zhang

𝑑𝑖𝑣(𝛾

𝑡

∇𝑐)

[GPZ04℄

Exner G.SimpsonS.Castelltort termes sour es ités [SC06℄

bi ou he C.VillaretJ.-M.Hervouet

𝑈

𝑐𝑜𝑛𝑣

,

𝑑𝑖𝑣(𝛾

𝑡

∇𝑐)

[VH06℄

G.Nord eetsplash [Nor06℄

M.GopalNaik,E.P.Raoet T.I.Eldho eetsplash [NRE09℄

*onaotédesmodèlesl'inltration,lapluieet lesfrottements.

2.2 Lois de fermetures

Pourrésoudre lesdiérents modèlesprésentés dansla se tionpré édente, onabesoinde lois

de fermetures.Onexposetout d'abordlesloisdetransport sédimentaire 'est-à-direlesloispour

𝑞

𝑒

,

𝑞

𝑐

et

𝑞

𝑠

.Ensuitenousindiquonslesloisd'arra hementetdedépt.Cesloisétantbiensouvent empiriques, ons'atta heàdonner les ontextesphysiquesd'appli ationsdeslois exposées.Etant

On peut d'ores et déjà indiquer que les lois ont bien souvent un seuil, à partir duquel les

pro essusd'érosionetdetransportdébutent.Autrementdit,lamiseenmouvementdessédiments

nesefaitquesous ertaines onditionsliéesàlavitesseduuideouàla ontraintedufond.

∙

Loisave seuil

Cettepremièreformuleave seuilpourletransporttotaldessédimentsestassezgénérale.Elle

né essite la onnaissan e de la ontrainte de isaillement au fond

𝜏

𝑏

ainsi que de la ontrainte ritique

𝜏

𝑐

quise al uleàpartirdela ontraintedeShields

𝜏

∗

𝑐

𝜏

𝑏

def

= 𝜌𝑢

2

,

𝜏

𝑐

= 𝜌

𝑒

(𝑠 − 1)𝑔𝑑

3

𝜏

𝑐

∗

et

𝜏

∗

𝑐

def

= 0.05(𝜌

𝑠

− 𝜌

𝑒

)𝑔𝑑

où

𝜌

𝑒

et

𝜌

𝑠

sontlesmassesvolumiquesdel'eauet dessédiments,

𝑔

estl'a élérationdelagravité,

𝑑

est lediamètre dessédimentset

𝑠

estlapente.La ontrainteadimensionnéedeShields

𝜏

∗

𝑐

aété

établiepourdespentesfaibles(inférieuresà

2%

)dansdes onditionsparti ulièresd'é oulementet degranulométrie(CastroDiazetal [CDFNF08℄).

𝑞

𝑒

=

⎧

⎨

⎩

𝜆

( 𝜏

𝑏

𝜏

𝑐

− 1

)

𝑛

si

𝜏

𝑏

> 𝜏

𝑐

,

0

sinon

.

Ilexistedenombreusesloispour hoisirlesparamètres

𝜆

,

𝑛

et

𝜏

𝑐

omme elledeDuBoys

(1879)

, de Meyer-Peter-Muller

(1948)

, de Van Rijn

(1984)

, de Luque et Van Beek

(1879)

et de Nielsen

(1992)

∙

Loissans seuil

Leslois sansseuil supposentque l'érosion ommen e dès queleuide semeten mouvement.

On atout d'abord une loiproposéepar Dewalset al [DEA

+

08℄, qui dépend dela hauteur

ℎ

du uide, de sa vitesse

𝑈

, et d'une onstante

𝛼

qui est un oe ientde proportionnalité déterminé parles onditionslimites ou onditionsdufond

𝑞

𝑒

= 𝛼ℎ𝑈.

Cetteloiestutiliséepouruneappli ationsurunaménagementhydroéle triqueenInde omprenant

un barrage et sa retenue d'eau et un bassin versant à ara tère montagneux. Il s'intéresse en

parti ulier audésensableurprévupourlimiterl'abrasiondelaturbineparlesmatériauxsolides.

La loide Grass dépend dela vitesse

𝑈

d'un oe ient

𝐴

𝑔

, qui est un paramètrein luant la taille desgrainsetlavis osité inématique,etd'unexposant

𝑚

quiest omprisentre0et3

𝑞

𝑒

= 𝐴

𝑔

∣𝑈∣

𝑚

𝑈.

Les oe ients

𝐴

𝑔

et

𝑚

peuventêtre hoisispourretrouver ertainesdesloisévoquées pré édem-ment(Meyer-Peter Muller, Nielsen,VanRijn et LuqueetVan Beek)pourlesquellesonaurapris

soin d'annuler le seuil. La loi proposée par de Vriend et al [RHdV08℄ pour des sédiments non

ohésifsest

𝑞

𝑒

= 𝛽∣𝑈∣

3

( 𝑈

∣𝑈∣

+ 𝜆∇𝑧

𝑓

)

.

En prenant

𝜆 = 0

eten utilisant

𝛽 =

𝛼ℎ

∣𝑈∣𝑈

et

𝛽 = 𝐴

𝑔

∣𝑈∣

𝑚−2

, nousretrouvonslesloisde Dewals

et Grass.

