Méthodes hiérarchiques pour la conception optimale de forme d'antenne à réflecteur

HAL Id: inria-00316162

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forme d’antenne à réflecteur

Benoît Chaigne, Jean-Antoine Désidéri

To cite this version:

Benoît Chaigne, Jean-Antoine Désidéri. Méthodes hiérarchiques pour la conception optimale de forme

d’antenne à réflecteur. [Rapport de recherche] RR-6625, INRIA. 2008, pp.45. �inria-00316162v2�

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

N

0

2

4

9

-6

3

9

9

IS

R

N

IN

R

IA

/R

R

--6

6

2

5

--F

R

+

E

N

G

Thème NUM

Méthodes hiérarchiques pour la conception optimale

de forme d’antenne à réflecteur

Benoît Chaigne — Jean-Antoine Désidéri

N° 6625 — version 2

Centre de recherche INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée

2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex

Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65

BenoîtChaigne , Jean-Antoine Désidéri

ThèmeNUMSystèmesnumériques Équipe-ProjetOpale

Rapportdere her he n°6625version2versioninitialeSeptembre2008versionrévisée Septembre200848pages

Résumé:Ons'intéresseàunproblèmede on eptionoptimaledeformed'antenneàrée teur.On s'appuiesurunproblèmemodèlepurementgéométriquedere onstru tiondeformepourmontrer quelesalgorithmesde des ente se omportent ommedesanti-lisseurs.Ensuite, unalgorithme multiniveau de orre tion hautes fréquen es est développé an d'a élérer la onvergen e de méthodes lassiques. Les expérien es numériques montrent que ette méthode est plus e a e qu'une méthode de Gradient Conjugué mais moins qu'une méthode de Quasi-Newton pour les taillesdeproblème onsidérées(<50).

Mots- lés : optimisation de forme, problèmes inverses, algorithmeshiérar hiques, multigrille, éle tromagnétisme,antenneàrée teur

Abstra t: We onsider an optimal shape design problem of a ree tor antenna. We provide theoreti alresultsonasimplepurelygeometri alshapeoptimizationproblemtoshowthatdes ent algorithms anbeseenasanti-smoother.Then,ahighfrequen ymultilevel orre tionalgorithm isdevelopedinordertospeedupthe onvergen eof lassi almethods.Numeri alexperien esshow thatthismethodismoree ientthanaConjugateGradientmethodbutnotasgoodasa Quasi-Newtonalgorithmforthe onsideredproblemsizes(<50).

Key-words: shapeoptimization,inverseproblems,hierar hi almethods,multigrid, ele tromag-neti s,ree torantenna

Table des matières

1 Introdu tion 4

2 Généralitéssur le problèmedes moindres arrés linéaire 4

3 Problèmede meilleure approximation 5

3.1 Fon tionnelledeforme . . . 5

3.2 Fon tionnelleparamétrique . . . 6

3.3 Appli ationauxélémentsP1 . . . 6

3.4 Meilleureapproximationdansunespa epolynmial . . . 10

3.5 Étudeduspe tredeshessiensparamétriques . . . 12

3.5.1 Polynmes deBernstein . . . 13

3.5.2 Polynmes deLegendre . . . 15

3.5.3 Polynmes deT heby hev . . . 15

3.5.4 B-splines . . . 17

3.5.5 Inuen edeladimensionsurle onditionnementdelamatri ehessienne. . 19

3.6 Étudedela onvergen ed'uneméthodededes ente . . . 20

3.6.1 AlgorithmedeQuasi-Newton . . . 20

3.6.2 Des riptiondu as-test. . . 21

3.6.3 Pré isiondelasolutionà onvergen edel'algorithme . . . 21

3.6.4 Vitessede onvergen e . . . 23

3.6.5 Représentationdel'erreurabsolue . . . 24

3.7 Con lusionduproblèmedemeilleureapproximation . . . 24

4 Méthodes hiérar hiquesd'optimisation 28 4.1 Itérationlinéaireetalgorithmesdedes ente . . . 28

4.1.1 Généralités . . . 28

4.1.2 Pointdevuedel'optimisation. . . 29

4.2 Hiérar hisationdesespa esdere her he:opérateursdeprolongementetderestri tion 29 4.2.1 Paramétrisationsemboîtées,méthode

Y

. . . 30

4.2.2 Pré onditionnementparpermutation duspe tre,méthode

Z

. . . 31

4.2.3 Sous-espa espropres,méthode

Ω

. . . 31

4.3 Algorithmebigrilleidéal . . . 32

4.3.1 Multigrille lassique . . . 32

4.3.2 Multigrilleenoptimisation . . . 32

4.3.3 Rayonspe trale du y leidéal . . . 33

4.4 Algorithmemultigrille . . . 33

4.5 Résultatsnumériquessurleproblèmemodèle . . . 33

4.5.1 A élérationdela onvergen e . . . 35

4.5.2 Améliorationdelapré ision. . . 37

5 Appli ation à un problèmede onformationd'antenne 38 5.1 Introdu tionàla on eptionoptimaled'antenneàrée teur . . . 38

5.2 Étudeduspe tredeshessiensparamétriquesàlasolution . . . 39

5.3 Résultatsnumériques. . . 43

5.3.2 Problèmeinverseenpuissan e . . . 45

6 Con lusionet perspe tives 46

1 Introdu tion

Unproblèmed'optimisationdeforme onsisteà her herlaformequi,dansune lassedeformes admissibles,réalisel'optimumd'un ritèredéniapriori.Ce ritèrepeutdépendreexpli itement delaformeetéventuellementouex lusivementd'unevariabled'étatquiendépendimpli itement, par exemplepar lebiais d'une équation auxdérivées partielles (oùle domaine orrespond alors lassiquementàlaformeàoptimiser).

Silesformesadmissiblesexistentdansunespa ededimensioninnie,enpratique,l'espa ede re her heestréduitàunespa ededimensionnie(né essairementin lusdansla lassedesformes admissibles)envued'uneoptimisationnumérique.Touteformede etespa eestreprésentéedans unebase parunnombrenidevariablesappeléesparamètresde on eption(oud'optimisation). Ondistingueengénérallesappro hesCAD-free,non-paramétriques,qui onsidèrentla dis ré-tisation dudomaine àoptimiser omme ontrle (éléments dumaillage, éventuellementsupport de l'état),des appro hesparamétriques dontle ontrleest déniindépendammentdumaillage (représentationdeBézier,B-splines,pointsde ontrleFree-Formdeformation, et .[10,20℄).

