Les diapositives

(1)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Algèbre linéaire

Jean-Pierre Becirspahic Lycée Marcelin Berthelot

(2)

Interprétation matricielle

Si(e) est une base de E , on associe à :

• _{un vecteur x ∈ E le vecteur colonne}

X= Mat_(e)(x)∈ M_n_,1(R) de ses coordonnées ;

• _{une famille}_(x_{1, . . . , xn}_{) de vecteurs la matrice carrée}

P= Mat (e)(x₁, . . . , xn)∈ Mn(R) ;

• _{à un endomorphisme u ∈ L(E ) la matrice carrée}

A= Mat(e)(u(e1), . . . , u(en))∈ Mn(R).

Si(e0) est une nouvelle base de E et P = Mat(e)(e

0 1, . . . , e

0 n), on a

X0= P−1X et A0= P−1AP.

(3)

Interprétation matricielle

Un exercice pratique

Montrer que les matrices A et A0sont semblables :

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

Ne pas utiliser la définition A0= P−1AP car les calculs sont inextricables.

On cherche une base(e0) telle que

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

(4)

Interprétation matricielle

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

E= R3,(e) base canonique de R3, u ∈ L(E ) définie par Mat(e)(u) = A .

Alors u: X 7→ AX .

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

(5)

Interprétation matricielle

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

(6)

Interprétation matricielle

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

On résout AX1= X1, par exemple X1=

        1 −2 1        

(7)

Interprétation matricielle

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

On résout AX2= X1+ X2, par exemple X2=

        1 −1 1        

(8)

Interprétation matricielle

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

On résout AX3= 2X3, par exemple X3=

        1 −2 0        

(9)

Interprétation matricielle

A =         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         et A0=         1 1 0 0 1 0 0 0 2        

u(e₁0) = e₁0, u(e₂0) = e₁0+ e₂0, u(e₃0) = 2e₃0

On obtient P=         1 1 1 −2 −1 −2 1 1 0         ; on a bien P ∈ GL3(R), et A 0 = P−1AP .

(10)

Interprétation matricielle

Un exercice théorique

Soient A et A0deux matrices réelles de Mn(R), semblables dans Mn(C).

Montrer que A et A0sont semblables dans Mn(R).

La formule A0= P−1AP peut servir dans un exercice théorique.

On pose P= P₁+iP₂avec P1, P2∈ M_n(R). Alors P₁A0= AP₁et P2A 0

= AP₂. Pour tout t ∈ R,(P₁+ tP₂)A0= A (P₁+ tP₂).

L’applicationq : t 7→ det(P₁+ tP₂)est polynomiale ; ce n’est pas le

poly-nôme nul car q(i ) , 0, donc il existe t ∈ R tel que q(t) , 0, et alors P1+tP2 est inversible.

(11)

Interprétation matricielle

On suppose qu’il existe P ∈ GLn(C) telle que A

0

= P−1AP ⇐⇒ PA0= AP .

(12)

Interprétation matricielle

0

= P−1AP ⇐⇒ PA0= AP .

= AP₂.

Pour tout t ∈ R,(P₁+ tP₂)A0= A (P₁+ tP₂).

(13)

Interprétation matricielle

0

= P−1AP ⇐⇒ PA0= AP .

(14)

Interprétation matricielle

0

= P−1AP ⇐⇒ PA0= AP .

(15)

Base canonique de M

_n

(R)

On note(E_ij) la matrice dont tous les coefficients sont nuls hormis celui

de rang(i, j ) égal à 1. AlorsE_ijE_kl= δjkEil.

Soient A et B dans M_n(R) telles que ∀M ∈ M_n(R), AMB = 0. Montrer

que A= 0 ou B = 0. Pour tout(α, β) ∈ ~1, n2, AE_αβB= 0. On pose A=X i,j aijEij. Alors AEαβ= X i ai αEi β. On pose B=X k,l bklEkl. Alors AEαβB= X i,l ai αbβlEil.