LaloiproposéeparBeginetal [BMS81℄,repriseparS hippaetPavan[SP09 ℄trouvesesappli ations

danslesruisseauxetdanslesvariationsrapidesduux.Elles'exprimeenfon tiond'unparamètre

expérimental

𝑘

etdu oe ientdefrottement

𝑆

𝑓

(déterminéparexempleparlarelationdeChézy ouManningStri kler)

𝑞

𝑒

= 𝑘𝑆

𝑓

.

∙

Diéren eentre harriageetsuspension

Certains omme Van Rijn [Rij84a℄ [Rij84b℄ ou Einstein [Ein50℄ hoisissent de diéren ier le

transportde sédimentspar harriage

𝑞

𝑐

de eluiparsuspension

𝑞

𝑠

. Ce typede loiss'utilise don pourlemodèlebi ou he.

Van Rijn [Rij84a℄ dé rit une loide harriagepar deux paramètres adimensionnels : le diamètre

adimensionnel

𝑑

∗

etunparamètredetransport

𝑇

dépendantdelavitessede isaillement(

𝑢

∗

)qui

est lavariationdeladéformationau ours dutempset delavitesse ritiquede isaillement(

𝑢

∗

𝑐

).

Ilaétabli etteformuleenpro édantàdesexpérimentationssurleterrainave desparti ulesde

0.2

et

2𝑚𝑚

.LarelationdeVan Rijn s'é rit

𝑞

𝑐

= 0.053

𝑇

2.1

𝑑

0.3

∗

√(𝑠 − 1)𝑔𝑑

3

ave

𝑇 =

(𝑢

∗

₎

2

_{− (𝑢}

∗

𝑐

)

2

(𝑢

∗

𝑐

)

2

,

où

𝑠 − 1

estladensitérelativedesparti ules.Ledébitdessédimentsensuspensionest

𝑞

𝑠

=

∫

𝑧

𝑠

𝑧

𝑓

𝑐𝑢𝑑𝑧.

Pour obtenir la on entration

𝑐

, on résout une équation de transport ou on utilise le prol de Rouse.Lavitessehorizontale

𝑢

estdonnéeparunprollogarithmique.

2.2.2 Loisd'arra hement etde dépt

Certainsmodèlesrequièrentdesloisreprésentantlesé hangesentrele fondet l'eaupour

l'ar-ra hementAetd'autrespourledépt D.

∙

Loisd'arra hement

Lesloisd'arra hementreprésententletauxdesédimentsquisedéta hentdusol.Leslois

d'ar-ra hementproposéesparSimpson etCastelltort [SC06℄ dièrentsuivantlanaturedessédiments,

pourlesmatériaux ohésifs

𝐴 =

{

𝛽

(

√

𝑢

2

_+𝑣

2

𝑢

𝑐

− 1

)

𝛾

si

√

𝑢

2

_{+ 𝑣}

2

_{≥ 𝑢}

𝑐

,

0

sinon

,

où

𝛽

estle oe ientd'entraînement,

𝑢

𝑐

lavitesseseuild'entraînementet

𝛾

unexposantquivaut approximativement1à2etpourlesmatériauxnon ohésifs

𝐴 =

⎧

⎨

⎩

160(1 − 𝑝)𝑑(𝜃 − 𝜃

𝑐

)𝑈

∞

𝑅

0.8

_𝜃

𝐶

_ℎ

si

𝜃 ≥ 𝜃

𝑐

,

0

sinon

,

où

𝜃

représenteleparamètredeShields,

𝜃

𝐶

lavaleur ritique d'entraînementet

𝑈

∞

lavitesseàla surfa elibre.

∙

Loisde dépt

LaloiutiliséeparKrone s'é rit

𝐷 =

{

𝑐𝜔

(

1 −

𝜏

𝑚𝑎𝑥

𝜏

𝑐

)

si

𝜏

𝑚𝑎𝑥

∕= 𝜏

𝑐

,

0

sinon

,

où

𝑐

est la on entrationdematièreensuspension,

𝜏

𝑚𝑎𝑥

lavaleurde isaillementmaximaleet la tension ritique

𝜏

𝑐

. Cetteloi ainsique lasuivante dépendent d'un paramètre

𝜔

qui est lavitesse de huted'uneparti uleeneau alme.

LaloiproposéeparSimpsonetCastelltort[SC06℄ sertnotammentàmodéliserl'érosionengendrée

parlaruptured'unbarrage

𝐷 = 𝜔(1 − 𝐶

𝑎

)

𝑚

𝐶

𝑎

,

où

𝐶

𝑎

estunparamètrequi représentela on entrationvolumétriquesédimentaireprèsdulit.