L'appro he CAD-free onduit en général à l'optimisation d'un grand nombre de degrés de liberté (la taille du maillage étant potentiellement de l'ordre du million de n÷uds) tandis que l'appro heparamétriquen'optimisequequelquesdizainesdevariables, equi rendl'optimisation numérique moins oûteuse. Dans es diérentes ongurations(appro he paramétrique ou non, hoixdelabase deparamétrisation)onexaminela onvergen ed'unalgorithmededes ente.En parti ulier,on souhaitedéterminer sidans le ontexted'un problèmed'optimisation desystème gouvernéparuneEDP,onretrouvedespropriétésde onvergen eadéquatesàl'appli ationd'une stratégiehiérar hiquedetypemultigrille.

Pour ela nousnous intéressonsdansunpremiertemps àlaminimisationd'unesimple fon -tionnelle qui ne dépend que de la forme : nous traitons un problème lassique de meilleure ap-proximationd'unefon tionde

L

2

surunintervalleferméet borné

[a b]

dansunsous-espa e

F

de dimensionnie(se tion3). Ceproblème onduitàrésoudreunsystèmelinéaire

Ax = b

où

A

et

b

dépendent du hoixdes paramètresde on eption

x

. Onétudie le onditionnementet lespe tre de

A

ainsiquelavitessede onvergen e del'algorithmede des ente(il s'agitd'uneextension de l'étude[8℄).

Dansunse ondtemps,aprèsavoirmisenéviden elesfaiblessesde ertainesparamétrisations dupointdevuedelaqualitédela onvergen e(vitesseetpré ision),ons'intéresseàunalgorithme multiniveauandepalier esproblèmes(se tion4).Cettealgorithmes'inspiredestravaux[22℄.

Enn, on s'atta he à unproblème de on eption optimal d'antenne àrée teur (se tion 5). Commepourleproblèmepurementgéométriquedemeilleureapproximation,onétudielespe tre des hessiens paramétriques an d'obtenir des informations sur la raideur du système et sur la onvergen e. On ajoute i i une di ulté supplémentaire : la non-linéarité du gradient (i.e. la fon tionnellen'estpasquadratique).La onvexitén'estd'ailleurspasgarantie,pasplusque l'uni-modalité.Toutefois ons'aran hirade lamultimodalitéen hoisissantunpointdedépart assez pro he delasolution.

2 Généralités sur le problème des moindres arrés linéaire

Onrappellebrièvementleproblèmedesmoindres arréslinéaire(endimensionnie)qui s'ap-parente auproblèmedemeilleureapproximation(dimensioninnie).

Soit le système linéaire surdéterminé

Ax = b

,

A ∈ R

m×n

et

b ∈ R

m

tel que

m > n

. Il est rareque

b

appartienneàl'imagede

A

, unetelle équationn'adon généralementpasdesolution.

Alternativementon her heàminimiserlerésidu

Ax − b

ausensdesmoindres arrés,soit

min

x∈R

n

kAx − bk

2

pourlanormeeu lidienne.Parailleursonnoteque

kAx − bk

2

=

(Ax − b)

T

_{(Ax − b)}

=

x

T

A

T

Ax − 2x

T

A

T

b + b

T

b.

Leproblèmedesmoindres arrésrevientdon àminimiserlafon tion

J(x) =

1

2

x

T

A

T

Ax − x

T

A

T

b

dontle gradientest

G(x) = A

T

_{Ax − A}

T

_b

. Le minimum est atteint pour

x

telque

G(x) = 0 ⇔

A

T

Ax = A

T

b

.Ce minimumexisteet estuniquepuisque lamatri e

A

T

_A

estdénie positive.Les équationsdusystème

A

T

_{Ax = A}

T

_b

sontappeléeséquationsnormales. D'un point de vue numérique il est onnu que la matri e

A

T

_A

est généralement très mal onditionnée. Le système est rarement résolu sous ette forme. Similairement, dans les se tions qui suivent, on s'intéresse àun problème des moindres arrésdans le adre d'espa es fon tion-nels. On aboutitégalement àunsystème de type

Ax = b

àrésoudre pourlequel on étudiera le onditionnementde

A

.

3 Problème de meilleure approximation

Dans ettese tiononnote

H

0

l'espa edesfon tions

L

2

surl'intervalle

[a b]

tellesque

f (a) =

f (b) = 0

. Onmunit

H

0

duproduits alaireusuel dans

L

2

(f, g) =

Z

b

a

f (t)g(t)dt

(1) etdesanormeasso iée.

kf k =

p(f, f) =

Z

b

a

|f (t)|

2

dt

!

1/2

.

(2) 3.1 Fon tionnelle de forme

Soit

f

¯

une fon tionde

H

0

et

F

unsous-espa ede

H

0

. On her heàrésoudreleproblème de minimisationsuivant:

min

f ∈F

J (f ) =

1

2

f − ¯

f

2

=

1

2

Z

b

a





f (t) − ¯

f (t)





2

dt.

(3)

Bienévidemment,lafon tionnelledeforme

J

est ontinue,diérentiableetquadratique(don onvexe).Sadiérentielle

G

esttelle que

hG(f ), δf i = f − ¯

f , δf
=

Z

b

a

f (t) − ¯

f (t)
δf (t)dt,

∀δf ∈ H

0

(4) etsonhessien

H

hH(f )δf, δgi = (δf, δg) =

Z

b

a

δf (t)δg(t)dt,

∀δf, δg ∈ H

0

.

(5)

H

estbienindépendantde

f

,symétriqueet dénipositif(s.d.p.) ar

hH(f )δf, δf i = kδf k

2

3.2 Fon tionnelle paramétrique

L'appro heparamétrique onsisteàreprésenter la ourbedans unespa ede dimensionnie. Elles'exprimedon ommeune ombinaisonlinéaireniedefon tionsdebases.Soit

{f

k

}

n

k=0

une famillelibrede

H

0

. L'espa e

F = vect{. . . , f

k

, . . . }

est unsous-espa ede

H

0

de dimension

n + 1

(oudedegré

n

,pourunespa epolynmial).Par onstru tion,quelquesoit

f

appartenantà

F

il existe

x ∈ R

n+1

telque

f [x](t) =

n

X

k=0

x

k

f

k

(t).

(6)

Sioninje te ettereprésentationde

f

dans(3)onobtient

∀f ∈ F,

J (f ) =

1

2

Z

b

a











n

X

k=0

x

k

f

k

(t) − ¯

f (t)











2

dt.

Onappellefon tionnelleparamétriquel'appli ation

J

dénie sur

R

n+1

suivante

J(x) = J (f [x]) =

1

2

Z

b

a











n

X

k=0

x

k

f

k

(t) − ¯

f (t)











2

dt.

(7)

Onremarquebienquelaformedelafon tionnelleparamétrique(7),quiestlarestri tionà

F

de lafon tionnelledeforme(3),dépenddelabasedanslaquellelesfon tions

f

de

F

sontexprimées.

Legradient

G

de

J

est

G(x) =









..

.

hG(f [x]), f

k

i

..

.