(E_il) est une famille libre donc pour tout (i, l ), pour tout (α, β), ai αbβl= 0. Si A , 0, il existe (i , α) tel que ai α, 0 et alors pour tout (β, l ), bβl = 0, et

B= 0.

(16)

Base canonique de M

_n

(R)

B= 0.

(17)

Base canonique de M

_n

(R)

B= 0.

(18)

Base canonique de M

_n

(R)

B= 0.

(19)

Base canonique de M

_n

(R)

B= 0.

(20)

Base canonique de M

_n

(R)

que A= 0 ou B = 0. Pour tout(α, β) ∈ ~1, n2, AE_αβB= 0. On pose A=X i,j aijEij. Alors AEαβ= X i ai αEi β. On pose B=X k,l b_klE_kl. Alors AE_αβB= X i,l ai αbβlEil.

B= 0.

(21)

Base canonique de M

_n

(R)

que A= 0 ou B = 0. Pour tout(α, β) ∈ ~1, n2, AE_αβB= 0. On pose A=X i,j aijEij. Alors AEαβ= X i ai αEi β. On pose B=X k,l b_klE_kl. Alors AE_αβB=X i,l a_{i α}b_βlE_il.

B= 0.

(22)

Base canonique de M

_n

(R)

que A= 0 ou B = 0. Pour tout(α, β) ∈ ~1, n2, AE_αβB= 0. On pose A=X i,j aijEij. Alors AEαβ= X i ai αEi β. On pose B=X k,l b_klE_kl. Alors AE_αβB=X i,l a_{i α}b_βlE_il.

(E_il) est une famille libre donc pour tout (i, l ), pour tout (α, β), ai αbβl= 0. Si A , 0, il existe (i , α) tel que ai α, 0 et alors pour tout (β, l ), bβl= 0, et

B= 0.

(23)

Projections vectorielles

p est une projection vectorielle si et seulement si p ◦ p = p, et dans ce

cas, p est la projection surIm p = Ker(Id − p), parallèlement à Ker p.

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et(u, v) ∈ L(E )2tels que

u+ v =Id et rg u + rg v 6 n. Montrer que u et v sont des projecteurs.

Comment montrer que u est un projecteur ?

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

On sait déjà (ou on redémontre) que la somme Ker u ⊕ Ker(Id − u) est

directe.

dimKer u ⊕Ker(Id−u)= dim(Ker u)+dim(Ker v) = 2n −rg u −rg v > n donc

dimKer u ⊕ Ker(Id − u)= n et E = Ker u ⊕ Ker(Id − u).

(24)

Projections vectorielles

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

directe.

(25)

Projections vectorielles

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

directe.

(26)

Projections vectorielles

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

directe.

(27)

Projections vectorielles

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

directe.

(28)

Projections vectorielles

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

directe.

(29)

Projections vectorielles

• _{u ◦ u}_{= u ;}

• _E_{= Ker u ⊕ Ker(}_{Id − u).}

directe.

(30)

Trace d’un endomorphisme

tr(AB ) = tr(BA ) donc tr(P−1AP) = tr(A ) ; on peut donc définir

tr(u) = tr(Mat(e)(u))

où(e) est une base quelconque de E .

Soit A ∈ Mn(R). Résoudre X + XT= tr(X )A , d’inconnue X ∈ Mn(R).

Si X est solution, alors 2tr(X ) = tr(X ) tr(A ).

• _Si_{tr(A ) , 2}_,_{tr(X ) = 0 et X}T_{+ X = 0 donc X ∈ A} n(R).

Si X est solution, alors XT+ X = tr(X )AT.

• _{Si A}T

, A,tr(X ) = 0 et XT+ X = 0 donc X ∈ An(R).

• _{Si A}T_{= A et tr(A ) = 2}_{, on pose X}_{= Y + Z avec Y ∈ S}

n(R), Z ∈ An(R).

Alors X+ XT= 2Y donc Y = λA et Z est quelconque.