∙

Loispour letaux d'ara hement/dépt en simultané

Lese ond modèlepeutaussiêtre ferméparlesloisproposéesparFosteret al[FFN

+

95℄. Pour

lestauxd'arra hement/déptdusàl'é oulementlesloiss'é rivent

𝐴𝐷

𝑓

𝑒

=

{

𝜅

𝑟

(𝜏 − 𝜏

𝑠𝑜𝑙

)

(

1 −

𝑞

𝑠

𝑇

𝑐

)

(1 − 𝜖)

si

𝑞

𝑠

≤ 𝑇

𝑐

,

0

sinon

,

,

𝐴𝐷

𝑐

𝑒

=

{

𝜅

𝑟

(𝜏 − 𝜏

𝑠𝑜𝑙

)

(

1 −

𝑞

𝑠

𝑇

𝑐

)

𝜖

si

𝑞

𝑠

≤ 𝑇

𝑐

,

0

sinon

,

,

où

𝐴𝐷

𝑓

𝑒

est le taux d'arra hement/dépt du fond et

𝐴𝐷

𝑐

𝑒

est le taux d'arra hement/dépt de la ou henon ohésive.Les paramètresde es loissont la apa ité de transport sédimentairede

l'é oulement

𝑇

𝑐

et l'érodibilité du sol

𝜅

𝑟

. Les variables

𝜏

et

𝜏

𝑠𝑜𝑙

représentent les ontraintes de isaillementset

𝑞

𝑠

est ledébit solideunitairequi orrespondauproduit dudébit liquideunitaire dans la dire tion de l'é oulement parla on entration sédimentaireen suspension. Ces loisainsi

quelesdeuxpremièresdelase tionsuivanteontpourappli ationuneétudesurunepar elle.

∙

Loispour letaux d'arra hementdû à l'eet splash

L'eet splash est dû à la hute de gouttes de pluie sur le sol qui éje tent les sédiments à

l'endroitde l'impa t.Celaexpliquequelesloisproposéessontdesloisd'arra hementparlapluie

et non d'arra hement/dépt. On expose i i leslois utilisées parLi(1979)[Li79℄ ave

𝐴

𝑓

𝑝

le taux d'arra hementdufondet

𝐴

𝑐

𝑝

letauxd'arra hementdela ou henon ohésive

𝐴

𝑓

𝑝

= 𝛼𝑅

𝑝

(

1 −

_𝑧

ℎ

𝑚

)

(1 − 𝜖),

𝐴

𝑐

𝑝

= 𝛼

𝑑

𝑅

𝑝

(

1 −

_𝑧

ℎ

𝑚

)

𝜖.

Les paramètres de es lois sont le oe ient d'érodibilité de la matri e de sol dû au splash

𝛼

, le oe ientd'érodibilitéde la ou he non ohésivedûau splash

𝛼

𝑑

,laprofondeur maximalede pénétrationdelapluiedansl'é oulement

𝑧

𝑚

, l'intensitédelapluie

𝑅

,lepour entagedelamaille re ouverteparla ou hedesédimentsnon ohésifs

𝜖

etunexposant

𝑝

.

parWi ks etBathurst(1996)[WB96 ℄ est:

𝐴 = 𝜔𝐹

𝑊

𝐶

𝐹

𝑘

𝑟

𝐼

2

(2.96𝑆

0

0.79

+ 0.56)

,

où

𝜔

estun oe ientde alibration,

𝐹

𝑊

unfa teur orre tifdelahauteurdel'eau,

𝐶

𝐹

unfa teur degestiondesressour es,

𝑘

𝑟

unfa teurd'érodibilitédusol,

𝐼

l'intensitédelapluie et

𝑆

0

lapente dulit.Cetteloin'estpaspourunmodèlebi ou hedon iln'yai ipasdemodèlequi orrespond,

il faudrait pour eladénirun modèle1bis qui tiendrait ompte del'eet splash.Cette loiaété

Cettepartieest onsa réeàlaprésentationdess hémasnumériquesutilisés.Lapremièrese tion

rappellelesméthodesderésolutiondeséquationsde SaintVenant.Ladeuxièmese tion présente

la dis rétisation de l'équation d'Exner. Une méthode de splitting est hoisie pour oupler es

équations. L'équationde SaintVenantest d'abordrésolue, lahauteurd'eau

ℎ

et le débit

𝑞

issus de e al ulpermettentdedéterminerledébitsédimentairené essaireàlarésolutiondel'équation

d'Exner.

3.1 Dis rétisation du système de SaintVenant

Nousprésentonsi ibrièvementladis rétisationdusystèmedeSaintVenantimplémentéedans

le odede al ul utilisé pendant e stage.Nous indiquonssimplement lesux numériques et les

s hémas d'intégration en temps disponibles mais détaillons la re onstru tion hydrostatique qui

permet degarantirlesétatsd'équilibresaureposdénispar

ℎ + 𝑧

𝑓

= 𝐶

et

𝑞 = 0.

Ce systèmeest résoluave destermes sour esliés àlapluie

𝑃

, àl'inltration del'eau

𝐼

dans le soletauxfrottements

𝑆

𝑓

:

∂

_𝑡

𝑊

_{+ ∂}

_𝑥

𝐹

_{(𝑊 ) = 𝑇}

, où

𝑊

def

=

(

ℎ

𝑞

)

,

𝐹 (𝑊 )

def

=

⎛

⎝

𝑞

𝑞

2

ℎ

+

𝑔ℎ

2

2

⎞

⎠

et

𝑇

def

=

(

𝑃 − 𝐼

−𝑔ℎ∇𝑧

𝑓

− 𝑔ℎ𝑆

𝑓

)

.