,

(8) etlamatri ehessienne

H

H(x) =











..

.

· · ·

hH(f [x])f

k

, f

j

i











.

(9)

H

estindépendantde

x

delamêmemanièreque

H

estindépendantde

f

.Lafon tionnelle para-métriques'é ritplussimplement

J(x) =

1

2

x

T

_{Hx − b}

T

_{x + c}

(10) où

b

k

= ¯

f , f

k

et

c =

1

2

¯

f

2

.Onnote que

H

est biens.d.p. puisqu'ils'agitd'un asparti ulier de(5).La onditionné essaired'optimalité

G(x) = 0 ⇔ Hx − b = 0

impliquequeleproblème(3) revientàrésoudrelesystème

Hx = b

.Nous sommesdon amenésàétudierlamatri e hessienne

H

dontleséléments

h

kj

sontdonnéspar

h

kj

=

Z

b

a

f

k

(t)f

j

(t)dt

(11) pourlabase

{f

k

}

n

k=0

onsidérée.

3.3 Appli ation aux éléments P1

Dansunpremiertempson onsidèrelesélémentsP1 ommebasedereprésentationde

f

, sup-posée ontinueet linéaireparmor eaux.Cetteappro heest onsidérée ommenon-paramétrique

danslesensoùellenedénitpas

f

demanière ontinue:elletient omptedeladis rétisationdu support

[a b]

.

Parlasuiteon appelleparamétrisationtouteappro hequi onsiste àreprésenterune ourbe de manière ontinue à l'aide d'un nombre ni de paramètres (par exemple, une représentation deBézier).La dimensiondel'espa e paramétriqueest enséeêtretrès inférieure àlataillede la dis rétisation.

Remarque 1. on s'intéresse prin ipalement aux appro hes paramétriques, ette première étude apourbutdefournirunfondementthéorique auxse tionsquivontsuivre, essentiellement numé-riques.

Soit

T

h

unedis rétisationuniformede

[a b]

:

t

k

= a + kh

,

h =

b−a

N

,

k = 0, . . . , N

.Lesfon tions P1ouélémentsP1sur

T

h

(fon tions hapeaux,voirFigure 1)sontlesfon tionsdéniespar:

f

k

(t) =







t−t

k

₋₁

h

t ∈ [t

k−1

t

k

]

k > 0

tk+1

−t

h

t ∈ [t

k

t

k+1

]

k < N

0

t /

∈ [t

k−1

t

k+1

]

.

(12)

t

_N

t

_k+2

t

_k+1

t

_k

t

_k−1

t

_k−2

t

₀

0

f

f

_k−1

f

_k

f

_k+1

f

_N

t

f

1

...

...

...

...

Fig.1ÉlémentsP1

Lesupportlo aldesfon tions

f

k

impliquequelamatri e hessiennenotée

H

h

aunestru ture bande.I i 'estune matri etribandedontlesélémentssont:

h

jk

=











R

h

0

t

h

2

dt

=

h/3

j = k = 1, j = k = N

2

R

h

0

t

h

2

dt

=

2h/3

1 < j = k < N

R

h

0

t

h

1 −

t

h

dt =

h/6

j = k + 1, j = k − 1

.

(13) Onadon

H

h

=

h

6

A

ave

A =















2

1

1

4

1

. .. ... ...

1

4

1

1

2















∈ R

(N +1)×(N+1)

(14) ou

A =















4

1

1

4

1

. .. ... ...

1

4

1

1

4















∈ R

(N −1)×(N−1)

(15)

selonquel'on impose ounon des onditions auborddetype Diri hlet homogène(i.e. on ignore les fon tions

f

0

et

f

N

). On se pla e désormais dans e dernier as et on étudie le spe tre de

A = ΩΛΩ

T

.

Dans unpremiertemps on onstateque

A

est stri tementàdiagonaledominante.D'aprèsle théorèmede Gershgorinonsait que lesvaleurspropresde

A

sont telles que

σ(A) ⊂ [2 6]

et que par onséquentle onditionnement de

A

est borné par

κ

2

≤ 3

, quelle que soit la dimension du maillage

N

.

Soit

H

∆

lamatri eissuedeladis rétisationpardiéren esniessur

T

h

del'opérateurlapla ien

−∆

appliquéauxfon tionsnullesaubord:

H

∆

=

1

h

2

A

∆

=

1

h

2















2

−1

−1

2

−1

. .. ... ...

−1

2

−1

−1

2















∈ R

(N −1)×(N−1)

.

(16) Lespe trede

A

∆

= Ω

∆

Λ

∆

Ω

T

∆

est bien onnu(voir[7℄parexemple):

Ω

∆

=













S

1

· · ·

S

N −1













,

Λ

∆

=







µ

1

. ..

µ

N −1







,

µ

1

< · · · < µ

N −1

(17)

S

k

=











..

.

q

2

N

sin j

kπ

N

..

.











,

µ

k

= 2 − 2 cos

 kπ

N



.

(18)

On retrouve le résultats bien onnu du spe tre du lapla ien : les ve teurs propres sont les modesdeFourierdis retsur

T

h

(voirFigure2).Lefa teur

p2/N

estunfa teurdenormalisation desve teurspropres.Les valeurspropresles pluspetites sont asso iéesauxbasses fréquen eset les valeurspropreslesplusgrandes auxhautes fréquen es.Le produit d'un ve teur par

H

∆

(ou

A

∆

)ampliedon leshautesfréquen es.Parailleurs,quandlatailledeladis rétisationaugmente, puisquelapluspetitevaleurpropretendvers0etquelaplusgrandeestbornée,le onditionnement de

H

∆

tendversl'inni:lesystème

H

∆

x = b

devientdeplusenplusraide.

Ilestfa ilede onstaterque

A = 6I − A

∆

.

(19)

Ladé ompositionspe tralede

A

estdon intimementliéeà ellede

A

∆

:

Ω

=

Ω

∆

(20)

Λ

=

6I − Λ

∆

(21)

Les ve teurs propres sont les mêmes et l'ordre du spe tre est inversé. Plus pré isément, on a pré édemmentnoté

µ

k

les valeurspropres de

A

∆

(triées par ordre roissant)et on note

λ

k

les valeurspropresde

A

,soit

0 < µ

1

< · · · < µ

N −1

< 4

(22) et

λ

k

= 6 − µ

k

=⇒ 6 > λ

1

> · · · > λ

N −1

> 2

(23) (voirFigure3).

Remarque 2. Le spe tre est bienin lus dans l'intervalle prédit par lethéorème de Gershgorin. I i lesinégalitéssontstri tes, don

κ

2

(A) < 3

.