(31)

Trace d’un endomorphisme

• _{Si A}T

n(R), Z ∈ An(R).

(32)

Trace d’un endomorphisme

• _{Si A}T

n(R), Z ∈ An(R).

(33)

Trace d’un endomorphisme

• _{Si A}T

n(R), Z ∈ An(R).

(34)

Trace d’un endomorphisme

• _{Si A}T

n(R), Z ∈ An(R).

(35)

Trace d’un endomorphisme

• _{Si A}T

n(R), Z ∈ An(R).

(36)

Trace d’un endomorphisme

• _{Si A}T

n(R), Z ∈ An(R).

(37)

Théorème du rang

Si H est un supplémentaire de Ker u, l’application x 7→ u(x) réalise un

isomorphisme entre H etIm u, avec pour conséquence :

dim E − dim(Ker u) = dim(Im u).

Conséquence: Soit A ∈ Mnp(R), identifiée à u : X 7→ AX pour les bases

canoniques de Rpet Rn.

On note (e1, · · · , er) base d’un supplémentaire H de Ker A , (e_r+1, . . . , ep)

base deKer A .

On pose f1= u(e1) = Ae1, . . . , fr = u(er) = Aer. Alors (f1, . . . , fr) est une base deIm A , qu’on complète pour former une base (f1, . . . , fn) de F .

Soit P= Mat_can(e), Q = Mat_can(f ). Alors Q−1AP= Ir O

O O

! . remarque : r est le rang de A .

(38)

Théorème du rang

Si H est un supplémentaire de Ker u, l’application x 7→ u(x) réalise un

isomorphisme entre H etIm u, avec pour conséquence :

dim E − dim(Ker u) = dim(Im u).

Conséquence: Soit A ∈ Mnp(R), identifiée à u : X 7→ AX pour les bases

canoniques de Rpet Rn.

On note (e1, · · · , er) base d’un supplémentaire H de Ker A , (er+1, . . . , ep)

base deKer A .

On pose f1= u(e1) = Ae1, . . . , fr = u(er) = Aer. Alors (f1, . . . , fr) est une base deIm A , qu’on complète pour former une base (f1, . . . , fn) de F .

Soit P= Mat_can(e), Q = Mat_can(f ). Alors Q−1AP= Ir O

O O

! . remarque : r est le rang de A .

(39)

Théorème du rang

Une illustration de cette décomposition de A

Soit A ∈ M_n(R), de rang r. On pose H =nB ∈ M_n(R)

ABA = 0 o

.

Montrer que H est un sous-espace vectoriel de Mn(R) et en donner sa

dimension. On pose A= Q Ir O O O ! P−1et B= P X Y Z T ! Q−1. Alors ABA= Q X O O O ! P−1donc B ∈ H ⇐⇒ X= O . Ainsi,dim H = n2− r2.

(40)

Théorème du rang

ABA = 0 o

.

(41)

Théorème du rang

ABA = 0 o

.

(42)

Théorème du rang

ABA = 0 o

.

(43)

Théorème du rang

Une utilisation fine du théorème du rang

On supposedim E = 3n et u ∈ L(E ) tel que rg(u) = 2n et u3= 0.

• _{Montrer que}_Im(u2_{) = Ker(u) et Ker(u}2_{) = Im(u).}

• _{En déduire l’existence d’une base telle que}_Mat

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

(44)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

La relation u ◦ u2= 0 prouveIm(u2) ⊂ Ker(u).

On applique le théorème du rang à v: Im u → E

x 7→ u(x)

! .

Ker v = Im u ∩ Ker u et Im v = Im(u2) donc

dim(Im u) = dim(Im u ∩ Ker u) + dim(Im(u2)) 6 dim(Ker u) + dim(Im u2)

⇐⇒ 2n 6 n + dim(Im u2) ⇐⇒ dim(Im u2) > dim(Ker u).

On en déduitIm(u2) = Ker(u). On prouve de même que Ker(u2) = Im(u).