Lesuxnumériquesd'ordre1disponiblessontleuxdeRusanovetleuxHLLquisontutilisés

ave les hémad'Eulerexpli ite.Lesuxnumériquesd'ordre2sontlesuxMUSCL,ENOetENO

modiéqui sontutilisésave les hémadeHeun(s hémadeRungeKuttad'ordre2).

Onpose

Ω

undomainebornéde

ℝ

2

qui représentelapar ellequel'onsouhaite étudieret

𝐺

𝔥

unegrille artésiennede

Ω

.Ondis rétise edomaine

Ω

en elulle

𝜏

𝑖,𝑗

detaille

𝑑𝑥 × 𝑑𝑦

enutilisant lesnotationssuivantes:

𝜏

_{𝑖−1,𝑗}

𝜏

𝑖,𝑗

𝜏

𝑖+1,𝑗

𝜏

𝑖,𝑗+1

𝜏

_{𝑖,𝑗−1}

𝑑𝑥

𝑑𝑦

Figure15Notationsutilisées

Ilestintéressantdepréserver ertainsétatsstationnaires( ommelesaquesd'eau)dusystème

de SaintVenant dans le adre de nos appli ations. La re onstru tion hydrostatique permet de

préserverlesétatsd'équilibresaureposdénisauniveaudis retpar

ℎ

𝑛+1

_𝑖,𝑗

+ 𝑧

𝑓,𝑖,𝑗

= 𝐶

et

𝑞

𝑛

entreles ellules

𝜏

𝑖,𝑗

et

𝜏

𝑖+1,𝑗

:

˜

ℎ

𝑖+

1

2

,𝑗

= ℎ

𝑖,𝑗

+ 𝑧

𝑓,𝑖,𝑗

− max(𝑧

𝑓,𝑖,𝑗

, 𝑧

𝑓,𝑖+1,𝑗

).

Pourgarantirlapositivitédelahauteurd'eau,onprendlapartiepositivede ette variable

ℎ

∗

𝑖+

1

2

,𝑗

= max(0, ˜

ℎ

𝑖+

1

2

,𝑗

).

Ledébit estégalementmodié delafaçonsuivante

𝑞

∗

𝑖+1,𝑗

= 𝑞

𝑖+

1

2

,𝑗

ℎ

𝑖+1,𝑗

ℎ

𝑖,𝑗

.

En utilisant es nouvellesvariables il est né essaire d'introduire le terme sour e dis ret suivant

pourobteniruns hémaéquilibré

𝐷 =

⎛

⎝

0

𝑔

2

(ℎ

∗2

𝑖+

1

2

,𝑗

− ℎ

∗2

𝑖,𝑗

)𝑛

𝑖,𝑗

.

⎞

⎠

Les hémadis ret ave re onstru tion hydrostatiques'é ritnalementdansle adredel'ordre1:

𝑊

_𝑖,𝑗

𝑛+1

= 𝑊

𝑛

𝑖,𝑗

−

Δ𝑡

∣𝜏

𝑖,𝑗

∣

(ℱ(𝑊

𝑛

𝑖,𝑗

, 𝑊

𝑖+1,𝑗

𝑛

) − ℱ(𝑊

_{𝑖−1,𝑗}

𝑛

, 𝑊

𝑖,𝑗

𝑛

) − 𝐷

)

où

ℱ

est leux numérique. Les onditionslimitessontimposéessurdes ellules tivessi onest àlafrontièredudomained'étude ommelemontrelagure16

𝑊

𝑔

𝑊

𝑑

𝑊

𝑏

𝑊

ℎ

Ω

Γ

𝑔

Γ

𝑑

Γ

𝑏

Γ

ℎ

Figure 16Notationspourles onditionsdebords.

Plusieurs onditionslimitespeuventêtreimposées,parexemplesur lebordgau he

 unesortielibreest onsidéréeenimposant

𝑊

𝑔

=

(

ℎ

1,𝑗

𝑞

1,𝑗

)

,

 unmurouux nulest onsidéréenimposant

𝑊

𝑔

=

(

ℎ

1,𝑗

−𝑞

1,𝑗

)

.

L'équationd'Exner ave unsoldeporositénulles'é rit :

∂

𝑡

𝑧

𝑓

+ 𝑑𝑖𝑣(𝑞

𝑒

) = 0.

Onintègrel'équationd'Exnersur haque ellule

𝜏

𝑖,𝑗

:

∀𝜏

𝑖,𝑗

∈ 𝐺

𝔥

,

∫

𝜏

𝑖,𝑗

∂𝑧

𝑓

∂𝑡

+

∫

𝜏

𝑖,𝑗

𝑑𝑖𝑣(𝑞

𝑒

) = 0.

