ATELIER : Analyse d’un exercice de géométrie de sixième
en terme de connaissances et capacités, et pistes de
différenciation.
Sylvie Casteldomps – Maryse Noguès
Résumé : L’exigence de la maîtrise du socle commun par tous les élèves et le respect de l’avancement des
programmes du collège rend peut être plus cruciale encore la question de l’analyse des compétences nécessaires à la résolution d’un problème et des pistes de différenciation possibles. Nous entendons ici compétences dans le sens des compétences du socle qui se déclinent en connaissances, capacités et attitudes.
L’atelier propose un exemple de travail possible à partir d’un « énoncé zéro », ayant pour thème une situation géométrique, niveau sixième-cinquième.
Les participants ont été invités à étudier cet énoncé du point de vue des compétences et différenciations possibles. Après une synthèse des réflexions, une présentation des expérimentations faites dans des classes de sixième et cinquième a été proposée.
I. Enoncé zéro
Nous travaillerons dans cet atelier en essayant de respecter le fil rouge de ces journées interacadémiques :
« Comment l’enseignant peut-il gérer dans sa classe l’exigence de la maîtrise du socle par tous les élèves et celle de l’avancement du programme ? »
La maîtrise du socle suppose l’acquisition de compétences qui se déclinent en connaissances, capacités et attitudes. Face aux difficultés prévisibles -ou non- de certains élèves des pistes de différenciation sont possibles, elles peuvent aussi répondre à des objectifs spécifiques d’apprentissage que fixe l’enseignant.
L’énoncé zéro, départ de notre travail est une situation géométrique du niveau sixième-cinquième. Dans un premier temps, et par groupe, nous vous proposons de compléter la fiche qui suit en référence aux éléments du socle pour commencer, puis en essayant de déterminer les difficultés prévisibles et en imaginant des pistes de différenciation susceptibles de prendre en compte ces difficultés.
Enoncé zéro
On a représenté une
figure constituée d’un
triangle équilatéral et d’un
carré.
Est-il possible de réaliser
une figure de cette sorte
dont le périmètre est 18
cm ?
Fiche à compléter
Connaissances Capacités Attitude
Difficultés prévisibles Pistes de différenciation
II. La synthèse des travaux des participants de l’atelier
Quatre groupes ont étudié l’énoncé zéro et complété la fiche. Nous reproduisons ci-dessous leur réponse.
Groupe 1 Connaissances - carré - triangle équilatéral - périmètre Capacités - opérations simples
- être capable de raisonner avec logique et rigueur
- s’appuyer sur des méthodes de travail - mettre au point une méthode de résolution
Attitude
- Raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver
Difficultés prévisibles
- vocabulaire : différencier triangle équilatéral et triangle isocèle - interprétation erronée de la figure
- ne pas argumenter et répondre oui ou non Pistes de différenciation
- coder la figure
- proposer un calcul avec des valeurs numériques données ou choisies (5 cm) par exemple - trouver plusieurs solutions (nombres décimaux)
- faire la figure Groupe 2
Connaissances
- propriétés élémentaires (carré, triangle)
- sens des opérations - calcul mental ou posé
Capacités
- pratiquer une démarche d’investigation (observer, faire des hypothèses, valider, modéliser)
Attitude
- sens de l’observation - mettre à l’essai plusieurs pistes de solution
- rechercher des informations, analyser, organiser
Difficultés prévisibles
- les élèves ne savent pas ce qu’est un triangle équilatéral - passage du cadre géométrique au cadre numérique
- si les élèves n’ont pas l’énoncé sur une feuille polycopiée, ils ne peuvent pas retrouver les propriétés en mesurant
Pistes de différenciation - coder la figure
Groupe 3 Connaissances
- propriétés géométriques élémentaires des figures planes
- principales grandeurs
- nombres et calculs (nombres décimaux, quatre opérations et leurs sens)
Capacités
- identifier un problème et mettre à l’essai plusieurs pistes de solutions
- rechercher l’information utile, l’analyser, la trier.