(45)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

x 7→ u(x)

! .

(46)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

x 7→ u(x)

! .

(47)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

Soit H un supplémentaire de Ker(u2) = Im(u). On note (e₁, . . . , en)

une base de H et on pose (en+1, . . . , e2n) = (u(e1), . . . , u(en)) et

(e2n+1, . . . , e3n) = (u2(e₁), . . . , u2(e_n)).

u2réalise un isomorphisme entre H et Im(u2)donc(u2(e₁), . . . , u2(e_n)) est libre. X α1ei+ X βiu(ei) + X γiu2(ei) = 0 u2 =⇒ Xαiu2(ei) = 0 =⇒ αi= 0. X βiu(ei) + X γiu2(ei) = 0 u =⇒ Xβiu2(ei) = 0 =⇒ βi= 0. X

γ_iu2(e_i) = 0 =⇒ γi= 0. On a bien défini une base.

(48)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

(e2n+1, . . . , e3n) = (u2(e₁), . . . , u2(e_n)).

(49)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

(e2n+1, . . . , e3n) = (u2(e₁), . . . , u2(e_n)).

(50)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

(e2n+1, . . . , e3n) = (u2(e₁), . . . , u2(e_n)).

(51)

Théorème du rang

(e)(u) =         O O O I O O O I O         .

(e2n+1, . . . , e3n) = (u2(e₁), . . . , u2(e_n)).

(52)

Endomorphismes nilpotents

u est nilpotent d’indice p lorsque up = 0 et up−1, 0. Si x est un vecteur

tel que up−1_{(x) , 0}_E, la famille(x, u(x), . . . , up−1(x)) est libre, avec pour

conséquence que p 6 n= dim E .

(53)

Endomorphismes nilpotents

• p−1 X i=0 αiui(x) = 0 up−1 =⇒ α0up−1(x) = 0E =⇒ α0= 0. • p−1 X i=1 αiui(x) = 0 up−2 =⇒ α1up−1(x) = 0E =⇒ α1= 0. • p−1 X i=2 αiui(x) = 0 up−3 =⇒ α2up−1(x) = 0E =⇒ α2= 0. etc.

(54)

Endomorphismes nilpotents

Cas particulier: si u est nilpotent d’indice n= dim E , cette famille est une

base pour laquelleMat(e)(u) =

                 0 · · · ₀ 1 . .. ... 0 . .. ... ... 0 0 1 0                  .

(55)

Endomorphismes nilpotents

Une autre caractérisation

Soit A ∈ Mn(C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si

Sp(A ) = {0}.

• _{Si A est nilpotente, alors AX}_{= λX =⇒ A}n_X_{= λ}n_X _{=⇒ λ}n_X_{= 0.}

Si X est un vecteur propre, X , 0 et donc λ = 0.

• _{Réciproquement, si}_{Sp(A ) = {0}, A est semblable à une matrice}

triangulaire supérieure T à diagonale nulle :

T=                  0 × · · · × 0 . .. ... . .. × 0                 

Si T= Mat_(e)(u) on a u(e₁) = 0 et u(e_i) ∈ Vect(e1, . . . , ei −1) donc : u(e₁) = 0, u2(e₂) = 0, · · · _un(e_n) = 0

donc Tn= 0.

(56)

Endomorphismes nilpotents

Sp(A ) = {0}.

• _{Si A est nilpotente, alors AX}_{= λX =⇒ A}n_X _{= λ}n_X _{=⇒ λ}n_X_{= 0.}

T=                  0 × · · · × 0 . .. ... . .. × 0                 

donc Tn= 0.

(57)

Endomorphismes nilpotents

Sp(A ) = {0}.

T=                  0 × · · · × 0 . .. ... . .. × 0                 

donc Tn= 0.

(58)

Endomorphismes nilpotents

Sp(A ) = {0}.

T=                  0 × · · · × 0 . .. ... . .. × 0                 

donc Tn= 0.