En supposantquelatopographie

𝑧

𝑓

estsusammentrégulièreetd'aprèslethéorèmedela diver-gen eonobtient:

∀𝜏

𝑖,𝑗

∈ 𝐺

𝔥

,

∂

∂𝑡

∫

𝜏

𝑖,𝑗

𝑧

𝑓

+

∫

∂𝜏

𝑖,𝑗

𝑞

𝑒

⋅ 𝑛

𝑖,𝑗

= 0.

où

𝑛

𝑖,𝑗

estlanormaleunitairesortanteàla elulle

𝜏

𝑖,𝑗

.Iln'estpaspossiblederempla erdire tement

𝑧

𝑓

par

𝑧

𝑓,ℎ

dans ette équation ar

𝑧

𝑓,ℎ

n'estpasunivaluée sur lesinterfa es. Nousintroduisons dans l'intégraledebordunuxnumérique

𝑞

ˆ

𝑒

et é rivonsauniveaudis ret:

∀𝜏

𝑖,𝑗

∈ 𝐺

𝔥

,

∂

∂𝑡

∫

𝜏

𝑖,𝑗

𝑧

𝑓,ℎ

+

∫

∂𝜏

𝑖,𝑗

ˆ

𝑞

𝑒

⋅ 𝑛

𝑖,𝑗

= 0.

En utilisantuns hémad'Eulerexpli iteetendé omposantl'intégraledebordonobtient:

𝑧

𝑛+1

𝑓,ℎ,𝑖,𝑗

= 𝑧

𝑛

𝑓,ℎ,𝑖,𝑗

−

Δ𝑡

∣𝜏

𝑖,𝑗

∣

4

∑

𝑘=1

𝑙

𝑘

𝑞

ˆ

𝑒𝑘

⋅ 𝑛

𝑘

,

où

𝑧

𝑓,𝑖,𝑗

def

=

∫

𝜏

𝑖,𝑗

𝑧

𝑓,ℎ

.

La

𝑘 − `𝑒𝑚𝑒

arêteave

1 ≤ 𝑘 ≤ 4

dela elulle

𝜏

𝑖,𝑗

apournormaleextérieureunitaire

𝑛

𝑘

etlongueur

𝑙

𝑘

.Pourlasuite,on hoisitles onventionssuivantes:

𝜏

𝑖,𝑗

𝑛

1

𝑛

3

𝑛

2

𝑛

4

𝑛

1

def

=

(

−1

0

)

, 𝑛

2

def

=

(

0

−1

)

, 𝑛

3

def

=

(

1

0

)

, 𝑛

4

def

=

(

0

1

)

,

𝑙

1

= 𝑙

3

= 𝑑𝑦

et

𝑙

2

= 𝑙

4

= 𝑑𝑥

.

Pourleuxnumériquede

𝑞

ˆ

𝑒

onautiliséleux upwind:

ˆ

𝑞

𝑒𝑘

=

{

𝑞

𝑒

(𝑖𝑛)

⋅ 𝑛

𝑘

si

𝑢 ⋅ 𝑛

𝑘

≥ 0,

𝑞

𝑒

(𝑒𝑥𝑡)

⋅ 𝑛

𝑘

si

𝑢 ⋅ 𝑛

𝑘

< 0.

3.3 Couplage

L'organisationgénérale du odeest présentéedansl'algorithme i-après.Lesélémentsajoutés

auprogrammeinitial lorsde estagesonté ritsengras.Onpré isei iles hoixdisponiblespour

eprogramme.Pourlesfrottementsonale hoixentrelesloisdeManningetdeDar yWeisba h,

pourlaloid'érosiononpeut hoisirentrelaloiàseuil, elledeDawson, elledeDewalset ellede

Grass.Pourlesuxnumériques,onale hoixentrelesuxdeRusanovetHLLpourleséquations

de SaintVenant et les ux upwind et entré pour l'équation d'Exner. On pré ise que dans et

algorithmelepasdetempsestre al uléà haqueitérationpourrespe terla onditiondeCFLde

Entrées: CI :

ℎ

0

_{, 𝑈}

0

et

𝑧

0

𝑓

CL :

𝑊

𝑔

,

𝑊

𝑑

,

𝑊

𝑏

et

𝑊

ℎ

Loidefrottements Loi d'érosion

Fluxnumérique

ℱ

pouréquationsSaintVenant Flux numérique

ˆ

q

_e

pour équation d'Exner Tantque

𝑡𝑝𝑠 ≤ 𝑇 = 𝑡𝑝𝑠

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Faire

Cal ulde

𝑑𝑡

RésolutiondusystèmedeSaintVenant

Résolution de l'équation d'Exner

Visualisation des résultats

𝑡𝑝𝑠 ← 𝑡𝑝𝑠 + 𝑑𝑡

Fintant que

Sorties:

ℎ

𝑇

_{, 𝑈}

𝑇

et

𝑧

𝑇

𝑓

On s'est i i basé sur l'algorithme existant qu'on a omplété. On utilise i i lesmêmes pasde

temps et d'espa e pour SaintVenant et pour Exner, mais on pourrait hoisir des pasde temps

diérentssansdi ultésupplémentaire.Ilestimportantdenoterque e hoixdeprendrelesmêmes

pasdetempsetd'espa enousassuregénéralementdevérierlaCFLpourl'équationd'Exner.En

eet, ette ondition dépend du hoix de la loi de débit solide

𝑞

𝑒

et en parti ulier souvent du paramètred'érodibilité.Parexemple,pour

𝑞

𝑒

= 𝑘

𝑟

𝑈

la onditiondeCFLpourl'équationd'Exner est respe téepour:

𝑘

𝑟

Δ𝑡

Δ𝑥

≤ 1.