Attitude - sens de l’observation - développer la persévérance Difficultés prévisibles
- vocabulaire, compréhension de l’énoncé, structure de la phrase « dont ». - changement du registre : du géométrique au numérique
- les implicites de la figure
- double contrainte : périmètre de deux figures Pistes de différenciation
- différencier l’énoncé en supprimant une contrainte : soit le périmètre, soit la figure - réduire l’énoncé en codant la figure.
Groupe 4 Connaissances
- propriétés géométriques élémentaires carré, triangle équilatéral
- périmètre
- effectuer une opération
Capacités
- effectuer des opérations
- identifier un problème et mettre au point une démarche
- mettre à l’essai plusieurs pistes de solutions - développer la persévérance Attitude - observer, expérimenter, argumenter Difficultés prévisibles
- considérer que le triangle et le carré ont des côtés de même longueur - implicite de l’énoncé (dont, cette)
- figure inhabituelle Pistes de différenciation
- questions supplémentaires pour inciter à tester des valeurs - coder la figure
- donner une contrainte supplémentaire
Les différents groupes s’accordent sur les objectifs de connaissances fixés au niveau sixième :
- propriétés élémentaires des figures planes en particulier du carré et du triangle équilatéral, en mentionnant des difficultés prévisibles quant à l’identification d’un triangle équilatéral. La différenciation proposée est en général le codage de la figure ;
- savoir ce qu’est le périmètre d’une figure, son aspect inhabituel ici : juxtaposition de deux figures pouvant prêter à confusion. Une proposition de différenciation consiste à abaisser le nombre de contraintes, mais ce n’est pas très clair et l’exercice garderait-il alors son intérêt ;
- savoir effectuer des opérations y compris avec des nombres décimaux, pas de pistes de différenciation proposée, semble-t-il, même si la proposition « faire réaliser la figure » peut permettre une vérification a postériori.
Les capacités qui peuvent être développées concernent essentiellement la mise au point d’une démarche d’investigation afin de pouvoir trouver des solutions. Les différenciations mentionnées proposent en général de tester des valeurs particulières
Au niveau de l’attitude, il s’agira surtout pour les élèves de savoir observer, expérimenter, argumenter et persévérer. Il n’y a pas de pistes pour essayer de développer cette attitude mais le temps très bref de l’atelier n’a pas permis d’explorer plus précisément cet aspect qui passe peut être par les modalités de passation qui peuvent être mises en place lors
des séances. On peut aussi noter la difficulté à classer certains éléments : « développer la persévérance : capacité ou attitude ?
III. Les expérimentations réalisées en classe de sixième et cinquième
A l’origine l’exercice est prévu pour la classe de cinquième et correspond à la partie de programme concernant les équations dont voici l’extrait ci-dessous.
Ainsi les objectifs principaux initialement prévus pour des 5ème sont :
• mise en place de la notion de variable (les mesures des côtés) ; • travail sur les équations sans procédure experte.
Le cadre géométrique du problème paraît être un élément favorable pour une entrée dans une recherche qui devra s’initier par des modalités spécifiques d’organisation des séances.
Par ailleurs, l’analyse à priori de l’exercice permet de mettre en évidence les connaissances, capacités, attitudes et difficultés prévisibles qui rejoignent celles relevées par les participants de l’atelier.
Connaissances
•Propriétés élémentaires d’une figure plane (triangle, carré) •Principales grandeurs (longueur)
•Calcul de la valeur d’une expression pour différentes valeurs de la variable
Capacités
•Calcul mental ou posé
•Effectuer des tracés à l’aide des instruments usuels
•S’engager dans un raisonnement, un calcul
Attitudes
•Esprit d’initiative et d’invention
Difficultés prévisibles
•Connaître la définition d’un triangle équilatéral et savoir l’utiliser •Savoir calculer le périmètre d’une figure
•S’engager dans un calcul
•Maîtriser les techniques de calcul
La reconnaissance des propriétés du triangle équilatéral nous paraît être une difficulté importante pour les élèves de ce niveau ainsi que l’entrée dans une démarche de recherche.