0

0.5

1

0

0.2

0.4

S

1

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

2

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

3

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

4

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

5

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

6

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

7

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

8

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

9

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

10

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

11

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

12

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

13

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

14

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

15

0

0.5

1

−0.4

−0.2

0

0.2

S

16

Fig.2Ve teurspropresde

A

∆

(

N = 17

)triés parordre roissantdeleurs valeurspropres(et parordre roissantdeleurfréquen e).

2

4

6

8

10

12

14

16

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Eigenvalues − Laplacian

(a)

σ

(A

∆

)

2

4

6

8

10

12

14

16

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Eigenvalues − Shape inverse problem − P1 parameterization

(b)

σ

(A)

Fig.3Valeurspropresde

A

∆

et de

A

.

Lerésultatprin ipal de etteétudeestde onstaterquedans le asduproblèmedemeilleure approximation,lesvaleurspropreslespluspetitessontasso iéesauxhautes fréquen es etles va-leurspropreslesplusgrandesauxbassesfréquen es.Leproduitd'unve teurpar

H

(ou

A

)amplie don lesbassesfréquen es.Deplusle onditionnementestborné: eproblèmeestnumériquement plussimpleàrésoudre.

L'équation de Poisson (

−∆f = b

) est le prototype du problème raide e a ement résolu par une méthode multigrille (MG). Le su ès de ette méthode repose sur deux ingrédients : (1) les modes de hautes fréquen es sont rapidement résolus (lissage); (2) les modes de basses fréquen essonttransféréessur une dis rétisationplusgrossière et deviennent ainsirelativement leshautesfréquen es(Corre tiondeGrilleGrossière).Globalement,lavitessede onvergen eest théoriquementindépendantedelatailleduproblème,et emalgrélemauvais onditionnementdu problèmeoriginelsurlagrillelaplusne.

Dansle adre d'un problèmed'optimisation deforme omme eluidu problèmedemeilleure approximation,lespe tren'estpasadaptéauxméthodesMGpuisquelesmodesrapidementrésolus sontlesmodesdebassesfréquen es(anti-lissage).Cependant, ommele onditionnementesttrès petit, onpeutsedemandersi une telle stratégieestpertinente. Gardonstoutefois entêteque le problème qui nousintéresseest l'optimisationd'un système gouvernéparune EDP. Iln'est pas garantiquedans e as,le onditionnementsoit égalementborné.

Par onséquent,sa hantpar ailleursque nousadoptons une appro he paramétrique,on sou-haite:(1)vérierquelastru turespe traleduproblèmedemeilleureapproximationest onservée dans le as paramétrique; (2)déterminer lespropriétésspe trales duproblèmephysiquean de savoirsiunestratégieMGest pertinente.

3.4 Meilleure approximation dans un espa e polynmial

Onrappelleunrésultatdemeilleureapproximationd'unefon tion

f

¯

de

H

0

dans l'espa edes polynmesdedegré

n

sur

[a b]

noté

P

n

.Toutd'abordonnoteque

P

n

estbienunsous-espa ede

H

0

puisque

[a b]

est bornéet fermé(etdontlesfon tionssontdon sommables). Unebaseorthogonalede

P

n

pourleproduit s alaire(1)estdonnéeàpartirdespolynmes de Legendre

P

k

quisontorthogonauxsurl'intervalle

[−1 1]

. Ona

Z

1

−1

P

k

(t)P

j

(t)dt =

2

2k + 1

δ

kj

(24)

où

δ

kj

est le symbole de Krone ker. Un simple hangement de variable sut pour obtenir les polynmesorthogonaux

p

k

sur

[a b]

:

p

k

(t) = P

k



2

t − a

b − a

− 1



,

t ∈ [a b],

(25) et

Z

b

a

p

k

(t)p

j

(t)dt = a

k

δ

kj

.

(26) ave

a

k

= kp

k

k

2

=

b−a

2k+1

.

Leproblèmedemeilleureapproximationdevienttrivialpuisquelamatri ehessienneàinverser

H

estdiagonaleave

h

kk

= a

k

.Les oe ientsduse ondmembre

b

k

= ( ¯

f , p

k

)

sontlaproje tion orthogonalede

f

¯

sur la base

p

k

et l'inversion orrespond àla normalisation par

a

k

= kp

k

k

2

de ha undes oe ientsdelaproje tion.

Le spe tre et le onditionnement de e système est évident puisque qu'il est diagonal. Les ve teurspropres(enterme deparamètresde on eption)sontlesve teursde labase anonique de

R

n+1

( onstituantl'identité),lesfon tionspropressontlesfon tions

p

k

, etlesvaleurspropres sontlesélémentsdiagonaux

a

k

.Le onditionnementde esystèmeestalors

κ

2

(H) =

a0

Dans ette paramétrisation, on retrouve déjà le résultat obtenu ave les éléments P1 : les fon tionspropres présententune stru ture os illante similaire aux modes de Fourier(le nombre d'os illationdumode

p

k

estégaleaudegré

k

dupolynme);pluslafréquen eestélevée, plusla valeurpropreasso iéeestpetite(voirFigures4et 5).

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

0

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

1

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

2

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

3

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

4

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

5

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

6

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

7

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

8

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

9

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

10

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

11

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

12

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

13

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

14

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

P

15

Fig.4Fon tionspropresdanslaparamétrisationdeLegendre(

n = 15

): esontlespolynmes deLegendreeux-mêmes.

0

5

10

15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Laparamétrisationa ependantdégradéle onditionnementquin'estplusborné.And'obtenir unematri e hessienneorthogonale(de onditionnement

κ

2

(H) = 1

)il sutde rendrelamatri e hessienne égaleàl'identité (une matri e orthogonaleet diagonale est né essairement l'identité). Pour ela il sut don denormaliser préalablementles

p

k

. Lasolution,

x = b

, est don donnée parlaproje tionorthogonalede

f

¯

surlabaseorthonormée

p

˜

k

=

pk

√

_ak

.

3.5 Étude du spe tre des hessiens paramétriques

Désormaisnous onsidérons les onditions aux limites

f (a) = f (b) = 0

. Pour une paramé-trisationdonnée, es deux ontraintesd'égalités'é rivent ommedes ontraintes linéairessur les paramètres

x

:

n

X

k=0

x

k

f

k

(a) = 0,

n

X

k=0

x

k

f

k

(b) = 0.

(27)

L'espa e de re her he admissiblea don

(n + 1) − 2 = n − 1

dimensions. On désigne par

Z ∈

R

(n+1)×(n−1)

une base orthogonale du noyau de l'espa e des ontraintes, 'est-à-dire une base orthogonaledel'espa eadmissible.La onditionné essaired'optimalités'é rit alors omme l'an-nulationdugradientprojetésurl'espa e admissible,soit

Z

T

_{G(x) = 0}

(voir[11℄). Ce qui revient àrésoudrelesystème

Z

T

_{HZx = Z}

T

_b

oùlamatri e

H

z

= Z

T

_HZ

estlehessien projeté.Puisque

¯

f ∈ H

0

ellesatisfaitles ontraintes;lese ondmembre

b

z

= Z

T

_b

dé ritdon lamêmefon tionque

b

maisdanslabase

Z

(

b = ZZ

T

_b

).