Onrapellequela onditiondeCFLpourlesystèmedeSaintVenantest:

𝑠𝑢𝑝(∣𝑢 −

√𝑔ℎ∣, ∣𝑢 + √𝑔ℎ∣)

_Δ𝑥

Δ𝑡

≤

1

₂

.

Or,on hoisitgénéralement:

𝑘

𝑟

<< 2𝑠𝑢𝑝(∣𝑢 −

√

On présente dans ette partie les diérentes simulations réalisées. Pour ommen er, un as

test analytique nousa permis de validerl'implémentation de l'équation d'Exner et de omparer

les hémadesplittingprésentéàlase tionpré édenteave uns hémaderelaxationdétaillédans

l'annexe A. Le as test suivant on erne l'arasement d'une dune dans le as d'un é oulement

unidire tionnel.Letroisième assimulela réationd'uneravinepouruné oulementbidimensionnel.

4.1 Validation ave solution analytique

Ce premier as test proposé par Kubatko et al [KWD06℄ possède une solution analytique et

permet de vérier l'implémentation de l'équation d'Exner indépendamment de la résolution des

équationsdeSaintVenant.Ils'agitdel'évolutiond'uneduneinitialementsymétrique,submergée

par l'eau,subissantuné oulement permanentunidire tionnel. Ledomained'étude

Ω

et la durée naledesimulationsont

Ω = [−10, 10]

et

𝑇 = 5𝑠.

Latopographieinitialeestdonnéeparlafon tion

∀𝑥 ∈ Ω,

𝑧

𝑓

(𝑥, 𝑡 = 0) = 1 + cos

(

𝜋𝑥

10

)

.

Lasolutionanalytiqueobtenueparlaméthodedes ara téristiquesest

𝑧

𝑓

(𝑥, 𝑡) = 1 + 𝑐𝑜𝑠

( 𝜋

10

(

𝑥 −

𝑡

(3 − 𝑧

𝑓

)

2

))

,

e quipermetd'obteniruneexpressionanalytiquedudébitsédimentaire

𝑞

𝑒

=

1

3 − 𝑧

𝑓

.

Lasurfa elibreestsupposée onstante

ℎ + 𝑧

𝑓

= 3.

ℎ + 𝑧

𝑓

= 3

𝑧

𝑓

(𝑥,

0) =

1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥

_/10)

Figure 17s hémadelasituation initiale

Lasolutionanalytiqueétantdénie impli itement,nousavonsutilisélaméthodedupointxe

pourla déterminer(la méthode deNewton Raphsonest inutilisable ar ladérivée s'annule).Les

graphiquesde lagure18montrentlatopographieinitialeet latopographieauxtemps

𝑡 = 2, 5𝑠

et

𝑡 = 4, 5𝑠

. L'é artentre lasolution analytique et lasolution numérique augmente au ours du temps.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

topographie

x

0 s

solution numerique

solution analytique

topographie initiale du sol

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

topographie

x

2.5 s

solution numerique

solution analytique

topographie initiale du sol

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

topographie

x

4.5 s

solution numerique

solution analytique

topographie initiale du sol

Figure18Castestanalytique à0s,2.5s et4.5s.

L'ordrede onvergen edus hémaaétévériéentraçantl'erreur

𝐿

2

_(Ω)

entrelasolutionanalytique

et lasolutionappro héeautempsnal enfon tiondupasd'espa e

𝑑ℎ

(ave

𝑑ℎ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

):

𝑒

𝐿

2

_(Ω)

= ∥𝑧

_𝑓

(⋅, 𝑇 ) − 𝑧

_𝑓,ℎ

(⋅, 𝑇 )∥

𝐿

2

_(Ω)

.

Legraphiquedelagure19représentelelogarithmedel'erreurenfon tiondulogarithmedupas

d'espa e

𝑑ℎ

enrouge,etladroitedepente

−1

envert.La ourbed'erreurobtenue onrmequele s hémautilisé estbiend'ordre1.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

log(normeL2)

log(dh)

convergence

Figure19Erreurobtenueparrapportàlasolutionanalytique

Pour e astest,nousavonségalement omparélaméthodedesplittingaus hémaderelaxation

présentéenannexedontlesparamètressont

𝑎

,

𝑏

et lepasdetemps

𝑑𝑡

:

𝑎 = 0.25,

𝑏 = 1 𝑒𝑡

𝑑𝑡 = 0.01𝑠.

Le hoixduparamètre

𝑎

n'apasd'importan e ariln'intervientquedanslarésolutiondeséquations de SaintVenantqui nesontpasrésoluesi i.Le graphiquede lagure20montreledépla ement

de ladune obtenueave le s hémade relaxationà

𝑡 = 4, 5𝑠

. Lasolutionobtenuenumériquement est pro hedelasolutionanalytique.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10

-5

0

5

10

topographie

x

4.5 s

solution numerique

solution analytique

topographie initiale

Figure 20Castestanalytiqueauboutde4.5s

Le graphedelagure21montre les ourbesd'erreursen fon tionde

𝑏

auxtemps

𝑡 = 4.5𝑠

.Pour la ourbed'erreuronapris lavaleurabsolue dela solutionanalytiquemoins lasolutiontrouvée

numériquement.