Version 1 Voici deux figures
et
1. Décris ces figures en précisant en quoi elles sont différentes et en quoi elles semblent ressemblantes.
2. Est-il possible de réaliser une figure du même genre dont le périmètre soit 18 cm ? Plusieurs ?
Pour chacune des solutions trouvées, écris les calculs nécessaires pour prouver que la réponse est juste.
Modalités
• Recherche individuelle sur feuille de la première question pour avoir une trace de l’activité de chaque élève : tous ont produit un texte cohérent.
• Suite du déroulement : mise en commun en classe entière puis recherche de la deuxième question en travail individuel.
• Engagement progressif des élèves au fur et à mesure que des réponses sont proposées (une phase de recherche individuelle d’au moins 5 minutes est laissée entre les différentes réponses)
Remarque : Quelle que soit la version testée, les élèves disposent d’une fiche d’énoncé individuelle.
Résultats
Seuls 3 élèves sur 25 ont évoqué le terme triangle équilatéral ou une description équivalente. La notion semble très peu disponible d’où la version suivante testée dans une autre classe de 5ème.
Après mise en commun et recherche individuelle quatre solutions sont obtenues, ainsi que des valeurs qui ne conviennent pas.
Version 2 Voici quatre dessins :
1) Décris ces dessins en précisant en quoi ils semblent ressemblants et en quoi ils sont différents.
2) On s’intéresse maintenant à des figures constituées de la manière
suivante par un triangle équilatéral et un carré.
a) Est-il possible de réaliser une figure de cette sorte et dont le périmètre est 18 cm ?
b) Plusieurs ?
c) Pour chacune des solutions trouvées, - écris les calculs nécessaires pour prouver que ta réponse est juste. - réalise une construction à partir d’un segment mesurant 18 cm.
d) Parmi les figures possibles, construis celle dont le carré et le triangle
équilatéral ont le même périmètre. Modalités
Les mêmes que précédemment. Résultats
Il y a 4 triangles : un triangle seulement isocèle, un « presque équilatéral » et deux équilatéraux. 8 élèves sur les 22 présents ont cette fois évoqué la notion de triangle équilatéral. Dans la deuxième partie, 7 solutions, dont certaines décimales, sont trouvées grâce à une réelle émulation. Il reste des élèves qui ne trouvent aucune solution.
Mesure du côté du triangle équilatéral en cm 3 2 5 4 2,4 3,6 1,2
Mesure du côté du carré en cm 2,25 3 0,75 1,5 2,7 1,8 3,6
Dessin 2 Dessin 1
Dessin 4 Dessin 3
L’appropriation de la notion de triangle équilatéral semble être une réelle difficulté pour les élèves pour entrer dans le problème, même si l’introduction de la première question, dans le cadre géométrique, est un moyen qui semble permettre à davantage d’élèves d’entrer dans une recherche. Une troisième version sera testée dans différentes classes de 6ème. Les objectifs initiaux changent et on se rapproche davantage de la connaissance
des propriétés des figures planes et d’une démarche d’investigation que de l’approche de la notion d’équation.
Version 3 Voici cinq dessins :
1) Décris ces dessins en précisant en quoi ils sont ressemblants et en quoi ils sont différents.
2) On s’intéresse maintenant à des figures constituées comme ci-dessous par un triangle équilatéral et un carré. a) Est-il possible de réaliser une figure de cette sorte et dont le périmètre est 18 cm ? Si tu trouves une solution,
- écris les calculs nécessaires pour prouver que ta réponse est juste.
- réalise une construction.
b) Peux-tu trouver d’autres solutions ? Si oui, réalise pour chacune le même travail que ci-dessus.
c) Parmi les figures possibles, construis à partir d’un segment mesurant 18 cm la figure dont le carré et le triangle équilatéral ont le même périmètre.
Dessin 1
Dessin 2
Dessin 4
Dans cette troisième version, la différence essentielle pour la première question est l’introduction d’un triangle scalène non rectangle. Pour la deuxième question, les demandes de justification et de construction sont faites au fur et à mesure que des solutions sont proposées.
Modalités
Les modalités de déroulement dans les classes sont différentes : les élèves recherchent individuellement la première question et comparent ensuite leurs réponses en petit groupe. La question 2 est ensuite donnée individuellement et progressivement aux élèves (a, puis b, puis c) au fur et à mesure de l’avancement de leur travail.