H

z

estévidemments.d.p.etadmetunedé ompositionspe trale

H

z

= ΩΛΩ

T

. On supposeraqueladé omposition est ordonnéesuivantles valeurspropres rois-santes

0 < λ

1

≤ λ

1

≤ · · · ≤ λ

n−1

.Lesve teurspropres

Ω = [ω

1

_{· · · ω}

n−1

_]

orrespondent ha unà unedire tiondel'espa eadmissibledanslabase

Z

.Lesve teurs

ω

˜

k

_{= Zω}

k

orrespondentdon à l'expressiondesve teurspropresde

H

z

dansl'espa edeparamétrisationd'origine.Ils dénissent lesfon tionspropressuivantes

˜

u

k

(t) =

n

X

j=0

˜

ω

k

j

f

j

(t),

k = 1 . . . n − 1.

(28)

Parailleursilest lairquelesve teurspropres

ω

k

sontarbitrairementnormaliséspuisquetout ve teur olinéaireàunve teurpropreest égalementunve teurpropreasso ié àla mêmevaleur propre. Ainsi on parle plutt de dire tion propre. Dans notre as on s'intéresse aux fon tions

˜

u

k

. Delamême manière,toute fon tionpropreest dénieàunfa teur près.On hoisitdon de représentersanspertedegénéralitélesfon tions

u

k

=

˜

u

k

k˜

u

k

k

_∞

olinéairesauxfon tions

˜

u

k

et tellesque

ku

k

k

∞

= 1

.

Onpeutmontrerqu'unalgorithmedegradientàpas onstant

τ

pourlaminimisationde(7)est équivalentàuneméthodedeJa obipourlarésolutionde

H

z

x = b

z

ave oe ientderelaxation

τ

(voirse tion4.1).Dansle adrede esalgorithmesitératifsilestintéressantd'observerlespe tre de

H

z

puisquelaquantité

τ (1 − λ

k

)

devientéquivalentau oe ientd'amortissementdel'erreur relativement au mode propre

u

k

(

τ

est le pas de des ente qui orrespond à un oe ient de sur/sous-relaxation).Ainsi,lesmodes orrespondantsauxpluspetitesvaleurspropres onvergent pluslentement.Nousparti ularisonsl'étudeauxparamétrisationssuivantes:

 polynmesdeBernstein(représentationdeBézier)

 polynmesdeLegendre(polynmesorthogonauxpourleproduit s alaire(1))  polynmesdeT heby hev

 B-splinesd'ordre4(fon tions àsupportlo al)

Remarque3.Lestroispremièresparamétrisationssonttoutesdesbasesdel'espa edespolynmes de degré

n

alorsquela dernière estune basede fon tionssplines, polynmes par mor eaux.

Danslesse tions 3.5.1à3.5.4 onreprésente lesmodes

u

k

ainsi quele spe tre

σ(H

z

) = {λ

k

}

pour ha une des paramétrisations.On onsidère

a = 0

,

b = 1

et

n = 9

(espa e admissible de dimension

8

).Àlase tion3.5.5on omparelenombrede onditionnementdesmatri eshessiennes issuesde ha unedesparamétrisationsenfon tiondenombrededegrésdeliberté(d.d.l.).

3.5.1 Polynmesde Bernstein

LespolynmesdeBernsteinsontdénissur

[0 1]

par

B

n

k

(t) = C

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

(29)

où

C

k

n

=

_k!(n−k)!

n!

sontles oe ientsbinomiaux(voirFigure6). Sur

[a b]

ondénit lesfon tions debase

b

k

n

(t) = B

n

k

 t − a

b − a



.

(30)

Lesélémentsdelamatri ehessiennesontdonnéspar[10℄

h

kj

=

Z

b

a

b

k

n

(t)b

j

n

(t)dt =

C

k

n

C

n

j

C

2n

k+j

b − a

2n + 1

.

(31) Seule

b

0

n

est non nulle en

t = a

et

b

n

n

non nulle en

t = b

. Les ontraintes (27) s'é rivent plus simplement

x

0

= 0,

x

n

= 0.

Onendéduitlehessienprojeté

H

z

dontonpeutdésormais al ulerlespe trenumériquement.On représentesurlesFigures7et 8lesmodespropreset lesvaleurspropres.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bernstein polynomials of degree 9

Fig.6PolynmesdeBernsteindedegré9

On onstatesanssurprise quelastru ture spe trale delamatri ehessiennemiseenéviden e ave lesélémentsP1et lespolynmesdeLegendreest onservée:

1. lesmodessontsimilairesàdesmodesdeFourier,

2. pluslafréquen edumodeestélevée, pluslavaleurpropreasso iéeestpetite.

Lamatri e est ependant trèsmal onditionnée :

κ

2

=

λn

₋₁

λ1

= 54141

(soit plusde

10

4

fois elui issudel'appro heP1,non-paramétrique).L'appro heparamétriqueestdon beau oupplusraide quel'appro heP1,bienquelenombredeparamètresde ontrlesoit pluspetit.

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig.7Modespropresduhessienprojetéordonnésparordre roissantdeleursvaleurspropres.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0

1

2

3

4

5

6

7

Eigenvalues -

κ

₂

=54141

3.5.2 Polynmesde Legendre

OnadéjàdénilespolynmesdeLegendreàlase tion3.4(voirFigure4)ainsiqueleséléments delamatri ehessienne.Comme

p

k

(a) = (−1)

k

et

p

k

(b) = 1

,les ontraintes d'égalités'é rivent

n

X

k=0

(−1)

k

x

k

= 0

n

X

k=0

x

k

= 0.

On al ulealorsnumériquementlespe treduhessienprojeté(voirFigures9et 10).

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig.9Modespropresduhessienprojetéordonnésparordre roissantdeleursvaleurspropres.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

1

2

3

4

5

6

7

Eigenvalues -

κ

₂

=14

Fig.10Spe treduhessienprojeté.

On observeégalementquelesmodesdehautefréquen esontasso iés auxvaleurspropresles plus petites. Le système est beau oup mieux onditionné que elui dans la paramétrisation de Bézier-Bernstein:

κ

2

= 14.06

.

3.5.3 Polynmesde T heby hev

LespolynmesdeT heby hevsontdénispar

Sur

[a b]

ondénitlesfon tionsdebase

t

k

(t) = T

k



2

t − a

b − a

− 1



,

t ∈ [a b]

(33)

(voirFigure11).CommepourlespolynmesdeLegendre,les ontraintess'é rivent

n

X

k=0

(−1)

k

x

k

= 0,

n

X

k=0

x

k

= 0.