𝑒 = ∣𝑧

𝑓

− 𝑧

𝑓,ℎ

∣

On visualise lairementsur e graphique que plus

𝑏

est petit, plus lasolution donnée par le s hémaderelaxationest bonne.Onrappellequedansleshypothèsesdelaméthodederelaxation

on a supposé que

𝑏

est bien plus grand que 1 pour for er l'ordre des valeurs propres, e qui a pourobje tifdepréserverla onditionCFL.Onpeutégalementobserversur egraphiquequela

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-10

-5

0

5

10

erreur

x

t=4.5s

splitting

b=1

b=2

b=3

b=4

Figure21Comparaisondesméthodesderésolutionà4.5s

Comptetenudesrésultatsilseraitintéressant,lorsquelaméthodederelaxationprendraen ompte

lestermessour es,de omparer esdeuxméthodessurd'autres astest.Onselimiteradon pour

lemomentàutiliserlaméthodedesplitting.

4.2 Dune arasée

Cedeuxième astest onsisteàobserverl'évolutiond'unedunepositionnéesurunplanin liné.

L'obje tif est detester les héma de ouplagedansune onguration simple.Bienqu'il présente

un ara tère monodimensionnel nous avons réalisé e as test en onsidérant une topographie

bidimensionnelle. Ledomained'étude

Ω

et laduréenaledesimulationsont

Ω = [−10, 10] × [−1.5, 1.5]

et

𝑇 = 3000𝑠.

Ladune estreprésentéeparlafon tionsuivante

∀(𝑥, 𝑦) ∈ Ω,

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0.85 +

1

6

cos

(

𝜋𝑥

10

)

,

qui subitunerotationproduisantunepente d'environ

2%

:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ Ω,

𝑧

𝑓

(𝑥, 𝑦, 𝑡 = 0) = 𝑥 sin

( −𝜋

150

)

+ 𝑓 (𝑥, 𝑦) cos

( −𝜋

150

)

.

Cettetopographieinitialeestreprésentéesurlesgures22et23.

-10

-5

0

5

10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 s

topographie du sol

x

y

z

Figure 22Topographieinitiale.

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-10

-5

0

5

10

z

x

0 s

topographie du sol

topographie initiale du sol

∀(𝑥, 𝑦) ∈ Ω,

ℎ(𝑥, 𝑦, 0) = 0,

𝑈 (𝑥, 𝑦, 0) = 0,

et

𝑞

𝑒

(𝑥, 𝑦, 0) = 0.

Une hauteurd'eau

ℎ

𝑔

estimposéeprogressivementsurlebordgau hedudomaine

Ω

:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ Γ

𝑔

,

ℎ

𝑔

(𝑥, 𝑦, 𝑡) =

⎧

⎨

⎩

(1.3 − 𝑧

𝑓

(𝑥, 𝑦, 𝑡)

) 𝑡

20

si

𝑡 < 20,

1.3 − 𝑧

𝑓

(𝑥, 𝑦, 𝑡)

si

𝑡 ≥ 20.

Sur e bord la vitesse dans la dire tion de l'é oulement vérie la onservation de l'invariantde

Riemann

𝑢 − 2

√

𝑔ℎ

etlavitessetransversaleestnulle :

∀(𝑥, 𝑦) ∈ Γ

𝑔

,

𝑢

𝑔

(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 2

√

𝑔ℎ

𝑔

(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 2

√𝑔ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡)

et

𝑣

𝑔

(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 0.

Des onditionsd'imperméabilitéssontimposéessurlesbordshautetbasdudomaineetunesortie

libre estimposéesurleborddroitdudomaine.Ledébit sédimentairevérieuneloilinéaireenla

vitesselorsque leseuil

𝑢

𝑐

estdépassé:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ Ω,

𝑞

𝑒

(𝑢) = 𝑘

𝑟

(∣𝑢∣ − 𝑢

𝑐

)

+

.

où

𝑘

𝑟

= 1𝑐𝑚

estle oe ientd'érodibilitéet

𝑢

𝑐

= 0.6𝑚.𝑠

−1

est lavitesseseuil.

Lagure24montrequel'érosionseproduitdanslemêmesensque eluidel'é oulement.Eneet,

lesquartsdeplan

𝒫

1

def

= {(𝑥, 𝑦), 𝑞

𝑒

⋅ 𝑛 > 0

et

𝑢 < 0}

et

𝒫

2

def

= {(𝑥, 𝑦), 𝑞

𝑒

⋅ 𝑛 < 0

et

𝑢 > 0}

nefontpas partie del'ensembleadmissible delaloi hoisie.

𝑢

𝑞

𝑒

⋅ 𝑛

𝑢

𝑐

−𝑢

𝑐

𝒫

1

𝒫

2

Figure24Loisd'erosionave seuil

Comme etteloid'érosiondépendex lusivementdelavitesse,les onditionsauxlimites

on er-nant l'équation d'Exner proviennent de elles imposées dans le système de SaintVenant. Nous

pré isons qu'iln'y ani pluie niinltration et lesfrottementssont modélisésparlaloide Dar y

Weisba have un oe ientunitaire.Lepasd'espa eestsimilairedanslesdeuxdire tionsetvaut

10𝑐𝑚

.Pourlarésolutiondesé oulementssuper iels,laméthoded'ordre1ave leuxdeRusanov est hoisie.