Résultats
- Les codages demandés par l’enseignant et réalisés en petit groupe, à l’issue de la première phase du travail, même s’ils peuvent paraître parfois surprenant, montrent que les élèves se sont appropriés la notion de triangle isocèle et équilatéral.
- Pour la deuxième question, on peut constater que plusieurs élèves partent de mesures faites sur le dessin. On note aussi des difficultés attendues de compréhension de la consigne. Pour les calculs avec les décimaux les difficultés prévues apparaissent : « 17 plus », sur une autre copie on note : 4,3 × 4 = 16,12. On pourra aussi relever sur les
- Après des tentatives de mesures infructueuses, une tentative qui aboutit, mais la question suivante est interprétée d’une façon imprévue : l’interprétation des termes « autres solutions » n’est pas aisée.
- Un élève produit une solution qui le conduit à un calcul avec des décimaux, la notion de fraction n’est pas mobilisable.
Des élèves sont aussi capables de construire des solutions complètes :
- A noter que certains élèves n’entrent toutefois pas dans une démarche de recherche pour la deuxième question. Une piste leur est alors proposée : effectuer des mesures sur les dessins de la question 1. En effet, les dessin 1 et 5 sont des solutions au problème. Toutefois cette piste révèle une autre difficulté puisque certains élèves se contentent de mesures au demi centimètre près qui ne permettent pas de conclure.
On pourrait ainsi peut être proposer pour des élèves de 6ème qui ne rentreraient pas
au début de la deuxième question et qui est en accord avec les recommandations du programme en ce qui concerne la notion de périmètre d’une figure (deuxième paragraphe des commentaires de la partie 4.1).
.
a) Parmi les dessins de la première question, certains correspondent à cette description. Pour ceux-là, tu vas comparer leurs périmètres sans rien mesurer en reportant pour chacun les longueurs de leurs côtés sur une demi-droite (tu peux utiliser ton compas) :
D’après les constructions que tu viens de faire, peux-tu classer les dessins initiaux selon leurs périmètres ? Si oui, classe-les.
b) Tu vas maintenant vérifier ta réponse à la question précédente. Pour cela mesure sur les dessins initiaux les longueurs utiles pour le calcul du périmètre et fais les calculs nécessaires. Cela confirme-t-il ce que tu as trouvé à la question précédente ?
Puis les questions de la fiche.
On ajoute ainsi plus nettement la compétence du socle : comprendre qu’une mesure est associée à une incertitude.
Pour conclure
A partir d’un énoncé qui peut sembler banal, une réflexion préalable sur les connaissances, les capacités, les attitudes visées ainsi que leur insertion dans le programme peut permettre de mettre en place divers énoncés, diverses modalités, les modalités d’organisation n’étant pas indifférentes à la différenciation. Ceci peut permettre aux élèves d’entrer plus facilement dans une démarche de recherche. Notons par ailleurs que l’exercice aurait pu faire l’objet d’un travail de différenciation en amont, ou trouver divers prolongements.
Prolongements possibles En cinquième :
On demande aux élèves qui ont déjà trouvé plusieurs solutions s’il est possible d’en trouver une pour laquelle le triangle et le carré ont des côtés de même longueur. On peut faire réaliser la construction avec du papier « à partager ».
En quatrième et troisième, on peut utiliser un tableur avec une méthode par essai-erreur : on se donne un côté du carré ou du triangle et on cherche l’autre en mettant au point un algorithme que l’on peut tester sur le tableur. On peut ainsi aborder le calcul littéral, le rôle des lettres et formuler explicitement comment obtenir des solutions. En troisième, on peut mettre en évidence la relation affine obtenue, la représentation graphique correspondante et le rôle particulier d’une des solutions lorsque les 7 côtés sont égaux.
Enfin, on pourrait aussi envisager en sixième ou cinquième de faire réaliser une figure résistant aux déformations avec un logiciel de géométrie dynamique (ou de la donner en
dernier recours) et de déterminer à l’aide des mesures qu’il est possible d’obtenir des solutions au problème.