Lesélémentsduhessiensont

h

kj

=

Z

b

a

t

k

(t)t

j

(t)dt =

(

b−a

2



1

1−(j+k)

2

+

1

1−(j−k)

2



j + k

pair

0

j + k

impair (34)

On al ulealorsnumériquementlespe treduhessienprojeté(voirFigures12et13).

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tchebychev polynomials of degree 9

Fig.11PolynmesdeT heby hevdedegré9

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig.12Modespropresduhessienprojetéordonnésparordre roissantdeleursvaleurspropres.

Touslesmodessontdehautefréquen ehormislemode orrespondantàlaplusgrandevaleur propre. Le nombre d'os illations semble dépendre de la parité du mode (7 alternan es de signe

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

1

2

3

4

5

6

7

Eigenvalues -

κ

₂

=4

Fig.13Spe treduhessienprojeté.

pourles modes impairs et 6 pour les modes pairs). Cependant plus la valeurpropre augmente, plusles os illationsdumode orrespondants'atténuentprès desbords.Le systèmeest très bien onditionné:

κ

2

= 3.75

.

3.5.4 B-splines

Lesfon tionsB-splines onstituentunebasedesfon tionspolynmesparmor eaux(fon tions splines).L'espa edere her hedière ainsidesautresparamétrisations(quidénissentunespa e polynmialsurtout l'intervalle

[a b]

).

Lesfon tionsB-splinessontdesfon tionsàsupportborné.Ellessontentièrementdéniespar ré urren eàpartirdesdonnéessuivantes :

 undegré

d

(ouordre

d + 1

);

 une suitede

m + 1

réelsnondé roissants

T = {t

k

}

m+1

k=1

appelésn÷uds (

T

est leve teurdes n÷uds).

Onnote

N

d

k

la

k

-èmefon tionB-splinededegré

d

.Lesfon tionsB-splinesdedegré0, onstantes parmor eaux,sont

N

k

0

(t) = χ

[tk

tk+1[

=



1

si t ∈ [t

k

t

k+1

[

0

sinon

.

(35) Onadon

m

fon tions

N

0

k

tellesque

Supp(N

k

0

) = [t

k

t

k+1

[.

Puis,pour

d > 0

et

1 ≤ k ≤ m − (d + 1)

,

N

d

k

est dénieparlaformulederé urren e

N

k

d

(t) = ω

d

k

(t)N

k

d−1

+ 1 − ω

d

k+1

(t)
N

k+1

d−1

(t)

(36)

ω

d

k

(t) =



t−t

k

tk+d

_−t

k

si t

k

6= t

k+d

0

sinon

.

(37)

Onadon

m − (d + 1)

fon tionstellesque

Supp(N

k

d

) = Supp(N

k

d−1

) ∪ Supp(N

k+1

d−1

) = [t

k

t

k+d+1

[.

Ainsi

n

fon tionsB-splinededegré

d

sontné essairementdéniesparunve teurde

m = n+d+1

n÷uds.

Remarque4. Sileve teurdesn÷udsest eluide ladis rétisation

T

h

etqueledegrédessplines est1(linéaireparmor eau)alors etteparamétrisationest équivalenteauxélémentsP1.

Larégularitédelafon tionauniveaud'unn÷udestdéterminéeparlamultipli itéde en÷ud: si

t

k

est répété

m

k

foisdans le ve teurde noeuds alors

N

d

k

estde lasse

C

d−m

k

en

t = t

k

.Dans notre asnoussouhaitonsunedis ontinuitéauxbornesdel'intervalle

[a b]

.Pour elaon onstruit unve teurdenoeudstelquelesvaleursextrêmessontrépétées

d + 1

fois:

a = t

1

= · · · = t

d+1

< t

d+2

< · · · < t

n+1

= · · · = t

n+d+1

= b.

(38) Nous hoisissonsarbitrairementdemanipulerdessplines ubiques(

d = 3

)desupportuniforme (

t

k+1

− t

k

=

b−a

n−2d

,

d + 1 ≤ k ≤ n

).Onreprésentedetelles fon tionsàlaFigure14pour

n = 10

(don

m = n + d + 1 = 14

).Dans e asles ontraintessur lesparamètresde ontrles'é rivent

x

0

= 0,

x

n

= 0.

On al ulenumériquementlehessienprojetéet sonspe tre(voirFigures 15et 16).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

uniform B-spline functions of degree 3

Fig.14B-splinesdedegré3(d'ordre4)

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig.15Modespropresduhessienprojetéordonnésparordre roissantdeleursvaleurspropres.

Les modes s'apparentent fortement à eux des polynmes de Bernstein. Le hessien est une matri e

(2d + 1)

-bandepourdessplinesdedegré

d

.Lesystèmeestbien onditionné:

κ

2

= 21

.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0

1

2

3

4

5

6

7

Eigenvalues -

κ

₂

=21

Fig.16Spe treduhessienprojeté.

3.5.5 Inuen ede la dimension sur le onditionnementde la matri ehessienne

Lanormematri ielleinduiteparlanormeve torielle

k·k

p

estdénie par

kAk

p

= sup

x6=0

kAxk

_p

kxk

_p

.

(39)

Lenombrede onditionnement

κ

p

d'unematri einversible

A

est

κ

p

(A) = kAk

_p

A

−1

p

.

(40) Enparti ulier,pour

p = 2

ona

κ

2

(A) =

λ

n

λ

1

.

(41)

L'inversedunombrede onditionnementdonneunedistan eàlamatri enoninversiblelaplus pro he[6℄.En esens,pluslenombrede onditionnementestélevé,pluslamatri es'apparenteà unematri enoninversible.Enarithmétiqueottante,si ettedistan eestdel'ordredelapré ision ma hine,lamatri eest numériquementnoninversible.

On représente à laFigure 17 une estimation numérique du nombre de onditionnement des matri eshessiennesde ha unedesparamétrisationsenfon tiondunombrededegrésdeliberté. Onrapportelesobservationssuivantes

1. l'appro heparamétriqueréduit lenombrededegrésdelibertémais dégradele onditionne-ment:quelquesoitlaparamétrisationadoptée,leproblèmeestplusraidequ'ave l'appro he non-paramétrique(lenombrede onditionnementestsupérieurà3);

2. en parti ulier la paramétrisation de Bernstein est très mal onditionnée : le nombre de onditionnement roît de manière exponentielle par rapport à la dimension du problème. Au-delàde

n = 25

d.d.l.l'inversedunombrede onditionnementestdel'ordredelapré ision ma hine

ε

m

≈ 2.22 · 10

−16

:leproblèmen'estpasnumériquementinversible;

3. les paramétrisations de Legendre et T heby hev sont mieux onditionnées : l'é art ave le nombrede onditionnementidéal1dépendlinéairementdeladimension;

4. enn, la matri e hessienne issue de laparamétrisation B-spline d'ordre 4,(matri e bande de largeur7) aun onditionnement onstantlorsque lenombre ded.d.l. est supérieurà7.