∙

Résultatsave les paramètresinitiaux

La gure 25 représente la topographie à deux instants de la simulation. A

𝑡 = 160𝑠

, nous observons lairementdu déta hementsur l'intervalle

[−5, 5]

et du dépt surl'intervalle

[5, 10]

.A

𝑡 = 2000𝑠

,l'étatstationnaireestatteintpuisque latopographieestdevenueunplan in liné.

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-10

-5

0

5

10

z

x

160 s

hauteur d’eau

topographie du sol

topographie initiale du sol

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-10

-5

0

5

10

z

x

2000 s

hauteur d’eau

topographie du sol

topographie initiale du sol

Figure25Etatdeladuneà

𝑡 = 160𝑠

et

𝑡 = 2000𝑠

.

Onobservesurlegraphique26uneaugmentationprogressivedudébithydrauliquelorsdupassage

de la dune et ensuite on peut visualiser le débit uniforme après l'arasement totale de la dune.

L'augmentation de e débit s'explique par une augmentation de lahauteur ( f gure25) et une

augmentationdelavitesse.Apartirde

2000𝑠

ledébit est onstantpuisquel'état stationnaireest atteint.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

debit hydraulique

temps

hydrogramme

Figure26Hydrogramme

uniforme même lorsque la dune a omplètement disparu. Sur e sédimentogramme on voit que

le débit desédimentsà l'exutoireaugmentede manièreassezrégulière jusqu'àenviron

800𝑠

puis diminueetsestabiliseàundébit onstantàpartirde

2000𝑠

.L'alluredela ourbeestdueau hoix des paramètres, ona don dans la suite de e rapport fait varier es paramètres an d'observer

leursinuen essurledébitdesédimentsàl'exutoire.Lorsquelerégimestationnaireestatteint,la

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

debit sedimentaire

temps

sedimentogramme

Figure27Sédimentogramme

hauteuretlavitessesont onstantesdesortequeledébithydrauliqueetledébitsédimentairesoient

uniformes suivant ladire tionde l'é oulement ommelemontrentl'hydrogrammedelagure26

etlesédimentogrammedelagure27.La on entrationdesédimentsestdénie ommelerapport

entre es débits

𝑐 =

𝑞

𝑒

𝑞

.

Legraphiquedelagure28permetdevisualiser ette on entrationau oursdutempsetpermetde

vérierqueleseuilde10%n'estjamaisdépasséàl'exutoire.Commeonl'apré isédanslapremière

partieledépassementde eseuilimposeraitd'ajouteruntermesour epourlamassesédimentaire

dansl'équationde onservationdelamassedusystèmedeSaintVenant.Nousobservons lairement

sur egraphique,parune roissan e suivied'unedé roissan edela ourbe,lepassagedeladune

à l'exutoire.Nous pouvonségalementobserverquela on entrationatteint une valeurmaximale

de1.8%quiest largementinférieureauseuilde10%.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

concentration

temps

concentration sedimentaire du fluide

∙

Inuen e desparamètres

𝑘

𝑟

et

𝑢

𝑐

Nousnousintéressonsàprésentàlasensibilité desparamètres

𝑘

𝑟

et

𝑢

𝑐

delaloid'érosionsur le sédimentogramme.Legraphiquedelagure29permetde visualiserle sédimentogrammeave

diérents

𝑘

𝑟

. Ainsi,pour

𝑘

𝑟

= 5𝑐𝑚

nous pouvonsvoir lairementlepassage deladune pour.De plus pour e

𝑘

𝑟

l'établissement du régime stationnairese fait beau oup plus rapidement, e qui revientà direque plus

𝑘

𝑟

est grandplus ladune s'érodera rapidement et plus vite on atteindra le régime stationnaire. En d'autres termes,plus la résistan e du sol sera faible 'est-à-dire plus

l'érodibilitéde esolseraforte plusil yaurad'érosion.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

debit sedimentaire

temps

Comparaison sedimentogramme

Kr=0.05

Kr=0.01

Kr=0.005

Figure29Inuen e de

𝑘

𝑟

surlesédimentogramme

Demême onfaitvarier leparamètredelavaleurseuil

𝑢

𝑐

and'observerl'eet produit.Pour ela on a xé

𝑘

𝑟

à

1𝑐𝑚

. Pour la valeur seuil d'érosion, inversement à

𝑘

𝑟

, plus ette valeur est petite plus il y aura d'érosion. Tout en sa hant que si ette valeur seuil est plus grande que la

vitesse à haqueinstanten haqueendroit, alorsil n'y aura pas d'érosion.Par exemplei i si on

prend

𝑢

𝑐

= 0.8𝑚.𝑠

−1

alorsiln'y auraau uneérosion.Ilfaut remarquerqu'uneérosiontropforte

troprapidementproduiraune on entrationsédimentairesupérieureauseuilde

10%

.End'autres termes, si on hoisit

𝑘

𝑟

= 5𝑐𝑚

et

𝑢

𝑐

= 0.4𝑚.𝑠

−1

alorson dépasse ette valeur e qui impose de

hangerdemodèle.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

debit sedimentaire

temps

Comparaison sedimentogramme

uc=0.6

uc=0.5

uc=0.4