1

100

10000

1e+06

1e+08

1e+10

1e+12

1e+14

1e+16

1e+18

0

5

10

15

20

25

30

condition number

degrees of freedom

Condition number w.r.t. problem dimension

Bernstein

(a)Bernstein

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

5

10 15 20 25 30 35 40 45

condition number

degrees of freedom

Condition number w.r.t. problem dimension

B-spline

Legendre

Tchebychev

(b)autres

Fig.17Évolutiondunombrede onditionnementenfon tiondelatailleduproblème.

Dans etteparamétrisation oùlesupportdesfon tionsest lo al,onretrouveunepropriété del'appro henon-paramétrique: le onditionnementestborné.

Enn,danslesse tions3.5.1à3.5.4onavériéquelastru turespe tralemiseenéviden eave lesélémentsP1est onservée dansle asparamétrique. Seulela paramétrisationde T heby hev neprésentepasdemodespropressimilairesauxmodesdeFourier.On s'attenddon à eque e soit lesmodesde hautes fréquen esqui onvergentlentementlorsque le problèmedevient raide. Onillustre ettepropriétéparuneexpérien enumériqueàlase tionsuivante.

3.6 Étude de la onvergen e d'une méthode de des ente

3.6.1 Algorithmede Quasi-Newton

Soit

x

0

unve teurinitialdeparamètres.L'itérationd'unalgorithmededes entes'é rit

x

i+1

= x

i

+ τ

i

d

i

(42)

où

d

i

est une dire tion dedes ente (i.e. telle que

G(x

i

₎

T

_d

i

_{< 0}

). Leparamètre

τ

i

peutêtre xe oudéterminéparunere her helelongde

d

i

(re her heunidimensionnelle supposéesimple). Dans un algorithme de Quasi-Newton, la dire tion de des ente est la solution du système linéaire

B

i

_d

i

_{= −G(x}

i

₎

(43)

où

B

i

estuneapproximationduhessien,déniepositive(etné essairementsymétrique).On hoisit engénéral

B

0

_{= I}

,detelle sorteque lapremièreitérationestéquivalenteàuneitérationdeplus grandedes ente.Laformuledemiseàjourde

B

i

laplusutiliséeestlaformuleBFGS:

B

i+1

_{= B}

i

₊

y

i

y

i

T

y

i

T

s

i

−

B

i

_s

i

_s

i

T

B

i

s

i

T

B

i

_s

i

(44) où

s

i

_{= x}

i+1

_{− x}

i

et

y

i

_{= G(x}

i+1

_{) − G(x}

i

₎

.

B

i+1

est bien symétriqueet lapositivitéest assurée parles onditionsdeWolfe.

Remarque5(Remarquesurle ritèred'arrêt:). Puisqu'unminimum (lo al)annule legradient, unpointstationnaire(degradientnul)estdon un andidat ommeminimumlo al.Unalgorithme degradientestdon unalgorithmedere her hedepointstationnaire(pointxedel'itération(42) ). Un ritèrede onvergen e s'exprime don naturellement en fon tion de la norme eu lidienne dugradient:ons'arrêtedèsque ettenormeestinférieureàunpetit

ε

,dépendantdelapré ision du al ul dugradient.

Cependant, dansle adred'optimisationde forme paramétrique,la pré ision du al uldu gra-dient, lorsqu'elle est onnue, peutvarier selon la paramétrisation. Un autre ritères'exprime en fon tiondurésidudela fon tion oût, 'est-à-dire, onitèretantquelafon tionnellepeut des en-dre;dans e asonvériela norme dugradient aposteriori.

Sila fon tion oûtnetendpasvers0onmesuredepréféren elerésidurelatif.Sinonlerésidu absoluestplusadéquat. Laformule (45)estun ompromis entrelesdeuxnotionsde résidu relatif etabsolu enfon tion dela valeur de la fon tion oût.

r

i

=

J

i

_{− J}

i−1

1 + J

i−1

(45)

3.6.2 Des riptiondu as-test

Onseproposederésoudreleproblèmedemeilleureapproximation(3)àl'aided'unalgorithme deQuasi-NewtonBFGS.Lesespa esparamétriques onsidéréssont euxdelase tion3.5.La ible

¯

f

estdénie pour

t ∈ [a b]

,

a = −3

,

b = 7

,parl'équation

¯

f (t) =

8

X

n=0

a

n

cos(ns) + b

n

sin(ns),

s(t) = 2π(t − a)/(b − a)

(46)

où les

a

n

sont tels que

f (a) = ¯

¯

f (b) = 0

(voir Table 1). Le ve teur initial est

x

0

_{= 0}

quel que soit la paramétrisation de sorteque

f [x

0

_{] ≡ 0}

, qui est évidemmentadmissible (voirFigure 18). On onsidèrequel'algorithmea onvergélorsque lerésidu

r

i

(45)est inférieureà

ε = 10

−15

. Les intégralessontévaluéesparlaméthodedeSimpson.

n

a

n

b

n

0 0.3593853805E+01 -0.1735280268E+00 1 0.1525134947E+01 -0.1678281086E+01 2 -0.1923909257E+01 0.9350947011E+00 3 0.4329616213E+01 0.1534159761E-01 4 -0.2853992139E+01 -0.6314124167E+00 5 -0.1873580031E+01 -0.2306875191E+01 6 -0.1383638992E+01 0.1325744865E+01 7 -0.2077733362E+01 -0.9480459848E+00 8 0.6642488157E+00 0.4184707832E+01

Tab.1Coe ientsdelafon tion iblesinusoïdale

3.6.3 Pré isionde la solutionà onvergen ede l'algorithme

L'expérien edé rite àlase tionpré édente est réaliséepourdes paramétrisationsde plusen plusne, 'est-à-direde degrédeplus enplusélevé:

n = 5

,

10

,

15

,

20

,

25

,

30

,

35

,

40

,et

45

. La pré isionatteinte (valeurdelafon tionnelleà onvergen e del'algorithme)estobservée. Dansle as des paramétrisations des espa es polynmiaux on s'attend à onvergerversla même valeur puisquel'espa edere her heestlemêmeet quel'optimumestunique.

Onrapportelesobservationssuivantes:

1. Quelquesoitledegré,lafon tionnelle onvergeverslamêmevaleurpourlesparamétrisations bien onditionnées (Legendre, Legendre normalisé, T heby hev). L'algorithme a onvergé omplètement.

2. Jusqu'à

n ≤ 20

(

19

d.d.l.), dans laparamétrisation deBernstein, lafon tionnelle onverge omplètement; au-delà la pré ision se trouve dégradée. On rappelle que pour

n ≥ 25

le problèmen'estpasnumériquementinversible(voirse tion3.5.5).

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4

-2

0

2

4

6

8

target and initial functions

initial

target

Fig.18Représentationdesfon tionsinitiale

f ≡ 0

et ible

f

¯

.

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

1e-04

0.01

1

100

10000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Functional value at convergence (accuracy) w.r.t. number of degrees of freedom

Bernstein

Legendre

N-Legendre

Tchebychev

B-spline order 4

3. Les espa esde re her hedénis parles fon tionsB-splines onduisent àune meilleure ap-proximationde

f

¯

pour

15 ≤ n ≤ 25

. Pour

n ≥ 30

lasolutionest moins pré ise.Comme le onditionnementde etteparamétrisationestbon,onpeut onsidérerquela onvergen eest omplète.

3.6.4 Vitessede onvergen e

Àlase tionpré édenteonaobservélapré isionatteinteà onvergen edel'algorithmeen fon -tiondeladimensionduproblème.Dans ettese tionons'intéresseàlavitessede onvergen e:on mesurelenombrené essaired'évaluationsdelafon tionnellepouratteindrele ritèrede onver-gen e (

ε = 10

−15

sur le résidu). En hoisissant le nombre d'évaluations plutt que le nombre d'itérationsde laméthodede des ente,onprend en ompte lesévaluationsqui ontlieupendant laphasedere her heoptimaleunidimensionnelledupas

τ

i

à haqueitération.Lesrésultatssont résumésàlaFigure20.

ParailleursonreprésentesurlesFigures21et22l'historiquedela onvergen edel'algorithme de des ente pourles problèmesde dimension

n = 20

et

n = 45

respe tivement. On donne ainsi deux exemples où l'on représente à la fois lavitesse de onvergen e et la pré isionatteinte. La valeuroptimaledelafon tionnelletendvers

0

lorsqueladimensionduproblèmeaugmente.Pour

n = 45

ladimensionest susammentgrandepourquel'on onsidèrequelavaleuroptimalesoit nulleetjustieainsilareprésentationlogarithmiquedelafon tion oûtenordonnée.

1

10

100

1000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Number of functional evaluations to reach convergence w.r.t. problem dimension

Bernstein

Legendre

N-Legendre

Tchebychev

B-splines

Fig.20Nombre d'évaluationsdelafon tionnellepouratteindrela onvergen eenfon tiondu nombrededegrésdeliberté.

Lesrésultats obtenussont ohérentsave l'étudedu onditionnementdeshessiens onduiteà lase tion3.5:pluslenombrede onditionnement

κ

2

estpetit,plusla onvergen eestrapide.La onvergen edanslaparamétrisationdeBernsteinestlapluslente; elledanslesparamétrisations de Legendre,T heby hev et B-spline est plus rapideet dumême ordre de grandeur; enn elle danslaparamétrisationdeLegendrenormaliséela onvergen eestrapideetquasiment onstante parrapportàladimensionduproblème(moinsd'unedizained'itérations).

Remarque 6. Dans le as des polynmes de Legendre normalisés, la solution s'obtient en une itération quel quesoit lepoint initial si

τ

0

_{= 1}

; en eet legradient est alors

G(x

0

_{) = x}

0

_{− b}

et

x

1

_{= x}

0

_{− (x}

0

_{− b) = b}

, où

b

est la solution (voir se tion 3.4 ). I i

τ

0

n'estpas égal àunpuisque l'algorithmededes ente onsidérésupposequelafon tionnelleestquel onque(pasné essairement quadratique) :

τ

0

est adapté en fon tion de la norme du gradient au pointinitial ( etteméthode onduitengénéralàdemeilleursrésultatsdansle asgénéral);on onvergedon endeuxitérations (plusquelques unes,probablementduesauxerreursd'arrondi).

0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

250

History convergence for n=20 - All parameterizations

Bernstein

Legendre

N-Legendre

Tchebychev

B-splines

Fig.21Évolutiondelafon tionnelleenfon tiondunombred'évaluationspourtoutesles para-métrisations,

n = 20

. La onvergen edans labase deBernstein est de

4

à

35

fois pluslente que pourlesautres.Ils'agitde labaselamoins bien onditionnée(

κ

2

≈ 10

12

).Lapré isionatteinte est ependantidentiqueà elledesparamétrisationsde

P

20

.

3.6.5 Représentationde l'erreur absolue

On représentesur lesFigures 23,24, et 25l'erreurabsolue

∆f = f [x

∗

] − ¯

f

à onvergen e de l'algorithmepour

n = 45

andemontrerquel'erreurrestanteà onvergen e del'algorithme or-respondauxmodesdehautesfréquen es, euxqui onvergentlemoinsbienouquin'appartiennent pasàl'espa edere her he.

Ondonneégalementl'erreuruniformerelativeenpour entage:

err(f ) = 100

k∆f k

∞

¯

f

∞

(47)

3.7 Con lusion du problème de meilleure approximation

L'étudepréliminaireettrivialeduproblèmedemeilleureapproximation(3)apourbut d'illus-trer les diérents problèmes numériques qui peuvent intervenir en optimisation de forme. Dans e as pré is,en hoisissantunefon tionnellequadratique,nousnoussommesaran hisdes pro-blèmesdemultimodalitéetdenon onvexité.De ettemanièrenousavonspu onduireuneétude de la onvergen e d'un algorithme de des ente lassique sans se sou ier de la robustesse de la méthodeparrapportàlaformeinitiale.Enparti uliernousavonsétudiél'inuen edediérentes paramétrisationssurla onvergen eentermedepré isionetdevitesse.

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

1e-04

0.01

1

100

10000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

History convergence for n=45 - All parameterizations

Bernstein

Legendre

N-Legendre

Tchebychev

B-splines

Fig.22Évolutiondelafon tionnelleenfon tiondunombred'évaluationspourtoutesles para-métrisations,

n = 45

.La onvergen edanslabasedeBernsteinestégalementbienpluslente(de

4

à

40

fois);le onditionnementesttelque

κ

2

> 10

18

.I ilapré isionatteinteesttrèsmauvaise(un rapportde

10

12

entre lesvaleursdefon tionnelle!).Lapré isionatteintedanslaparamétrisation desB-splinesestaussimédio re(équivalente à elledelaparamétrisationdeBernstein).

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

-4

-2

0

2

4

6

8

Absolute error - Bernstein

Fig. 23  Représentation de l'erreur absolue

f [x

∗

_{] − ¯}

_f

pour la paramétrisation de Bernstein.

err(f ) ≈ 0.16%

.Lenombred'alternan esdesigneestde

31

.Lesmodesdehautesfréquen esn'ont pas onvergéounepeuventpasêtrerésolus.